ОТ АВТОРА
Как известно, высокая квалификация будущих специалистов в любой области науки и техники во многом зависит от того, насколько школьные учебные программы обеспечивают преемственность по отношению к программам обучения в вузах, техникумах и профессионально-технических училищах нашей страны.
Нарушение этого важнейшего принципа преемственности создает ситуацию, при которой по окончании школы молодежь оказывается недостаточно подготовленной для продолжения своего образования в высших и средних технических учебных заведениях.
Научно-техническая революция предъявила необычайно высокие требования к подготовке специалистов во всех областях народного хозяйства. Программы вузов и техникумов перестроены в соответствии с новыми требованиями. Средняя школа также приняла все меры, чтобы принцип преемственности не был нарушен. Она не только расширила и углубила свои учебные программы, но и начала применять новые, чрезвычайно смелые и, как оказалось, весьма эффективные методы обучения. Достаточно напомнить о том, что в современной школе алгебру и геометрию ребята успешно изучают в начальных классах.
Однако сегодняшние выпускники средней школы в начальных классах учились по старым программам, и прогрессивные методы обучения «застали» их, когда они уже заканчивали школу. Естественно, что перед ними то и дело возникают трудности; для этой категории молодежи принцип преемственности в какой-то мере нарушен.
Многолетний опыт автора привел его к убеждению, что так называемая графическая грамота — одна из дисциплин, в изучении которой учащиеся вузов и средних технических учебных заведений испытывают наибольшую трудность.
Вероятно, это объясняется некоторой недооценкой графической грамоты, которая в школьных расписаниях именовалась «черчением».
Поэтому разрыв в освоении курса графики между школьными и вузовскими программами ощущается довольно остро. Дело иногда доходит до курьезов. Так, на одном занятии, когда преподаватель объяснял и показывал построение перпендикуляра к данной прямой в заданной на ней точке с помощью циркуля, один из студентов, рассматривая изображение на доске, заметил:
— Вы предложили в рабочей тетради провести прямую, а сами провели наклонную.
Под понятием «прямая» студент подразумевал линию, находящуюся в горизонтальном положении.
Этот пример, к сожалению, не единичный, их много.
Задача, которую поставил себе автор, работая над этой книгой, — помочь ее читателям ликвидировать разрыв между тем, что они знают и умеют в области графической грамоты из школьного курса, и тем, что должны знать и уметь перед поступлением в вуз, техникум, ПТУ. Поэтому книга ни в коей мере не может заменить собой учебник, а является как бы своего рода помощником в практической работе. Этой задачей объясняется
и построение книги, начиная с введения, в котором автор определяет, что такое графическая грамота и какую роль она играет в эпоху НТР, и кончая особенностями изложения материала.
Автор акцентирует внимание именно на тех вопросах, которые, с точки зрения его педагогического опыта, требуют разъяснения с азов, с азбуки. В этих случаях ему приходится прибегать к более обширным теоретическим обоснованиям, потому что знания, полученные «без основ», поверхностны и недолговечны. Когда же речь идет о вопросах, которые по наблюдениям автора более знакомы его читателю, теоретические обоснования кратки.
Автор также считает наиболее эффективным методом обучения графической грамоте практические занятия, поэтому в книге широко представлены «задачи на построение», даны и совершенно новые способы их решения.
Сведения теоретического характера, примеры и практические задачи в этой книге не могут исчерпать весь круг вопросов и проблем графической грамоты, но автор надеется, что его работа поможет читателям научиться тому, без чего немыслима деятельность в любой из научных и технических профессий.
ВВЕДЕНИЕ
Чертеж и рисунок являются интернациональным изобразительным языком и имеют широкое применение во всех областях деятельности человека.
Этим изобразительным языком приходится пользоваться людям различных профессий и специальностей.
Помимо теоретической подготовки и практических знаний, каждый специалист должен быть графически грамотным, должен уметь графически выразить свои мысли, изобразить проектируемые машину, станок, аппарат или прибор на чертежах, пояснить различные части и детали своего проекта — те, которые он считает необходимым особо выделить, — подробными чертежами, эскизами, а иногда и рисунками, исполнив их в соответствии с принятыми методами изображения, о которых речь будет впереди.
Пояснение технической мысли чертежами и рисунками необходимо не только в кругу инженеров и техников. Графическая грамота нужна и мастеру и рабочему, которые являются исполнителями того, что изображено на чертеже, представляющем собой основной технический документ любого производства или предприятия.
Как всякий грамотный человек должен уметь читать, писать и считать, так всякий специалист должен быть в первую очередь графически грамотным.
Графическая грамота заключается не только в том, чтобы суметь выполнить чертеж с помощью соответствующих инструментов, но и в навыках технического рисования.
Правила технического рисования могут быть усвоены каждым, подобно тому как каждый может научиться
читать и писать, особых способностей для этого не требуется.
Сделать технический рисунок без обучения техническому рисованию, не сообразуясь с принятой теорией и правилами исполнения рисунка, нельзя. Срисовывание «на глазок» к положительным результатам не приводит.
Помимо усвоения теоретических основ и правил технического рисунка, большую роль играют упражнения и практика, которые и должны привести к хорошим результатам.
Почти все специалисты, за исключением художника, пользуются техническим рисунком.
В области техники рисунок является дополнением к чертежу, поясняя то, что изображено на нем.
Чертеж, несмотря на всю, казалось бы, достаточную ясность, страдает весьма существенным недостатком — отсутствием наглядности. Предмет представлен здесь как бы в расчлененном виде, и требуется некоторое напряжение, чтобы увидеть его пространственную форму. Это можно подтвердить следующим примером.
На рисунке 1 (фиг. 1) изображена модель в трех видах способом прямоугольных проекций. Представление об этом предмете при чтении чертежа можно получить лишь путем ряда умозаключений и напряжения воображения.
Фигура 2 — эта модель представлена рисунком в параллельной перспективе.
Теперь мы можем убедиться в том, что представить форму модели по рисунку можно без особых усилий.
В настоящей книге мы будем рассматривать рисунок и чертеж, которые тесно связаны между собой и составляют единую графическую грамоту для специалиста любого профиля.
Графическая грамота базируется в основном на знаниях элементарной геометрии и отдельных разделов из курса начертательной геометрии.
Из этих наук мы должны извлечь и рассматривать только те правила и законы, которые носят прикладной характер, — это поможет овладеть основами графической грамоты, о которой, собственно, и пойдет речь.
Автор хотел бы обратить внимание читателей на один важный момент: книга эта выходит в серии, которая называется «Знай и умей».
Чтобы совместить эти два момента, то есть и знать и уметь, необходимо выполнить следующие условия:
1. Читать эту книгу надо с карандашом в руках, пользуясь по мере надобности и другими чертежными инструментами.
2. Выполнять все практические задачи, в ней предложенные, аккуратно и точно.
Соблюдение этих условий даст вам возможность овладеть основами графической грамоты и достичь той цели, которую поставили автор и издательство.
Глава первая
ЧЕРТЕЖНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
ИНСТРУМЕНТЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Для исполнения чертежей и других графических работ необходимы инструменты и принадлежности. (Рис. 2.)
В первую очередь нужна готовальня — футляр с чертежными инструментами. Основными инструментами готовальни являются циркуль-измеритель и циркуль для проведения дуг и окружностей. В больших готовальнях имеются еще кронциркули, предназначенные для проведения окружностей небольших диаметров. На крышке футляра готовальни указывается количество инструментов, которые в ней находятся. Например: У5, У7 или У14. Это значит, что в ней находятся пять, семь или четырнадцать предметов. Буква У означает — учебная.
Для исполнения чертежей необходимо иметь также чертежную доску, рейсшину, два треугольника. Треугольники должны быть с углами в 45° и в 60°. (Рис. 3, а и б.)
Выполняются чертежи специальными чертежными карандашами марки «Конструктор». Рекомендуются для чертежных работ карандаши твердые и средней твердости.
Необходимо иметь мягкую резинку для подчистки чертежей.
Для определения величины различных углов необходимо иметь транспортир. Транспортиры бывают металлические и пластмассовые. Предпочтительно иметь пластмассовый транспортир. (Рис. 4.)
Для обводки криволинейных линий на чертежах необходимы лекала различных конфигураций и величин. (Рис. 6.)
В технике исполнения графических работ большое значение имеет правильная подготовка чертежных инструментов. Можно провести параллель с музыкальным инструментом: если он не настроен, игра на нем невозможна.
При обводке пересекающихся линий штрихпунктир-ных и штриховых штрихи их должны пересекаться посередине.
Штриховые линии в местах их соединения с другими линиями не должны иметь разрыва.
Места соприкосновения двух линий обводятся без удвоения или утолщения.
Центр окружности определяется пересечением штрихов.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ГОСТов И ОФОРМЛЕНИЕ ЧЕРТЕЖЕЙ
В СССР существуют различные категории стандартов, и каждый из них имеет силу закона в области его действия.
Мы ознакомимся лишь с теми, которые для нас представляют наибольший интерес.
Для выполнения и оформления графических работ, рекомендуемых в настоящей книге, необходимо соблюдать нормы и правила в соответствии с установленными стандартами.
Форматы чертежей
По ГОСТу установлено пять основных форматов.
Обозначение формата 11 12 22 24 44
Размеры сторон листа в мм 297X210 297X420 594X420 594X841 1189X841
Основной формат 44 (1189X841) имеет площадь, равную 1 кв. м.
Этот формат путем последовательного деления пополам образует другие (24, 22, 12, 11), которые также называются основными. В обозначении форматов первая цифра указывает кратность одной стороны к величине 297 мм. Вторая цифра — кратность другой стороны к величине 210 мм.
Произведение чисел, составляющих обозначение формата, определяет количество форматов 11 (297X210). Например: формат 22 означает, что он содержит два формата 11.
Масштабы
Масштабом называется отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к его действительным размерам в натуре.
Масштабы изображений на чертежах стандартизированы.
Изображению предмета в натуральную величину соответствует масштаб 1:1.
В зависимости от сложности и величины предмета пользуются следующими масштабами:
для уменьшения — 1:2; 1:5; 1:10; 1 : 20; 1 : 50;
для увеличения — 2:1; 5:1; 10:1.
Обозначение масштаба на чертеже должно быть таким:
Ml : 1; Ml : 2; М2 : 1; М5: 1 и т. д. (Рис. 14.)
Линии чертежа и их обводка
Четкость и выразительность изображений на чертежах зависят от того, как выдержаны требуемые стандартом толщины линий и их обводка. (Рис. 15).
Рис. 15
Шрифты чертежные (ГОСТ 304-68)
Для надписей на чертежах установлен простой и удобный шрифт, он отличается четкостью благодаря хорошей пропорциональности элементов букв и цифр. Наклон букв и цифр к основанию строки должен быть около 75°. Шрифт состоит из прописных и строчных букв. (Рис. 16 и 17.)
Размеры шрифтов, указанных в прилагаемых таблицах, означают высоту прописных букв в миллиметрах. Для надписей на чертежах рекомендуются следующие размеры шрифтов: 14; 10; 1; 5; 3,5 и 2,5.
Надписи обычно выполняют карандашами «Т» и «ТМ».
Сначала пишут тонкими, еле заметными линиями, соблюдая при этом необходимые размерные соотношения, а потом слегка притупленным карандашом «ТМ» производят обводку букв и цифр. Не следует писать одним непрерывным движением руки, как это бывает при обычном письме.
Буквы должны выполняться по частям (отдельным элементам), движение руки только по двум направлениям — сверху вниз и слева направо.
Глава вторая
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ
1. ЛИНИЯ
ЛИНИЯ представляет собой след движущейся точки. Так как точка может иметь различное направление в движении, то мы можем получить и различные виды линий. Прямая линия получается при движении точки на плоскости в одном направлении. Прямая безгранична и простирается в бесконечность. Определенную часть прямой именуют отрезком АБ или СД, который является кратчайшим расстоянием между двумя точками.
ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ составлена из отдельных отрезков прямой, примыкающих друг к другу под каким-нибудь углом.
КРИВАЯ ЛИНИЯ получается при движении точки с постоянным отклонением от прямой, причем точка все время меняет направление.
СМЕШАННАЯ ЛИНИЯ составлена из отрезков прямых и кривых, соединенных друг с другом. (Рис. 18, а, Ь, с и d.)
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИИ. Две прямые, лежащие в одной плоскости, могут пересекаться или совсем не пересекаться, как бы мы их ни продолжали. В первом случае они называются пересекающимися, а во втором — параллельными. (Рис. 19.)
Параллельные
Граница всякого тела называется поверхностью. Рассматривая поверхности предметов' в нашей комнате, мы всегда можем заметить и отдельные части их, именуемые гранями. Отделить поверхность от тела нельзя, но представить их отдельно можно. Грани поверхности имеют только два измерения — длину и ширину, когда, например, речь идет об окраске крышки стола, или ширину и высоту в том случае, когда надо определить метраж при оклейке стен обоями.
Поверхности бывают различными по своему виду — граненые, цилиндрические, конические и сферические. (Рис. 20.)
Разные поверхности можно наблюдать, рассматривая различные предметы и принадлежности. Обратите внимание, например, на карандаши: они бывают граненые и круглые.
Если возьмем какую-нибудь точку А и проведем через нее две произвольные прямые, то одна прямая будет наклонена к другой, образуя линейный угол. Наклоны линий могут быть различны, следовательно, различными могут быть и углы.
Всякий линейный угол имеет три элемента: вершину, которая представляет собой точку пересечения двух прямых, и стороны, ограничивающие часть плоскости. Угол обозначается тремя буквами (ВАС) или одной буквой (в этих случаях принято использовать буквы греческого алфавита, которые пишутся у вершины, например: а или р. (Рис. 21.)
В практике различаются прямые углы, составляющие 90°, образованные двумя прямыми, перпендикулярно направленными друг к другу, острые и тупые углы. Прямей угол обозначают буквой d. Острый угол всегда меньше
прямого, его можно поместить внутри прямого, совместив их вершины в одной точке. Тупой угол всегда больше прямого. Все прямые углы равны между собой. Прямые линейные углы встречаются на гранях куба, на стенах комнаты, на обрезках бумаги различного формата.
Для того чтобы вы могли убедиться в равенстве прямых Рис. 22 углов, возьмите два кубика
различной величины и поставьте меньший на больший так, чтобы вершины плоских углов и сторон их совпали. (Рис. 22.)
Так как прямые углы всегда одной величины, то с ними и сравнивают другие углы.
Острый угол содержит меньше 90°, а тупой — больше 90°.
Если сторону прямого угла вращать вокруг вершины все больше и больше, то угол станет тупым и будет постепенно увеличиваться. Когда обе стороны будут развернуты так, что составят одну прямую, то образуется развернутый угол, равный 180°.
Измеряются углы прибором, который называется — транспортир.
4. ИЗМЕРЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЯ
Для того чтобы выполнить чертежи различных предметов, надо прежде всего уметь их измерить. Измерением предметов и их частей занимается наука, называемая геометрией.
Первые измерения, которые потребовались людям, были измерения земель и различных угодий. Начало и название свое геометрия получила от этих измерений.
Впоследствии, когда геометрия получила дальнейшее развитие, она занялась измерением всех предметов в природе, а способы измерения земли были выделены в особую науку, называемую геодезией.
Для того чтобы возможно было разработать правила и определенную систему измерения предметов, геометрия выделила ряд общих форм, которые чаще всего встречаются в жизни и в технике. К ним относятся, во-первых, плоские фигуры и, во-вторых, тела, имеющие объем.
5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
Рассматривая предметы, нас окружающие, мы замечаем в них определенное сходство — сходство формы. Сходную форму могут иметь предметы с разным назначением, скажем, ведро, стакан и колонна (цилиндр), а одинаковым по назначению предметам может быть придана разная форма (граненый или круглый стакан, коническое или цилиндрическое ведро). (Рис. 23.)
Геометрические формы многочисленны и многообразны. Плоскость, поверхность которой безгранична и про-
стирается в бесконечность, не поддается измерению. Но часть плоскости или отсек ее называется фигурой, которая имеет определенную форму и размеры.
Фигура — предмет двух измерений. Мы можем определить только ее площадь. Когда нам нужно определить площадь комнаты, достаточно измерить ее длину и ширину, перемножить данные и получить результат, выраженный в квадратных метрах.
На рисунке 24 изображены наиболее часто встречающиеся фигуры. Треугольник — это фигура,составленная из трех прямых линий, которые в пересечении образуют три вершины, именуемые обычно буквами ABC. Принята и другая формулировка: треугольник представляет собой часть плоскости, ограниченной тремя сторонами, которые в пересечении определяют его вершины.
Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним. А если только две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным. Треугольник с разными сторонами называется разносторонним.
Квадрат — фигура, у которой все четыре стороны равны, а углы прямые. Диагонали квадрата в пересечении определяют центр его и всегда взаимно перпендикулярны.
Прямоугольник — фигура, у которой противолежащие стороны равны, а углы прямые.
У ромба все стороны равны, а диагонали его пересекаются под прямым углом. Отличается он от квадрата
тем, что два противолежащих его угла тупые, а два — острые.
Параллелограмм — фигура, у которой противолежащие стороны равны, а углы тупые и острые. Диагонали его, пересекаясь, образуют два тупых и два острых угла.
6. ОКРУЖНОСТЬ
Если поставить одну ножку циркуля неподвижно, а другую вращать, то образуется фигура, именуемая кругом.
Круг представляет собой часть плоскости, а линия, ограничивающая круг, называется окружностью.
Все точки окружности отстоят на равном расстоянии от точки, именуемой центром. Линия, соединяющая центр с любой точкой окружности, называется радиусом. Все радиусы равны между собой и обозначаются на чертежах латинской буквой R.
Линия, проходящая через центр окружности и соединяющая две точки, называется диаметром и обозначается буквой D. Диаметр равен двум радиусам. Это записывается так:
D = 2R
Если соединить две точки окружности прямой, не проходящей через центр, то она именуется хордой. Любая хорда меньше диаметра круга. Часть круга, отсекаемая хордой, называется сегментом, а часть круга между двумя радиусами и окружностью — сектором.
Прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей. А прямая, которая проходит через одну точку окружности, — касательной. Прямая, проходящая из центра через точку касания, именуется нормалью. (Рис. 25.)
Нормаль и касательная всегда взаимно перпендикулярны.
Для определения длины окружности ее надо распрямить.
Существует ряд способов «спрямления» окружностей, один из которых показан на рисунке 26.
Рис. 25
Геометрией давно доказано, что длина окружности (L) равна 3,14Д или L=22hD.
Обозначается эта формула греческой буквой п (пи). Зная диаметр окружности, можно по этой формуле определить длину данной окружности, и наоборот, зная длину данной окружности, можно по этой формуле определить ее диаметр.
На рисунке 27 (а) указан способ проведения дуги окружности через три данные точки А, В и С.
Соединяем данные точки прямыми и к полученным
хордам АВ и ВС проводим перпендикулярные прямые, которые должны разделить хорды пополам.
Продолжив перпендикуляры до их пересечения в точке О, получим центр искомой дуги.
Из полученного центра О, радиусом, равным ОС, ОВ или О А, проводим дугу окружности.
На рисунке 27 (б) указан способ определения центра данной дуги.
Проводим вспомогательную прямую так, чтобы она пересекала данную дугу в точках А и В. Хорду АВ надо разделить пополам и через полученную точку К провести перпендикуляр до пересечения его с дугой в точке С.
К хорде АС проводим перпендикуляр до пересечения его с продолженной прямой КС в точке О. Она и будет искомый центр.
7. ТЕЛО
Все предметы, которые окружают нас повседневно — на улице, дома, в школе, — в графике принято именовать телами. Тела имеют различную форму, бывают простыми и сложными... Но в основе любого тела, любой формы лежит тот или другой геометрический образ. Вспомним некоторые из них, такие, как куб, цилиндр, шар. Эти тела в детстве были у вас предметами игр. А в школе, на уроках геометрии, вы рассматривали их формы, характер и свойства, изучая для этого различные теоремы, закрепляя теоретические вопросы практическими задачами.
Говоря о телах, мы должны помнить, что любое тело занимает определенное, ограниченное по трем направлениям — длине, ширине и высоте — пространство.
Когда речь идет о размерах комнаты или о предметах в ней — столе, диване, стуле, мы их определяем по трем направлениям, о которых сказано было выше.
