Леопольд Яковлевич Окунев

ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПЕДВУЗОВ


*** 1941 ***

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

ФPAГMEHT КНИГИ (...) Преобразования обладают теми же характерными особенностями, что и подстановки.       Во-первых, применим некоторое преобразование S к элементу а. Пусть 5 отображает а на Ь. Затем получившийся элемент b подвергнем преобразованию Т. Пусть Т отображает b на с. Тогда элемент а при совместном действии преобразований 5, Т перейдет в с. Соответствие, при котором а переходит в с, есть, очевидно, тоже преобразование. Мы это преобразование будем называть произведением преобразований 5, Г и обозначать через ST.       Во-вторых, рассмотрим преобразование Е, переводящее каждый элемент множества М в самого себя (отображение а на а). Это — аналог тождественной подстановки, и мы преобразование Е будем также называть тождественным.       В-третьих, пусть 5 некоторое преобразование. Пусть 5 отображает элемент а на Ь. Преобразование, отображающее b обратно в а мы обозначим через S~x. Очевидно, что S~l есть аналог обратной подстановки. Мы S1 назовем обратным относительно 5 преобразованием.       Наконец, дословно так же, как это было сделано выше для подстановок, можно показать, что произведение преобразований подчиняется ассоциативному закону.       § 2. Понятие группы. Рассмотренные в предыдущем параграфе примеры приводят нас к одному из важнейших понятий современной алгебры — к понятию группы. Какими свойствами обладает, например, операция умножения подстановок? Она обладает следующими характерными свойствами:       1) множество всех подстановок п чисел замкнуто относительно операции умножения подстановок;       2) операция умножения подстановок подчиняется сочетательному (ассоциативному) закону: Si(SiS) — (S1S) Sz;       3) существует такая подстановка , называемая единичной, что SI—S для любой подстановки 5 из п чисел;       4) для всякой подстановки S из п чисел существует обратная подстановка S"1, для которой SS~X = I.       Если обратиться к совокупности всех невырождающихся матриц п-го порядка, то мы для умножения матриц будем иметь те же четыре свойства.       Вообще, пусть — некоторое конечное или бесконечное множество элементов а, Ь, с.. Кроме того, пусть дано правило, по которому из каждых двух элементов       Нетрудно убедиться, что по отношению к арифметическому умнбже-нию это множество корней образует группу и притом абелеву. Первое требование — замкнутость относительно умножения, очевидно: eisy = e., где г—остаток от деления суммы + на п. Столь же очевидно и второе требование — поскольку ассоциативный закон умножения для чисел справедлив, он, в частности, должен выполняться для корней ek. Затем роль элемента е здесь играет е0 = 1; таким образом удовлетворяется и третье требование. Остается проверить четвертое требование. Пусть ц — какой-нибудь корень я-й степени из единицы. Выясним, существует ли в данном множестве для обратный элемент е-1. Произведение евя_ = = е0=1. Значит, е1:=еЛ_?. Итак, данное множество есть группа. Мало того, оно образует группу абелеву, так как умножение чисел коммутативно.       Следующий пример связан с понятием кватерниона. Нам придется, прежде чем переходить к примеру 5, познакомиться с этим понятием.       Установим в пространстве некоторую прямоугольную систему координат OXYZ, выберем вектор 7, выходящий из начала О и через начало координат перпендикулярно этому вектору проведем плоскость А. Множество векторов, лежащих на этой плоскости и выходящих из начала координат, можно различными способами отображать на себя. Мы знаем, что все такие отображения образуют группу. Рассмотрим только часть этих отображений — именно те, которые состоят в повороте на некоторый угол вокруг оси 7 и одновременном умножении на какое-либо скалярное число всех векторов плоскости А. Само собой разумеется, что повороты, отличающиеся друг от друга на кратное 2тс, мы будем считать одинаковыми, так как они вызывают одно и то же взаимно однозначное отображение множества векторов плоскости А на самого себя. Эти отображения носят название кватернионов, связанных с плоскостью А ). Если кватернион состоцт только в умножении векторов на скалярное число т, то он называется скалярным и обозначается просто числом т. Все скалярные кватернионы, выражающиеся одним и тем ‘же числом, считаются равными независимо от плоскости, в которой они действуют.       