Алексей Васильевич Погорелов
Геометрия
Учебник для 6-10 классов
*** 1982 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
Добавлено: Тесленко И. Ф. Особенности обучения геометрии в 6-10 классах по учебнику «Геометрия» А. В. Погорелова. Методическое письмо МП УССР. — 1982 г. — geometr-osob-1982.djvu СОДЕРЖАНИЕ § 1. Основные свойства простейших геометрических фигур Точка и прямая 4. Основные свойства принадлежности точек и прямых 4. Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости 5. Основные свойства измерения отрезков и углов 7. Основные свойства откладывания отрезков и углов 9. Существование треугольника, равного данному 10. Основное свойство параллельных прямых 12. Аксиомы, теоремы и доказательства 13. Вопросы для повторения 14. Упражнения 16 § 2. Углы Смежные углы 20. Вертикальные углы 21. Перпендикулярные прямые 22. Доказательство от противного 23. Углы, отложенные в одну полуплоскость 23. Вопросы для повторения 25 Упражнения 26. § 3. Признаки равенства треугольников Первый признак равенства треугольников 27. Второй признак равенства треугольников 28. Равнобедренный треугольник 29. Медиана, биссектриса и высота треугольника 31. Третий признак равенства треугольников 32. Вопросы для повторения 34. Упражнения 34. § 4. Сумма углов треугольника Признаки параллельности прямых 37. Сумма углов треугольника 41. Прямоугольный треугольник 43. Существование и единственность перпендикуляра к прямой 44. Вопросы для повторения 45. Упражнения 47. § 5. Геометрические построения Окружность 49 Что такое задачи на построение 51. Построение треугольника с данными сторонами 52. Построение угла, равного данному 52. Построение биссектрисы угла 53. Деление отрезка пополам 53. Построение перпендикулярной прямой 54. Геометрическое место точек 55. Метод геометрических мест 56. Углы в окружности 56. Вопросы для повторения 59. Упражнения 60. 7 КЛАСС § 6. Четырехугольники Выпуклые четырехугольники 64. Параллелограмм 66. Прямоугольник. Ромб. Квадрат 68. Теорема Фалеса 70. Трапеция 72. Вопросы дня повторения 73. Упражнения 74. § 7. Теорема Пифагора Косинус угла 78. Теорема Пифагора 79. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике 82. Как пользоваться таблицами синусов, косинусов и тангенсов 83. Основные тригонометрические тождества 85. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов 86. Изменение sin а, cos а и tg а при возрастании угла а 87. Неравенство треугольника 88 Вопросы для повторения 89 Упражнения 90. § 8. Декартовы координаты на плоскости Введение координат на плоскости 94. Координаты середины отрезка 96. Расстояние между точками 97. Уравнение окружности 98. Уравнение прямой 101. Расположение прямой относительно системы координат 102. Пересечение прямой с окружностью 104. Определение синуса, косинуса и тангенса дли любого угла от 0° до 180° 104 Вопросы для повторения 105. Упражнения 106. § 9. Преобразования фигур Примеры преобразований фигур 109. Движение 112. Свойства движения 113. Равенство фигур 116- Преобразование подобия 117. Подобие фигур 119. Вопросы для повторения 121. Упражнения 122. 8 КЛАСС § 10. Векторы на шюскости Параллельный перенос 127. Понятие вектора 130. Абсолютная величина и направление вектора 131. Координаты вектора 133. Сложение векторов 134. Умножение вектора на число 135. Скалярное произведение векторов 137. Вопросы для повторения 139. Упражнения 140. §11. Решение треугольников Теорема косинусов 144. Теорема синусов 145. Решение треугольников 147. Вопросы для повторения 149- Упражнения 149- § 12. Многоугольники Ломаная 151. Выпуклые многоугольники 153. Правильные многоугольники 154. Длина окружности 156. Центральный угол и дуга окружности 158. Вопросы для повторения 159. Упражнения 159. § 13. Площади фигур Понятие площади 162. Площадь прямоугольника 163- Площади простейших фигур 165. Площади подобных фигур 168. Площадь круга 169. Вопросы для повторения 171. Упражнения 172. 9 КЛАСС СТЕРЕОМЕТРИЯ § 14. Аксиомы стереометрии Некоторые следствия аксиом стереометрии 176. Вопросы для повторения 177. Упражнения 178. § 15. Параллельность прямых и плоскостей Параллельные прямые в пространстве 178. Параллельность прямой и плоскости 180. Параллельность плоскостей 181. Изображение пространственных фигур на плоскости 184. Вопросы для повторения 185. Упражнения 186. § 16. Перпендикулярность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых 189. Перпендикулярность прямой и плоскости 190. Перпендикуляр и наклонная 193. Перпендикулярность плоскостей 194. Расстояние между скрещивающимися прямыми 196. Вопросы для повторения 197. Упражнения 197. § 17. Декартовы координаты и векторы в пространстве Введение декартовых координат в пространстве 202. Преобразования фигур в пространстве 205 Углы между прямыми и плоскостями 207. Площадь ортогональной проекции многоугольника 210. Векторы в пространстве 211. Уравнение плоскости 212. Вопросы для повторения 213. Упражнения 214. 10 КЛАСС § 18. Многогранники Многогранные углы 220. Многогранник 221. Призма 222. Построение плоских сечений 224. Параллелепипед 225. Пирамида 228. Правильные многогранники 231. Вопросы для повторения 232. Упражненпя 234 § 19. Тела вращения Цилиндр 238. Конус 240. Шар 243. Уравнение сферы 246. Вопросы для повторения 248. Упражнения 249. § 20. Объемы тел Понятие объема 252. Объем прямоугольного параллелепипеда 253. Объем наклонного параллелепипеда 255. Объем призмы 256. Объем пирамиды 258. Объемы подобных тел 260. Объемы цилиндра и конуса 261. Общая формула для объемов тел вращения 262. Объем шара и его частей 263. Вопросы для повторения 264. Упражнения 264. § 21. Площади поверхностей тел Понятие площади поверхности 270. Площадь сферы 270. Боковая поверхность цилиндра 271. Вопросы для повторения 272. Упражнения 272. Ответы и указания к упражнениям 274. Фpaгмeнты: 6 класс ПЛАНИМЕТРИЯ § 1. ОСНОВНЫЕ свойства простейших ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» — греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1). Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек. Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (III век до н. э.), создавшего замечательное руководство по математике под названием «Начала». В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге. Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Сформулируйте основные свойства объема. 2. Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров. 3. Докажите, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. 4. Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту. 5. Выведите формулу для объема треугольной пирамиды. 6. Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. 7. Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров. 8. Выведите формулу для объема цилиндра (конуса). 9. Выведите общую формулу для объемов тел вращения. 10. Что такое шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор? 11. Выведите формулы для объема шара, шарового сегмента, шарового сектора. УПРАЖНЕНИЯ 1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба? 2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб. 3. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Чему равно ребро куба? 4. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро. 5. Кирпич размером 25 X 12 X 6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность. 6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площадке размером 2,5 X 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара. 7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба. 8. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить каждое ребро на х сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится его объем? 9. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем. 10. В прямом параллелепипеде стороны основания 2 ]^2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем. 11. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1 м2. Площади диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найдите объем параллелепипеда. 12. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N. 13. Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда. 14. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда. 15. По стороне основания а и боковому ребру найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 16. Деревянная плитка в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева. 17. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса 1 погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см3)? 18. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы. 19. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем. 20. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м2, а расстояние между двумя противолежащими боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы. 21. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны I. 22. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояния между ними 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы. 23. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с. 24. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи. 25. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы. 26. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней 9 см2,10 см2 и 17 см2. Найдите объем. 27. Основание призмы — треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба. 28. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной с; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и представляет собой ромб, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы. 29. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагЬналь которого а составляет с плоскостью основания угол а, а с боковой гранью — угол р? 30. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда. 31. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны с, Ъ, с. Ребра а и Ь взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найдите объем параллелепипеда. 32. Чему равен объем прямой чегырехугольной призмы, если ее высота А, диагонали наклонены к плоскости ос- нования под углами се и р и острый угол между диагоналями основания равен у? 33. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 34. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды с, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды. 35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 6. Найдите объем пир амиды. 36. Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания с, а боковые ребра взаимно перпендикулярны? 37. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем. 38. По ребру а октаэдра найдите его объем. 39. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м; все боковые ребра равны 21,5 м. Найдите объем пирамиды. 40. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды. 41. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды. 42. Найдите объем упеченной пирамиды с площадями оснований Qx и Q2 (Qi Q>) и высотой А. 43. В пирамиде с площадью основания Qi проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии А от него. Площадь сечения равна Q2. Найдите высоту пирамиды. 44. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и Ъ, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды. 45. Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды. 46. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно I и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы аир. Найдите объем пирамиды. 47. Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого аир, радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом у. 48. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды? 49. Высота пирамиды А. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам? 50. 25 метров медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3). 51. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту? 52. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя основание, чтобы объем увеличился в п раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в п раз? 53. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров. 54. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а. 55. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы? 56. Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований и Л2 (Л2 Kj), а высота А. 57. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, вычисляя объем бревна умножением площади его среднего поперечного сечения на длину? 58. Радиусы оснований усеченного конуса К и г; образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем. 59. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований Лиг. Найдите объем конуса. 60. Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Чему равен радиус основания этого цилиндра? 61. По данным радиусам оснований К и г определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса. 62. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 3,5 щ. Найдите объем кучи щебня. 63. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите объем конуса. 64. Длина образующей конуса равна I, а длина окружности основания с. Найдите объем конуса. 65. Образующая конуса I составляет с плоскостью основания угол а. Найдите объем конуса. 68. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,6 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена. 67. Жидкость, налитая в конический сосуд 0,18 м высоты и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде? 68. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем полученного тела вращения. 69. Прямоугольный треугольник с катетами а и Ъ вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела. 70. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г'см8). 71. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара. 72. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска? (Плотность свинца 11,4 г/см3.) 73. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено? 74. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар. 75. Сосуд имеет форму полушара радиуса В, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем У? 76. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара? 77. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара? 78. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара? 79. Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра. 80. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см? 81. Круговой сектор с углом 30° и радиусом В вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела. 1. Что такое площадь поверхности тела? 2. Выведите формулу для площади поверхности шара. 3. По какой формуле вычисляется площадь поверхности шарового сегмента? 4. Выведите формулу для боковой поверхности цилиндра. 5. По какой формуле находится площадь боковой поверхности конуса? УПРАЖНЕНИЯ 1. Поверхности двух шаров относятся как m : п. Как относятся их объемы? 2. Гипотенуза и катеты являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями? 3. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала? 4. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала. 5. Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа. 6. В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра? 7. Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку? 8. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши. 9. Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к основанию под углом а. Найдите боковую поверхность конуса. 10. Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении — правильный треугольник)? 11. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса. 12. Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса. 13. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м ? 14. Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер конической формы, если диаметры ведер 25 см и 30 см, образующая 27,5 см и если на 1 м? требуется 150 г олифы? 15. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите. 16. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите. 17. Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см? 18. Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность тела. |
