Элементы алгебры и анализа

      ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
      Предлагаемая книга "Элементы алгебры и анализа" значительно разнится от моей "Элементарной алгебры", переизданной в переработанном виде в 1923 году.
      Различие это троякого рода:
      во-первых, весь материал заново переработан с целью, главным образом, его упрощения и лучшего распределения;
      во-вторых, настоящая книга содержит в себе элементы анализа бесконечно-малых, с его применениями к вопросам элементарной геометрии и начальной механики, и краткие сведения по аналитической геометрии, без которых элементарный курс математики был бы неполным;
      в-третьих, в конце книги помещены некоторые дополнения к обычному курсу алгебры, напр. теория соединений, бином Ньютона, однозначность первых четырех алгебраических действий и другие.
      Укажу сначала главнейшие изменения первого рода, причем буду держаться той последовательности, в какой материал распределен в предлагаемой книге.
      Изложение относительных чисел по возможности упрощено и поставлено раньше понятия об уравнении, чтобы при решении уравнений иметь возможность не стесняться невозможностью вычитания.
      Изложение так называемых "алгебраических действий" (тождественных преобразований) проведено теперь более индуктивным путем, чем прежде, и местами сокращено.
      Глава "Алгебраические дроби" значительно упрощена (напр. § 77 — основное свойство дроби, § 83 — умножение дробей, и др).
      Равным образом упрощено изложение отношений и пропорций; все оно ведется теперь ближе к арифметическим понятиям.
      Б главе этой сделано небольшое добавление 6 Производных пропорциях (§ 98), с которыми приходится иметь дело в геометрии, а также указано геометрическое применение свойства равных отношений (к установлению пропорциональности между периметрами и сходственными сторонами подобных многоугольников).
      В §§ 103 и 105 выражение формулой пропорциональности (прямой и обратной) сделано более конкретно, чем прежде.
      Подробнее изложено о графике двучлена первой степени и о графическом решении уравнения.
      Обстоятельнее развито понятие о равносильности уравнений, получаемых из данного уравнения посредством прибавления к его частям одного и того же числа или посредством умножения частей на одно и то же число (§§ 120 — 124).
      Добавлено графическое истолкование некоторых случаев решения уравнения ах=b {§ 133). Добавлен параграф (134) о буквенных уравнениях.
      С целью лучшего уяснения процесса извлечения корня предварительно указано сокращенное возвышение в квадрат целого числа (§ 157).
      Значительно упрощено объяснение извлечения квадратного корня из чисел. Теперь все изложение ведется чисто арифметическим путем, без посредства уравнения с 2 неизвестным!), как это делалось в моей прежней алгебре, и без предварительного установления свойства числа десятков корня п свойства числа его единиц. Для нахождения приближенных квадратных корней дано более практичное правило (§ 177).
      В конце книги приложены таблицы квадратных корней четырехзначных чисел как целых, так и дробных; объяснение их помещено в тексте книги (§ 178). Таблицы эти взяты мною из известного английского учебника: "Elementary algebra by Godfrey and Siddons (1924 г.). Они значительно сокращают время и труд при вычислениях и служат хорошим пособием при разъяснении некоторых статей алгебры (наир., при построении графика показательной функции у = 10* при помощи частных значений этой функции при х= 1/2, 1/4, 1/8, 1/46 и т.д. (§ 263)
      В главе о приближенных вычислениях, помимо более конкретного изложения, добавлены еще правила сокращенного умножения и сокращенного деления, позволяющие сравнительно быстро находить приближенное произведение и частное с желаемой степенью точности.
      Целая функция 2-й степени и ее графическое изображений рассмотрены в предлагаемой книге значительно подробнее, чем прежде (§§ 220 — 228).
      При изложении свойств функции у=х2, у=х3 и других (показательной, логарифмической и пр.) прежде всего решаются вопросы о возможности функции, об ее однозначности пли многозначности и (до некоторой степени) об ее непрерывности, и только после разрешения этих вопросов указывается построение их графиков по таблице частных значений.
      Вместо обратной функции y=3Nx рассматривается более простая функция y=Nx, на которой впервые для читателя обнаруживается свойство многозначности. При этом наглядно устанавливается соотношение между графиком прямой функции и графиком ей обратной (§ 182); соотношение это в дальнейшем позволяет быстро и легко найти график логарифмической функции по графику показательной и вообще график обратной функции по графику прямой.
      При решении иррациональных уравнений более наглядно, чем прежде, разъясняется причина появления посторонних решений (§ 231).
      Свойства бесконечных прогрессий, а также первое понятие о пределе изложены в этой книге более просто, чем прежде (§§ 250 — 254).
      Сокращено и лишено абстрактности изложение показателей отрицательных и дробных (§§ 256 — 261).
      Добавлена глава о некоторых свойствах степени с рациональными показателями для лучшего усвоения свойств показательной и логарифмической функции (§ 262).
      Для лучшей иллюстрации свойств десятичных логарифмов К графикам функций у=2x и у=(1/2)x (и им обратных) добавлены еще графики функций у=10х и у=log10х (черт. 61 и 62).
      С целью упрощения весь отдел о логарифмах переделан заново.
      Оппсанпе таблпц пятизначных логарифмов заменено описанием таблиц четырехзначных, пользование которыми значительно Проще и которые тем не кенее вполне достаточны для практических целей вычисления.
      В конце книги приложены и самые таблицы четырехзначных логарифмов и антилогарифмов.
      Таким образом, изменения, внесенные теперь в изложение прежнего алгебраического материала, имеют целью главным образом отвлеченность ЗамениЧь конкретностью, Дедуктивньп выводы иллюстрировать индуктивно и тем самым обленить читателю усвоение учебного материала.
      Переходя теперь к тем отделам этой кннги, которые можнс назвать новыми (элементы анализа и аналитической геометрии сравнительно с прежним материалом алгебры, надо прежде всего заметить, что содержание этих отделов (а также и эле ментов алгебры) находится в соответствии с появившимися в 1925 году программами-минимуы единой трудовой школы, изданными Научно-методическим советом Ленинградского губоно.
     
      Статьи эти следующие:
      1. Основные свойства пределов и применение и) к вопросам элементарной геометрии (определение длины окружности, площади круга, боковых поверхностей цилиндра и ко нуса, объемов пирамиды, цилиндра, конуса и шара).
      2. Начальные сведения о производных функ циях и их применение к алгебраическому анализу (признаки возрастания и убывания функций, нахождение maximum и minimum, определение вогнутости и выпуклости кривых, исследованне целых функций 2-й и 3-й степеней и пр.) и к вопросам элементарной механики (нахождение скорости по данному закону пространства и нахождение ускорения по данному закону скорости, с иллюстрацией этих применений примерами свободного падения тел и движения тела, брошенного вертикальн вверх).
      3. Элементарные сведения по аналитической геометрии (уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы) с указанием главнейших свойств кривых 2-го порядка.
      4. Понятие о первообразной функции и ее при менения в геометрии (нахождение объемов пирамиды, конуса шарового сегмента) и в механике (нахождение пространства по данной скорости и скорости по данному ускорению).
     
      Изложение всех этих статей я стремился выполнить возмоя но конкретнее и нагляднее, при посредстве большого количеств чертежей (число их в книге равно 119). При этом пособиями мл между прочим, служили:
      О. Godfrey and A. W. Siddons. Elementary algebra (I924)
      W. E. Patersoa. School algebra (1924).
      S. Bernard and J. M. Child. A new algebra.
      Charles Davison. Highor algebra for colleges.
      Dr. Josef Jacob. Arithmetik (1921).
      Prof. Dr. G. Ulrich. Ausfiihrlisckes Lehrbuch fiir den Selbst-uuterricht (1922).
      Prof. Dr. Chr. Schmehl. Die Algebra und algebraische Analysis.
      Behrendsen-Gdtting. Lehrbuch der Mathematik nach modernen Gnindsatzen.
      Richard Sappantscbisch. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.
      И другие.
      В приложении я поместил еще краткое изложение теории соединении и бинома Нью тона и некоторые другие дополнительные статьи, полезные для тех лиц, которые желают углубить и расширить свои сведения по элементарной математике.
      Впоследствии я намерен дополнить мои "Элементы" еще и систематически подобранными упражнениями и задачами.
     
      ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
      Пятое издание подразделено на 2 части. К первой части внесены "Элементы алгебры" с приложением четырехзначных таблиц квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов; со второй — "Элементы анализа" вместе с некоторыми дополнительными статьями по алгебре.
      Сверх того в пятом издании книги введены следующие изменения и дополнения:
      1. Сделаны многочисленные исправления и улучшения; напр., Ь § 109 (часть первая) добавлено (мелким шрифтом) обобщение и уточнение доказательства того, что график прямой пропорциональной зависимости есть прямая линия; в § 320 (часть 2-я) глучшено разъяснение недостаточности определения касательной, как такой прямой, которая с кривою имеет только одну бщую точку, н многие другие.
      2. Решение неравенства второй степени (с одним неизвестным), помещавшееся в предыдущих изданиях в "добавлениях" в конце книги), перенесено теперь в главу о трехчлене второй тепени (часть l-я, § 228,2), где оно является более уместным.
      3. Равным образом, "Соединения® и "Бином Ньютона", помещавшиеся в "добавлениях", отнесены теперь к "Элементам алгебры" и помещены в конце первой части.
      4. Совершенно переработано доказательство свойства касательной (что она «сть биссектриса угла, образованного ) к эллипсу, к гиперболе и к параболе (часть вторая, 360. 363 и 369). В настоящем издании это доказательство исходна непосредственно из сбщего определения касательной как предельного положения секущей, тогда как в предыдущих изданиях доказательство основывалось на неверном допущении, что прямая, имеющая с кривой только одну общую точку, есть касательная к этой кривой.
      5. Из добавлений теперь выпущена имеющая только теоретическое значение глава: Освобождение уравнения от знаков радикала помощью неопределенных коэффициентов". Она заменена теперь более важными для курса алгебры главами: "Общие формулы решения системы двух уравнений первой степени" (часть 2-я, § 396 и след.), "Понятие о комплексных числах" (§ 400 и след.) и другими.
      6. К настоящему изданию изготовлены мною многочисленные упражнения и задачи, расположенные сообразно порядку следования параграфов текста книги. Упражнения к "Элементам алгебры", ввиду ех значительного объема (более 1200 №№) выделены в особую книжку под названием: Упражнения и задачи к "Элементам алгебры". Упражнения же к "Элементам анализа" помещены в конце второй части.