Геометрия

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Дорогие школьники!
      Эта книга является дополнительным сборником задач по геометрии для тех учащихся 5 — 8 классов, кто интересуется математикой и ее приложениями, кто желает развить у себя умения и навыки самостоятельного решения геометрических задач, она будет полезным и интересным пособием.
      В курсе геометрии вссьмилетней школы вы знакомитесь с такими геометрическими преобразованиями, как поворот, центральная и осевая симметрия, параллельный перенос, гомотетия, подобие. Приведенные в книге задачи помогут вам сознательно усвоить свойства и признаки этих преобразований.
      Эти задачи помогут вам также овладеть методом геометрических преобразований, который является ключом к решению большого класса задач на доказательство, построение и вычисление. В ряде случаев он дает наиболее простые и изящные решения задач (по сравнению с методами, основанными на признаках конгруэнтности и подобия треугольников).
      Задачи каждого параграфа расположены группами по нарастающей степени сложности. Задачи повышенной трудности отмечены звездочкой.
      Каждая группа задач предназначена для формирования определенных умений и навыков, необходимых для овладения методом преобразований. Так, в процессе решения первой группы задач вы научитесь строить образы различных фигур. Следующая серия задач научит вас «видеть» соответственные элементы на заданных соответственных при том же преобразовании фигурах. Задачи третьего вида формируют умения в построении элементов, определяющих данное преобразование, — ось симметрии, центр поворота и т. д. Задачи четвертого вида предназначены для формирования умения строить соответственные точки на произвольных фигурах.
      К указанным видам задач относятся задачи 1 — 118, 171 — 234, 286 — 352, 410 — 483. Решение задач 1 — 118 сопровождает изучение п. 21 «Осевая симметрия», задачи 171 — 243 и 410 — 483 вы можете рассмотреть при изучении п. 19 «Поворот» и п. 20 «Центральная симметрия». Задачи 286 — 352 вы можете решить при изучении п. 36
      «Параллельный перенос». Первые пятьдесят задач из параграфов, посвященных осевой симметрии, центральной симметрии, параллельному переносу могут быть решены учащимися пятых классов. Задачи из раздела «Гомотетия и подобие» могут быть рассмотрены при изучении пп. 62 — 63 «Гомотетия», «Свойства гомотетии» и последующих разделов.
      При изучении различных фигур и их свойств вы можете решать задачи, в которых обоснование различных соотношений осуществляется с помощью перемещений и гомотетии. Так, при изучении трапеции (п. 48) мы можете решать задачи №№ 154 — 161, 365 — 371; при изучении квадрата (п. 46) — задачи №№ 149, 494, 496 — 500, 503, 507, 514 и т. д.; построение треугольников может быть дополнено решением задач 140 — 147 и т. д.
      Среди задач на перемещение и подобие вы найдете такие, которые помогут вам усвоить взаимосвязи между отдельными видами перемещений, а также перемещений и гомотетии. В сборник включены и задачи, решаемые с помощью подобий.
      В конце каждого параграфа даются рекомендации, где говорится о месте данных задач в школьном курсе геометрии, подчеркиваются наиболее важные выводы, даются образцы решения задач.
      В конце сборника приведены ответы, а к отдельным задачам даны либо указания к их решению, либо решения. Однако знакомиться с ними желательно либо после того, как задача решена, либо после того, как вы убедитесь, что задачу сами решить не сможете. В случае особых затруднений не стесняйтесь обращаться к учителю.
      Хотелось бы, чтобы эта книга была для всех вас интересной и еще более развивала бы ваш интерес к изучению геометрии.
      Книга может быть использована и учителями для организации самостоятельной учебной работы школьников. (Первое издание этой книги, вышедшей в 1975 году, было адресовано только учителям.) Редакция и автор признательны всем, кто принял участие в обсуждении книги. Все советы и замечания читателей были учтены при работе над вторым изданием, увеличено число задач на преобразование подобия, выделен параграф, посвященный понятию перемещения, заменены некоторые задачи.
     
      § 1. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
      1. Постройте прямоугольник, не являющийся квадратом. Проверьте с помощью перегибания листа бумаги, будет ли прямая, содержащая диагональ прямоугольника, являться его осью симметрии.
      2. Установите перегибанием листа бумаги число осей симметрии квадрата.
      3. Сколько осей симметрии имеет окружность?
      4. Имеет ли угол ось симметрии?
      5. Имеет ли оси симметрии прямая? Если имеет, то сколько?
      6. Сколько осей симметрии имеет отрезок?
      7. Назовите известные вам предметы из окружающей обстановки, изображение которых на бумаге будет иметь ось симметрии.
      8. Какие из следующих букв: |ДБВГДЕК} имеют ось симметрии? Укажите несколько слов, запись которых имеет ось симметрии.
      9. Выберите из множества букв (задача 8) те буквы, осью симметрии которых является горизонтальная прямая, вертикальная прямая.
      10. Написаны два слова: КОФЕ ЧАЙ
      Посмотрите на эти слова через стеклянную пробирку, заполненную прозрачной жидкостью. Почему буквы в слове ЧАЙ оказались перевернутыми, в слове КОФЕ нет?
      11. Используя бумагу и ножницы, вырежьте несколько фигур, имеющих: а) одну, б) две, в)* три, г)* четыре оси симметрии.
      12. Симметричны ли фигуры, изображенные на рисунке 1? Достройте фигуру, изобретенную на рисунке 1, а так, чтобы она имела одну, две, четыре оси симметрии.
      13. Прямая s является осью симметрии треугольника, изображенного на рисунке 2. Какие стороны треугольника можно убрать, чтобы оставшаяся фигура также имела прямую s своей осью симметрии?
      14. Прямые sx и s2 являются осями симметрии прямоугольника (рис. 3). Какие стороны прямоугольника можно убрать, чтобы оставшаяся фигура также имела прямые и s2 своими осями симметрии?
      15. Перерисуйте рисунок 4 в свою тетрадь и достройте фигуру, изображенную на рисунке, так, чтобы прямая s была ее осью симметрии. Выпол-полиите построение с помощью копировальной бумаги.
      16. Начертите на листе бумаги произвольную прямую s и отметьте точку А, не принадлежащую прямой s. Постройте (проколом) точку, симметричную точке А относительно прямой s. Где расположена полученная точка?
      17. Точка А симметрична сама себе относительно прямой /. Как расположена эта точка по отношению к прямой /?
      18. Отметьте на листе бумаги две точки и с помощью перегибания листа бумаги постройте прямую, относительно которой отмеченные точки будут симметричными.
      19. ABD = DBC (рис. 5). Симметричны ли лучи ВА и ВС относительно прямой BD?
      20. Постройте два луча О А и ОВ. Возьмите на луче О А произвольную точку К. Постройте с помощью перегибания листа бумаги ось симметрии лучей О А и ОВ и точку М, симметричную точке К относительно построенной оси симметрии. Где будет находиться точка М? Равны ли длины отрезков ОК и ОМ?
      29. Известно, что некоторая точка А (х; у) отображается осевой симметрией с осью Ох на точку А(2; — 5). Определите координаты точки А.
      30. Точка В, симметричная точке В относительно биссектрисы I и III координатных углов, имеет координаты ( — 3; 7). Какие координаты имеет точка В?
      46. Постройте окружность, радиус которой равен 3 см, и проведите прямую s, пересекающую окружность. Постройте окружность, симметричную данной относительно прямой s. Постройте фигуру, являющуюся объединением (пересечением) данной окружности и ее образа.
      50. Нарисуйте в своих тетрадях фигуры, являющиеся объединением фигур, изображенных на рисунке 20, о, б, в, и их образов при симметрии с осью s (прямая & не принадлежит данным фигурам).
