|
Воспитание творческой активности учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных целей нашего школьного преподавания. Правильно поставленное упражнение учащихся в решении задач — основное средство для достижения указанной цели. Вполне оправдано поэтому то повышенное внимание, которое уделяют этому аспекту преподавания математики передовые учителя нашей школы.
Если обратиться, однако, к учебно-методической литературе по математике, будь то отечественной или иностранной, то приходится констатировать, что при наличии большого количества в своем роде весьма ценных работ, посвященных методам решения отдельных типов математических задач (арифметических, конструктивно-геометрических и т. д.), до сего времени фактически отсутствовали труды, в которых серьезно разрабатывалась бы общая методика решения математических задач. Между тем ознакомление лишь со специальными способами решения отдельных типов задач создает реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умения самостоятельно справляться с «незнакомыми» задачами х.
Издаваемая нами в русском переводе книга «Как решать задачу» («How to Solve It») известного американского математика Д. Пойа 2 имеет в виду заполнить указанный пробел в методической литературе. В этой книге дается психологическо-педагогический анализ проблемы решения математической задачи и предлагается определенная о б-щ а я методика обучения решению задач.
Лейтмотивом методики Пойа служит мысль о необходимости привития учащимся наряду с навыками логического рассуждения также прочных навыков эвристического мышления. Свою конкретизацию эта установка получает в тщательно продуманной системе («таблице») стереотипных указаний (выраженных либо в форме советов-рекомендаций, либо в форме наводящих вопросов), посредством ко-
1 «Мы в школе таких задач не решали» — подобное «веское» возражение можно часто услышать на приемных испытаниях в вузах от поступающих, не одолевших предложенных им задач.
2 Широкому математическому читателю Д. Пойа (или Г. Полна, по прежней транскрипции его фамилии в нашей литературе) известен прежде всего как автор книг «Задачи и теоремы из анализа» и «Математика и правдоподобные рассуждения», вышедших также в русском переводе.
торых учитель может привести в действие и эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжать решение задачи. Систематическое применение учителем данного метода должно способствовать усвоению последнего самим учащимся, т. е. развитию математической самостоятельности учащегося.
Естественный и вполне общий характер составных элементов таблицы Пойа, ее прозрачная структура и содержательная полнота (при сравнительной компактности) — все эти моменты делают названную таблицу эффективным методическим орудием в руках умело пользующегося ею преподавателя.
Все содержание книги представляет собой по существу развернутый комментарий к таблице. Примеры, на которых автор иллюстрирует свой метод, почерпнуты главным образом из области элементарной математики (лишь немногие из них относятся к начальным элементам аналитической геометрии или дифференциального исчисления). Подчеркивая элементарный характер книги, автор сознательно не затрагивает в ней «более тонких или полемических» вопросов методологического порядка1.
Книга «Как решать задачу» — отрадное и яркое явление в современной зарубежной методико-математической литературе. Справедливо выдвигая на передний план роль математической задачи в школьном преподавании и предлагая заслуживающую серьезного внимания и опытной проверки методику обучения решению задач (над которой ее автор основательно поработал в течение более двух десятилетий), книга эта ценна и тем, что в ней попутно защищается и ряд других здоровых, но нередко (особенно в практике американской средней школы) игнорируемых принципов педагогики математики. (Отметим в этой связи, в частности, убедительную защиту дедуктивного элемента в основном курсе геометрии в средней школе.)2.
В США и в Западной Европе книга Пойа выдержала уже целый ряд изданий — на языке оригинала и в переводе на другие языки — и приобрела себе многочисленных друзей. Один из них, видный современный алгебраист Б. Л. Ван-дер-Варден в своей вступительной лекции в Цюрихском университете (2 февраля 1952 г.) сказал, что «эту увлекательную книгу должен прочитать каждый студент, каждый ученый, а особенно каждый учитель». Присоединяясь к этой оценке, добавим все же, что подлинную пользу извлечет из книги тот читатель, который сумеет проштудировать ее активно, фактически поупражнявшись в применении метода Пойа на подходящем материале. Такое активное общение с данной книгой позволит, кстати, ее читателю увидеть, насколько неправ был Даламбер — большой ученый, но плохой педагог! — полагавший, что книги, трактующие об искусстве рассуждать, «полезны только для тех, кто может без них обойтись».
1 По этого рода вопросам см. книгу Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения (перевод И. А. Вайнштейна, под редакцией С. А. Яновской), ИИЛ, М., 1957.
2 Менее благоприятно будет расценено советским читателем то место в книге (стр. 185 настоящего издания), где ее автор «раскланивается» перед некоторыми модными на Западе представителями реакционной философии и психологии. Впрочем, этот реверанс носит у Пойа скорее платонический характер и в сущности плохо согласуется с его прогрессивными в своей основе педагогическими взглядами.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности ъ заставляет вас быть изобретательным и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы.
Такие эмоции, пережитые в восприимчивом возрасте, могут пробудить вкус к умственной работе и на всю жизнь оставить свой отпечаток на уме и характере.
Таким образом, преподавателю математики предоставляются великолепные возможности. Если он заполнит отведенное ему учебное время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности. Но если он будет пробуждать любознательность учащихся, предлагая им задачи, соразмерные с их знаниями, и своими наводящими вопросами будет помогать им решать эти задачи, то он сможет привить им вкус к самостоятельному мышлению и развить необходимые для этого способности.
Прекрасные возможности предоставлены также и студенту любого колледжа, где учебные программы включают кое-что из математики. Эти возможности, конечно, будут потеряны, если он смотрит на математику как на предмет, по которому он должен получить столько-то зачетов и который он постарается забыть как можно быстрее после последнего экзамена. Эти возможности могут быть потеряны, даже если учащийся обладает известными природными
способностями к математике, так как он, как и всякий другой, должен выявить свои таланты и вкусы; так, он не может знать, что любит пирог с малиной, если он никогда не пробовал пирога с малиной. Он может, однако, обнаружить, что математическая задача иногда столь же увлекательна, как кроссворд, и что напряженная умственная работа может быть столь же желанным упражнением, как стремительный теннис. Изведав удовольствие от занятий математикой, он его забудет нескоро, и вот тогда, очень вероятно, математика займет определенное место в его жизни: как предмет любительского увлечения или как инструмент в его профессиональной работе, как профессия или как путь к личной славе.
Автор вспоминает время, когда он сам был студентом, довольно честолюбивым студентом, жаждавшим разобраться немного в математике и физике. Он слушал лекции, читал книги, пытался понять сущность излагавшихся решений и фактов, но один вопрос мучил его вновь и вновь: «Да, это решение, по-видимому, достигает цели и кажется верным, но как можно придумать такое решение? Да, этот эксперимент достигает цели, наблюдаемое явление представляется фактом; но как открывают такие факты? Каким образом я сам мог бы придумать или открыть подобные вещи?» Ныне автор преподает математику в университете; он полагает или надеется, что его наиболее пытливые студенты задают себе подобные вопросы, и он пытается удовлетворить их любопытство. Пытаясь не только понять решение той или иной задачи, но и осознать, как, какими средствами было найдено это решение, делая попытки объяснить другим, в чем заключается сам процесс поисков решения, автор пришел в конце концов к мысли написать настоящую книгу. Он надеется, что она окажется полезной как для преподавателей, стремящихся развить способности своих учащихся к решению задач, так и для учеников, желающих развить свои собственные способности.
Хотя эта книга имеет в виду главным образом потребности преподающих и изучающих математику, она представит интерес для любого лица, желающего понять пути и средства, приводящие к новым идеям и новым открытиям. Интерес к этим вещам, весьма вероятно, распространен шире, чем можно было бы предположить с первого взгляда. Место, которое занимают кроссворды и другие головоломки в популярных газетах и журналах, свидетельствует о том,
что люди тратят известное время на решение задач, не имеющих практического интереса. За желанием решить ту или иную задачу, бесполезную в смысле материального выигрыша, может быть скрыто более глубокое любопытство, желание осознать пути и средства, приводящие к решению.
Предлагаемые вниманию читателя страницы написаны несколько сжато, однако автор стремился к наибольшей простоте изложения. Содержание этих страниц основано на длительном и серьезном изучении методов решения задач. Изучение этих методов является предметом так называемой эвристики, которая не в моде в наше время, но имеет большое прошлое и, возможно, некоторое будущее.
При изучении методов решения задач перед нами вырисовывается второе лицо математики. Да, у математики два лица: это и строгая наука Евклида и одновременно нечто другое.
Математика, излагаемая в стиле Евклида, представляется нам систематической, дедуктивной наукой. Но математика в процессе создания является экспериментальной, индуктивной наукой. Оба аспекта математики столь же стары, как сама математическая наука. Однако второй аспект в одном отношении является новым: математику «in statu nascendi», — в процессе рождения, — никогда с этой стороны не показывали ни ученику, ни самому учителю, ни широкой публике.
Предмет эвристики тесно переплетается с другими науками; ее отдельные части можно считать принадлежащими не только математике, но и логике, педагогике и даже философии. Автор, отдавая себе полный отчет в возможности критики со стороны представителей этих четырех наук и сознавая ограниченные рамки своей компетентности, все же может претендовать на одно: он обладает некоторым опытом в решении задач и в преподавании математики на самых различных уровнях.
Предмет настоящей книги будет рассмотрен более обстоятельно в новой книге автора, в настоящее время готовящейся к печати .
Автор благодарит своих многочисленных друзей и коллег за их всевозможные предложения и помощь, которую
1 Речь идет о книге «Математика и правдоподобные рассуждения», в настоящее время вышедшей уже и в русском переводе (И. А. Вайнштейна, под редакцией С. А. Яновской, ИИЛ,М., 1957). (Примечание к русскому переводу.)
они ему оказывали в течение долгих лет его работы над этой несколько необычной книгой. Не имея возможности назвать здесь всех тех, кто оказывал ему помощь, автор не решается привести неполный список этих лиц. Тем не менее автор не может не выразить благодарности директору Издательства Принстонского университета г-ну Дэйтус К. Смиту младшему и помощнику редактора мисс Глэдис Форнэлл за их действенную и квалифицированную помощь.
Стэнфордский университет 1 августа 1944.
Д. Пойа.
ВВЕДЕНИЕ
Все содержание книги группируется вокруг таблицы вопросов и советов. Эта таблица напечатана в конце книги.
Все вопросы или советы, извлеченные из этой таблицы, будут печататься курсивом; таблицу эту мы будем называть просто «таблица» или «наша таблица».
Мы подробно рассмотрим назначение таблицы, покажем на примерах, как извлечь из нее практическую пользу, разъясним понятия и мыслительные процессы, на основе которых она построена. В качестве предварительного объяснения можно коротко сказать: если вы обращаетесь к самому себе с этими вопросами и советами, правильно пользуясь ими, — они могут помочь вам решить вашу задачу. Если вы обращаетесь с теми же вопросами и советами к одному из ваших учеников, — вы можете помочь ему решить эту задачу.
Книга разделена на три части.
Первая часть озаглавлена «В классе». Она содержит двадцать пунктов. Ссылки на каждый из этих пунктов даются цифрами, напечатанными жирным шрифтом, например «пункт 7».
В пунктах 1 — 5 рассматривается в самых общих чертах назначение нашей таблицы. Пункты 6 — 17 разъясняют, что такое «главные части» и «главные вопросы» таблицы; в этих пунктах рассмотрен первый практический пример, пункты 18 — 20 содержат дальнейшие примеры.
Вторая, очень короткая часть озаглавлена «Как решать задачу». Она написана в форме диалога: немного идеализированный учитель отвечает на короткие вопросы немного идеализированного ученика.
Третья, самая объемистая часть озаглавлена «Краткий эвристический словарь»; мы будем в дальнейшем называть его просто «Словарь». Он состоит из шестидесяти четырех статей, расположенных в алфавитном порядке. Например, значение термина эвристика разъясняется в соответствующей статье «Словаря» на странице 200. Ссылки на статьи «Словаря» печатаются в тексте разрядкой. Некоторые места в отдельных статьях носят более специальный характер; такие места заключены в квадратные скобки. Некоторые статьи «Словаря» весьма тесно связаны с первой частью, которую они дополняют дальнейшими иллюстрациями и более специальными комментариями. Остальные статьи несколько выходят за рамки первой части, разъясняя основные принципы, лежащие в ее основе. Роль ключа играет статья «Современная эвристика». Она раскрывает связь главных статей «Словаря» и его общий план; она содержит также указания, как навести справку о том или ином пункте таблицы. Поскольку темы статей «Словаря» отличаются большим разнообразием, следует особо подчеркнуть, что они объединены общим планом. Несколько более длинных статей посвящены систематическому, хотя и сжатому, рассмотрению определенной общей темы; другие статьи содержат более частные замечания, третьи — ссылки, исторические сведения, цитаты, афоризмы или даже шутки.
Не следует читать «Словарь» слишком быстро; его текст часто весьма сжат; по временам речь идет о довольно тонких вещах. Читатель может обращаться к «Словарю» за справками, касающимися вопросов, вызвавших его интерес. Если эти вопросы возникали в процессе решения задач им самим или его учениками, вероятность, что он извлечет из «Словаря» пользу, будет гораздо больше.
Мы много раз говорили об «учителе» и «ученике»; мы будем обращаться к ним вновь и вновь. Следует заметить, что под «учеником» мы подразумеваем либо учащегося средней школы либо студента колледжа, либо любое другое лицо, обучающееся математике.
1 Так называемая «high school» — средняя школа в США. Она подразделяется на младшую и старшую ступени для учащихся в возрасте 13 — 15, соответственно, 16 — 18 лет. (Полный курс начального и среднего образования составляет в США 12 — 13 лет.) (Примечание к русскому переводу. — Ред.)
Так же точно «учитель» может означать либо учителя средней школы, либо преподавателя высшей, либо любое другое лицо, занимающееся методикой преподавания математики. Автор ставит себя иногда в положение ученика, иногда — в положение учителя (этот последний случай чаще встречается в первой части). Однако чаще всего, особенно в третьей части, автор рассуждает с точки зрения лица, не являющегося ни учителем, ни учеником, а просто заинтересованного в решении стоящей перед ним задачи.
ЧАСТЬ I
В КЛАССЕ
НАЗНАЧЕНИЕ ТАБЛИЦЫ
1. Помощь ученику. Помогать ученику — одна из наиболее важных обязанностей учителя. Эту обязанность нельзя назвать легкой: она требует времени, опыта, преданности делу и разумных принципов.
Ученик должен приобрести как можно больше опыта самостоятельной работы. Но если он оставлен наедине с задачей без всякой помощи или если эта помощь недостаточна, — это может не принести ему никакой пользы. Если помощь учителя чрезмерна, ничего не остается на долю ученика. Учитель должен помогать, но не слишком много и не слишком мало, так, чтобы ученику оставалась разумная доля работы.
Если ученику и не по силам сделать много, учителю следует по крайней мере создать некоторую иллюзию самостоятельной работы. Поэтому помощь учителя должна быть осторожной и неназойливой.
Лучше всего, однако, помогать ученику естественно. Учитель должен поставить себя на место ученика; он должен увидеть источник затруднений, постараться понять, что происходит в голове ученика, и задать вопрос или указать шаг, до которого учащийся мог бы додуматься самостоятельно.
2. Вопросы, советы, мыслительные процессы. Стараясь оказать ученику действенную, естественную, но не назойливую помощь, учитель поставлен перед необходимостью вновь и вновь задавать одни и те же вопросы и указывать одни и те же шаги. Так, при решении бесчисленного множества задач нам приходится задавать вопрос: что неизвестно?
Тот же вопрос можно задать, меняя его форму многими способами: что требуется? Что вы хотите найти? Что вы должны искать? Цель этих вопросов — сосредоточить внимание ученика на неизвестном. Иногда мы получаем тот же эффект более естественным путем при помощи совета: рассмотрите неизвестное!
Вопрос и совет имеют целью одно и то же; они вызывают один и тот же мыслительный процесс.
Автор пришел к мысли, что стоит собрать и сгруппировать типичные вопросы и советы, полезные при разборе задач с учащимися. Таблица, которую мы изучаем, состоит из таких вопросов и советов, тщательно отобранных и размещенных; они в равной мере полезны всякому, кто решает задачи самостоятельно. Если читатель в достаточной степени знаком с таблицей и может различить за внешней формой совета действие, подсказываемое этим советом, то он поймет, что в таблице неявным образом перечисляются типичные мыслительные процессы, приносящие пользу при решении задач. Эти процессы перечислены в том порядке, в каком они чаще всего встречаются.
3. Общность — важная, характерная черта вопросов и советов, содержащихся в нашей таблице. Возьмите вопросы: Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Общность этих вопросов такова, что мы можем задавать их с пользой для дела, решая всевозможные задачи. Их применение не ограничивается никаким конкретным содержанием задачи. Она может быть алгебраической или геометрической, математической или нематематической, теоретической или практической, серьезной задачей или просто головоломкой; это все безразлично; вопросы сохраняют смысл и могут помочь нам решить ее.
Фактически одно ограничение есть, но оно не связано с конкретной сферой понятий, с которыми мы сталкиваемся в данной задаче. Некоторые вопросы и советы таблицы могут быть применены только к «задачам на нахождение», но не к «задачам на доказательство». Имея дело с задачей этого последнего вида, мы должны применять другие вопросы (см. Задачи на нахождение, задачи на доказательство).
4. Здравый смысл. Вопросы и советы нашей таблицы обладают общностью; тем не менее они естественны, просты, очевидны и имеют своим источником простой здравый смысл. Возьмите совет: Рассмотрите неизвестное И постарайтесь
вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным. Этот совет приводит вас к тому, к чему вы пришли бы так или иначе, без всякого совета, если вы действительно серьезно увлечены вашей задачей. Вы голодны? Вы хотите достать пищу и вспоминаете известные вам пути получения пищи. У вас геометрическая задача на построение? Вы хотите построить треугольник и вспоминаете известные вам способы построения треугольников. У вас задача любого другого характера? Вы хотите разыскать определенное неизвестное, и вы вспоминаете знакомые вам способы найти такое или подобное неизвестное. Если вы поступаете таким образом, вы точно следуете совету, взятому из нашей таблицы. И вы на верном пути; совет хорош; вам рекомендуются действия, часто приводящие к успеху.
Все вопросы и советы нашей таблицы естественны, просты, очевидны; в них воплощен обычный здравый смысл, но воплощение это носит общий характер.
Вопросы и советы таблицы рекомендуют определенный образ действий, совершенно естественно приходящий в голову каждому, кто серьезно занимается своей задачей и обладает крупицей здравого смысла. Но тот, кто поступает правильно, обычно не заботится о точном описании своих поступков, а возможно, и не смог бы этого сделать; сделать это попытается наша таблица.
5. Учитель и ученик. Подражание и опыт. Есть две цели, которые учитель может иметь в виду, обращаясь к ученикам с вопросом или советом, взятым из таблицы: первая — помочь ученику решить именно данную задачу; вторая — так развить способности ученика, чтобы в будущем он смог решать задачи самостоятельно.
Опыт показывает, что вопросы и советы таблицы, если их применять должным образом, очень часто помогают ученикам. Характерные черты, общие для всех вопросов и советов, таковы: здравый смысл и общность. Будучи выведенными из простого здравого смысла, они часто возникают естественным образом; они могут сами собой прийти в голову ученику. Будучи общими, они оказывают ненавязчивую помощь; они просто дают общее направление, оставляя учащемуся обширное поле деятельности.
Однако упомянутые выше две цели тесно связаны между собой; справившись с заданной задачей, ученик несколько развивает свои способности вообще к решению задач. При этом мы не должны забывать, что наши вопросы, обладая
общностью, могут применяться в разнообразных ситуациях. Если один и тот же вопрос многократно приносит пользу, ученик едва ли не заметит этого; таким образом, он будет наведен на мысль задавать этот вопрос самостоятельно при аналогичной ситуации. Задавая этот вопрос вновь и вновь, он сможет извлечь заключающуюся в нем верную идею. Этот успех приводит его к правильному применению нашего вопроса, вот теперь этот вопрос действительно им усвоен.
Ученик может так хорошо усвоить некоторые вопросы нашей таблицы, что он в конце концов окажется в состоянии задавать себе нужный вопрос в нужный момент, причем соответствующий мыслительный процесс будет происходить в его сознании естественным и эффективным образом. Несомненно, такой ученик извлек все, что можно из нашей таблицы. Что должен делать учитель, чтобы получить этот наилучший возможный результат?
Умение решать задачи есть искусство, приобретающееся практикой, подобно, скажем, плаванию. Мы овладеваем любым мастерством при помощи подражания и опыта. Учась плавать, вы подражаете другим в том, что они делают руками и ногами, чтобы держать голову над водой, и, наконец, вы овладеваете этим искусством при помощи упражнения. Учась решать задачи, вы должны наблюдать и подражать другим в том, как они это делают, и, наконец, вы овладеваете этим искусством при помощи упражнения.
Учитель, стремящийся развить способности учеников к решению задач, должен пробудить в них известный интерес к этим задачам и обеспечить им широкие возможности для подражания и приобретения опыта. Если учитель хочет, чтобы мыслительные процессы, соответствующие вопросам и советам нашей таблицы, стали для учеников чем-то привычным, он должен обращаться к ним с этими вопросами и советами как можно чаще, не теряя, однако, естественности.
Более того, решая задачу перед классом, он должен излагать свои мысли немного театрально, ставя себе те же вопросы, которые он предлагает ученикам. Руководимый указанным образом, ученик овладеет в конце концов правильным употреблением этих вопросов и советов и тем самым приобретет нечто более ценное, чем знание какого-либо частного математического предложения.
6. Четыре ступени. Пытаясь найти решение, мы можем многократно менять свою точку зрения, свой взгляд на задачу. Мы принуждены менять свою позицию вновь и вновь. Весьма вероятно, что наше представление о задаче в значительной степени неполно, когда мы начинаем работу; наша точка зрения становится иной, когда сделаны некоторые успехи; она вновь меняется к тому моменту, когда решение почти в наших руках.
Чтобы удобно сгруппировать вопросы и советы нашей таблицы, мы будем различать четыре ступени в процессе решения. Во-первых, мы должны понять задачу; мы должны ясно видеть, что в ней является искомым. Во-вторых, мы должны усмотреть, как связаны друг с другом различные элементы задачи, как неизвестное связано с данными. Это необходимо, чтобы получить представление о решении, чтобы составить план. В-третьих, мы осуществляем наш план. В-четвертых, оглядываясь назад на полученное решение, мы вновь изучаем и анализируем его.
Каждая из этих ступеней важна сама по себе. Может случиться, однако, что учащийся, осененный блестящей идеей, перепрыгивает через все приготовления и сразу находит решение. Подобные счастливые мысли, конечно, нужно приветствовать, однако произойдет нечто весьма нежелательное, если ученик пропустит одну из четырех ступеней, не имея в голове никакой хорошей идеи. Самое же плохое случится, если учащийся примется за вычисления и построения, не поняв задачи. Вообще, совершенно бесполезно браться за какие-либо частные рассмотрения, не выяснив главных связей, не составив себе некоторого плана.
Многих ошибок можно избежать, если, выполняя свой план, ученик проверяет каждый шаг. Большая часть пользы от задачи может быть потеряна, если ученику не удается, рассматривая уже полученное решение, должным образом изучить, проанализировать его.
7. Понимание постановки задачи. Глупо отвечать на вопрос, который вы не поняли. Невесело работать для цели, к которой вы не стремитесь. Такие глупые и невеселые вещи часто случаются как в школе, так и вне ее, однако учителю следует стараться предотвращать их в своем классе. Ученик должен понять задачу. Но не только понять; он должен
хотеть решить ее. Если ученику не хватает понимания задачи или интереса к ней, это не всегда его вина. Задача должна быть умело выбрана, она должна быть не слишком трудной и не слишком легкой, быть естественной и интересной, причем некоторое время нужно уделять для ее естественной и интересной интерпретации.
Прежде всего, должна быть понята словесная формулировка задачи. Проверить это учитель до некоторой степени может; он просит ученика повторить формулировку задачи, и ученик должен оказаться в состоянии легко это сделать. Ученик также должен быть в состоянии указать главные элементы задачи — неизвестное, данное, условие. Таким образом, учитель редко может позволить себе обойтись без вопросов: что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?
Ученик должен внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть главные элементы задачи.
Если с задачей связана какая-либо геометрическая фигура, он должен сделать чертеж и указать на нем неизвестное и данные. Если необходимо как-нибудь назвать эти объекты, он должен ввести подходящие обозначения; уделяя определенное внимание подходящему выбору символов, он принужден сосредоточивать свои мысли на объектах, для которых нужно подыскать символы.
Имеется еще один вопрос, который может оказаться полезным на этой предварительной стадии при условии, что мы не будем ждать окончательного ответа на него, а будем рассчитывать лишь на временный ответ, догадку: Возможно ли удовлетворить условию?
(Развивая сказанное в части II, стр. 40, мы будем «Понимание постановки задачи», подразделять на две стадии: «Мы знакомимся с задачей» и «Мы вникаем в задачу».)
8. Пример. Проиллюстрируем некоторые положения, разобранные в предыдущем пункте. Возьмем простую задачу: Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина и высота которого известны.
Чтобы извлечь пользу из этой задачи, ученики должны быть знакомы с. теоремой Пифагора и с некоторыми ее планиметрическими приложениями, но предварительные систематические познания в стереометрии не необходимы. Здесь учитель может положиться на знакомство учеников с пространственными отношениями, вытекающее из их повседневной практики.
