Юрий Николаевич Макарычев
Нора Григорьевна Миндюк
Константин Соломонович Муравин
Константин Иванович Нешков
Светлана Борисовна Суворова

Алгебра

Учебник для 6-го класса

*** 1985 ***

DjVu

Учебник прислал Паскин Роман Викторович.
_____________________

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

$ 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ       7. УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ       Решим задачу: «На двух полках 40 книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»       Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Zx. По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства: 3jc+x=40.       Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют сравнениями. Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным.       Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение Зж+х=40 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения. Равенство 3jc+x=40 верно при дс=10. Число 10 — корень уравнения Зх-(-х=40.       Определение. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.       Уравнение Зх-)-х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или вообще не имеют корней.       Так, уравнение (ж—4)(х — б) (я—6)=0 имеет три корня: 4, 5 и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х—4) (х—5) (х—в), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение ... не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше правой части.       Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.       Уравнение ж2=4 имеет два корня — числа 2 и —2. Уравнение (х—2) (jc+2)=0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.       Уравнения обладают следующими свойствами:       1) если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;       2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.       Рассмотрим уравнение х2 — 2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х2 = 9. Докажем, что уравнения х2 — 2 = 7 их2=9 равносильны.       Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении х уравнение я2—2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.       Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х2=9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в верное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.       Таким образом, уравнения я2 —2 = 7 их2 = 9 имеют одни и те же корни, т. е. являются равносильными.       Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.       3) Можно также доказать, что (если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. Например, перенеся в уравнении ... слагаемое 2х с противоположным знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение 5х—2х=9, ему равносильное.       Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.       216. Стороны одного четырехугольника равны 1,2; 1,4; 2,6 и 2,8 дм. Стороны другого четырехугольника равны 3; 3,5; 6,5 и 7 дм. Пропорциональны ли стороны этих четырехугольников?       217. Пропорциональны ли числа 0,6; 1; 1,4 числам 1,5; 2,5; 3,5?       218. Докажите, что числа 1,4; 1,8; 2,2 и 2,6 пропорциональны числам 3,5; 4,5; 5,5 и 6,5. Каков коэффициент пропорциональности?       219. Пусть даны отрезки длиной 8,5; 15 и 25 см. Найдите длины пропорциональных им отрезков, если больший из них равен 20 см.       220. Стороны одного треугольника равны 7, 8 и 10 см. Стороны второго треугольника пропорциональны сторонам первого, причем его средняя сторона равна 16,8 см. Найдите периметр второго треугольника.       221. Площади полей, засеяцных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно 410 га?       222. Найдите длины сторон треугольника, если известно, что они пропорциональны числам 2, 4 и 5, а периметр треугольника равен 16,5 см.       223. Найдите каждый из смежных углов, если известно, что эти углы пропорциональны числам: а) 5 и 4; б) 14 и 1.       224. Пионерский отряд должен посадить 60 деревьев. Их распределили между тремя звеньями пропорционально числам 3, 4 и 3. Сколько деревьев должно посадить каждое звено?       225. Поле, площадь которого 600 га, разбито на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 7 и 8. Найдите площадь каждой части.       226. Сплав состоит из меди, цинка и никеля, массы которых пропорциональны числам 13, 4 и 3. Какова масса сплава, если в него входит меди на 2,4 кг больше, чем никеля?       227. Число -спортсменов, занимающихся в волейбольной, баскетбольной и гимнастической секциях, пропорционально числам 5, 2 и 4. Сколько спортсменов занимается в этих трех секциях, если в гимнастической секции занимается на 17 человек меньше, чем в волейбольной?       Упражнения для повторения       228. Отметьте точки А(4; — 3) и В ( — 2; 6). Проведите прямую АВ и найдите координаты точек пересечения этой прямой с осью х и с осью у.       229. Отметьте в координатной плоскости точки М(0; —4) и N (6; 2) и соедините их отрезком. Найдите координаты точки пересечения этого отрезка с осью х.             12. ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ       Пример. Пусть автомобиль проходит 120 км со скоростью v км/ч за 1 ч. Время 1 зависит от скорости v: если у = 20, то 1 = 120:20 = 6; если у = 40, то 1 = 120:40 = 3; если v = 60, то 1= 120:60 = 2 и т. д.       При увеличении скорости в несколько раз время уменьшается во столько же раз. В самом деле, время, за которое автомобиль пройдет 120 км со скоростью v км/ч, равно 120 тт - 120 — ч. При увеличении знаменателя дроби — в несколько раз эта дробь уменьшается во столько же раз.       Пусть переменные хну принимают только положительные значения. Переменная у обратно пропорциональна переменной х, если при увеличении значений х в несколько раз соответственные значения у уменьшаются во столько же раз.       Это означает, что если х\ и Х2 — значения переменной ху а у\ и у2 — соответствующие им значения переменной у, то ...       В рассмотренном примере переменная 1 обратно пропорциональна переменной v. Иначе говоря, время прохождения определенного расстояния обратно пропорционально скорости движения.       Приведем другие примеры обратно пропорциональных переменных. При постоянной площади прямоугольника его длина обратно пропорциональна ширине. Объем тела определенной массы обратно пропорционален плотности.       В примере с движением автомобиля время 1 обратно цропорционально скорости v. В этом случае для каждой пары       соответственных значений ... произведение vt равно одному и тому же числу 120:       20 6 = 40 3 = 60 2 =... = 120.       Вообще, если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то произведения соответственных значений х и у равны.       Пусть х 1 и Х2 — произвольные значения переменной х, t а у | и у2 — соответствующие им значения переменной у. По определению обратно пропорциональных переменных ...       Применив основное свойство пропорции, получим:...       Задача. Некоторый заказ при одновременной работе 5‘ автоматов выполняется за 12 часов. За сколько часов будет выполнен тот же заказ при одновременной работе 8 автоматов?       Решение. Пусть 8 автоматов выполнят заказ за х ч. Так как при увеличении числа автоматов в несколько раз' время выполнения заказа уменьшается во столько же раз, то время выполнения заказа обратно пропорционально числу автоматов. По определению обратно пропорциональных переменных отношение х к 12 равно обратному отношению 8 к 5: ...       Заметим, что при решении задачи можно было воспользоваться свойством обратно пропорциональных переменных.       230. Путь от А до Б турист прошел за 4,5 ч. За сколько времени турист прошел бы тот же путь, если бы шел в 1,5 раза быстрее?       231. Бассейн наполняется водой за 1 ч 10 мин. За какое время может наполниться тот же бассейн, если скорость подачи воды уменьшится в 2 раза?       232. Поезд должен был пройти перегон между станциями А и 5 со скоростью 60 км/ч. Однако он двигался со скоростью 90 км/ч. Во сколько раз быстрее он прошел перегон АВ1       233. Имеются железный и алюминиевый бруски, массы которых одинаковы. Какой из брусков занимает больший объем и во сколько раз больший, если известно, что плотность алюминия 2,6 г/см3, а плотность железа 7,8 г/см3?       234. Совхозное поле три трактора могут вспахать за 60 ч. За какое время вспашут это поле 12 таких тракторов?       235. Для перевозки песка предполагалось выделить 15 самосвалов, грузоподъемностью 4 т каждый. Сколько самосвалов грузоподъемностью 5 т следует выделить для выполнения той же работы?       236. Усовершенствовав резец, рабочий стал затрачивать на изготовление детали 8 мин вместо 10 мин. Сколько деталей стал изготовлять рабочий за смену, если известно, что раньше за смену он изготовлял 48 деталей?       237. На одной из сцепляющихся шестерен 54 зуба, а на другой 45. Сколько оборотов сделает вторая шестерня за то время, за которое первая сделает 270 оборотов?       238. Для 120 коров запаса сена хватит на 60 дней. На сколько дней.кхватит того же запаса сена для 180 коров?       Упражнения для повторения       239. Отметьте в координатной плоскости точки А (— 2; —3) и В (4; 5). Найдите координаты середины отрезка АВ.       240. Из 85 т сахарной свеклы получается 187 т сахару. Сколько сахара получится из 115 т свеклы?             § 5. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ       13. ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ       Рассмотрим задачу: «Расстояние между станцией и турбазой 60 км. С турбазы на станцию отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч (рис. 6). На каком расстоянии от станции он будет находиться через х ч?»       За х ч велосипедист проедет 12х км. Значит, через х ч он будет находиться оттанции на расстоянии 60 — 12дс км. Обозначим это расстояние (в километрах) буквой у. Тогда ...       Мы получили формулу, выражающую зависимость расстояния у от времени движения х. По смыслу задачи переменная х может принимать неотрицательные значения, не большие 5 (через 5 ч велосипедист приедет на станцию).       По формуле у = 60 —12jc для каждого значения х можно найти соответствующее ему значение у. Например, если .г = 2, то у = 36; если дг==3,5, то у= 18; если дг = 4, то у = 12, т. е. через 2 ч велосипедист будет находиться на расстоянии 36 км от станции, через 3,5 ч — на расстоянии 18 км, через 4 ч — на расстоянии 12 км.       Мы видим, что значения у зависят от значений jc, причем каждому значению х соответствует единственное значение у. Такие зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями или функциями.       Зависимость переменной у от переменной х называете, функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.       Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у зависимой переменной. Говорят также, что у является функцией от х. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.       Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. В рассмотренной задаче область определения функции состоит из всех чисел от О до 5, включая чцела 0 и 5. Иными словами, область определения состоит из всех значений х, которые больше или равны 0 и меньше или равны 5. Пишут 0 х 5.       С функциональными зависимостями мы уже встречались, когда рассматривали пропорциональные и обратно пропорциональные переменные. Так, функциями являются зависимость периметра квадрата от его стороны, зависимость времени прохождения некоторого пути от скорости.       Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Приведем примеры.       Пример 1. Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь S см~. Функцию S от а можно задать формулой S = a2. Область определения этой функции состоит из всех положительных чисел.       Пример 2. Пусть п — число мячей» купленных по цене 0,8 р. за штуку, с — стоимость покупки в рублях. Функция с от п может быть задана формулой с = 0,8л. Область определения этой функции состоит из всех натуральных чисел.       Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл. Например, область определения       функции, заданной формулой у= , состоит из всех чисел, кроме числа 2.       241. Площадь прямоугольника со сторонами 9 и х см равна S см2. Выразите формулой функцию S от х. Какое значение S соответствует дг = 4; 6,5; 15?       242. Поезд, двигаясь со скоростью 70 км/ч, за t ч проходит s км. Задайте формулой функцию s от ?. Назовите независимую переменную (аргумент) и зависимую переменную. Найдите значение s, соответствующее ? = 2,4; 3,8. Какому значению ? соответствует s = 105; 420?       243. Ширина прямоугольника х см, а длина на 5 см больше ширины. Площадь прямоугольника S см2. Задайте формулой функцию S от х. Найдите две пары соответственных значений аргумента и функции.       244. Купили портфель за 5,5 р. и т книг, по 0,75 р. за каждую. За всю покупку заплатили с р. Задайте формулой функцию с от т. Найдите три пары соответственных значений аргумента и функции.       245. Функция задана формулой у — 2х + 7. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 12; —50; 43.       246» Функция задана формулой у = 0,lx-)-5. Для значения аргумента, равного 10, 50, 120, найдите соответствующее значение функции.       247. Функция задана формулой у значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.