Пётр Сергеевич Моденов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

*** 1966 ***

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

ПРЕДИСЛОВИЕ       В главе I вводится понятие направленного отрезка, а затем известное соотношение между тремя точками, лежащими на прямой (теорема Шаля). Обобщением понятия направленного отрезка (упорядоченная пара точек) является понятие ориентированного треугольника (упорядоченная тройка точек) и ориентированного тетраэдра (упорядоченная четверка точек). Имеют место соотношения, аналогичные теореме Шаля. Включение этого материала в книгу позволяет дать общие выводы формул, относящихся к простейшим задачам по аналитической геометрии (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении, площадь треугольника, объем тетраэдра), а также получить необходимое и достаточное условие принадлежности трех точек одной прямой и принадлежности четырех точек одной плоскости. Простейшие вопросы по аналитической геометрии изложены последовательно на прямой, на плоскости и в пространстве. Это обстоятельство, а также введение понятия ориентированной плоскости и ориентированного пространства позволяет с самого начала изучения курса значительно расширить тематику задач на практических занятиях (главы I — II). Глава III посвящена понятию уравнений линии и поверхности (задачи 23—25, 29, 30 на сгр. 87—88 лучше решать после прочтения глав IV — VI). В главе IV изложена векторная алгебра.       Линейные образы на плоскости и в пространстве изложены в главе V (прямая линия на плоскости) и в главе VI (плоскость и прямая линия в пространстве).       В главе VII содержится материал, относящийся к преобразованию декартовой системы координат (сюда включены углы Эйлера).       В главе VIII дан традиционный материал но каноническим уравнениям линий второго порядка, а в главе IX изложены канонические уравнения поверхностей второго порядка. В главе X даны сведения о комплексной плоскости и комплексном пространстве. В главе XI изложена общая теория линий второго порядка, а в главе XII—общая теория поверхностей второго порядка.       В главу XIII выделены понятия отображения, преобразования и группы преобразований.       Линейное отображение (и преобразование) определяется как отображение, при котором сохраняется принадлежность трех точек одной прямой и сохраняется простое отношение (штава XIV); этим удается охватить вырожденные линейные преобразования. Аффинное преобразование определяется как линейное взаимно однозначное. В той же главе XIV даны сведения о собственных векторах линейного преобразования и доказана основная теорема о представлении аффинного преобразования в виде произведения ортогонального на самосопряженное. Все изложение ведется одновременно для плоскости и пространства.       В главе XV изложены элементы проективной геометрии.       В книгу включены четыре дополнения.       В дополнении I вводится понятие ориентации плоскости и пространства рассмотрением цепей из ориентированных треугольников и тетраэдров; все относящиеся сюда определения используют лишь аксиомы соединения н порядка (и потшу, например, могут быть без всяких изменений отнесены к плоскости и пространству Лобачевского).       В дополнении II излагается метрическая теория инвариантов многочлена второй степени от двух и трех переменных по отношению к преобразованию одной общей декартовой системы координат в другую. Даются понятия ковариантиых п контравариантных координат вектора и точки; излагается понятие метрического тензора.       В III дополнении исследуются типы и расположение в пространстве произвольных плоских сечений поверхности второго порядка, заданной общим уравнением, в частности круговые сечения и омбилические точки.       В дополнении IV излагается понятие проективных координат на проективной плоскости и в проективном пространстве и приводятся доказательства теорем Дезарга, Паскаля и Брианшона. В основном тексте я ограничился рассмотрением однородных координат.       Выражаю глубокую благодарность академику П. С. Александрову за просмотр рукописи, обсуждение ее на кафедре высшей геометрии и топологии, за все сделанные замечания и советы. Много ценных замечаний я получил от профессора Ю. М. Смирнова. Особую признательность и благодарность я приношу доценту кафедры высшей геометрии и топологии МГУ А. С. Пархоменко, который провел очень большую работу над рукописью при ее редактировании и дал мною ценных советов.       только одну несобственную точку и в случае параболы линия касается в этой точке несобственной прямой (§ 207).       