Решение арифметических задач
в начальной школе

DjVu

      1. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С РЕШЕНИЕМ ЗАДАЧ
      Основная задача преподазания арифметики в начальной школе заключается в том, чтобы научить учащихся:
      1) правильно, быстро и сознательно производить устно и письменно вычисления с отвлечёнными и именованными числами в объёме установленной программы;
      2) самостоятельно решать задачи примерно в пределах тех трудностей, какие указаны в программе и в сборниках арифметических задач для начальной школы.
      Задачи в начальной школе имеют значение и как средство для выяснения и усвоения основных математических понятий и как материал для развития математического мышления учащихся, уменья рассуждать, логически обосновывать свои Суждения, применять вычислительные навыки к решению практических вопросов. Решение задач должно пронизывать весь курс математики, причём эта работа должна ставиться так, чтобы она требовала от учащихся размышления, сообразительности.
      Если школа сравнительно удовлетворительно справляется с обучением счёту и вычислениям, то в области решения арифметических задач школа в своей массе находится пока на невысоком уровне.
      Это подтверждается проверочными работами, которые в разное время проводились Министерством просвещения. Об этом говорят отзывы преподавателей математики средней школы, наконец, на это же указывают и сами преподаватели начальной школы.
      Школа сравнительно мало уделяет внимания решению задач, отводя львиную долю учебного времени на усвоение техники вычислений.
      Умение решать задачи, как уже было сказано, имеет огромное образовательное и воспитательное значение.
      ) Под начальной школой здесь имеются в виду и младшие классы средней и неполной средней школы.
      В арифметической задаче Есегда имеется налицо то или иное конкретное жизненное содержание, тесная функциональная связь между величинами, включёнными в задачу. Выявление функциональной зависимости между данными задачи, выражение их через те или иные арифметические действия, получение новых данных, использование их для установления новых связей с данными задачи — всё это требует от учащихся большой и интересной мыслительной работы.
      Более отчётливо можно себе представить разницу между числовым примером и задачей, если взять конкретные примеры.
      Пусть мы имеем числовой пример
      675:15 + 35 — 58
      и арифметическую задачу:
      «Пассажирский поезд прошёл за 17 час. 850 км, а товарный за 19 час. прошёл 798 км. На сколько километров в час быстрее шёл пассажирский псезд?»
      В первом примере учащемуся даны числовые данные и в то же время показано, какие действия и в каком порядке следует выполнить над этими числовыми данными.
      В задаче также имеются числовые данные, но какие действия следует произвести, над какими числовыми данными, в каком порядке, как использовать вновь полученные данные, в каком случае следует считать решение задачи законченным, иными словами, какое число даёт ответ на поставленный в задаче вопрос, — всё это предоставляется преодолеть самим учащимся или с помощью учителя, или вполне самостоятельно.
      От учащегося требуется, чтобы он прежде всего понимал жизненное содержание задачи. В данном случае нужно понимать: что значит движение поезда, его скорость, затраченное время, пройденное расстояние. Надо знать, какая зависимость существует между величинами: скорость, время и пройденное расстояние; как, зная время и пройденное расстояние, найти скорость поезда; как найти разницу между двумя различными скоростями. Наконец, учащийся должен уметь производить вычисления над числами, данными в задаче, и теми числами, которые получаются в результате тех или иных действий.
      Всё это, конечно, потребует от учащихся значительно больших усилий, чем при решении числового примера, где нужно только умение производить уже указанные арифметические действия над числовыми данными.
      Естественно, что большинство учащихся в школе с решением числовых примеров справляется значительно быстрее и успешнее, чем с решением задач.
      Интересные результаты получились в школе им. Горького (Москва), когда было подвергнуто проверке и сравнению, насколько быстро справляются различные учащиеся одного и того же класса с решением примеров и с решением задач.
      Картина получилась такая: в то время, как при решении числовых примеров не получилось особенно большой разницы в отношении затраты времени у лучших и слабых учащихся, при решении же задач разница в затрате времени получилась огромная.
      Вот некоторые показатели, полученные в IV классе школы.
      Учащиеся получили задание выполнить на уроке ряд упражнений на все четыре действия с отвлечёнными числами.
      За 2,5 мин. закончили работу 6 человек, т. е. (...)
      Таким образом, основная масса 96,7°/0 учащихся (29 из 30) выполнила работу в 25 — 31 мин. Расхождение всего на 6 мин. И только один ученик затратил на работу 40 мин.; при этом затрата времени у него только в 1,6 раза превышает затрату времени лучшего учащегося (40:25= 1,6).
      Совсем иная картина получилась при сравнении затраты времени учащимися на решение задач.
      В том же IV классе было предложено решить четыре задачи, причём была обеспечена самостоятельность работы и текст задач был напечатан отдельно для каждого учащегося. Необходимо было только поставить номер задачи и записать решение без записи плана. Та-
      ким образом, подверглось учёту время, какое затрачивает учащийся на усвоение условия и самое решение задачи, без записи её условия и плана решения.
      Данные получились следующие: (...)
      Как видно из таблицы, колебания в затрате времени здесь несравненно более значительны, чем при решении числовых примеров.
      Наименьшее время и наибольшее время здесь колеблется от 5 до 25 мин., одни учащиеся затрачивают времени в 5 раз больше других, причём показатели разбросаны по всему промежутку времени и особенно резко бросаются в глаза индивидуальные особенности учащихся.
      В то время как при решении примеров разница в диапазоне времени 96,7°/0 учащихся (29 и 30 учащихся) колеблется в пределах всего лишь 6 мин. (31 мин. — 25 мин.), разница в диапазоне времени у различных учащихся при решении задач колеблется в пределе 20 мин. (25 мин. — 5 мин.).
      В некоторых классах расхождение во времени, которое было затрачено учащимися на решение одних и тех же задач, было ещё более значительным (от 4 до 35 мин.), при решении же примеров такого резкого расхождения не наблюдалось.
      Всё это говорит о том, что решение задач для учащихся является делом значительно более сложным, чем решение числовых примеров, и не все учащиеся с одинаковой успешностью справляются с этой работой.
      Это и понятно, потому что здесь ученики встречаются с целым рядом трудностей и многие учащиеся
      нуждаются здесь в помощи, в особом подходе, в дополнительных мероприятиях и разъяснениях кцк по самому содержанию задачи, так и по вскрытию зависимостей между данными и искомыми задачи.
      В этой сложной работе особенно важное значение для учащихся имеет последовательность в расположении задач по степени трудности, полное понимание тех простейших элементов, из которых состоит задача, подбор целого ряда разнообразных подготовительных упражнений, помогающих освоению сложного процесса, каким является решение задачи.
      Имеет большое значение и ясность самого содержания условия задачи, подбор иллюстраций, когда это нужно для чёткого понимания условия, продуманность в постановке вопросов, применение наиболее рациональных приёмов, связанных с решением задач, и т. д.
      Иными словами, особенно важное значение, как и во всякой работе, будет иметь здесь прежде всего последовательность в преодолении трудностей, система,-которая должна быть строго соблюдена при правильной постановке работы по решению задач.
     
      2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ
      Говоря о системе в расположении задач, прежде всего следует остановиться на выяснении понятий «простые» и «составные» (сложные) задачи. Простой задачей в арифметике принято считать задачу, для решения которой нужно произвести только одно арифметическое действие. Например: «Путешественник прошёл в первый день 25 км, а во второй 17 км. Сколько километров прошёл путешественник за два дня?» Или: «Перо стоит 3 коп. Сколько стоят 5 перьев?»
      В первой задаче 25 км и 17 км являются данными задачи, а путь, пройденный за два дня, является искомым числом. Во второй задаче данными являются 3 коп. и 5 перьев, а искомым числом будет стоимость 5 перьев.
      Первая задача решается одним действием сложения: (...)
      Составными задачами в арифметике принято считать задачи, для решения которых нужно произвести два или больше действий. Например: «Пенал стоит 30 коп., а книга на 20 коп. дороже. Сколько стоят книга и пенал вместе?» Для решения этой задачи уже необходимо выполнить два действия. Она состоит из двух простых задач. Первая простая задача: «Пенал стоит 30 коп., а книга на 20 коп. дороже. Сколько стоит книга?» Решение первой простой задачи: 30 коп. -j-20 коп. = 50 коп. Вторая простая задача: «Пенал стоит 30 коп., а книга 50 коп. Сколько стоят книга и пенал вместе?» Решение этой задачи: 30 коп. -f-50 коп. = 80 коп. Только решив первую простую задачу, мы получаем данные для решения второй простой задачи. Решив вторую простую задачу, мы ответили и на вопрос всей составной задачи.
      Иногда задачи решаются тремя, четырьмя, пятью и более действиями, т. е. такая составная задача распадается на три, четыре, пять и т. д. простых задач. Последовательно решая эти простые задачи, мы в конце концов отвечаем на вопрос данной составной задачи.
      Таким образом, всякая составная задача может быть решена лишь при том условии, если учащийся умеет сознательно решать простые задачи. Следовательно, прежде чем приступать к решению составных задач, следует предварительно научить учащихся решению простых задач. К рассмотрению их мы и перейдём.
     
      3. ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ
      Когда и как следует приступать к решению простых задач
      Решение простых задач следует начать одновременно с первых шагов обучения учащихся производству арифметических действий над числами сначала первого, а затем второго десятка.
      Покажем это на некоторых конкретных примерах. Положим, учащиеся изучают какой-нибудь раздел табличного сложения, например присчитывание двух:
      1 + 2 =
      2 + 2 =
      3 + 2 =
      4 + 2 =
      И т. д.
      Какой первый этап в изучении этого раздела? Учитель откладывает на полочке классной доски, положим, 3 кубика (или 3 шарика на классных счётах) и к ним прибавляет ещё 2 кубика (или на счётах придвигает к 3 шарикам 2 шарика).
      Учитель: Сколько было у меня кубикоз сначала?
      Ученик: Было сначала 3 кубика.
      Учитель: Сколько теперь стало кубиков?
      Ученик: Стало 5 кубиков.
      Учитель: Как мы получили 5 кубиков?
      Ученик: КЗ кубикам прибавили 2 кубика и стало 5 кубиков.
      То же самое учащиеся делают у себя на столах, используя имеющийся под руками дидактический материал (кубики, палочки) или зарисовывая в тетрадях кружочки, крестики:
      ООО ОО XXX XX
      На этих примерах, оперируя с определёнными предметами или изображениями предметов, учащиеся получают первое представление о действии сложения, усваивают приём сложения и запоминают полученный результат, связывая его с данными слагаемыми.
      Второй этап. После непосредственного оперирования с предметами (или с их рисунками), которые ученик видит и осязает, учитель переходит к задачам, где самих предметов перед глазами уже нет, а ученик должен себе их представить, вообразить.
      Например, учитель предлагает такую задачу: «Ваня сорвал с одной грядки 3 морковки и с другой ещё 2 морковки. Сколько всего морковок сорвал Ваня?» Или: «Петя поймал сначала 3 рыбки, а потом ещё 2. Сколько всего рыбок поймал Петя?» и т. д.
      Учащиеся решают предложенные задачи на сложение с теми же числовыми данными.
      Третий этап. Учитель спрашивает: «Сколько будет, если к 3 прибавить 2?» Иными словами, учащиеся переходят к отвлечённому счёту, где они уже оперируют с понятиями. Конкретное уже отступает на второй план, получается совершенно абстрактная операция над абстрактными числами.
      Таким же образом идёт изучение других случаев сложения, вычитания, умножения, деления, и каждый раз
      учащийся начинает изучение вопроса с непосредственного опыта над видимыми и осязаемыми предметами или их изображениями и затем переходит к решению задач, где говорится о конкретных предметах и, наконец, к отвлечённому счёту.
      В связи с такими, насколько возможно ясными и простыми приёмами учащиеся получают первое понятие об арифметических действиях: сложении, вычитании умножении и делении, и научаются применять их к решению простых задач.
      В некоторых школах для первоначального выяснения понятий арифметических действий прибегают к красочным плакатам. Например, перед учащимися на классной доске вывешивается плакат с изображением луга или леса (размеры примерно 100 смуЪ0 см в зависимости от размеров класса и количества учащихся).
      На плакате сделаны прорезы, в которые можно вставить изображения птиц, грибов и т. д. (рис. 1).
      Учитель читает: «Под одним деревом было 4 гриба (при этом вставляет в прорезы изображения грибов), а под другим деревом было 3 гриба (вставляет изображения 3 грибов). Сколько было грибов всего?»
      Или: «На дереве сидело 6 птиц (вставляет в прорезы 6 изображений птиц), 2 птицы улетели (вынимает 2 изображения). Сколько птиц осталось на дереве?»
      Такие пособия производят впечатление в первые дни пребывания учащихся в школе, когда изучается первый десяток, когда дети ещё нуждаются в особых приёмах для привлечения внимания. При изучении же действий в пределе 20, а тем более 100, пособия, подобные указанному, будут уже громоздкими, ненужными. Отнимая много времени у учителя на самое изготовление, они лишают его возможности заняться более ценной работой, а кроме того числа, превышающие десяток, уже не так легко обозримы, поэтому и самое пособие теряет свою педагогическую ценность.
      Изучение действий в пределе 10, а затем в пределе второго десятка, сопровождаемое решением задач, даёт учащимся первое понимание смысла арифметических действий, однако здесь ещё не охватываются полностью все случаи применения четырёх арифметических действий, в которых отражалось бы всё разнообразие человеческой практики. Независимо от изучения арифметических действий простые задачи требуют самостоятельной работы с ними в определённой системе.
      Рассмотрим, в какие формы могут выливаться простые задачи по отдельным арифметическим действиям. Разберём их в отдельности.
      Сложение
      Предположим, мы производим сложение двух чисел: 12 + 8 =
      Если мы в практике школы ограничимся только решением числовых примеров, то нам не удастся полностью вскрыть содержание этого действия. Вскроем мы это содержание только тогда, когда решим соответственно подобранные задачи.
      Например: «В одном куске было 12 м материи, а в другом 8 м. Сколько всего метров материи в 2 кусках?» Здесь мы находим сумму двух чисел 12 ж+ 8 м = 20м. Возьмём другую задачу: «В одном куске 12 м материи, а в другом на 8 м больше. Сколько метров будет во втором куске?» Здесь мы одно число увеличиваем на 8 единиц. Таким образом, в сложении имеется две разновид-
      ности задач: нахождение суммы и увеличение на несколько единиц. Э ш задачи не одинаковы по своему содержанию, их надо разделять и изучать с учащимися по-особому. Это обстоятельство нашло отражение и в программе: сначала в ней даны задачи на нахождение суммы и затем особо выделены задачи на увеличение на несколько единиц.
      Вычитание
      Вычитание исторически возникло значительно более разнообразными путями, чем сложение: оно возникло и независимо от сложения и как действие, обратное сложению. Отсюда сложнее и его логическая сторона.
      Какие мы имеем здесь разновидности?
      Предположим, нам нужно выполнить такое действие:
      20 — 3 =
      Для того чтобы вскрыть содержание вычитания, нам нужно решить несколько задач. Например: «Было
      20 тетрадей, 3 тетради израсходовали; сколько осталось?» Это нахождение остатка, наиболее простой случай:
      20 тетрадей — 3 тетради = 17 тетрадей.
      Вторая задача: «В одном шкафу имеется 20 тетрадей, а в другом на 3 тетради меньше. Сколько тетрадей во втором шкафу?»
      В этом случае конкретное содержание будет уже совершенно другое. Мы находим здесь не просто остаток, а уменьшаем число на несколько единиц.
      Третья задача: «В одном шкафу 20 тетрадей, а в другом только 3. На сколько тетрадей в первом шкафу больше, чем во втором?» Здесь мы находим разницу, здесь налицо разностное сравнение.
      Все три указанные задачи решаются одним и тем же действием, но конкретно содержание этих задач различно и требует иного подхода к их решению. В первом случае мы находим остаток, во втором — число уменьшаем на несколько единиц и в третьем — разностно сравниваем.
      Задачи эти различной трудности. Нужно их давать в известной последовательности, начать с задач на нахождение остатка, затем дать задачи на уменьшение на несколько единиц, а задачи на разностное сравнение целесообразнее вводить несколько позднее.
      Умножение
      Умножение есть по существу то же сложение, только слагаемые здесь одинаковые. Содержание умножения поэтому близко подходит к содержанию сложения.
      Предположим, нам нужно
      5X3 =
      Какое содержание мы сюда можем вложить?
      Можем взять такую задачу: «С 3 грядок я сорвал по 5 огурцов. Сколько я всего сорвал огурцов?» В этом случае мы находим сумму трёх одинаковых слагаемых (она здесь называется произведением).
      5 огурцов X 3 = 15 огурцов.
      Мы можем построить задачу и таким образом: «С одной грядки я сорвал 5 огурцов, а с другой — в 3 раза больше. Сколько огурцов я снял со второй грядки?» Здесь уже другое содержание: увеличение в несколько раз.
      Следовательно, умножение употребляется в двух случаях:
      1) при нахождении суммы нескольких равных слагаемых, которая здесь называется произведением, и
      2) при увеличении числа в несколько раз. Эти задачи решаются в том и другом случае совершенно одинаково: 5 огурцовХЗ = 15 огурцов, но по смыслу они различны;
      Деление
      Деление — наиболее сложное арифметическое действие, потому что и историческое происхождение его сложнее остальных действий. Ведь деление могло возникнуть совершенно самостоятельно. Так оно, несомненно, и было. Нужно было, например, респределить те или иные предметы питания, те или иные орудия; и весьма воз-й ожно, что деление развивалось совершенно самостоятельно, независимо от других действий. Могло возникнуть оно и как дальнейший этап в развитии вычитания. Например: сколько раз можно отнять от 20 по 4. 20 — 4 — 4 — 4 — 4 — 4 = 0 (деление по содержанию). Деление развивалось и как действие, обратное умножению.
      Таким образом, по своему происхождению деление возникло различными путями: и самостоятельно и как дальнейший этап в развитии вычитания и умножения. Отсюда сложнее и его логическая сторона. Поясним это конкретными примерами.
      Пусть мы имеем числовой пример:
      20:4 =
      Мы и здесь не вскроем, конечно, жизненного содержания этого действия, пока не решим ряд конкретных задач. Положим, 20 тетрадей нужно раздать поровну 4 ученикам. Сколько тетрадей получит каждый? Это (20 тетрадей:4 = 5 тетрадей) — деление на равные части.
      Решим вторую задачу: «Один мальчик купил 20 тетрадей, а другой — в 4 раза меньше. Сколько тетрадей купил второй мальчик?»
      20 тетрадей; 4 = 5 тетрадей.
      Здесь мы имеем уменьшение в несколько раз.
      Третья задача — деление по содержанию, деление-измерение: «20 тетрадей учитель роздал учащимся и дал каждому по 4 тетради. Сколько учеников получили эти тетради?» Здесь 20 нужно разделить не на 4, а по 4; 20 тетрадей:4 тетради = 5; 5 учеников получили тетради.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА