|
ВВЕДЕНИЕ
Основные понятия функции до сих пор предлагалось систематически изучать только в IX — X классах. До IX класса учащиеся в основном занимаются операционной математикой. Резкий переход к исследовательскому началу в IX классе обычно бывает очень труден. Опытная проверка показала, что без ущерба для операционной стороны математики в начальной и восьмилетней школах можно систематически вводить идею функции и осуществлять исследовательский подход к изучению основных понятий математики, что фактически и предусматривается новой программой.
Предлагаемая работа рекомендует изучать начальные основы математики и алгебры с функциональной точки зрения. Осуществление такого подхода к изучению основных понятий математики дает возможность значительно раньше (VII — VIII классы) с помощью графического, а иногда и аналитического методов сознательно изучить свойства основных элементарных функций. В пособии излагается система введения начальных понятий математики (величина, число, множество, числовая ось, координатный метод и др.) и начал алгебры (буква как математический символ, определение функции, область определения функции и др.). Кроме того, в работе изложена единая система исследования свойств ряда функций (линейной, квадратной, простейшей кубической, f (х) = — , показательной) элементарными средствами и показаны некоторые пути применения свойств рассмотренных функций к решению уравнений и практических задач, а также дан общий метод введения понятия обратной функции и исследованы свойства ряда обратных функций.
Изучение всех вопросов автор предлагает проводить на основе определенным образом подобранных упражнений. Пособие содержит около 400 упражнений. По основным темам приведены примерные самостоятельные и контрольные работы.
Основное содержание работы было проверено автором и группой учителей математики средних школ № 3, 30, 50 г. Минска (тт. Бошковой Л. Д., Вигдорович С. Л., Семеновой М. М., Лещинской С. Д.). Изложение функций в таком плане оказалось вполне доступным для учащихся восьмилетней школы.
Автор благодарен учителям, принявшим участие в опытной проверке материала настоящей книги.
Глава I. Некоторые основные понятия начальной математики
§ 1. Функциональная пропедевтика в арифметике
Изменение содержания школьного курса математики заключается не только во введении новых тем и вопросов, но в большей мере в современном изучении традиционных вопросов школьной математики, (Современное изучение традиционной математики заключается в изменении ее идейной основы и логической организации материала.
Определяющими идеями математики восьмилетней школы следует считать: функциональную, теоретико-множественную, логическую и алгоритмическую. Функциональная идея — основная среди названных. Она реализуется как в специальном изучении вопросов, непосредственно относящихся к понятию функции, так и в придании большинству понятий математики восьмилетней школы функциональной направленности. Даже арифметический материал в I — III классах дает в этом направлении большие возможности, без введения специальной терминологии знакомит учащихся с основными идеями функции: изменением, зависимостью, соответствием.
Знакомство это может быть осуществлено с помощью понятия величины, решения текстовых задач, изменения результатов арифметических действий при изменении компонентов и др.
В школьном курсе математики широко используется понятие величины. Понятие величины в своем развитии претерпело изменения, подобно другим основным понятиям математики (число, функция и др.).
Величину как первоначальное понятие математики нельзя определить путем указания родового признака и видового отличия. Понятие величины может быть введено либо описательно, либо с помощью системы аксиом, раскрывающих его свойства.
Изучение понятия величины в школе возможно осуществить концентрически. В первом концентре можно рассмотреть понятие величины с чисто практической точки зрения, путем указания только отдельных характеристик этого понятия (сравнимости, аддитивности). Во втором концентре — познакомить учащихся с изоморфным понятием величины — множеством значений величины (действительными числами) и дать его определение в виде системы аксиом.
К изучению понятия величины и сейчас в школе обращаются фактически .дважды: при изучении обыкновенных дробей и при изучении действительных чисел. И в первом и во втором случаях к понятию величины обращаются в связи с измерением величин, в основном длин отрезков. Следует заметить, что в современных школьных учебниках и задачниках по арифметике не уделяется должного внимания формированию понятия математической величины. Так, пользуясь термином «величина», учащиеся часто не знают, что конкретно можно отнести к данному понятию. На вопрос, обращенный к учащимся VI класса, «Будут ли стол, площадь класса, аппетит, трамвай и т. д. математическими величинами?» большинство учащихся не смогли правильно ответить.
В начальных классах школ можно осуществлять систематическое формирование понятия величины, чтобы учащиеся смогли подметить на основе анализа конкретных примеров, что различные математические абстракции (обобщения) имеют одинаковые свойства.
Например, рассматривая длины различных предметов, можно отметить у всех длин общее свойство — быть выраженной числом. Аналогичен пример с площадями, объемами и т. п.
Величину, как математическое понятие, характеризует сравнимость с однородной ей величиной. Поэтому одним из основных этапов формирования понятия величины в школе следует считать измерение величин. Прежде всего должно быть прочно усвоено учащимися основное свойство математической величины — величина может быть измерена величиной того же рода, принятой за единицу измерения. Поэтому одним из основных этапов формирования математического понятия величины есть сознательное изучение единиц измерения величин. Следует отметить, что одна и та же величина
может быть измерена различными по величине единицами, то есть более крупными и более мелкими.
Например, длина может быть измерена и с помощью миллиметра, и с помощью километра — в зависимости от того, что конкретно требуется измерить по условию задачи.
Результат измерения величины соответствующей единицей измерения есть число, которое показывает, сколько раз единица измерения содержится в измеряемой величине. Это число называется числовым значением величины.
Для сознательного усвоения основного свойства величины — ее измеряемости — необходима большая систематическая работа по изучению метрической системы мер. С этой целью можно использовать различные таблицы перевода метрической системы мер. Например:...
Это простейшие таблицы метрической системы мер. Позднее, в V классе, можно привести более полные таблицы перевода мер веса и длины. Они могут быть следующей формы и содержания. ...
Приведенные таблицы могут быть оформлены крупным планом и вывешены в классе для постоянного пользования с целью лучшего запоминания.
На кружковых занятиях можно познакомить учащихся с таблицами перевода мер из одной системы в другую.
В ходе изучения величины и ее свойств трудно оторвать, допустим, свойство измеряемости величины от свойства аддитивности. В процессе работы с величинами у учащихся должно сформироваться отчетливое понимание, что величине с математической точки зрения присущи те же математические закономерности, что и числу, являющемуся ее численным значением. Поэтому однородные величины можно сравнивать, так как можно сравнивать результаты их измерения — числа. Однородные величины можно складывать, так как можно складывать результаты измерения величин — числа.
Постоянное акцентирование внимания учащихся на том, что величинам с математической точки зрения присущи те же закономерности, что и числам, поможет привести учащихся к выводу: в математике говорить о величине — это все равно, что говорить о ее числовом значении, то есть о числе. Поэтому систематическая работа по измерению величин и арифметические действия над их числовыми значениями, кроме содержательного формирования математических отношений и знакомства ^с идеей изменения и соответствия, еще помогут осуществить подготовку понятия действительного числа.
Упражнениями, способствующими подготовке понятия математической величины и числа, могут быть задания по измерению длин стола, подоконника, ширины и длины класса с разной степенью точности (вначале с точностью до метра, затем с точностью до дециметра, сантиметра и т. д.). Проделанная в таком направлении работа будет хорошей подготовкой к сознательному восприятию понятия соизмеримости и несоизмеримости отрезков и, следовательно, введения иррациональных чисел.
Итак, результаты измерения величин выражаются числами. Математические операции над величинами есть фактически операции над их числовыми значениями, то есть над числами.
Естественно, возникает вопрос: есть ли необходимость в более углубленном знакомстве с математическим понятием величины, если в конечном счете мы придем к числам и действиям над ними?
На этот вопрос можно ответить так: в сознательном обучении математике главную роль играет умение учащихся осмысленно устанавливать математические отношения между различными объектами. Объектами могут быть: величины, математические символы, предложения и т. п.
Если учащиеся с первых лет .обучения математике будут устанавливать математические отношения между отвлеченными объектами, числами и т. п., то знания их будут более формальны и не будут служить основой для развития. Если же учащимся раскрывать сущность простейших математических отношений с помощью понятий, которые лежат в основе их жизненного опыта, то есть с помощью понятия величины, — формируемые математические отношения будут более осознанно восприниматься.
Для примера приведем три упражнения для учащихся II класса.
1. Длина классной комнаты, где занимается II «А» класс, больше, чем длина классной комнаты, где занимается II «Б» класс, на 2 метра. Как определить длину классной комнаты II «Б» класса?
Решение. Длина классной комнаты II «Б» класса = = длине классной комнаты II «А» класса — 2 метра.
Определить длину классной комнаты II «Б» класса, если длина классной комнаты II «А» класса равна 9 метрам.
Решение. Длина классной комнаты II «Б» класса = = 9 метров — 2 метра = 7 метров.
2. На одной полке лежало 59 книг, на другой — на 15 книг меньше. Сколько книг на второй полке?
Решение. 59 книг — 15 книг = 44 книги.
3. Чему равна разность чисел 18 и 7?
Решение, 18 — 7=11.
Во всех приведенных упражнениях рассматривается разностное отношение. Если с ним познакомить учащихся с помощью упражнения 3, то усвоение будет основано только на акте памяти, и применить данное отношение к реальной ситуации учащийся не сможет. Если же процесс формирования приведенного математического отношения начать с упражнения 1, то результаты наблюдаются иные. Данное отношение учащиеся наблюдают в действительности, сами принимают участие в выяснении математической закономерности между длинами классных комнат, выполняют измерение и т. п. Усвоению математического отношения активно способствует реальность задачи, ее непосредственная выполнимость. Поскольку в упражнении 2 ситуация несколько искусственна, то она воспринимается с меньшим эффектом, чем в первом. И совсем формальное усвоение отношения наблюдается, если использовать только упражнение 3.
Хотя разностное отношение усваивается учащимися для простейших случаев без большого труда, однако сознательно им пользоваться учащиеся не всегда могут. Обычно это Наблюдается, когда учащиеся должны заниматься более сложными математическими отношениями, в которые разностное отношение входит как составная часть. Объяснись такое положение можно только формальным усвоением сущности этого отношения. Если же формирование отношений будет вестись на смысловой основе, то есть с привлечением общего понятия математической величины, то вероятность сознательного усвоения, а значит и применения в сложных отношениях простых математических отношений, будет более значительна.
Надо отметить также, что в формировании математических отношений не малую роль играет форма записи решения упражнения. Форма записи решения упражнения в значительной мере способствует пониманию математического отношения, раскрывает сущность упражнения и тем самым служит основой для формирования понятий зависимости и соответствия. Математические отношения между величинами могут быть записаны с помощью словесной или числовой, а позднее и буквенной формулы, с помощью таблиц, диаграмм или графиков, с помощью вопросов и ответов на них и др.
Особую трудность представляет запись отношения между известными и неизвестными величинами в текстовой задаче. В начальной школе для установления такого отношения чаще всего используется вопросно-ответная форма. Она наиболее трудна для понимания сущности математических отношений между известными и неизвестными величинами текстовой задачи. Кажущаяся ступенчатость (вопросы и ответы на них) в формировании отношения, заложенного в содержании задачи, фактически снимает целостность восприятия отношений. Мы считаем, что формирование математических отношений с помощью текстовых задач будет эффективнее, если их раньше начинать решать методом выражений (словесных, числовых, буквенных), наглядно показывающих отношение между величинами задачи в записи решения.
Например, предлагается учащимся IV класса решить задачу: «Для интерната, где обучается 460 учащихся, куплено хлеба — 100 кг белого по 18 коп. за килограмм и 200 кг черного, по 14 коп. за килограмм. Сколько денег пошло на покупку хлеба для каждого учащегося?»
С помощью плана задача решалась бы следующим образом:
1. Сколько денег уплатили за весь белый хлеб?
18 100= 18 (руб.)
2. Сколько денег уплатили за весь черный хлеб?
14 200 = 28 (руб.)
3. Сколько денег уплатили за белый и черный хлеб вместе?
18 + 28 = 46 (руб.)
4. Сколько денег пошло на покупку хлеба для каждого учащегося?
46 : 460 = 10 (коп.)
Разрозненность вопросов не дает возможности усмотреть математическое отношение между всеми данными и искомой величиной задачи. Решив ее таким образом, уча щиеся часто не могут справиться с аналогичной задачей, вернее, с задачей, в которой математическое отношение аналогичное рассмотренному, а фабула иная.
Например: «Магазин получил огурцы: из первого колхоза 8 ц по 12 руб. за центнер, из второго колхоза 4 по 9 руб. за центнер. Определить среднюю цену одного центнера заготовленных огурцов».
Если" же учащиеся начальных классов, начиная с простейших задач, приучены к составлению вначале словесных формул, затем числовых и позднее буквенных, то этим самым будет выработано умение выяснять общую сущность математических отношений, заложенных в условии каждой задачи. Такая работа служит хорошей основой для общего математического развития учащихся и пропедевтикой идеи функции.
Первая задача может быть решена с помощью словесной и числовой формул. ...
Систематический анализ вставляемых по условию задач словесных и числовых формул дает лучший результат в вопросе обучения учащихся существу математики, чем решение большого числа задач с помощью вопросов и ответов на них, которые в конечном счете не создают общего плана соотношения между данными и искомыми величинами в задаче.
Уяснению сущности математических соотношений помогает решение задач методом составления таблиц.
Например, выясняя соответствия между временем движения, скоростью движения и изменением скорости движения, при решении задач можно составить таблицы, аналогичные приведенным ниже. Например:
1. Ступеньки эскалатора в метро движутся вниз со скоростью 75 см в секунду, а человек бежит вверх по ступенькам со скоростью 90 см в секунду. Поднимается или опускается человек? С какой скоростью? KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