Пусть а, а два кватерниона одной и той же плоскости А. Тогда произведение этих преобразований аа, очевидно, будет снова кватернионом плоскости А. Совершенно другое получится, если взять кватернионы а и р, принадлежащие разным плоскостям А, В. Действительно, если мы захотим произвести последовательно преобразования ар над некоторым вектором с, то для выполнимости этого окажется нужным, чтобы вектор 7 лежал в плоскости А и чтобы кватернион а переводил 7 в вектор 7а, лежащий в плоскости В. Так как Га лежит также в плоскости А, то он должен лежать на линии пересечения плоскостей А, В. Отсюда следует, что вектор 7 должен лежать на некоторой определенной прямой t плоскости А. Значит, преобразование ар, вообще говоря, не будет кватернионом, так как оно определено только для векторов некоторой прямой, а не плоскости. Тем не менее произведение ар обычно отождествляют с тем кватернионом ?, который на все векторы прямой t оказывает то же действие, что и последовательное выполнение кватернионов а, р. Легко убедиться, что такой кватернион всегда найдется и будет единственным, а также, что так определенное умножение будет ассоциативным. Теперь мы можем перейти к примеру.             ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ       Абелево оле (уравнение) 166       внешний 40, 41 Аддитивная группа. 10 Алгебраический элемент 139 Алгебраическое число 139 Ассоциативный закон 10 Ассоциативная алгебра       Базис идеала 105       Взаимно однозначное отображение 8 Гауссовы числа 85 Гиперкомплексная единица 88 Гиперкомплексная система 89 Главный идеал 105 Гомоморфизм 44, 91-т-92 Группа 10 Группа Галуа 161 Группа подстановок 23       Делитель единицы 113 Делитель нуля 80 Дистрибутивный закон 75 Длина нормального ряда 55       Единица 10, 78 Единичная группа 23 Единичный идеал 104       Жордана-Гольдера теорема 49       Знакопеременная группа 61       Идеал 104 Изоморфизм 39, 92 Изоморфизм композиционных рядов 49 Импримитивная группа 69 Инвариантная подгруппа 31 Индекс подгруппы 30 Интранэитивная группа 66       Кватернионы 90—91 Класс по модулю 106 Класс сопряженных элементов 195 Кольцо 75       Кольцо главных идеалов 111—112 Кольцо классов 109 Кольцо многочленов 125 Кольцо с единицей 78 Коммутант 37       Коммутативное кольцо 75 Комплекс 26       Композиционный ряд 48 Конечная группа 15       Максимальный нормальный делитель 48 Мультипликативная группа 10-11       Неизвестное 125—126» Неприводимый радикал 173 Неразложимый элемент 114 Нормализатор 195 Нормальное поле 159 Нормальный делитель 31 Нормальный ряд 48 Нулевой идеал 104 Нулевое подкольцо 103 Нуль И, 76       Область целости 96 Образ 8       Обратный элемент 10, 78 Основная теорема теории Галуа 163—167 Отображение (однозначное) 8       Подгруппа 23       Подгруппа сопряженная 40 Подкольцо 102—103 Подполе 116 Подстановка 5 Поле 81       Поле Галуа 159 Поле разложения 146 Порядок группы 15 Порядок элемента группы 25       Представитель смежной системы 28 Преобразование 8—9 Примитивная группа 69 Примитивный элемент 155 Присоединение 134 Продолжение изоморфизма 149       Простая группа 51 Простейшая группа 26 Простое поле 116 Простое алгебраическое расширение поля 141 Простое расширение поля 136       Простое трансцендентное расширение поля 140 Простота знакопеременной группы 64       Противоположный элемевх" И, 76       Радикал 173 Разрешимая группа 54 Расширение поля 133 Резольвента Лагранжа 180       Свойства рефлективности симметрии и транзитивности 97 Симметрическая группа 10 Системы импримитивности-69       Системы транзитивности 74 Смежная система 27—28 Сопряженные расширения.       148—149 Сопряженные элементы груп- -пы 40       Сопряженные элементы расширения 149 Сравнение 106 Степень алгебраического элемента (расширения) 141       Степень элемента 19—20       Теорема Лагранжа ЗЭ Теорема о гомоморфизме-групп 46, колец 110 Теорема о примитивном элементе 155 Теорема Руффини—Абеля 190       Транзитивная группа 66 Транспозиция 59 Трансцендентный элемент 137       Уравнение деления окружности 201 Факторгруппа 36 4       Характеристика поля 122       Целочисленное кратное 22 Центр группы 195 Цикл 56       Циклическая группа 25 Циклическое поле 166       Четверная группа 65 Члены нормального ряда       Эквивалентные расширения.. 147