|
В этой книге рассматривается применение некоторых геометрических (графических и графико-вычислительных) приемов к решению разнообразных арифметических и алгебраических задач. Решение задач осуществляется при помощи чертежей — диаграмм и графиков. Построение этих чертежей дает возможность «увидеть» задачу — установить и исследовать связи, существующие между величинами, входящими в задачу, выбрать кратчайший путь решения.
Книга предназначена для самостоятельной работы и для школьных математических кружков.
Диаграмма — это чертеж или рисунок, на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и той же величины или нескольких сравнимых величин.
Так, например, рис. 1 является диаграммой числа учащихся в 5 — 10 классах средних учебных заведений на территории СССР за несколько лет.
На рис. 2 представлена диаграмма сравнительной длины крупнейших рек СССР. Она напоминает нам, что самая длинная река в нашей стране — Лена.
Графин — зто обычно некоторая линия (реже — совокупность отдельных точек), определенным образом расположенная относительно осей координат.
Г рафик удобен для изображения связи между двумя величинами, из которых одна является аргументом, а другая — функцией. Каждое значение аргумента является абсциссой некоторой точки графика, а соответствующее значение функции — ординатой той же точки. Например, на рис. 3 изображены графики среднего веса и роста детей в возрасте до 7 лет.
Диаграммы и графики могут быть использованы, однако, и в качестве одного из средств решения некоторых арифме* тических и алгебраических задач. Это будет показано в нашей книге.
Применяя диаграммы к решению задач, мы будем изображать подходящими геометрическими фигурами (часто даже просто отрезками) численные значения величин, входящих в условие задачи; действия над числами мы заменим соответствующими построениями на диаграмме. Например, если по условию задачи все имеющиеся яблоки должны быть разделены на три равные части, то мы начертим произвольный отрезок, условно изображающий данное количество яблок, и решение задачи будет состоять лишь в делении этого отрезка на три равные части. Когда это потребуется, будут и более сложные построения.
Применению диаграмм к решению задач посвящены первые две главы книги.
В тех случаях, когда в задаче идет речь о двух величинах, связанных между собой функциональной зависимостью, мы используем для решения задачи графой или несколько графиков на одном чертеже.
Графини удобно строить на миллиметровой бумаге («миллиметровке»), или на бумаге «в клеточку».
Применению графиков к решению задач посвящены остальные четыре главы книги; при этом мы ограничились такими типами задач, для решения которых достаточны лишь прямолинейные графики.
В нескольких случаях мы дали решение одной и той же задачи в двух главах; один раз — с использованием диаграммы, а другой раз — с использованием графика.
Построение диаграмм и графиков, а также применение их к решению арифметических и алгебраических задач основаны на законах геометрии; вот почему мы и назвали книгу «Геометрия помогает арифметике».
Решение геометрических задач, как известно, осуществляется двумя приемами; либо точными построениями при помощи инструментов (конструктивный прием), либо обоснованными вычислениями; во втором случае вместо точного чертежа можно ограничиться лишь наброском и точными обоснованиями (вычислительный прием).
Эти же приемы используются и в решении арифметических задач геометрическими способами:
1) Нонструитивный прием (чисто графический). Диаграмма или графин вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой, угольником на миллиметровой бумаге ИЛИ- бумаге в клеточку. Ответ получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей; мы находим его при помощи ^измерений длин отрезков или других элементов чертежа, или просто «читаем» ответ на чертеже.
2) Вычислительный прием (графико-вычислительный). Диаграмма или график применяется как условное изображение связи между рассматриваемыми величинами. В этом случае чертеж выполняется от руки — в виде наброска, эскиза. Решение задачи осуществляется аналитически, путем вычислений, но основывается на точных геометрических соотношениях.
Решая задачи, мы в этой книге, как правило, избираем один из этих приемов: либо конструктивный, либо вычислительный; иногда, для сопоставления, применяем и оба приема.
В конце каждой главы помещены задачи для упражнений. Рекомендуем читателю решать эти задачи различными способами: как теми, которые описаны в книге, тан и ранее знакомыми — арифметическими и алгебраическими. (Если материал второй главы покажется при первом чтении трудным, можно перейти к следующим главам.)
Конечно, самостоятельное решение некоторых задач при помощи геометрических средств требует известного навыка и изобретательности; эти качества будут вырабатываться у читателя в процессе работы над книгой. Мы надеемся, что изящное решение, полученное самостоятельно, доставит удовольствие читателю.
Применение диаграмм и графиков к решению задач может в одних случаях почти полностью заменить чисто вычислительные приемы, а в других — облегчить наилучший выбор неизвестногр для составления уравнения, или подсказать ход рассуждений для отыскания арифметического решения.
Очень важное достоинство геометрического решения задачи — jB его наглядности: на диаграмме или графине видна связь между в:еличинами, входящими в условие задачи; чертеж помогает расширить задачу — поставить и решить более общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий. Особенно целесообразно применение диаграмм и графиков в тех случаях, когда требуется ответить не на один, а на несколько вопросов.
Приведенные в этой книге условия задач взяты в большинстве случаев из распространенных задачников и других учебных пособий и книг. Кроме того, в книге дано около полутора десятков новых задач, которые хорошо решаются с помощью геометрии.
Замысел книги принадлежит А. И. Островскому; им же дано графическое решение всех задач.
Авторы просят читателей присылать свои замечания по адресу издательства (Москва, В-71, Ленинский проспект, д. 15, Физматгиз, редакция математики). |