Иногда одному из этих направлений дают особое название: так говорят — толщина доски или глубина колодца вместо того, чтобы сказать — высота. И уже никак не скажешь, что впереди простиралась «толстая» река или «толстый» овраг.
Наименование измерения определяется в зависимости от положения его в пространстве. Так, встречая человека высокого роста, вы скажете: «Какой высокий!» Но если того же человека вы встретите на пляже, вы скажете: «Какой длинный!» У предмета, имеющего вертикальное положение, мы измеряем высоту, а горизонтальное — длину. Скажем, если труба находится в горизонтальном положении, мы определяем ее длину, а если в вертикальном, то этот же размер определяется как высота.
Глава третья
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
I. ПОРЯДОК ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ
Прежде чем приступить к рассмотрению и выполнению основных задач на построение, необходимо ознакомиться с линиями чертежа, которые являются основными элементами любого графического изображения.
При выполнении чертежей надо пользоваться линиями, установленными государственным стандартом (ГОСТом) Союза ССР (слово «стандарт» английского происхождения и в переводе на русский язык означает «образец»).
Для выполнения чертежей, указанных в этой книге, необходимо применять следующую группу линий (Выдержка из ГОСТ 2 303-68). (Рис. 15. Стр. 17).
Штриховая линия состоит из штрихов, длина которых установлена в пределах от двух до восьми миллиметров. Чаще всего практикуют длину, равную четырем или пяти миллиметрам. Интервалы между штрихами должны быть равны одному или двум миллиметрам.
Штрихпунктирная линия состоит из штрихов и точек; длина штриха установлена в пределах от пяти до тридцати миллиметров — это зависит от масштаба изображения. Расстояние между штрихами должно быть от трех до пяти миллиметров.
Разомкнутая линия состоит из двух штрихов, длина которых должна быть от восьми до двадцати миллиметров, а толщина штрихов такая же, как контурные линии, то есть 0,6 — 1,5 мм.
0 назначении линий
Сплошная основная применяется для изображения линий видимого контура предмета. Сплошная тонкая линия применяется для штриховки сечений и разрезов, для выносных, размерных и вспомогательных линий при исполнении различных геометрических построений.
Штриховая линия применяется при изображении невидимого контура предмета.
Штрихпунктирными линиями проводят оси симметрии, центровые линии, а в отдельных случаях используют при изображении фигур сечения. Пример применения различных линий в соответствии с указаниями ГОСТа показан на рисунке 28.
Ознакомившись с алфавитом линий, можно приступить к разбору основных геометрических задач на построение.
I. Восставить перпендикуляр в точке Р, данной на прямой. (Рис. 29.)
Из точки Р, как из центра, произвольным радиусом R проводим дугу до пересечения ее с данной прямой, из точек пересечения дуги с прямой проводим вспомогательные дуги равными радиусами R2 и Rz до их пересечения в точке F, а затем линейкой или треугольником
2. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ
соединяем точки F и Р — это и будет искомый перпендикуляр.
II. Из данной точки А, находящейся вне прямой, опустим перпендикуляр.
Произвольным радиусом описываем из данной точки дугу, которая пересекает прямую в точках М и N. Из этих точек вновь описываем дуги так, чтобы они пересекались в точке К. Соединив точки А и Ку мы получим прямую АК, перпендикулярную к данной прямой.
III. В крайней точке А данной прямой восставить перпендикуляр. Решим данную задачу двумя способами:
СПОСОБ ПЕРВЫЙ. Удлиним данную прямую А в направлении от крайней точки А влево. Из точки А опишем произвольным радиусом дугу так, чтобы она пересекала прямую и ее продолжение в двух новых точках В и С. Из этих точек радиусом, несколько большим радиуса дуги Ri (чем больше радиус дуги, тем точнее будет построение), проводим дуги до их пересечения в точке Е. Соединив точки Е и А, получим искомый перпендикуляр.
СПОСОБ ВТОРОЙ. (Рис. 30 а.) Произвольным радиусом R\ описываем дугу из точки А так, чтобы она пересекала данную прямую в точке К. Тем же радиусом описываем новую дугу R2, проходящую через данную точку А, получив на вспомогательной дуге новую точку Е. Тем же радиусом /?з из точки Е описываем дугу, определяющую точку М, и обратную дугу — из точки М через точку Е. Из точки С — точки пересечения вспомогательных дуг — проводим прямую через точку А, получив таким образом искомый перпендикуляр.