      51. Фигура F, изображенная на рисунке 20, г, д, е, отображается симметрией с осью рг на фигуру Fv Затем фигура F2 = = Ft U F отображается симметрией с осью р2. Нарисуйте фигуру, являющуюся объединением фигур Рг и ее образа.
      52. Отметьте две произвольные точки и постройте на глаз прямую, относительно которой эти точки будут симметричны.
      53. Фигуры F и F (рис. 21) симметричны относительно некоторой прямой. Скопируйте рисунок 21 на прозрачную бумагу и постройте на глаз ось симметрии этих фигур.
      59. На отрезках, симметричных относительно прямой s, отметьте по точке и постройте с помощью циркуля их образы при симметрии относительно оси s.
      83. Отрезок АВ’ получен из отрезка АВ осевой симметрией (рис. 27). Как с помощью одного циркуля построить образ точки К при симметрии, отображающей [ЛВ] на [ЛВ]?
      93. Две окружности с равными радиусами пересекаются в точках А и В. Докажите, что (АВ) — ось симметрии фигуры, являющейся объединением данных окружностей.
      94. Известно, что перемещение L отлично от тождественного отображения и оставляет точки А и В на месте.*Является ли это перемещение осевой симметрией?
      95. Каким перемещением является композиция трех осевых симметрий относительно прямых, содержащих биссектрисы углов треугольника?
      96. Постройте острый угол и на его сторонах возьмите две произвольные точки А и В. Постройте равнобедренный треугольник ABC так, чтобы все его вершины принадлежали сторонам угла.
      97. Дана прямая а и отрезок АВ. Постройте равнобедренный треугольник с основанием АВ, чтобы его вершина лежала на а.
      98. [ОA) U [ОВ) = О. Постройте ось симметрии, отображающей [ОЛ) на [ОВ), используя циркуль и линейку.
      99*. Каким перемещением является композиция трех осевых симметрий относительно срединных перпендикуляров треугольника?
      100. Постройте образ данной прямой а при осевой симметрии, отображающей данную точку А (А €а) на данную точку В.
      101. Постройте образ данного пятиугольника ABCDE при осевой симметрии, отображающей точку А на точку D.
      102. На сторонах угла отложены конгруэнтные отрезки, причем расстояния от вершины угла до отрезков различны. Постройте оси двух симметрий, последовательное использование которых отобразит один из отрезков на другой.
      105. Четырехугольник ABCD имеет прямую АС осью симметрии. Какие пары eio сторон должны быть конгруэнтными? Могут ли все его стороны быть конгруэнтными? Дополните условие так, чтобы это предложение не имело места.
      106. Начертите четырехугольник ABCD так, чтобы прямые, которым принадлежат диагонали этого четырехугольника, были его осями симметрии. Если четырехугольник имеет и другие оси симметрии, то каково их взаимное расположение?
      107. Начертите четырехугольник, который имеет только одну ось симметрии, причем ни одна из диагоналей не принадлежит оси.
      108. Начертите четырехугольник с двумя осями симметрии, причем диагонали не принадлежат осям. Будут ли оси симметрии взаимно перпендикулярными?
      109. Прямые AC, BD и т являются осями симметрии четырехугольника ABCD. Каково взаимное расположение прямой т и сторон четырехугольника? Имеет ли он другие оси симметрии?
      110. Даны прямая I и отрезки ЛВ и CD, расположенные в различных полуплоскостях с границей /. Постройте на этих отрезках такие точки X и Y, что S, (X) = Y.
      111. Постройте на данных окружности и прямой точки, являющиеся соответственными при симметрии с заданной осью /. Найдите такое расположение окружности и прямой, чтобы задача имела О, 1, 2 решения.
      119. Даны две окружности и прямая. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины принадлежали окружностям, а одна из высот — данной прямой.
      120. Дан треугольник ABC и внутри него точка М. Постройте равнобедренный треугольник с вершиной в точке М, основанием, параллельным (А В), и двумя другими вершинами, принадлежащими [ЛС] и [ВС].
      121. Даны прямая I, прямая а и окружность F. Постройте квадрат так, чтобы две его вершины принадлежали прямой /, а две другие — прямой а и окружности F.
      122- Постройте произвольную прямую и отметьте две точки, не лежащие на ней. Найдите на прямой такую точку, чтобы разность расстояний от этой точки до двух данных точек была бы наибольшей.
      Указание. Сначала рассмотрите случай, когда точки лежат по одну сторону от прямой, затем — по разные.
      123. На данной прямой найдите такую точку, чтобы сумма расстояний от этой точки до данных двух точек была бы наименьшей.
      124. Дана прямая и две точки Л и В, расположенные по одну сторону от нее. Найдите на прямой такую точку С, чтобы треугольник ЛВС имел наименьший периметр.
      125. Дан угол и точка М, не принадлежащая углу. Проведите
      прямую, которая содержала бы точку М и отсекала от сторон угла конгруэнтные отрезки.
      126. На рисунке 29 изображен пруд, ширина ЛВ которого равна 10 м. Какую часть (в метрах) отражения в пруду фабричной тру-бы увидит наблюдатель, находящийся в точке S?
      140. Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и разности боковой стороны и основания.
      141. Постройте треугольник по разности двух его Сторон и углам, противолежащим им.
      142. Докажите, что треугольники конгруэнтны, если сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон одного треугольника конгруэнтны соответствующим элементам другого.
      143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.
      144. Докажите, что два прямоугольных треугольника конгруэнтны, если сумма гипотенузы и катета и угол между ними одного треугольника конгруэнтны соответствующим элементам другого треугольника.
      145. Постройте треугольник по стороне, сумме двух других сторон и углу, противолежащему одной из них.
      146. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других углов.
      147. Докажите, что треугольники конгруэнтны, если две стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника конгруэнтны соответствующим элементам другого треугольника.
      148. Замените многоточие фразами: «необходимо и достаточно», «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо». Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником ... , чтобы прямые, содержащие середины противоположных сторон четырехугольника, были его осями симметрии.
      149. Верны ли утверждения:
      а) для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы его диагонали принадлежали биссектрисам его углов;
      б) для того чтобы четырехугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали принадлежали биссектрисам его углов;
      в) для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были конгруэнтны и принадлежали биссектрисам его углов.
      150. Будет ли четырехугольник ромбом, если диагонали этого четырехугольника принадлежат прямым, являющимся его осями симметрии.
      151. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб. Верно ли обратное утверждение? Сформулируйте теорему с использованием слов: «необходимо» и «достаточно».
      152. Верны ли утверждения:
      а) для того чтобы параллелограмм был квадратом, необходимо
      и достаточно, чтобы диагонали параллелограмма были взаимно перпендикулярны;
      б) для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы прямая, содержащая середины двух противоположных сторон параллелограмма, была его осью симметрии.
      153. Постройте четырехугольник, если известны его четыре стороны и что диагональ принадлежит биссектрисе его угла.
      154. Докажите, что прямая, содержащая перпендикуляр, проведенный к основанию равнобочной трапеции через ее середину, является осью симметрии этой трапеции.
      155. Докажите, что прямая, содержащая середины оснований равнобочной трапеции, перпендикулярна основаниям. Верно ли обратное утверждение: прямая, перпендикулярная основаниям равнобочной трапеции, содержит середины этих оснований?
      156. Докажите, что если прямая, содержащая середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобочная. Верно ли обратное утверждение? Сформулируйте теорему с использованием слов «необходимо» и «достаточно».
      157. Докажите, что точка пересечения прямых, которые содержат боковые стороны равнобочной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середины оснований трапеции принадлежат одной прямой.
     
      * * *
      Для решения первых 70 задач достаточно тех знаний, которые получены при изучении курса математики V класса. При решении задач 1 — 15 устанавливается, какие из рассматриваемых фигур имеют оси симметрии и сколько. Причем при решении первых двухтрех задач наличие у фигур осей симметрии устанавливается с помощью перегибания листа бумаги, при решении последующих задач следует давать ответы, не прибегая к непосредственному перегибанию, а производить эту операцию мысленно.
      Полезна задача 12, где требуется сначала распознать среди множества фигур симметричные фигуры, а затем достроить указанною фигуру так, чтобы она имела одну, две, четыре оси симметрии. В качестве осей симметрии можно выбирать различные прямые, достраивание осуществляется на основе зрительных представлений о симметричных фигурах.
      При решении последующих задач (16 — 31) выявляют некоторые свойства осевой симметрии и создается база для определения осевой симметрии. Так, при решении задач 16 — 17 устанавливается, что точки оси симметрии симметричны сами себе, две симметричные относительно прямой р точки лежат в различных полуплоскостях с границей р. Решения последующих задач позволяют сделать выводы, что точка пересечения двух прямых, симметричных относительно некоторой прямой, принадлежит этой прямой; биссектриса угла принадлежит его оси симметрии; ось симметрии перпендикулярна прямой, содержащей симметричные относительно этой оси точки, и делит отрезок, определяемый симметричными точками, пополам. Последнее свойство используется при построении образов фигур при осевой симметрии.
      Задачи 28 — 34 имеют целью привлечение координатного метода к изучению осевой симметрии. Задача 34 является обобщением указанных задач, при ее решении подводится итог: симметрия с осью Ох отображает точку А (а; Ь) на точку А (а; — Ь), симметрия с осью Оу отображает точку В (х; у) на точку В ( — х; у).
      Следующая серия задач предназначена для формирования умения строить образы различных фигур при осевой симметрии.
      При решении этой серии задач следует обращать внимание на рационализацию построений. Например, при построении образов углов можно выполнить построение образа вершины этого угла и использовать свойство точек оси симметрии. При построении образов углов полезно обратить внимание на следующий факт: осевая симметрия изменяет «обход» сторон угла. Этот вывод справедлив для всех фигур. Усвоение этого свойства осевой симметрии осуществляется при решении задач 41 — 43, 45.
      Задачи 49 — 51 решаются на клетчатой бумаге, причем в задачах 50 — 51 требуется только нарисовать фигуру, всякие же построения осуществляются мысленно.
      Задача 54 позволяет утверждать, что любые две точки А (а; Ь) и А (а; — Ь) являются симметричными относительно оси Ох (результат, обратный результату задачи 34). Полученный результат используется при решении задач 55,- 56. Из решения задач 34 и 54 следует, что симметрия с осью Ох есть отображение плоскости: X (х; у) -* X (х; — у), а симметрия с осью OY есть отображение: X (х; у) -+ X ( — х; у).
      Координатная запись осевой симметрии используется при решении задач на композицию перемещений.
      Следующая группа задач (59 — 85) способствует развитию умения «видеть» соответственные элементы на соответствующих образах. Причем решение подобных задач способствует и воспитанию идеи отображения плоскости на себя. Это весьма важная группа задач, решению которых следует уделить самое серьезное внимание.
      В процессе решения этих задач должен быть усвоен следующий факт: если Sp (Ф) = Ф и А € Ф, то А € Ф\ где А = Sp (Л). Эта идея проводится при решении последующих задач. При этом осуществляется знакомство с новыми фактами, например с построением суммы, разности двух сторон треугольника с помощью осевсй симметрии, которые, в свою очередь, используются в дальнейшем.
      Идея координатного метода получает дальнейшее развитие при решении задач 77 — 81. При решении задачи 77 устанавливается, опираясь на решение задачи 54, что образом прямой при осевой симметрии является прямая. Задачи 78 — 80 готовят учащихся к решению задачи 81, которая подчинена той же идее, что и предыдущие задачи.
