Киселёв А. П., Рыбкин Н. А.

ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНИК И СБОРНИК ЗАДАЧ, 8-9 КЛАСС

Для средней школы СССР. — 1966 г.

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

ФPAГMEHT КНИГИ (...) мера есть иррациональное число, представляемое бесконечной непериодической десятичной дробью.       В дальнейшем под длиной отрезка мы будем подразумевать его численную меру при определённой единице измерения. Под отношением двух отрезков — отношение их численных мер.       Отношение двух отрезков не зависит от того, как выбрана единица измерения. В самом деле, если, например, вместо одной уже выбранной единицы измерения взять другую, в 3 раза меньшую, то в каждом отрезке эта новая единица уложится втрое большее число раз, чем прежняя. В той дроби, которая представляет отношение отрезков, числитель и знаменатель оба увеличатся в 3 раза. Величина же самой дроби от этого не изменится. Если данные отрезки соизмеримы, то при вычислении их отношения за единицу измерения удобно взять их общую меру. В таком случае сразу станет ясно, что отношение двух соизмеримых отрезков равно отношению чисел, показывающих, сколько раз их общая мера укладывается в каждом из них.       ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.       Предварительные понятия. В окружающей нас жизни часто встречаются фигуры, имеющие различные размеры, но одинаковую форму. Таковы, например, одинаковые фотографии одного и того же лица, изготовленные в различных размерах, или планы здания или целого города, вычерченные в различных размерах. Такие фигуры принято называть подобными. Умение измерять длины отрезков позволяет точно определить понятие о геометрическом подобии фигур и дать способы изменения размеров фигуры без изменений её формы. Изменение размеров фигуры без изменений её формы называется подобным преобразованием данной фигуры. Изучение подобия фигур мы начнём с простейшего случая, именно с подобия треугольников.       14(157). Сходственные стороны. В этой главе рассматриваются такие треугольники, у которых углы одного соответственно равны углам другого. Условимся в таких случаях называть сходственными те стороны этих треугольников, Которые лежат между соответственно равными углами (такие стороны также и противолежат равным углам).       10. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник, помещая одну из его вершии или в вершине квадрата, или в середине какой-либо стороны.       11. Вписать в равносторонний треугольник другой равносторонний треугольник, стороны которого были бы перпендикулярны к сторонам данного.       12. Построить углы: в 18°, 30°, 75°, 72°.       13. Около окружности описан какой-нибудь правильный многоугольник. Пользуясь им, вписать в эту окружность правильный многоугольник, имеющий вдвое больше сторон, чем олнсаиный.       II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ окружности И ЕЁ ЧАСТЕЙ.       83(226). Предварительное разъяснение. Отрезок прямой можно сравнить с другим отрезком прямой, принятым за единицу, так как прямые линии при наложении совмещаются. Действительно, только по этой причине мы можем установить, какие отрезки прямых считать равными и неравными; что такое сумма отрезков прямой; какой отрезок более другого в 2, 3, 4, ... раза и т. п. Точно так же дуги окружностей одинакового радиуса можно сравнить между собой вследствие того, что такие дуги при наложении совмещаются. Но так как никакая часть окружности (или другой кривой) не может совместиться с прямой, то нельзя путём наложения установить, какой криволинейный отрезок должно считать равным данному прямолинейному отрезку, а следовательно, и то, какой криволинейный отрезок больше данного прямолинейного в 2, 3, 4, ... раза. Таким образом, является необходимость особо определить, что мы будем подразумевать под длиной окружности (или части её), когда сравниваем её с прямолинейным отрезком.       Для этой цели мы должны ввести новое понятие, имеющее исключительно большое значение во всей математике, именно понятие о пределе.       Предел числовой последовательности.       Во многих вопросах алгебры и геометрии приходится встречаться с последовательностями чисел, написанных одно за другим по определённому закону. Например, натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ...       чтобы и площади фигур обладали соответствующим свойством. Поясним это. Положим, что, разбив данную фигуру на несколько частей, мы будем переставлять эти части и получать таким образом новые фигуры (подобно тому, как на чертеже 80 перемещены части А и В), Спрашивается: нельзя ли путём этих перестановок получить такую фигуру, которая могла бы целиком уместиться внутри первоначальной фигуры? Если бы это оказалось возможным, то получились бы две фигуры, лежащие одна виутрн другой, причём числа, измеряющие их площади, в снлу условия 2-го, были бы равны между собой.       Таким образом, число, измеряющее площадь всей фигуры, оказалось бы равным числу, измеряющему площадь лишь некоторой части этой фигуры, т. е. сумма была бы равна одному из слагаемых, что невозможно для положительных чисел. Следовательно, в этом случае условие       2-е не могло бы быть принято. Впервые обратил внимание на этот вопрос итальянский математик Децольт (1881). Невозможность указанной выше перестановки частей фигуры принималась вначале как некоторый постулат, но позднее эта невозможность была строго доказана Шуром, Киллингом, Шатуновским н Гильбертом. Это свойство площадей фигур н делает возможным принятие условия 2-го.       Фигуры, имеющие равные площади, принято называть равновеликими. Конечно, равные фигуры всегда и равновелики, но равновеликие фигуры могут быть неравными (как те, которые изображены на чертеже 80).       101(244). Понятие об измерении площади. Для измерения площади данной фигуры прежде всего выбирают единицу площади. За такую единицу берут площадь квадрата, у которого сторона равна линейной единице, например одному метру, одному сантиметру и т. л. Для фигур простейшего типа можно получить меру площади следующим образом. Накладываем единицу площади на измеряемую площадь столько раз, сколько это возможно. Это можно сделать для небольших площадей, которые можно начертить на бумаге, при помощи прозрачной миллиметровой бумаги, разделенной равноотстоящими параллельными прямыми на маленькие квадраты, принятые за единицу площади. Допустим, что на фигуру, площадь которой надо измерить, наложена такая сеть квадратов. Тогда, если контур данной фигуры представляет собой ломаную линию (черт. 81), стороны которой совпадают с частями прямых линий, образующих сеть квадратов, то число квадратов, лежащих внутри фигуры, составит точную меру измеряемой площади.       В действительности измерение площадей производится не путём накладывания единицы площади или её доли, а косвенным путём, посредством измерения некоторых линий фигуры. Как это делается, мы увидим из следующих параграфов.       В прямоугольнике за высоту можно взять сторону, перпендикулярную к той, которая принята за основание.       В трапеции основаниями называют обе параллельные стороны, а высотой — общий перпендикуляр между ними.       Основание и высота прямоугольника называются его измерениями.       103(246). Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.       Это краткое предложение надо понимать так: число, выражающее площадь прямоугольника в квадратных единицах, равно произведению чисел, выражающих основание и высоту его в соответствующих линейных единицах.       При доказательстве могут представиться три случая:       -1) Длины основания и высоты (измеренных одной и той же единицей) выражаются целыми числами.       Пусть у данного прямоугольника (черт. 82) основание равно целому числу Ь линейных единиц, а высота — целому числу h тех же единиц. Разделим высоту на А равных частей, проведём через точки деления ряд прямых, параллельных высоте, и другой ряд прямых, параллельных основанию. От взаимного пересечения этих прямых образуются некоторые четырёхугольники Возьмём какой-нибудь один из них, например четырёхугольник К {покрытый на чертеже штрихами). Так как стороны этого четырёхугольника, по построению, параллельны соответствующим сторонам данного прямоугольника, то все углы его прямые; значит, четырёхугольник К есть прямоугольник. С другой стороны, каждая сторона .этого прямоугольника равна расстоянию между соседними параллельными прямыми, т. е. равна одной и той же линейной единице. Значит, прямоугольник К представляет собой квадрат, а именно: ту квадратную единицу, которая соответствует взятой линейной единице (если, например, основание и высота были измерены линейными сантиметрами, то квадрат /С есть квадратный сантиметр). Так как сказанное об одном четырёхугольнике справедливо и для всякого другого, то, значит, проведением указанных параллельных прямых мы разбиваем всю площадь данного прямоугольника на квадратные единицы. Найдём их число. Очевидно, что ряд прямых, параллельных основанию, разделяет прямоугольник на столько равных горизонтальных полос, сколько в высоте содержится линейных единиц, т. е. на А равных полос. С другой стороны, ряд прямых, параллельных высоте, разбивает каждую горизонтальную полосу на столько квадратных единиц, сколько в основании содержится линейных единиц, т. е. на Ь квадратных единиц. Значит, всех квадратных единиц окажется Ь А. Таким образом, площадь прямоугольника = АА,-т. е. она равна произведению основания на высоту.       2) Длины основания и высоты (измеренных одной и той же единицей) выражаются дробными числами.