НА ГЛАВНУЮ (кнопка меню sheba.spb.ru)ТЕКСТЫ КНИГ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)АУДИОКНИГИ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)ПОЛИТ-ИНФО (кнопка меню sheba.spb.ru)СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ (кнопка меню sheba.spb.ru)ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ФОТО-ПИТЕР (кнопка меню sheba.spb.ru)НАСТРОИ СЫТИНА (кнопка меню sheba.spb.ru)РАДИОСПЕКТАКЛИ СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ВЫСЛАТЬ ПОЧТОЙ (кнопка меню sheba.spb.ru)



Геометрия для 9-10 классов. Клопский, Скопец, Ягодовский. — 1978 г.

Владимир Михайлович Клопский
Залман Алтерович Скопец
Михаил Ильич Ягодовский

Геометрия
для 9-10 классов

*** 1978 ***


DjVu

<< ВЕРНУТЬСЯ К СПИСКУ

 

      ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ.
      ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
      Курс геометрии включает планиметрию и стереометрию. На уроках геометрии в VI—VIII классах вы занимались преимущественно планиметрией. Объектами изучения в планиметрии являются фигуры, лежащие в одной и той же плоскости, например угол, треугольник, параллелограмм, окружность. Все точки каждой из этих фигур принадлежат плоскости. Поэтому такие фигуры называются плоскими.
      В стереометрии изучаются фигуры, расположенные в пространстве. Они могут быть неплоскими (примерами таких фигур служат призма, пирамида, цилиндр, сфера) или плоскими. Поэтому сведения из планиметрии применяются и в стереометрии.
      Изучая стереометрию, мы продолжим начатое в восьмилетней школе знакомство с аксиоматическим методом построения геометрии, с отображениями фигур, с операциями над векторами и применением векторов при доказательстве теорем и решении задач.
     
      § 1. О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ.
      ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
      Систематический курс стереометрии строится по той же схеме, что и курс планиметрии:
      1. Перечисляются основные понятия, которым не дают определений.
      2. Формулируются аксиомы, в которых выражены свойства основных понятий.
      3. С помощью основных понятий формулируются определения других геометрических понятий.
      4. На основе определений и аксиом доказываются теоремы.
      Школьный курс стереометрии не полностью следует такой
      схеме. Чтобы упростить изложение, доказательства некоторых теорем опускаются. В других случаях теоремы формулируются в виде задач.
      Основных понятий в стереометрии четыре: точка, прямая,
      плоскость и расстояние. Понятие «множество» также является основным (неопределяемым), причем не только в геометрии, но и во всех других разделах математики. Всякое множество точек в геометрии называют фигурой. Примерами фигур служат прямая и плоскость.
      На рисунках плоскость будем изображать в виде параллелограмма или какой-нибудь другой плоской фигуры (рис. 1). Плоскости обозначают обычно буквами греческого алфавита а, (5, у и т. п. Для точек и прямых сохраним обозначения, принятые в планиметрии: точки Л, В, С, ... ; прямые а, 6, с, ... 9 а также
      Если точка А принадлежит плоскости а, то говорят: «Плоскость а проходит (или проведена) через точку Л». Такие же термины применяются и по отношению к прямой а, которой принадлежит точка Л.
      Множество U всех рассматриваемых в стереометрии точек называют пространством. Любая фигура Ф является подмножеством пространства: Ф cz U.
      Перечислите основные понятия курса планиметрии.
      Укажите, какие из приведенных ниже математических предложений являются аксиомами, теоремами или определениями курса планиметрии:
      1) к данной прямой через данную точку можно провести только один перпендикуляр;
      2) расстояние от Л до В равно расстоянию от В до Л;
      3) длина ломаной больше расстояния между ее концами;
      4) пересечение двух фигур есть фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат каждой из данных фигур;
      5) перемещение — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния;
      6) через любую точку можно провести прямую, параллельную данной прямой;
      7) параллельный перенос есть перемещение;
      8) через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну окружность;
      9) конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;
      10) поворот на 180° вокруг центра О есть центральная симметрия с центром О.
      1 Знак «°» над номером задачи означает, что она рекомендуется для устного решения.
      (ЛВ), (АС) и т. п.
      Задачи
      В аксиомах стереометрии выражены основные свойства неопределяемых понятий: точки, прямой, плоскости и расстояния.
      В отвлеченной форме аксиомы стереометрии отражают свойства реального пространства. Именно это лежит в основе применения стереометрии к практике.
      Первые пять аксиом связаны с понятием принадлежности.
      Аксиома 1. Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.
      Из аксиомы 1 следует, что для любой плоскости а существует не принадлежащая ей точка А (рис. 3). В этом случае говорят, что точка А взята вне плоскости а, и записывают: А $ а.
      Точно так же верно утверждение, что для любой прямой существует точка, не принадлежащая этой прямой.
      Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.
      Согласно аксиоме 2 прямые а и Ь, имеющие две различные общие точки, совпадают: а = Ь.
      Аксиома 3. Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.
      Аксиома 3 позволяет объяснить смысл практического способа проверки того, является ли поверхность какого-либо предмета плоской. К поверхности в различных ее точках прикладывают ребро хорошо выверенной линейки и смотрят, нет ли просветов между линейкой и поверхностью.
      Слова «прямая а лежит в плоскости а»
      (рис. 4) означают на языке теории множеств, что прямая а является подмножеством плоскости а, то есть аса. Иначе говорят: «Прямая а содержится в плоскости а», а также «Плоскость а проходит (или проведена) через прямую а».
      Прямая и плоскость могут иметь единственную общую точку. Докажем это.
      Пусть дана плоскость а (рис. 5). По аксиоме 1 существуют точка А, принадлежащая плоскости а, и точка В, не принадлежащая этой плоскости. Через А и В проиедем прямую а (аксиома 2). Предположим, что прямая а имеет с плоскостью а еще одну общую точку, отличную от А. Тогда, согласно гксжхме 3, ас а и точка В также принадлежит плоскости а.

KOHEЦ ФPAГMEHTA

 

 

НА ГЛАВНУЮ (кнопка меню sheba.spb.ru)ТЕКСТЫ КНИГ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)АУДИОКНИГИ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)ПОЛИТ-ИНФО (кнопка меню sheba.spb.ru)СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ (кнопка меню sheba.spb.ru)ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ФОТО-ПИТЕР (кнопка меню sheba.spb.ru)НАСТРОИ СЫТИНА (кнопка меню sheba.spb.ru)РАДИОСПЕКТАКЛИ СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ВЫСЛАТЬ ПОЧТОЙ (кнопка меню sheba.spb.ru)

 

Яндекс.Метрика
Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru