 ПРЕДИСЛОВИЕ
Главнейшие особенности предлагаемого руководства геометрии состоят в следующем:
В большинства наших учебников геометрии понятие о длине окружности и вообще кривой линии принимается за элементарное, не требующее никаких оговорок и разъяснений, и вывод, что длина окружности есть предел периметров иравильных вписанных и онисанных многоугольников основывается на скрытом допущении или на не строго доказываемой теорем, что обемлющая линия длиннее обемлемой. В предлагаемом руководстве, в согласии со многими авторитетами учебно-математической литературы, проведено иное воззрение, которым признается, что понятие о длине элементарно только в применении к прямой:, но когда речь идет о сравнении конечной кривой с прямолинейным отрезком, тогда (вследствие песовместимости элементов кривой с элементами прямой) понятие о длине становится сложным и требует определения.*)
*) Отсылаем интересующихся этиы вопросои к статьф. М. Допроженко в Вестнике он. физики и элем. математики. 1891 г., № 122 и 123).
Сообразно этому взгляду мы не доказываем, а принимаем за опредедение, что длиною конечной кривой называется предел периметра вписанной ломаной линии, когда стороны ея стремятся к нулю. Конечно, в средних классах учебных заведений было бы затруднительно вполне обосновать это опредедение, т. е. доказать, что такой предел существует и что он не зависит от закона вписывания ломаной линии, но в педагогическом отношенш, как нам кажется, некоторые пробелы в доказательств (не скрываемые, впрочем, от учащихся) не имеют такого вредного значения, как неопределенность, неясность и сбивчивость в нонятиях, а тем более в основных. При повторении геометрии в старшем класса (особенно в реальных училищах, где равны их приближенный значения, вычисленный с произвольною, но одинаковою точностью. Приняв это предложение за опредлете равенства, мы не Нуждаемся более в косвенном и тяжелом доказательстве от противного его всегда можно заменить прямым доказательством, и более иростым, и более ясным.
Некоторый статьи изложены в прилагаемом руководстве, как кажется, проще, чем в раснространенных наших учебниках. Таковы, например, статьи: о параллельных прямых, об относительном положении окружностей, о пропорциональных линиях, о правильных многоугольниках, о нахождении объема всякого параллелопипеда, о подобии многогранников и некоторые другие.
Кроме указанных главнейших особенностей читатель встретить в этой книге и некоторый друпя. Отступая местами от обычного приёма изложения, мы стремились или упростить доказательства, или сократить количество заноминаемого материала, или облегчить усвоение предмета во всей его целости. Изложение некоторых теорем существенно изменено (напр., теорема Птодомея)- теоремы, близкие друг к другу по их логической связи или но общности доказательства, соединены в одну группу. Некоторый обыкновенно номещаемыя в руководствах теоремы отнесены нами к упражнениям, или выпущены совсём, как не имеюпщие применения в логической цепи других теорем и не представлнюпця самостоятельного интереса (напр., обратная теорема о вертикальных углах, или случай равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу). С целью облегчить учащимся усвоение распределения материала мы сочли полезным везде, где возможно, давать той или другой группе теорем соответствующий заголовок, указывающий на характер теорем этой группы.
Заметим еще, что относительно обратных теорем, следуя некоторым Французским учебникам, мы стремились провести идею — что если в теореме или ряде теорем разсмотрены всевозможные случаи, которые могут представиться относительно величины или расположения неноторых частей Фигуры, причем оказалось, что в различных случаях получаются различные выводы относительно величины? или расположения других частей Фигуры, то можем утверждать, что обратные предложения верны. Освоившись с этим логическимнринцином, учащшся во многих случаях могут сами составлять и доказывать обратный предложены без помощи учителя и учебника.
Книга снабжена значительным количеством упражнений, состоящих частию из некоторых не вошедших в текст, но представ л яющих интерес теорем, а главным образом из задач на ностроение и вычиcлeниe. В конце планиметрии мы поместили*) некоторый задачи на вычислите из Сборника геометрических задач для курса планиметртии г. М. Понруженко.
*) с coгласия составителя.
Эти задачи обладают прежде всего тем достоинством, что они содержат много чисто геометрического мaтepиaла, а не представляют собою только арифметических или алгебраических упражнвний сгеометрическими данными. В конце курса, в виде дополнения, мы сочли не лишним приложить небольшую статью о методах решений геометрических задач на построение с примерами задач, решаемых этими методами. Сущеcтвyющиe у нас сборники подобного рода, устрашая учащихся своим объемом, употребляются ими лишь в редких случаях. Мы изложили в самом сжатом вид только главные методы и поместили наиболее типичныя задачи.
Следуя учебным планам гимназий и реальиых училищ, мы иомещаем осиовныя задачи на построение и вычисление в самом текст книги неносрественио только тех теорем, на которых основано их решение. В сокращенном вид мы указываем также сущность приложена алгебры и геометрии и построение простейших алгебраических Формул.
Считаем не лишним сделать следующее замчание. С точки зрения строгой теории к задачам на построениеe возможно приступать только тогда, когда ученики усвоили основныя предложения об окружности. Но с педагогической точки зршя это едва ли было бы удобно: отодвинуть практические упражненения так далеко от начала курса значило бы сделать начало геометрии, и без того трудное для начинающих, еще более сухим и тяжелым. Мы поступились строгостью в пользу практического интереса и поместили основные задачи на построение тотчас после рассмотрения свойств треугольников.
Книга напечатана двумя шрифтами: в обыкновенном изложено все то, что должно быть пройдено в средних классах. В мелком — то, что желательно дополнить при повторенш геометрии в старшем классе. Не желая расширять объема учебника, мы не поместили в нем ничего такого, что не входило бы в программы или гимназий, или реальных училищ.
При составлена этого руководства мы пользовались, как пособием, кроме известных оригииальных и переводных учебников на русском языке, ещё следующими сочинениями: (...) и некоторыми другими.
Харьков, 8 марта 1892 г.
А. Киселев. |