Учитель может сделать задачу интересной, конкретизируя ее. Классная комната представляет собой прямоугольный параллелепипед, длина, ширина и высота которого могли бы быть измерены и оценены приближенно; ученики должны найти, «измерить косвенно», диагональ классной комнаты. Учитель показывает длину, ширину и высоту класса, жестом проводит воображаемую диагональ и оживляет далее свой чертеж, сделанной на доске, многократно возвращаясь к рассмотрению классной комнаты.
Диалог между учителем и учащимися может начаться, например, так:
«Что неизвестно?»
«Длина диагонали параллелепипеда».
«Что дано?»
«Длина, ширина и высота параллелепипеда».
«Введите подходящие обозначения. Какой буквой обозначим неизвестное?»
«х».
«Какие буквы вы бы выбрали для длины, ширины и высоты?»
«а, Ь, с».
«В чем состоит условие, связывающее а, Ь, с и х?»
«х есть диагональ параллелепипеда, длина, ширина и высота которого равны а, 6 и с».
«Имеет ли задача смысл? То есть, достаточно ли условие для определения неизвестного?»
«Да, достаточно. Если известны а, 6 и с, то известен и параллелепипед. Если параллелепипед определен, то и его диагональ определена».
9. Составление плана. У нас есть план, если нам известно, хотя бы в общих чертах, какие вычисления шщ построения нам придется проделать, чтобы получить неизвестное. Путь от понимания постановки задачи до представления себе плана решения может быть долгим и извилистым. И действительно, главный шаг на пути к решению задачи состоит в том, чтобы выработать идею плана. Эта идея может появляться постепенно. Или она может возникнуть вдруг, в один миг, после, казалось бы, безуспешных попыток и продолжительных сомнений. Тогда мы назовем ее «блестящей идеей».
Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Вопросы и советы, которые мы собираемся анализировать, и предназначены для того, чтобы подсказывать такую идею.
Чтобы быть в состоянии понять положение дел учащегося, решающего задачу, учитель должен вспомнить свой собственный опыт, свои трудности и успехи в решении задач.
Мы знаем, конечно, что трудно рассчитывать на удачную идею, имея слабые познания в предмете, и невозможно найти такую идею, не имея никаких познаний. Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания. Одних воспоминаний мало, чтобы найти хорошую идею, но у нас не может быть никаких хороших идей, если в нашей памяти не хранится достаточно необходимых фактов; одних строительных материалов мало, чтобы воздвигнуть здание, но мы не можем воздвигнуть здания без нужных строительных материалов. Эти материалы, необходимые для решения математической задачи, представляют собой определенные, имеющие отношение к задаче, крупицы прежде приобретенных математических знаний, такие, как решенные ранее задачи или доказанные ранее теоремы. Таким образом, часто оказывается уместным начать работу с вопроса: известна ли вам какая-нибудь родственная задача?
Трудность здесь в том, что обычно оказывается слишком много задач, связанных в той или иной степени с нашей задачей, т. е. имеющих с ней какие-либо общие черты.
Как выбрать задачу или несколько задач, которые действительно будут полезны? Вот совет, указывающий нам ту общую черту, которая является существенной: Рассмотрите неизвестное И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобньш неизвестным.
Нам повезло, если нам удалось вспомнить уже решенную задачу, тесно связанную с нашей нынешней задачей.
Теперь постараемся использовать случай и извлечь все, что можно, из нашей удачи. Вот задача, сходная с нашей и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею?
Эти вопросы, если их хорошо уяснить и глубоко продумать, часто помогают правильно направить ход мыслей с самого начала; но они не в состоянии помочь всегда, они не обладают магической силой. Если они не помогают, мы должны начать поиски новых подходящих точек соприкосновения, исследовать всевозможные аспекты нашей задачи; мы
должны видоизменить, преобразовать, модифицировать задачу. Нельзя ли сформулировать задачу иначе?
В нашей таблице имеются вопросы, подсказывающие нам такие специфические средства видоизменить задачу, как обобщение, специализация, использование аналогии, отбрасывание части условий и т. д.; все это очень важно, но мы не можем сейчас вдаваться в детали. Видоизменение задачи может привести к некоторой подходящей вспомогательной задаче: если не удается решить данную задачу, попытайтесь предварительно решить сходную.
Пытаясь использовать различные известные задачи и теоремы, рассматривая всевозможные видоизменения задачи, экспериментируя с разными вспомогательными задачами, мы можем оставить нашу первоначальную задачу так далеко в стороне, что возникнет опасность совсем распроститься с ней. Но следующий превосходный вопрос вернет нас снова к ней: Все ли данные вы использовали? Все ли условие?
10. Пример. Мы возвращаемся к примеру, рассматривавшемуся в пункте 8. К моменту, когда мы оставили его, учащимся только что удалось понять задачу, и они начали проявлять к ней кое-какой интерес. Вероятно, теперь у них имеются собственные идеи и пробудилась некоторая инициатива.
Если учитель при самом внимательном наблюдении не может обнаружить никаких следов такой инициативы, он должен возобновить свой диалог с учащимися, тщательно взвешивая каждое свое слово. Он должен быть готовым предлагать повторно в несколько измененном виде вопросы, на которые учащиеся не могут дать ответа. Он должен быть готовым часто встречаться с обескураживающим молчанием учащихся (которое далее будет обозначаться точками...).
«Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?»
«Рассмотрите неизвестной Встречалась ли вам задача с тем же неизвестным?»
«Что неизвестно в этой задаче?»
«Диагональ параллелепипеда».
«Встречалась ли вам какая-нибудь задача с тем же неизвестным?»
«Нет. Мы никогда не решали задач, в которых у нас была бы диагональ параллелепипеда».
«Встречалась ли вам какая-нибудь задача с подобным неизвестным?»
«Не правда ли, диагональ есть отрезок, отрезок прямой. Приходилось ли вам решать задачу, в которой неизвестным являлась длина отрезка?»
«Конечно, мы решали такие задачи. Например, найти сторону прямоугольного треугольника».
«Очень хорошо! Вот задача, сходная с вашей и уже решенная. — Нельзя ли воспользоваться ею?»
«Вам удалось вспомнить задачу, которую вы решили прежде и которая сходна с вашей теперешней задачей.
Попробуйте извлечь из нее пользу! Нельзя ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?»
«Вы вспомнили задачу о треугольнике. Посмотрите на чер- ь
теж; есть у вас на чертеже ка- Фиг. 1.
кой-нибудь треугольник?»
Будем надеяться, что последний намек оказался достаточно ясным, чтобы натолкнуть на идею решения, заключающуюся в том, чтобы ввести прямоугольный треугольник (заштрихованный на фиг. 1), для которого искомая диагональ служит гипотенузой.
Однако учитель должен быть готовым к тому, что даже этот совершенно ясный намек окажется не в состоянии сдвинуть учащихся с мертвой точки; у него должна быть наготове целая гамма все более и более ясных намеков.
«Было бы хорошо, если бы у нас на чертеже был треугольник?»
«Какой треугольник был бы лучше всего?»
«Вы пока не можете найти диагональ; но вы сказали, что смогли бы найти сторону треугольника. Что же вам нужно сделать?»
«Можно было бы найти диагональ, если бы она была стороной треугольника?»
Когда в конце концов учащимся удается с большей или меньшей помощью ввести решающий вспомогательный элемент (прямоугольный треугольник, заштрихованный на фиг. 1), учителю следует удостовериться в том, что учащиеся теперь достаточно ясно представляют себе, как действовать дальше.
Только после этого можно переходить к действительным вычислениям.
«Мне кажется, неплохо, что мы начертили этот треугольник. Теперь у вас есть треугольник, но что вы скажете о вашем неизвестном?»
«Неизвестное есть гипотенуза этого треугольника; мы можем ее вычислить при помощи теоремы Пифагора».
«Действительно, вы можете ее вычислить, если известны оба катета, но известны ли они?»
«Один катет дан, это с. А другой, мне кажется, нетрудно найти. Да, ведь другой катет есть гипотенуза другого прямоугольного треугольника».
«Очень хорошо! Теперь я вижу, что у вас есть план».
11. Осуществление плана. Нелегко придумать план, найти идею решения. Очень многое требуется для этого: ранее приобретенные знания, мозг, приученный к логическому мышлению, полная сосредоточенность и еще одно: удача.
Осуществить же план решения гораздо легче; здесь нам потребуется главным образом терпение.
План указывает лишь общие контуры решения; теперь нам нужно убедиться, что все детали вписываются в эти общие контуры. Поэтому нужно терпеливо рассмотреть эти детали, одну за другой, пока все не станет совершенно ясным и не останется ни одного темного угла, в котором может скрываться ошибка.
Если учащийся выработал план решения, для учителя наступает сравнительно спокойное время. Главная опасность теперь в том, что учащийся может забыть свой план. Это легко может случиться, если учащийся получил план извне и, принимая его, положился на авторитет учителя. Но если учащийся сам потрудился над составлением плана, хотя бы даже с некоторой помощью, и если он с удовлетворением воспринял окончательную идею, она не сможет от него легко ускользнуть. Учитель должен все же настаивать, чтобы учащийся проверял каждый свой шаг.
Убедиться в правильности некоторого шага в наших рассуждениях мы можем либо «интуитивно», либо «логически».
Мы можем сосредоточивать наше внимание на рассматриваемом утверждении до тех пор, пока оно не станет для нас столь ясным и отчетливым, что не останется никакого места для сомнений в правильности нашего шага. Но мы можем поступить иначе, выведя наше утверждение по логическим правилам. (Разница между «интуитивным представлением» и «логическим доказательством» достаточно ясна во многих важных случаях; дальнейшее рассмотрение этого вопроса мы предоставим философам.)
Самое важное состоит в том, чтобы учащийся был по-настоящему убежден в правильности каждого шага. В некоторых случаях учитель может указать на разницу между «увидеть» и «доказать»: ясно ли вам, что предпринятый шаг правилен? А в состоянии ли вы доказать, что он правилен?
12. Пример. Возобновим нашу работу с того места, на котором мы ее оставили в конце пункта 10. Учащийся, наконец, нашел идею решения. Он видит прямоугольный треугольник, в котором неизвестное х является гипотенузой, а данная высота с — одним из катетов; другой катет представляет собой диагональ основания параллелепипеда.
Следует обратить внимание на то, чтобы учащийся ввел подходящее обозначение. Другой катет, т. е. диагональ основания со сторонами а и 6, он должен обозначить буквой у. Наконец, рассматривая один за другим оба треугольника, он сможет написать (см. фиг. 1):
Учителю не стоит прерывать учащегося, если тот правильно выполняет эти действия, но, возможно, нужно заранее потребовать от него проверки каждого шага. Так, учитель может спросить:
«Вполне ли вам ясно, что треугольник со сторонами х9 у, с — прямоугольный?»
На этот вопрос учащийся может честно ответить «да» и тем не менее, пожалуй, прийти в замешательство, если учитель, не удовлетворенный его интуитивным убеждением, поставит следующий вопрос:
«Но можете ли вы доказать, что этот треугольник — прямоугольный?»
Таким образом, учителю лучше не ставить такой вопрос, если класс еще не приобрел основательных навыков в стереометрии. Даже в этом последнем случае есть известная опасность, что ответ на побочный вопрос окажется главной трудностью для большинства учащихся.
13. Анализ решения. Даже очень- хорошие учащиеся, получив ответ и тщательно изложив ход решения, закрывают тетрадь и переходят к другим делам.
Поступая так, они лишают себя того важного и поучительного, что может дать последний фазис работы. Оглядываясь назад на полученное решение, вновь рассматривая и анализируя результат и путь, которым они к нему пришли, они могут сделать свои знания более глубокими и прочными и закрепить навыки, необходимые для решения задач. Хороший учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца. Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам. Всегда остается что-нибудь, над чем можно размышлять; обладая достаточным упорством и проницательностью, мы можем усовершенствовать любое решение или, во всяком случае, мы всегда можем глубже осмыслить решение.
Учащийся осуществил свой план. Он записал решение, проверяя каждый шаг. Таким образом, он имеет неплохие основания считать свое решение правильным.
Тем не менее ошибки всегда возможны, в особенности, если решение длинное и запутанное. Поэтому проверка его всегда желательна. Особенно важно не проглядеть (если он имеется) какой-либо быстрый интуитивный способ проверки результата или хода решения. Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?
Чтобы удостовериться в присутствии какого-либо предмета или в том, что он обладает определенными качествами, мы имеем обыкновение осмотреть и ощупать его. Мы предпочитаем восприятие при помощи двух различных чувств; так же точно мы предпочитаем убеждение, основанное на двух различных доказательствах: нельзя ли получить тот же результат иначе? Нас, конечно, в большей мере устроит короткое интуитивное рассуждение, чем длинное и тяжеловесное: нельзя ли усмотреть его с первого взгляда?
Одна из первых и главных обязанностей учителя состоит в том, чтобы не создать у учащихся впечатления, что
математические задачи мало связаны одна с другой и не связаны вообще больше ни с чем. Нам представляется естественная возможность исследовать, как связана наша задача с другими, когда мы оглядываемся назад на ее решение. Учащиеся найдут, что, действительно, очень интересно снова окинуть взглядом решение, если они честно затратили усилия, чтобы его получить, и сознают, что плодотворно поработали.
Тогда им захочется узнать, что они еще могут получить при помощи уже затраченных усилий и как сделать, чтобы работа всегда была столь же плодотворной. Учитель должен поощрить учащихся придумать случаи, к которым они снова могли бы приложить использованный метод или применить полученный результат. Нельзя ли использовать полученный результат или метод решения в какой-нибудь другой задаче?
14. Пример. В пункте 12 учащиеся, наконец, получили решение: если три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, суть а, 6, с, то диагональ есть
Нельзя ли проверить результат?Учитель не может ждать удовлетворительного ответа на этот вопрос от неопытных еще учащихся. Однако учащиеся должны очень рано убедиться на опыте, что задачи «в буквах» обладают большим преимуществом перед задачами с числовыми данными: если задача решается «в буквах», то ее результат может быть подвергнут ряду испытаний, которым не поддается результат задачи «в числах».
Несмотря на всю свою простоту, наш пример может иллюстрировать сказанное. Учитель может задать несколько вопросов, касающихся полученного результата, на которые учащиеся легко ответят «да», в то время как хотя бы один ответ «нет» вскрыл бы серьезный дефект нашего результата.
«Все ли данные вы использовали? Входят ли все данные а9 by с в нашу формулу для диагонали?»
«Длина, ширина, высота играют одинаковую роль в нашей задаче; наша задача симметрична по отношению к a, bt с. Симметрично ли относительно а, 6, с выражение, полученное вами для диагонали? Останется ли оно тем же самым, если поменять местами а, 6, с?»
«Наша задача — стереометрическая: найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны его три
измерения а, 6, с. Эта задача аналогична планиметрической задаче: найти диагональ прямоугольника, если даны его два измерения:
Аналогичен ли результат «пространственной» задачи результату «плоской» задачи?»
«Если высота с начнет уменьшаться и, наконец, исчезнет, наш параллелепипед превратится в прямоугольник. Если вы положите с=0 в вашей формуле, получится ли правильная формула для диагонали прямоугольника?»
«Если высота с начнет увеличиваться, то и диагональ будет увеличиваться. Следует ли это из нашей формулы?»
«Если все три измерения а, 6, с параллелепипеда возрастут в одно и то же число раз, то и диагональ возрастет в то же число раз. Если подставить в нашу формулу вместо а, 6, с, соответственно, 100а, 1006, 100с, то в результате этой подстановки длина диагонали должна будет умножиться на 100. Так ли это на самом деле?»
«Если а, 6, с, измерены в метрах, наша формула дает длину диагонали тоже в метрах. Если все данные размеры перевести в сантиметры, формула должна будет остаться правильной. Так ли это на самом деле?»
(Два последних вопроса по существу равносильны, см. Проверка по размерности.)
Эти вопросы полезны с различных точек зрения. Во-первых, на сообразительного учащегося производит впечатление тот факт, что наша формула выдержала столь многочисленные испытания. Он был и ранее убежден, что формула верна, так как он тщательно проделал ее вывод. Но теперь он убежден в этом в значительно большей степени, причем его убеждение имеет совершенно иной источник, а именно: нечто вроде «экспериментальной очевидности». Затем благодаря вышеприведенным вопросам детали формулы приобретают новый смысл и сопоставляются с новыми разнообразными фактами. Поэтому возрастает вероятность того, что формула не будет забыта. Наконец, эти вопросы легко могут быть перефразированы применительно к аналогичным задачам.
Приобретя некоторый опыт в решении подобных задач, сообразительный учащийся воспримет лежащие в основе этих вопросов общие идеи, т. е. использование, всех существенных данных, изменение данных, симметрию, аналогию. Если он приобретет привычку проводить всякий раз исследование в этих направлениях, то это будет означать
существенный шаг вперед в овладении искусством решения задач.
Нельзя ли проверить ход решения? В трудных и важных случаях может оказаться необходимым снова, шаг за шагом, проверить весь ход решения. Однако обычно достаточно выбрать для проверки несколько «узловых» пунктов. В нашем случае можно рекомендовать рассмотреть дополнительно вопрос, за который не стоило браться, пока решение задачи еще не было получено: Можете ли вы доказать, что треугольник со сторонами х, у, с — прямоугольный? (См. конец п. 12.)
Нельзя ли использовать полученный результат или метод решения в какой-нибудь другой задаче? После одного-двух примеров учащиеся, уверовавшие в свои силы, легко найдут приложения, существо которых будет состоять в конкретной интерпретации задачи, поставленной в абстрактной математической форме.
Сам учитель пользовался такой конкретной интерпретацией, когда он рассматривал классную комнату в качестве параллелепипеда, о котором шла речь в задаче. Слаборазвитый учащийся может предложить «новое» приложение использованного метода, а именно: вычислить диагональ не классной комнаты, а соседней кафетерии. Если учащиеся не смогут самостоятельно придумать ничего действительно нового, учителю придется самому предложить задачу, слегка отличающуюся от прежней, например: «Даны длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда; найти расстояние от его центра до одной из вершин».
Учащиеся могут использовать результат только что решенной задачи, усмотрев, что искомое расстояние есть половина ранее вычисленной диагонали. Или они могут использовать метод, введя подходящие прямоугольные треугольники (последняя возможность менее очевидна и приводит к несколько менее изящному решению).
Разобрав это приложение предыдущей задачи, учитель может рассмотреть четыре диагонали параллелепипеда и шесть пирамид, для которых шесть его граней являются основаниями, центр — общей вершиной, а полудиагонали — боковыми ребрами.
Когда геометрическое воображение учащихся в достаточной мере пробудилось, учителю следует вернуться к вопросу: нельзя ли использовать полученный результат или метод в какой-нибудь другой задаче? Теперь, конечно,
больше шансов, что учащиеся придут к какой-нибудь более интересной конкретной интерпретации задачи, например к следующей:
В центре плоской прямоугольной крыши длиной 21 м и шириной 16 м нужно установить мачту высотой 8 м. Мачта должна быть укреплена четырьмя оттяжками. Оттяжки выходят из одной и той же точки мачты, лежащей на 2 м ниже ее вершины, и идут к четырем углам крыши. Какова длина каждой оттяжки?
Учащиеся могут использовать метод прежней детально рассмотренной задачи, введя один прямоугольный треугольник в вертикальной плоскости и другой — в горизонтальной. Или они могут использовать результат, вообразив прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит одна из оттяжек, а ребра которого следующие:
Непосредственное применение формулы дает: х=14,5.
Дальнейшие примеры приведены в статье «Словаря»: Нельзя ли использовать результат?
15. Различные способы. Мы продолжим рассмотрение задачи, которой мы занимались в пп. 8, 10, 12, 14, Заметим, что учитель мог бы действовать по-другому. Отправляясь от того же исходного пункта, как и в пункте 10, он мог бы пойти несколько иным путем, задавая следующие вопросы:
«Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» «Известна ли вам какая-нибудь аналогичная задача?»
«Обратите внимание на то, что предложенная вам задача относится к геометрии в пространстве. Можете ли вы придумать более простую аналогичную задачу, которая относилась бы к геометрии на плоскости?»
«Посмотрите, в предложенной задаче мы имеем дело с пространственной фигурой, речь идет о диагонали прямоугольного параллелепипеда. В какой аналогичной задаче мы имели бы дело с плоской фигурой? При этом речь должна была бы идти о диагонали... чего?»
«Прямоугольника».
Учащиеся, даже если они очень несообразительны и безразличны и до сих пор были не в состоянии ничего придумать, вынуждены теперь волей-неволей принимать участие, хотя бы и скромное, в поисках идеи решения. Кроме того, если учащиеся столь несообразительны, учителю не
следует приступать к задаче о параллелепипеде, предварительно не подготовив к ней учащихся при помощи задачи о прямоугольнике.
Теперь учитель может продолжить диалог следующим образом: «Вот задача, родственная с вашей и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею?
Нельзя ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?»
В конце концов, учителю может удастся натолкнуть учащихся на нужную мысль. Она состоит в том, чтобы диагональ данного параллелепипеда рассматривать как диагональ некоторого прямоугольника, который должен быть указан на чертеже (пересечение параллелепипеда с плоскостью, проходящей через два противоположных ребра). Существо идеи такое же, как выше, в пункте 10, но подход к ней здесь иной. В пункте 10 контакт с теми знаниями, которыми располагают учащиеся, был осуществлен через неизвестное; ранее решенная задача привлекла тогда наше внимание, потому что в ней было то же самое неизвестное. В настоящем же пункте идея решения была найдена при помощи аналогии.
16. Методика задавания вопросов, показанная в действии в пунктах 8, 10,.12, 14, 15, в своем существе заключается в следующем: начинайте с общего вопроса или совета из нашей таблицы; затем, если необходимо, спускайтесь постепенно к более частным и конкретным вопросам и советам, пока вы не дойдете до вопроса, соответствующего уровню развития учащихся. Если вы хотите помочь учащемуся реализовать свою идею, начните снова с общего вопроса или совета, содержащегося в таблице, затем, если нужно, спускайтесь к более частному и т. д.
В своем настоящем виде наша таблица может быть применена, вероятно, в большинстве простых случаев. Однако, будучи первой таблицей в этом роде, она без сомнения, может быть усовершенствована. Тем не менее, важно, чтобы исходные советы были простыми, естественными и общими, а таблица — достаточно короткой.
1 В свете сказанного читателю будет полезно ознакомиться с кратким вариантом таблицы Пойа, который можно с успехом использовать в виде классного учебного плаката (см. Приложение). Мы заимствуем эту форму таблицы из журнала L’Enseignement mathematique, т. XXX, № 4 — 5 — 6. (Примечание к русскому переводу. — Ред.)
Советы должны быть простыми и естественными, иначе они не будут ненавязчивыми.
Советы должны быть общими, применимыми не только к данной задаче, но ко всевозможным задачам, если они имеют целью развить способности учащегося, а не просто какой-нибудь частный технический навык.
Таблица должна быть короткой, чтобы вопросы из нее повторялись достаточно часто; применяться они должны естественно и в разнообразных ситуациях. Тогда, вероятно, они будут в конце концов усвоены учащимся и обратятся в привычную функцию его ума.
Необходимо спускаться к более частным советам постепенно, чтобы учащемуся доставалась наибольшая возможная доля работы.
Описанный метод задавания вопросов не есть нечто незыблемое, и это хорошая черта его, так как любой твердо установленный, педантичный, механический образ действий оказался бы здесь по необходимости плохим. Наш метод допускает известную гибкость, известные видоизменения; он допускает различные подходы к задаче (п. 15); он может и должен применяться так, чтобы вопросы учителя могли бы прийти в голову и самим учащимся.
Если учитель пожелает испытать предложенный здесь метод в своем классе, он должен будет, конечно, действовать осторожно. Ему следует внимательно изучить пример, рассмотренный в п. 8, и дальнейшие примеры в пунктах 18, 19, 20. Он должен тщательно подготовить примеры, которые он намерен рассмотреть, предусмотрев обязательно различные подходы к ним.
Начать следует с нескольких проб, чтобы выяснить, как он сам владеет методом, как учащиеся воспринимают этот метод и как много времени приходится при этом расходовать.
17. Хорошие вопросы и плохие вопросы. Метод задавания вопросов, изложенный в предыдущем пункте, если он хорошо понят, оказывает помощь при сравнительной оценке рекомендаций, которые могут быть даны учащимся в процессе решения задачи.
Вернемся к ситуации, возникшей в начале пункта 10, когда был задан вопрос: известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Вместо этого, имея самые благие намерения, учитель мог бы спросить: нельзя ли здесь применить теорему Пифагора?
Намерения могли быть похвальными, но вопрос оказался бы никуда не годным. Мы должны вспомнить, при каких обстоятельствах он был задан; тогда нам станет ясно, что против «помощи» подобного сорта можно выдвинуть целую вереницу возражений.
1) Если учащийся достаточно приблизился к решению задачи, то он поймет рекомендацию, заключающуюся в последнем вопросе; в противном случае, очень вероятно, что он не сможет сообразить, куда клонит учитель, задавая этот вопрос.
Таким образом, вопрос окажется не в состоянии помочь тогда, когда помощь нужна более всего.
2) Если совет понят, он сразу выдает весь секрет. На долю учащегося остается слишком мало.
3) Наш совет носит слишком частный характер. Даже если учащийся извлек из него пользу, решая данную задачу, он не научился ничему, что пригодилось бы при решении будущих задач. Вопрос не поучителен.
4) Даже поняв совет, содержащийся в последнем вопросе, учащийся вряд ли поймет, как учитель пришел к мысли задать такой вопрос. Каким образом он, учащийся, сам мог бы додуматься до него? Вопрос появился как кролик, вынутый из шляпы, произведя впечатление непостижимого фокуса. Вопрос, действительно, не поучителен.
Ни одно из этих возражений не может быть выдвинуто против методики, описанной в пункте 10 или в пункте 15.
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
