С. М. Никольский
М. К. Потапов
Н. Е Решетников
А. В. Шевкин

Арифметика

Для преподавателей математики

*** 1988 ***

 

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

Школьный арифметический материал излагается в книге систематически, поэтому последовательность изложения отличается от принятой в известных учебниках по математике для 5—6 классов. Приведены основные упражнения и задачи. Для преподавателей математики и самообразования. Доступна школьникам 5—6 классов. ФPAГMEHT КНИГИ (...) Впервые отрицательные числа встречаются в одной из книг древнекитайского трактата «Математика в девяти главах» (Джан Цань — I век до нашей эры). Отрицательное число понималось как долг, а положительное — как имущество. Сложение и вычитание отрицательных чисел производились на основе рассуждений о долге. Например, правило сложения формулировалось так: «Если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получится долг, а не имущество». Знака минус тогда не было, а чтобы отличать положительные и отрицательные числа, Джан Дань писал их разными по цвету чернилами.       Идея отрицательных чисел с трудом завоевывала себе место в математике. Эти числа казались математикам древности непонятными и даже ложными, действия с ними— неясными и не имеющими реального смысла.       В VI—VII веках нашей эры индийские математики уже систематически пользовались отрицательными числами, по-прежнему понимая их как долг. Впервые все четыре арифметических действия с отрицательными числами приведены индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598—660 гг.). Например, правило деления он формулировал так: «Положительное, деленное на положительное, или отрицательное, деленное на отрицательное, становится положительным. Но положительное, деленное на отрицательное, и отрицательное, деленное на положительное, остается отрицательным».       Независимо от индийцев к пониманию отрицательных чисел как противоположности положительных пришел итальянский математик Леонардо Фибоначчи Пизанский (XIII в.). Но понадобилось еще около 400 лет, прежде чем «абсурдные» (бессмысленные) отрицательные числа получили полное признание математиков, а отрицательные решения в задачах перестали отбрасываться как невозможные.       В 1544 году немецкий математик М. Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. «меньшие, чем ничто»). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому.       Современное истолкование отрицательных чисел, основанное на откладывании единичных отрезков на числовой оси влево от нуля, было дано в XVII веке, в основном в работах голландского математика Жирара (1595—1634 гг.) и знаменитого французского математика и философа Р. Декарта (1596—1650 гг.).       Для того чтобы разработать этот понятный и естественный сейчас для нас подход, понадобились усилия многих ученых на протяжении восемнадцати веков от Джан Цаня до Декарта.       ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ III       1. Назовите несколько целых положительных чисел. Как еще называют эти числа?       2. Назовите несколько целых отрицательных чисел.       3. Является ли нуль целым числом; положительным числом; отрицательным числом?       4. Какие числа называются противоположными? Приведите примеры.       б. Сформулируйте правило знаков и примените это правило к числам +(+1), +(—2), —(+3), —(—4).       6. Назовите такое значение а, при котором число — а является положительным; отрицательным числом; нулем.       7. Что называется модулем числа?       8. Сформулируйте правила сравнения целых чисел.       9. Сформулируйте правила сложения целых чисел.       10. Всегда ли сумма целых чисел больше каждого слагаемого? В каких случаях это верно, в каких — нет? Приведите примеры.       11. Запишите для чисел а, b с переместительный и сочетательный законы, сложения целых чисел.       12. Что называется разностью целых чисел? Чему равна разность целых чисел?       13. Что называется произведением целых чисел?       14. Запишите для целых чисел a, bt с переместительный и сочетательный законы умножения.       15. Запишите для чисел а, Ь, с распределительный закон.       16. Сформулируйте правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс; знак минус.       17. Сформулируйте правила заключения в скобки.       18. Как вычислить расстояние между точками тип координатной оси? Поясните свой ответ примерами.       10. Прямоугольник задан его вершинами: (—2; —2),       (—2; 2), (7; 2), (7; —2). Разрежьте прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.       11. Четырехугольник задан своими вершинами: (—4; 1),       (—2; 5), (7; 5), (5; 1). Разрежьте четырехугольник на две части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.       12. Прямоугольник ABCD задан вершинами: А (—3; 2), В,(—3; 5), С(5; 5), D(5; 2). Как разрезать прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было сложить треугольник? Найдите два способа решения задачи.       13. Старинная задача (Китай). В клетке находятся кролики и фазаны. У всех у них 100 ног и 36 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?       14. Старинная задача (Индия). Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий—втрое больше второго, четвертый—вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?             § 99. Исторические сведения       Мы уже знаем, что за несколько тысяч лет до нашей эры натуральными числами пользовались для счета предметов и грубых измерений. Необходимость уточнения измерений привела к открытию дробных чисел.       Еще древние греки рассматривали число как длину отрезка, знали, что такое отрезок рациональной длины. Но, занимаясь геометрией, они обнаружили также отрезки, длины которых не выражаются рациональными числами. Например, длину диагонали квадрата (отрезка, соединяющего две его вершины, не принадлежащие одной стороне) нельзя выразить рациональным числом, если длина стороны квадрата равна 1. Об этом будет подробно рассказано в курсе алгебры средней школы.       Таким образом, при решении математических задач стали появляться иррациональные (нерациональные) числа. Такими, например, являются числа, квадраты которых равны соответственно 2; 3; 17. Такие числа знал, а может быть, впервые их открыл знаменитый греческий ма-       тематик VI века до н. э. Пифагор. Выдающийся итальянский математик Д. Кардано в XVI веке пользовался в своих исследованиях иррациональными числами, кубы которых равны целым числам.       Важную роль в математике играет число, равное отношению длины Окружности к ее диаметру. Обозначение этого числа греческой буквой л (пи) получило широкое распространение после работ Леонарда Эйлера — академика Российской академии наук в XVIII веке. Ученые вычисляли значение л с разной точностью. Так, великий греческий математик и механик Архимед (III в. до н. э.)       доказал, что л больше 3, но меньше       Самаркандский математик Д. аль-Катш (XV в.) выразил приближенное значение числа я шестидесятиричной дробью: я«3°8'29"44'". Только в XVIII веке было доказано, что число я—иррациональное.       Список отдельных иррациональных чисел, которые возникали в исследованиях математиков более раннего времени, можно было бы продолжить, однако к точному определению действительного числа, выражающего длину произвольного отрезка, математики пришли сравнительно недавно — в прошлом столетии.       Это понятие вводится в нашей книге с помощью десятичных дробей. Длина отрезка выражается десятичной дробью, вообще говоря, бесконечной. Обратно, любая десятичная дробь есть длина некоторого отрезка. Длина отрезка тесно связана с понятием координатной оси и системы координат.       Мы знаем, что еще во II — I веках до н. э. китайские ученые использовали отрицательные числа для обозначения противоположных состояний: наличие — долг, приход— расход. Они сформулировали и правила действий с отрицательными числами, но широкое применение отрицательные числа получили лишь после того, как их использовали наряду с положительными числами для 378       обозначения противоположных направлений на прямой. Французский математик и философ Рене Декарт (1596—1659 гг.) первым применил систему координат для решения геометрических задач. В его честь прямоугольную систему координат называют декартовой системой координат.     ПЕРЕПЛЁТНЫЕ РАБОТЫ И РЕМОНТ КНИГИ. ЦВЕТНОЙ ОБРЕЗ Обычно окрашивают лишь верхний обрез: он в основном и пылится и портится от света. Но, конечно, можно окрашивать сразу и два (верхний и боковой) и даже три обреза. Цвет обреза зависит от цвета обложки. Эти цвета должны хорошо сочетаться. Кроме того, желательно, чтобы обрез был несколько светлее обложки. Окрашивают обрезы или масляными, или анилиновыми красками (для хлопчатобумажных тканей). Для окрашивания удобнее всего ватные тампоны (кусок ваты, завязанный в чистой тряпочке). Анилиновая краска разводится в холодной кипяченой воде и после полного растворения процеживается сквозь частую ткань. Масляная краска разводится каким-нибудь разбавителем (о них вы уже знаете). Перед разведением масляной краски хорошо ее немного обезжирить, подержать несколько часов на картоне или нескольких слоях рыхлой бумаги (например, газетной). Избыток масла будет вытянут из краски. И такая краска никогда не промаслит обрез. Окрашивать обрезы нужно очень аккуратно, чтобы не испачкать страницы и форзацы. Проще всего зажать блок книги между двумя картонками одного формата с блоком. При окрашивании книгу плашмя кладут на край стола. Красящий тампон по верхнему и нижнему обрезам ведут от корешка к боковому обрезу. А по боковому обрезу — от верхнего обреза к нижнему. Очень эффектна «радужная» окраска обреза. Для нее берут несколько тампонов. Каждый тампон со своим цветом. Краску наносят, пошлепывая разными тампонами по обрезу. И масляные и анилиновые краски для радужных обрезов одинаково пригодны. А вот для «мраморных» обрезов пригодны лишь масляные краски. «Мраморные» обрезы делают так лее, как и «мрамор- кую» бумагу. Само собой разумеется, что «мраморные» обрезы нужно делать или когда книжный блок еще не вложен в обложку, или когда обложка каким-то образом наделено защищена от плавающей на поверхности воды краски (например, полиэтиленовой пленкой).