Учебник прислал Паскин Роман Викторович.
_____________________
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вы начинаете изучать новый предмет. Слово «алгебра» в его названии указывает на то, что с некоторой частью курса вы уже знакомы. Как и в предыдущие годы, значительное внимание будет уделено «буквенному исчислению» — преобразованиям выражений, составлению и решению уравнений, неравенств и их систем. Наряду с решением уже знакомых задач, связанных с многочленами, рациональными дробями, степенями и корнями, вам предстоит расширить область применения алгебры. Будут включены новые сведения из тригонометрии, сведения о логарифмах и т. д.
Принципиально новая часть курса посвящена изучению начал анализа. Математический анализ (или просто анализ) — ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков (в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница) и сыграл громадную роль в развитии естествознания — появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа (производная, дифференцирование, первообразная, интеграл, метод поиска максимумов и минимумов функций) — одна из важных целей курса. Добавим, что анализ традиционно относят к высшей математике. Элементы анализа вошли в школьный курс сравнительно недавно.
Несколько замечаний о том, как пользоваться учебником. Оглавление и предметный указатель, помещенные в конце книги, помогут вам быстро найти нужный раздел, определение или теорему. Ответы и указания к упражнениям приведены в соответствующем разделе. Для знакомства с основными идеями решения предлагаемых задач приводится множество примеров решения, выделенных значками О и#. Отметим также, что задачи, включенные в каждый пункт до горизонтальной черты, необходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки; эти задачи задают обязательный уровень подготовки. Задачи, следующие после черты, чуть сложнее.
Чтобы помочь вам при подготовке к контрольной работе, в конце каждой главы приведены вопросы и задачи на повторение основного материала. Ответы на эти вопросы и примеры решения таких задач можно найти в тексте соответствующих пунктов.
О происхождении изучаемых понятий, терминов и символов, о людях, создававших математический анализ, вы можете узнать, прочитав разделы «Сведения из истории», завершающие каждую из четырех глав учебника.
Дополнительный материал теоретического характера содержится в некоторых пунктах учебника, он выделен значками V и А-
По окончании школы вам предстоит сдавать выпускные экзамены. Как известно, теоретический материал за курс средней школы кратко изложен в книге «Математика. Справочные материалы». Практические упражнения для повторения курса помещены в заключительной главе «Задачи на повторение».
20. Задачи на составление уравнений и систем уравнений
197. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния 325 км, при составлении нового расписания движения автобусов сокращено на 40 мин. Найдите среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием.
198. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна
15 км, прошла 139-- км вниз по течению реки и вернулась
обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 ч.
199. Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Через 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
200. После встречи двух теплоходов один из них пошел на юг, а другой — на запад. Через 2 ч после встречи расстояние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого теплохода, если известно, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.
201. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?
202. На строительстве железнодорожной магистрали бригада строителей за несколько дней должна была по плану переместить 2160 м3 грунта. В течение первых трех дней бригада ежедневно выполняла установленную норму, а затем каждый день перевыполняла норму на 80 м3, поэтому уже за день до срока бригада переместила 2320 м3 грунта. Какова по плану дневная норма бригады?
203. Две бригады комсомольцев, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней раньше другой?
204. Для-перевозки 60 т грузн затребовали некоторое количество машин. В связи с тем что -на 'каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, дополнительно было затре бовано еще 4 машины. Сколько 'машин было запланировано первоначально?
206. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содер жит 5 кг чистой меди, -а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй со держит меди на 15% больше первого?
206. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли?
207. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта в одном и том же направлении. Одна машина движется со скоростью 50 км/ч, другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую машину на 1 ч 30 мин позже, чем вторую. Найдите скорость третьей машины.
208. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.
209. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 50 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 5 ч они встретились. После встречи пешеход, идущий из А в В, уменьшил скорость на 1 км/ч, а второй увеличил скорость на 1 км/ч. Первый пешеход прибыл в В на 2 ч раньше, чем второй в А. Найдите первоначальную скорость каждого пешехода.
210. На заводе для изготовления одного электродвигателя типа А расходуется 2 кг меди и 1 кг свинца, на изготовление одного электродвигателя типа В — 3 кг меди и 2 кг свинца. Сколькб электродвигателей каждого типа было изготовлено, если всего израсходовали 130 кг меди и 80 кг свинца?
211. Двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Если половину задания будет выполнять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый рабочий?
212. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно 1,2 г/см3 и 1,6 г/см3, составлена смесь массой 60 г. Сколько граммов каждой жидкости в смеси и какова плотность смеси, если ее 8 см3 имеют такую же массу, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей?
213. Вычислите массу и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что,сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его
с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получают сплав с 84%-ной массовой долей серебра.
214. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Найдите скорость каждой точки.
215. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна 13. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите это число.
216. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.
236. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была: а) наибольшей; б) наименьшей.
237. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
238. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Найдите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.
239. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соответственно), определите, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.
240. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?
241. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?
242. Из всех цилиндров, имеющих объем 16л м3, найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности.
243. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.
244. В конус, радиус основания которого R и высота Я, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной поверхности. Найдите радиус цилиндра.
245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают). Как это сделать?
246. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.
247. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом R так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара.
248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh2. При каких значениях b и h прочность будет наибольшей?
249. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Как определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре?
250. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей.
251. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
252. На параболе у=х2 найдите точку, расстояние от которой до точки А (2; 0,5) наименьшее.
253. Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аргумент функции 21 арккосинус 63 арккотангенс 64 арксинус 62 арктангенс 63 асимптота
— вертикальная 50
— горизонтальная 50
— наклонная 50
Бесконечно малая 156 Величина 162
Гармонические колебания 58, 254
— — , амплитуда 58
— — , начальная фаза 58
— — , период 58
— — , частота 58
геометрический смысл производной 126 график функции 22
Десятичное приближение числа 165 дифференциал функции 155 дифференциальное исчисление 155 дифференцирование 104 дробная часть числа 165
Единичная окружность 14
Знаки значений тригонометрических функций 7 значение функции 21
Интеграл 183, 194
— неопределенный 194
— определенный 194 интегральное исчисление 194 интегрирование 184
Касательная к графику функции 99 Кавальери принцип 197 корень квадратный 202
— кубический 202 316
— л-ой степени 201
— — — арифметический 201
— посторонний 207 косеканс 19 косинус 14 котангенс 16
криволинейная трапеция 179 критическая точка функции 143
Линейная плотность 136 линия котангенсов 17
— синусов 15
— тангенсов 17 логарифм 224
— десятичный 226
— натуральный 242
Максимум функции 44 мгновенная скорость 101, 134 метод интервалов 122
— неделимых 195
механический смысл производной 134 минимум функции 44
Наибольшее значение функции 150 наименьшее значение функции 150 неравенство
— логарифмическое 233
— показательное 221
— тригонометрическое 73 нуль функции 48
Область значений функции 21
— определения функции 20 общий вид первообразных 172 объединение множеств 21
основное логарифмическое тождество 224
— свойство первообразных 172 основные свойства корней 203
— логарифмов 225 степеней 211
— формулы тригонометрии 7
отображение 26
Первообразная 169
— показательной функции 243
— степенной функции 249
— тригонометрических функций 174 период функции 32
показатель корня 201 правила
— дифференцирования 110
— нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке 150
— нахождения первообразных 176
— предельного перехода 106
— сравнения чисел 165 предел 156
— последовательности 160
— функции 160 предельный переход 106 пределы интегрирования 184 преобразования графиков функции 22 признак
— возрастания функции 139
— максимума функции 144
— минимума функции 145
— убывания функции 139
— постоянства функции 172 приращение
— аргумента 95
— функции 95 производная функции 104 в точке 103
— логарифмической функции 246
— постоянной 103
— сложной функции 116
— степенной функции ИЗ
— тригонометрических функций 118 промежуток возрастания функции 48
— знакопостоянства функции 48
— убывания функции 48
Работа переменной силы 190 радиан 5 радикал 201 разность чисел 165
Секанс 19 синус 14
системы уравнений
— логарифмических 234
— показательных 222
тригонометрических 78
синусоида 15
степень числа
— с рациональным показателем 210 с иррациональным показателем 216
сумма чисел 165
схема исследования функции 49
Тангенс 16 тангенсоида 19 теорема
— Вейерштрасса 150
— об обратной функции 239
— о корне 62
— Ферма 143 точка максимума 43
— минимума 42
— экстремума 44
Уравнение дифференциальное
— гармонического колебания 255
— показательного роста (убывания) 252
— иррациональное 206
— показательное 221
— касательной к графику функции 127 ускорение 134
Фокус параболы 137 формула
— Лагранжа 129
— объема тела 188
— Ньютона-Лейбница 185
— площади криволинейной трапеции 180
— Тэйлора 159 формулы приведения 7 Функция
— возрастающая 39
— дифференцируемая 103
— дробно-рациональная 21
— логарифмическая 229
— непрерывная в точке 106
— непрерывная на промежутке 121
— нечетная 30
— обратимая 237
— обратная 237
— периодическая 32
— показательная 218
— сложная 116
— степенная 248
— убывающая 39
— целая рациональная 21
— четная 30
— числовая 20
функции взаимно обратные 238 Целая часть числа 165
центр масс 191
Число действительное 162
— иррациональное 162
— натуральное 162
— рациональное 162
— целое 162 число е 241
Экстремум функции 44
|