      Задачи 86 — 104 предназначены для формирования умения строить ось симметрии и дальнейшего развития представления о свойствах оси симметрии. Задачи этого вида являются обратными задачам на построение образов фигур, причем в эту группу включены и задачи, для решения которых используются «прямые» и «обратные» действия.
      Следующая группа задач предназначена для формирования умения строить симметричные точки на произвольных фигурах. При решении этой группы задач используются умения, приобретенные при решении задач предыдущих групп. В качестве, примера рассмотрим решение задачи 111. Оно заключается в следующем:
      1) строим прямую а, такую, что а. = St (а); 2) находим точки пересечения данной окружности и прямой а; 3) строим точки, симметричные найденным точкам относительно прямой /. Пункт (1) включает в себя умение строить образы фигур, пункт (3) — умение строить симметричные точки на симметричных фигурах, весьма важным является и умение «видеть» ось симметрии.
      Задачи этого вида способствуют и развитию исследовательских навыков: изменяя расположение данных фигур, будем получать различное число решений.
      При решении задач 115 — 118 координаты симметричных точек, принадлежащих данным фигурам, находятся аналитически.
      Задачи 119 — 168 решаются с использованием свойств осевой симметрии при изучении различных тем. Например, при изучении темы «Окружность» решаются задачи, связанные с доказательством свойств окружности, т. е. задачи 159 — 165. Полезны задачи, при решении которых используются как свойства осевой симметрии, так и признаки конгруэнтности треугольников (задачи 142 — 147).
      Задача 94 знакомит учащихся с характеристическим признаком осевой симметрии, который используется при решении задач 95, 99.
      Задача 170 является упражнением на применение координатной записи осевой симметрии.
     
      § 2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
      171. Каким отображением является отображение, обратное центральной симметрии?
      179. Точка А имеет координаты (а; Ь). Запишите координаты точки, симметричной точке А относительно начала координат, и точки, полученной из точки А в результате композиции симметрий относительно осей Ох и Оу. Сравните полученные результаты.
      181. Можно ли центральную симметрию представить композицией двух осевых симметрий? Сколькими способами это можно сделать?
      182. Точка Р перемещается по окружности по часовой стрелке. В каком направлении будет перемещаться Р — Z0 (Р)?
      183. Постройте образ данного отрезка при симметрии с центром в заданной точке О (рассмотрите случаи, когда точка О не принадлежит отрезку; является внутренней точкой отрезка; является одним из концов отрезка).
      184. Дана прямая а. Постройте а = Z0 (а) (точка О принадлежит прямой; не принадлежит прямой).
      185. Существуют ли прямые, отображающиеся центральной симметрией на себя?
      186. Постройте образ данного луча при симметрии с центром в заданной точке О.
      187. Существуют ли лучи, отображающиеся центральной симметрией на себя? А точки?
      188. Постройте угол, симметричный данному углу относительно точки О (рассмотрите случаи, когда точка О является вершиной угла; принадлежит стороне угла; не принадлежит углу; является внутренней точкой угла).
      189. Луч ВС симметричен лучу ВС относительно точки О. Как построить с помощью транспортира и линейки угол, симметричный углу ABC относительно точки О?
      195. Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?
      197*. Является ли тождественное отображение центральной симметрией?
      198. Какие фигуры, изображенные на рисунке 1, имеют центр симметрии?
      199. Достройте фигуру, изображенную на рисунке 1, а, так, чтобы она имела центр симметрии.
      200. Достройте фигуры, изображенные на рисунке 32, так, чтобы точка О была их центром симметрии. Выполните построения с помощью одной линейки. Какие из полученных в результате достраивания фигур имеют оси симметрии?
      201. Фигура, изображенная на рисунке 33, имеет точку О центром симметрии. Какие линии можно убрать, чтобы оставшаяся фигура также имела точку О своим центром симметрии?
      202. Нарисуйте фигуры, являющиеся объединением данной фигуры (рис. 34) и ее образа при симметрии с центром в точке О. Какие из полученных фигур имеют оси симметрии?