Таким образом, на проективной плоскости, полученной из евклидовой плоскости пополнением несобственными элементами, линия второго порядка является одной из следующих линий.       1) Эллипс; у этой линии нет действительных несобственных точек.       2) Гипербола, дополненная двумя несобственными точками ее асимптот.       3) Парабола, дополненная несобственной точкой ее диаметров (имеющих асимптотическое направление).       4) Две пересекающиеся в собственной точке прямые дополненные их несобственными точками       5) Мнимый эллипс.       6) Две мнимые прямые, пересекающиеся в собственной точке.       7) Две параллельные прямые, дополненные их несобственной точкой.       8) Две мнимые параллельные прямые, дополненные общей действительной несобственной точкой.       9) Две совпадающие прямые, дополненные их несобственной точкой.       10) Две прямые, из которых одна собственная, а другая несобственная.       11) Дважды взятая несобственная прямая.       § 204. Проективная классификация линий второго порядка.       Распадающиеся и нераспадающиеся линии       Разобьем множество всех линий второго порядка, лежащих на проективной плоскости, па следующие пять классов       I. Линии второго порядка, которые не распадаются на две прямые и содержат бесконечное множество действительных точек.       II. Линии второго порядка, не имеющие ни одной действительной точки.       III. Линии второго порядка, распадающиеся на две различные действительные прямые.       IV. Линин второго порядка, содержащие только одну действительную точку (две мнимые пересекающиеся прямые).       V. Линии второго порядка, вырождающиеся в сдвоенные прямые.       Определение. Две линии второго порядка принадлежат к одному и тому же проективному классу, если существует проективное преобразование, переводящее одну из этих линий в другую. Если жг не существует проективного преобразования, которое одну из линий переводит в другую, то эти линии второго порядка принадлежат к различным проективным классам.       аффинному преобразованию А. При этом если это аффинное-преобразование А прямую переводит в прямую то проективное преобразование 91 несобственную точку прямой I переводит в несобственную точку прямой Если аффинное преобразование 1 плоскость л переводит в плоскость я, то проективное преобразование 91 несобственную прямую плоскости л переводит в несобственную прямую плоскости л.       Но так как па множестве собственных точек проективного пространства указанное разбиение па классы 1°—19° является аффинной классификацией, то на множестве всех точек проективною пространства указанная классификация — проективно-аффинная.       Теорема 2. I проективный класс составляют эллипсоиды, двуполостные гиперболоиды и эллиптические параболоиды.       II проективный класс составляют мнимые эллипсоиды.       III проективный класс составляют однополостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды.       IV проективный класс составляют действительные конусы второго порядка и действительные цилиндры второго порядка (эллиптический. гиперболический и параболический.)       V проективный класс составляют мнимые конусы и мнимые эллиптические цилиндры.       VI проективный класс составляют пары действительных пересекающихся плоскостей, пары действительных параллельных плоскостей и пары действительных плоскостей, из которых одна собственная, а другая несобственная.       VII проективный класс образуют пары мнимых пересекающихся и пары мнимых параллельных плоскостей.       VIII проективный класс образуют сдвоенные собственные плоскости и сдвоенные несобственные плоскости.       При этом указанные выше поверхности дополняются несобственными точками так, как указано ч предыдущей теореме.       Доказательство. Для доказательства достаточно проверить проективно-инвариантные характеристики каждого из восьми классов поверхностей второго порядка в проективном пространстве.       I. В самом деле, эллипсоиды, двуполостные гиперболоиды и эллиптические параболоиды, имеют бесконечное множество действительных точек и не имеют прямолинейных образующих.       II. На мнимых эллипсоидах нет ни одной действительной точки.       III. Однополостпый гиперболоид и гиперболический параболоид обладают тем свойством, что через каждую точку их поверхности (в том числе и через несобственную!) проходят две различные прямолинейные образующие.       IV. Действительный конус второго порядка, эллиптический, гиперболический и параболический цилиндр являются действительными коническими поверхностями; для трех последних поверхностей вершина--несобственная гочка и т.д.       КОНЕЦ ФРАГМЕНТА КНИГИ