|
Книга «Элементарная геометрия», написанная выдающимся французским математиком Адамаром, была опубликована в русском переводе в 1936 г., а в 1967 г. выпущена вторым изданием. Великолепно написанная, она сыграла важную роль в деле повышения культуры целого поколения школьников, студентов, преподавателей. Однако книга эта стала библиографической редкостью, а новое ее издание нецелесообразно: за прошедшие годы (особенно за последние 15 лет) существенно изменились наши взгляды на понимание элементарной геометрии, была усовершенствована программа школьного курса, что нашло свое отражение в учебниках. Достаточно сказать, что в школу вошли векторные методы, кустарные способы вычисления объемов уступили место применению интегрирования, из программы были изъяты некоторые устаревшие или ненужные разделы (скажем, свойства общей меры двух соизмеримых отрезков) и т. д. Поэтому издание современной книги, предназначенной для учителей и содержащей углубленное изложение геометрии, весьма актуально.
Предлагаемая вниманию читателя книга построена на основе вейлевской векторной аксиоматики геометрии, что представляет особый интерес: во-первых, потому, что векторные методы важны и актуальны сейчас как в математике, так и в ее приложениях к физике, химии, экономике и другим областям знаний; во-вторых, потому, что векторная аксиоматика дает наиболее простое, понятное и современное изложение элементарной геометрии; в-третьих, потому, что это расширяет кругозор учителей и методистов, поскольку знакомит их с принципиально иным аксиоматическим построением геометрии, отличным от всех прочих (являющихся модификациями евклидовой аксиоматики).
Особенность предлагаемой книги состоит еще и в том, что она содержит систематическое изложение элементарной теории движений. Это является прогрессивным началом в современном понимании элементарной геометрии, поскольку теория движений (и, вообще, групп геометрических преобразований) чрезвычайно важна сегодня не только для самой геометрии и математики, но и для ее приложений в теории относительности, ядерной физике, кристаллографии, химии и других науках.
Наконец, отметим, что книга знакомит читателя с комплексными числами в геометрической форме, понятием центра масс
и его геометрическими приложениями, элементами линейного программирования, определителями 2-го и 3-го порядков и их приложениями к теории площадей и объемов, некоторыми элементами аналитической геометрии, включая отдельные Проективные свойства. Этот дополнительный материал тщательно отобран автором. Он должен помочь преподавателю удовлетворять любознательность учащихся, повышать их интерес к математике. Этот дополнительный материал составлен с учетом профессиональной ориентации, т. е. так, чтобы помочь преподавателю дать учащимся четкое представление о стиле и методах современной математики, о характере ее технических приложений, о том, что их ждет, если они захотят выбрать в будущем специальность, связанную с инженерной, технической или научной деятельностью. Наконец, материал отобран так, что он охватывает наиболее содержательные и часто применяемые (в математике и ее приложениях) геометрические сведения.
Книга будет интересна и полезна учителям, методистам, руководителям математических кружков, преподавателям пединститутов и студентам-математикам, доступна школьникам старших классов в качестве дополнительного чтения для углубленного ознакомления с геометрией именно в том аспекте, в котором она входит в современную математику и ее приложения. Особо стоит отметить, что книга содержит большое количество адач и контрольных вопросов (около полутора тысяч), которые вставлены таким образом, чтобы способствовать не только усвоению излагаемого материала, но и повышению математи-1еской культуры.
В заключение отметим, что, несмотря на своеобразие век-юрного стиля изложения и наличие дополнительного материала, снига содержит материал, очень близкий к школьному курсу еометрии, способствующий углублению математических знаний I расширению математического кругозора школьного учителя и [иц, интересующихся математикой.
Пользуюсь случаем поблагодарить академика С. П. Новикова, i также Г. Д. Глейзера, В. В. Гороховика, И. К. Жука и рецен-ентов книги, которые своей поддержкой, советами, замечаниями пособствовали появлению этой книги и улучшению ее содер-ания.
В. Г. Болтянский
1. ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЯХ ЕВКЛИДА И ЛОБАЧЕВСКОГО
Первоначальные геометрические сведения, дошедшие до нас, содержатся в египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах, имеющих более чем четырехтысячелетнюю давность. Вначале геометрические факты получались опытным путем. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) относится к VI в. до н. э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса, который впервые применил движения: перегибание чертежа, поворот части фигуры и т. д.
Постепенно геометрия становится дедуктивной наукой, т. е. наукой, в которой подавляющее большинство фактов устанавливается путем вывода, доказательства. Вершиной древнегреческой геометрии была книга «Начала», написанная Евклидом (III в. до н. э.), содержащая свойства параллелограммов и трапеций, подобие многоугольников, теорему Пифагора и т. д. Точка зрения Евклида была примерно следующей. Взяв какую-либо теорему, можно проследить, какие ранее доказанные теоремы были использованы при ее выводе. Для них в свою очередь можно выделить те более простые факты, из которых она выводится, и т. д. В конце концов получается некоторый список простых фактов (аксиом), которые, во-первых, позволяют, идя обратным путем, доказать все теоремы геометрии и которые, во-вторых, настолько просты, что не возникает вопроса о необходимости их вывода.
Евклид не сумел последовательно провести аксиоматическую точку зрения. Его список аксиом был неполным. Многие поколения математиков стремились улучшить евклидову аксиоматику геометрии. Большую роль сыграли работы современника Евклида, древнегреческого ученого Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению геометрических величин.
Наиболее сложной из аксиом Евклида была аксиома параллельности. Многие теоремы (например, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны) выражают более простые факты. Неудивительно, что многие математики пытались доказать, что эта аксиома является лишней, т. е. может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. То, что такого доказательства не существует, было установлено лишь через два тысячелетия после Евклида. Это открытие принадлежит нашему соотечественнику, профессору Казанского университета Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792 — 1856).
Лобачевский сделал допущение, что через точку А, не принадлежащую прямой а, можно провести в плоскости б о-лее одной прямой, не пересекающейся с а (рис. 1). Он начал выводить различные следствия из этого допущения, надеясь, что рано или поздно он придет к противоречию, чем и завершится доказательство. Однако он доказал много десятков теорем, не обнаружив логических противоречий. И тогда Лобачевскому пришла в голову гениальная догадка: заменив аксиому параллельности ее отрицанием и сохранив все остальные аксиомы, мы получаем новую геометрию (Лобачевский назвал ее «воображаемой»).
Все теоремы, доказываемые в евклидовой геометрии без использования аксиомы параллельности, сохраняются и в геометрии Лобачевского, Например, углы при основании равнобедренного треугольника равны ; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр. Теоремы же, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, в геометрии Лобачевского видоизменяются. Например, в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°. В этой геометрии не существует подобных треугольников (не равных между собой): если углы двух треугольников соответственно равны, то в геометрии Лобачевского эти треугольники равны. Две прямые, имеющие в общий перпендикуляр, неограниченно отходят друг от друга (как искривленные линии на рис. 2). Имеется в геометрии Лобачевского и много других удивительных теорем.
Математический мир не воспринял идей Лобачевского. Ученые не были подготовлены к мысли о том, что может существовать геометрия, отличная от евклидовой. Мужественно отстаивая правоту своих идей, Лобачевский опубликовал ряд книг и статей об открытой им геометрии. Он умер в 1856 г., так и не добившись признания своих идей.
Были, однако, два человека, которые придерживались такой же точки зрения, и более того, поделили с Лобачевским заслугу открытия неевклидовой геометрии. Это были венгерский математик Я. Бойяи (1802 — 1860) и «король математики» К. Ф. Гаусс (1777 — 1855). Работа Я. Бойяи, в которой он излагал идеи новой геометрии несколько иначе и не столь полно, вышла на несколько лет позже первой книги Лобачевского. Когда Бойяи узнал о трупах Лобачевского, он изучил русский язык, чтобы их прочитать. Непризнание и мысль, что Лобачевский опередил его в этом открытии, сломили душевные силы Бойяи; жизнь его была недолгой.
То, что Гаусс владел идеями неевклидовой геометрии, было обнаружено лишь после смерти ученого, при изучении его архива. Гениальный Гаусс, к мнениям которого прислушивались все, не рискнул опубликовать свои работы или выступить в поддержку Лобачевского. Свое отношение к научному подвигу русского ученого он выразил тем, что добился избрания Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского королевского научного общества. Это единственная научная почесть, выпавшая на долю Лобачевского при жизни.
Признание открытия Лобачевского пришло во второй половине XIX в. после появления работ итальянского математика Э. Бель-трами (1835 — 1900), английского математика А. Кэли (1821 — 1895), немецкого математика Ф. Клейна (1849 — 1925), французского математика А. Пуанкаре (1854 — 1912). Каждый из них сделал то, чего не добился Лобачевский: они доказали, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова.
Интересно, что взаимосвязь пространства и времени, открытая Эйнштейном в его специальной теории относительности, очень точно описывается геометрией Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов были использованы формулы геометрии Лобачевского.
Работа по аксиоматизации евклидовой геометрии была завершена в самом конце XIX столетия известным немецким математиком Д. Гильбертом (1862 — 1943). В своей книге «Основания геометрии» (1899) Гильберт дает полный список евклидовой геометрии (21 аксиома), а также доказывает непротиворечивость этой аксиоматики (см. п. 51).
Усовершенствование аксиоматики геометрии продолжалось и в XX столетии. Различные системы аксиом геометрии были предложены В. Ф. Каганом, Бахманом, Биркгофом и другими математиками. Наиболее интересная с современной точки зрения аксиоматика была предложена выдающимся немецким математиком Германом Вейлем (1885 — 1955) в его книге «Пространство, время, материя», вышедшей в 1918 г. Эта аксиоматика и положена в основу настоящей книги.
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
