|
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Курс геометрии включает планиметрию и стереометрию. На уроках геометрии в VI—VIII классах вы занимались преимущественно планиметрией. Объектами изучения в планиметрии являются фигуры, лежащие в одной и той же плоскости, например угол, треугольник, параллелограмм, окружность. Все точки каждой из этих фигур принадлежат плоскости. Поэтому такие фигуры называются плоскими.
В стереометрии изучаются фигуры, расположенные в пространстве. Они могут быть неплоскими (примерами таких фигур служат призма, пирамида, цилиндр, сфера) или плоскими. Поэтому сведения из планиметрии применяются и в стереометрии.
Изучая стереометрию, мы продолжим начатое в восьмилетней школе знакомство с аксиоматическим методом построения геометрии, с отображениями фигур, с операциями над векторами и применением векторов при доказательстве теорем и решении задач.
§ 1. О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
Систематический курс стереометрии строится по той же схеме, что и курс планиметрии:
1. Перечисляются основные понятия, которым не дают определений.
2. Формулируются аксиомы, в которых выражены свойства основных понятий.
3. С помощью основных понятий формулируются определения других геометрических понятий.
4. На основе определений и аксиом доказываются теоремы.
Школьный курс стереометрии не полностью следует такой
схеме. Чтобы упростить изложение, доказательства некоторых теорем опускаются. В других случаях теоремы формулируются в виде задач.
Основных понятий в стереометрии четыре: точка, прямая,
плоскость и расстояние. Понятие «множество» также является основным (неопределяемым), причем не только в геометрии, но и во всех других разделах математики. Всякое множество точек в геометрии называют фигурой. Примерами фигур служат прямая и плоскость.
На рисунках плоскость будем изображать в виде параллелограмма или какой-нибудь другой плоской фигуры (рис. 1). Плоскости обозначают обычно буквами греческого алфавита а, (5, у и т. п. Для точек и прямых сохраним обозначения, принятые в планиметрии: точки Л, В, С, ... ; прямые а, 6, с, ... 9 а также
Если точка А принадлежит плоскости а, то говорят: «Плоскость а проходит (или проведена) через точку Л». Такие же термины применяются и по отношению к прямой а, которой принадлежит точка Л.
Множество U всех рассматриваемых в стереометрии точек называют пространством. Любая фигура Ф является подмножеством пространства: Ф cz U.
Перечислите основные понятия курса планиметрии.
Укажите, какие из приведенных ниже математических предложений являются аксиомами, теоремами или определениями курса планиметрии:
1) к данной прямой через данную точку можно провести только один перпендикуляр;
2) расстояние от Л до В равно расстоянию от В до Л;
3) длина ломаной больше расстояния между ее концами;
4) пересечение двух фигур есть фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат каждой из данных фигур;
5) перемещение — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния;
6) через любую точку можно провести прямую, параллельную данной прямой;
7) параллельный перенос есть перемещение;
8) через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну окружность;
9) конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;
10) поворот на 180° вокруг центра О есть центральная симметрия с центром О.
1 Знак «°» над номером задачи означает, что она рекомендуется для устного решения.
(ЛВ), (АС) и т. п.
Задачи
В аксиомах стереометрии выражены основные свойства неопределяемых понятий: точки, прямой, плоскости и расстояния.
В отвлеченной форме аксиомы стереометрии отражают свойства реального пространства. Именно это лежит в основе применения стереометрии к практике.
Первые пять аксиом связаны с понятием принадлежности.
Аксиома 1. Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.
Из аксиомы 1 следует, что для любой плоскости а существует не принадлежащая ей точка А (рис. 3). В этом случае говорят, что точка А взята вне плоскости а, и записывают: А $ а.
Точно так же верно утверждение, что для любой прямой существует точка, не принадлежащая этой прямой.
Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.
Согласно аксиоме 2 прямые а и Ь, имеющие две различные общие точки, совпадают: а = Ь.
Аксиома 3. Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.
Аксиома 3 позволяет объяснить смысл практического способа проверки того, является ли поверхность какого-либо предмета плоской. К поверхности в различных ее точках прикладывают ребро хорошо выверенной линейки и смотрят, нет ли просветов между линейкой и поверхностью.
Слова «прямая а лежит в плоскости а»
(рис. 4) означают на языке теории множеств, что прямая а является подмножеством плоскости а, то есть аса. Иначе говорят: «Прямая а содержится в плоскости а», а также «Плоскость а проходит (или проведена) через прямую а».
Прямая и плоскость могут иметь единственную общую точку. Докажем это.
Пусть дана плоскость а (рис. 5). По аксиоме 1 существуют точка А, принадлежащая плоскости а, и точка В, не принадлежащая этой плоскости. Через А и В проиедем прямую а (аксиома 2). Предположим, что прямая а имеет с плоскостью а еще одну общую точку, отличную от А. Тогда, согласно гксжхме 3, ас а и точка В также принадлежит плоскости а. KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