СПОСОБ ТРЕТИЙ. (Рис. 30 б.) От данной точки С откладываем пять равных частей. Эти части могут быть любой величины, но обязательно равные. Затем из точки С радиусом R1, равным трем единицам (частям), проводим вспомогательную дугу, а из точки 4 радиусом R2> равным пяти единицам (частям), пересекаем проведенную дугу в точке /С. Соединив полученную точку К с данной точкой С, определим искомый перпендикуляр.
Рис. 306
Указанный способ основан на известной теореме Пифагора о сторонах прямоугольного треугольника, в которой сказано, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. (Рис. 31.)
А теперь рассмотрим некоторые практические способы проведения перпендикуляров, выполняемые обычно без геометрических построений с помощью соответствующих чертежных принадлежностей.
При наличии чертежной доски, рейсшины и чертежных треугольников способы проведения перпендикуляров весьма просты — их можно рассмотреть непосредственно на рисунках 8 и 9. (Стр. 13.)
3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ
Задача
Требуется провести через данную точку А линию, параллельную данной прямой. (Рис. 32, I, II, III.) Предлагаем три способа решения этой задачи.
СПОСОБ ПЕРВЫЙ. Из данной точки А произвольным радиусом Ri проводим вспомогательную дугу до пересечения с данной прямой в точке В, из точки В тем же радиусом /?2 проводим вторую дугу через точку А. Радиусом /?з, равным хорде АС, на вспомогательной дуге, проходящей через точку В, отметим точку М. Соединив точки М и А, получим искомую параллельную.
СПОСОБ ВТОРОЙ. Из данной точки А под произвольным углом проводим вспомогательную прямую, которая
пересекает данную прямую в точке В. Из точки В радиусом, равным отрезку АВ, проводим дугу, пересекающую прямую в точке С. Затем из точек А и С тем же радиусом проводим дуги до их пересечения. Точку пересечения обо-
зе
значим буквой М. Соединив точки А и М, получим искомую прямую, параллельную данной.
Полезно заметить, что образовавшаяся геометрическая фигура АВСМ представляет собой ромб. Из геометрии вам известно, что у ромба (частный случай параллелограмма) противолежащие стороны параллельны. А диагонали его пересекаются под прямым углом.
СПОСОБ ТРЕТИЙ. Из данной точки А под произвольным углом проводим вспомогательную прямую до пересечения с данной прямой в точке В. Отрезок АВ делим пополам, отметив полученную точку (середина отрезка А В) буквой Е.
Через точку Е проводим вторую прямую под произвольным углом и точку пересечения ее с данной прямой обозначим буквой N, а затем на продолженной прямой NE определяем точку М — отрезок ЕМ равен EN. Соединив точки А и М, получим искомую прямую.
Практические способы проведения параллельных прямых с помощью рейсшины и треугольника указаны на рисунках 8, 9 и 10.
4. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
Требуется отрезок АВ разделить пополам.
Из точек А и В произвольным радиусом проводим дуги до их пересечения в точках М и N. Соединив полученные точки прямой, мы делим отрезок АВ пополам в точке О.
Примечание. Чем больше радиус вспомогательных дуг, тем точнее построение. (Рис. 33, а.)
Требуется разделить отрезок АВ на четыре равные части.
Из точек А и В радиусом, равным длине отрезка, проводим вспомогательные дуги до их пересечения в точках М и N. Соединив точки М и N, мы делим таким образом прямую пополам. А затем из середины отрезка, обозначенной точкой О, радиусом, равным ОА или ОВ, проводим окружность и тем же радиусом проводим дуги из точек Л и В. На линии окружности отметим полученные четыре точки цифрами: 1,2,3 и 4. Соединим эти точки, как показано на фигуре б. (Рис. 33.) Перпендикуляры 1 — 4 и 2 — 3, разделят отрезок АВ на четыре равные части.
5. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТРЕЗКА
Предположим, требуется определить одну треть отрезка АВ. В крайних точках отрезка АВ восставим перпендикуляры, которые могут быть проведены или с помощью линейки и угольника, или двумя угольниками. На перпендикуляре в точке Л книзу откладываем одну часть произвольной величины, а на перпендикуляре в точке В кверху откладываем две части такой же величины. Эти отрезки удобнее всего брать какой-нибудь определенной величины. Скажем, 10 и 20 мм или 15 и 30 мм. Затем соединяем эти точки вспомогательной прямой, которая и отсекает одну треть данного отрезка.
Тогда АС равна будет одной трети отрезка АВ. Эту величину можно записать так: АС= — О
По существу, мы разделили отрезок АВ в отношении один к двум (1 :2). (Рис. 34, I).
Таким же образом можно разделить отрезок на три равные части. Для этого надо на вспомогательных перпендикулярах в точках А и В отложить по две равные части, пронумеровав их так, как указано на рисунке 34 (I и II), затем одноименные точки соединить, и отрезок будет разделен на три и при необходимости на любое количество частей. Этот способ деления отрезка наиболее оперативен и удобен. Рассмотрим решение этой задачи последовательно.
Пусть требуется разделить MN на семь равных частей.
В крайних точках отрезка М и N восставим перпендикуляры.
Выбираем наиболее удобную величину вспомогательных частей и откладываем эти части от точки М книзу шесть раз и от точки N кверху тоже шесть раз. Нумерацию этих частей производим слева от нуля, причем нулевая точка совмещена с точкой М, затем следует первая, вторая, третья и т. д. Нумерацию справа ведем в обратном порядке: нулевая точка здесь совмещена с точкой N, а затем нумеруем — шесть, пять, четыре и т. д. Пронумеровав эти точки, как показано на рисунке 34,11, проводим их соединение и делим отрезок MN на семь равных частей. Обратите внимание на то, что вспомогательные прямые следуют параллельно друг другу, — этот момент надо считать закономерным. И пусть вас не смущает то обстоятельство, что делим отрезок на семь ча-; стей, а в нумерации только шесть цифр.
Не забывайте, что единице предшествует нуль, и даже в строительной технике принят такой термин, как «нулевой цикл».
6. ТОЧКА ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ ИЛИ ДЕЛЕНИЯ
Для определения точки золотого сечения надо разделить отрезок АВ в крайнем и среднем отношении. Деление отрезка рассмотрим на рисунке 35.
Отрезок АВ сначала делим пополам в точке С. На перпендикуляре в. точке В откладываем отрезок ВО, равный половине отрезка АВ, а затем соединяем точки Л и О. Из точки О радиусом ОВ проводим вспомогательную дугу до пересечения с прямой ЛО в точке ?. Затем из точки А радиусом /?2, равным АЕ, проводим дугу до пересечения с отрезком АВ в точке К. Она и есть точка золотого сечения или деления. На этом основании мы сможем записать, что АК: КВ = АВ : АК.
Практически точка золотого деления играет большую роль в создании образа предмета. Она дает нам возможность правильно определить пропорции предмета и отдельных его элементов.
Точка золотого деления связана не только с моментами эстетического порядка, но в отдельных случаях и с вопросами технологии.
Рассмотрим примеры применения точки золотого деления на некоторых предметах. (Рис. 36, 37.)
Точка золотого деления необходима также в случаях деления окружности на пять и десять равных частей. Об атом сказано будет в дальнейшем.
Существует ряд практических способов определения точки золотого деления.
Чтобы упростить способ определения точки золотого деления, рекомендуется следующее: восставить перпендикуляры в крайних точках данного отрезка, на одном из перпендикуляров отложить три равные части, а на другом пять таких же частей. Соединив концы этих перпендикуляров прямой, которая пересечет данный отрезок в точке К, мы получим точку золотого деления.
Убедиться в справедливости этого способа можно следующим образом. На данном отрезке АВ определите точку К первым способом. И на этой же фигуре определите точку К вторым способом. Если точки К совпадут, это и должно будет убедить нас в правильности рекомендуемого способа. (См. рис. 87, стр. 94.)
При рассмотрении вопроса деления окружности на пять и десять частей мы приведем еще ряд примеров на определение точки золотого сечения.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
