|
Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, прямоугольники. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких, как параллелепипед, шар, цилиндр (рис. 3). Мы начнем изучение геометрии с планиметрии.
В процессе изучения геометрии вы будете доказывать теоремы и решать задачи. Что такое «теорема» и что значит «доказать теорему» — об этом вы скоро узнаете. Ну, а что такое задача — вам известно, на уроках математики вы решали разные задачи.
В нашем учебнике геометрии имеется много задач: есть задачи и практические задания к каждому параграфу, дополнительные задачи к каждой главе и, наконец, задачи повышенной трудности. Основными являются задачи к параграфу. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В конце книги к задачам даны ответы и указания. Всем, кто проявит интерес к геометрии, кому понравится решать задачи и доказывать теоремы, мы советуем порешать не только обязательные задачи, но и задачи со звездочкой, дополнительные задачи и задачи повышенной трудности. Решать такие задачи непросто, но интересно. Не всегда удается сразу найти решение. В таком случае не унывайте, а проявите терпение и настойчивость. Радость от решения трудной задачи будет вам наградой за упорство. Не бойтесь заглядывать вперед, читать те параграфы, которые еще не проходили в классе. Задавайте вопросы учителю, товарищам, родителям.
Доброго вам пути, девочки и мальчики!
7 класс
Глава I
НАЧАЛЬНЫЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СВЕДЕНИЯ
§ I. ПРЯМАЯ И ОТРЕЗОК
1. Точки, прямые, отрезки. Вспомним, что нам известно о точках и прямых. Мы знаем, что для изображения прямых на чертеже пользуются линейкой (рис. 4), но при этом можно изобразить лишь часть прямой, а всю прямую мы представляем себе простирающейся бесконечно в обе стороны. Обычно прямые обозначают малыми латинскими буквами, а точки — большими латинскими буквами. На рисунке 5 изображены прямая а и точки А, В, С и D. Точки А и В лежат на прямой а, а точки С и D не лежат на этой прямой. Можно сказать, что прямая а проходит через точки Л и В, но не проходит через точки С и D. Отметим, что через точки А и В нельзя провести другую прямую, не совпадающую с прямой а. Вообще, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну'К
Рассмотрим теперь две прямые. Если они имеют общую точку, то говорят, что эти прямые пересекаются. На рисунке 6 прямые
Изображение прямой на чертеже
Рис. 4
Рис. 5
1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. д., будем считать, что эти точки, прямые различны.
а и Ь пересекаются в точке О, а прямые р и q не пересекаются. Две прямые не могут иметь двух и более общих точек. В самом деле, если бы две прямые имели две общие точки, то каждая из прямых проходила бы через эти точки. Но через две точки проходит только одна прямая. Таким образом, можно сделать вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Прямую, на которой отмечены две точки, например А и В, иногда обозначают двумя буквами: АВ или ВА. Для краткости вместо слов «точка А лежит на прямой а» используют запись А? а, а вместо слов «точка В не лежит на прямой а» — запись В?а.
На рисунке 7, а выделена часть прямой, ограниченная двумя точками. Такая часть прямой называется отрезком. Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами. На рисунке 7, б изображен отрезок с концами А и В. Такой отрезок обозначается А В или ВА. Отрезок А В содержит точки Л и В и все точки прямой АВ, лежащие между Л и В.
2. Провешивание прямой на местности. Решим такую задачу: с помощью данной линейки построить отрезок более длинный, чем сама линейка. С этой целью приложим к листу бумаги линейку, отметим точки Л и В и какую-нибудь точку С, лежащую между Л и В (рис. 8, а). Затем передвинем линейку вправо так, чтобы ее левый конец оказался около точки С, и отметим точку D около правого конца линейки (рис. 8,6). Точки А, В, С и D лежат на одной прямой. Если мы проведем теперь отрезок А В, а затем отрезок BD, то получим от резок AD, более длинный, чем линейка.
Аналогичный прием используется для «проведения» длинных отрезков прямых на местности. Этот прием заключается в следующем. Сначала отмечают какие-нибудь точки А и В. Для этой цели используют две вехи — шесты длиной около 2 м, заостренные иа одном конце для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Третью веху ставят так, чтобы вехи, стоящие в точках А и В, закрывали ее от наблюдателя, находящегося в точке А (точка С на рисунке 9). Следующую веху ставят так, чтобы ее закрывали вехи, стоящие в точках В и С, и т. д. Ясно, что таким способом можно построить сколь угодно длинный отрезок прямой.
Описанный прием называется провешиванием прямой (от слова «веха»). Он широко используется на практике, например при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий высоковольтных передач и т. д.
1. Проведите прямую, обозначьте ее буквой а и отметьте точки А н В, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р, Q, R и прямой а, используя символы в и ?.
2. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и проведите прямые АВ, ВС и СА.
3. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
4. Отметьте точки А, В, С, D так, чтобы точки А, В, С лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
5. Проведите прямую а и отметьте на ней точки А и В. Отметьте:
а) точки М и N, лежащие на отрезке АВ; б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке АВ\ в) точки R и S, не лежащие на прямой а.
Практические задания
А В С D 6. Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?
7. На рисунке 10 изображена прямая, на ней отмечены точки А, В, С и D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С;
б) на которых не лежит точка В.
§ 2. ЛУЧ И УГОЛ
3. Луч. Проведем прямую а и отметим на ней точку О (рис. И). Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (на рисунке 11 один из лучей выделен жирной линией). Точка О называется началом каждого из лучей. Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч h на рисунке 12, а), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-нибудь точку на луче (например, луч ОА на рисунке 12,6).
4. Угол. Напомним, что угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. На рисунке 13 изображен угол с вершиной О и сторонами h и k. На сторонах отмечены точки А и В. Этот угол обозначают так: Ahk, или АЛОВ, или АО.
Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развернутого угла является продолжением другой стороны. На рисунке 14 изображен развернутый угол с вершиной С и сторонами р и q.
Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол неразвернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая — внешней областью этого угла (рис. 15, а). На рисунке 15, б изображен неразвернутый угол. Точки А, В, С лежат внутри этого угла (т. е. во внутренней области угла), точки D и Е — на сторонах угла, а точки Р и Q — вне угла (т. е. во внешней области угла). Если угол развернутый, то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.
Если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла. На рисунке 16, а луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Если угол АОВ развернутый, то любой луч ОС, не совпадающий с лучами ОА и ОБ, делит этот угол на два угла: АОС и СОВ (рис. 16, б).
Практические задания и вопросы
8. Проведите прямую, отметьте на ней точки А и В и на отрезке АВ отметьте точку С. а) Среди лучей АВ, ВС, СА, АС и В А найдите пары совпадающих лучей; б) назовите луч, который является продолжением луча СА.
9. Начертите три неразвернутых угла и обозначьте их так: ААОВ, Ahk, sLM.
10. Начертите два развернутых угла и обозначьте их буквами.
11. Начертите три луча Л. k и / с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.
12. Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.
13. Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки А, В, М и N так, чтобы все точки отрезка АВ лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.
14. Начертите неразвернутый угол АОВ и проведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла.
15. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых?
16. Какие из точек, изображенных на рисунке 17, лежат внутри угла hk, а какие — вне этого угла?
17. Какие из лучей, изображенных на рисунке 18, делят угол АОВ на два угла?
5. Равенство геометрических фигур. Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Такими предметами являются, например, два одинаковых листа бумаги, две одинаковые книги, два одинаковых автомобиля. В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.</p>KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
