|
Книга венгерских математиков Д. Бизама и Я. Герцега посвящена математической логике.
Книга снабжена тщательно разработанной системой специальных указателей, которые помогают ориентироваться в особенностях задач.
Книга представляет интерес для самых широких кругов читателей — любителей занимательной математики.
Редакция научно-популярной и научно-фантастической литературы.
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Логические задачи любимы нашей читательской аудиторией. Одни видят в них своего рода «гимнастику ума», средство утоления естественной для каждого мыслящего человека потребности испытывать и упражнять силу собственного разума. Других привлекает нарядная литературная оболочка: фабула логических задач нередко бывает весьма занимательной. Третьи считают основным достоинством этой разновидности задач их доступность: часто можно слышать, что для решения логических задач требуются не специальные знания, а лишь определенный уровень развития, умение логически мыслить, приобретаемое и развиваемое, как и любой другой навык, настойчивыми упражнениями.
Ныне на суд этой широкой читательской аудитории предлагается русский перевод книги венгерских математиков Д. Бизама и Я. Герцега «Игра и логика. 85 логических задач».
Первоначально авторы хотели назвать свою книгу «Школа мышления». И действительно, открыв книгу, читатель попадает в образцовую школу, где два педагога, тактичных и доброжелательных, обучают всякого, кто захочет, искусству решения логических задач. (Боюсь, что упоминание о школе может создать у некоторых потенциальных читателей превратное представление о книге и отбить охоту познакомиться с ней подробнее. Не торопитесь! В этой школе действительно обучают логике, но делают это играя. В ее стенах нет места унынию и скуке!)
Традиционное средство решения логических задач — таблица, в клетки которой вписаны всевозможные комбинации элементов рассматриваемых множеств, — в руках Бизама и Герцега превращается в инструмент необычайной мощи и гибкости. Таблица позволяет решать логические задачи, и не просто решать, но и находить оптимальные (минимальные по числу используемых «элементарных» условий) решения. Таблица помогает анализировать условия задачи, выявлять избыточность, проверять непротиворечивость и полноту, а также возможность разбиения исходной задачи на независимые «подзадачи». Таблица позволяет устанавливать эквивалентность внешне, казалось бы, различных задач и, облекая логический скелет в словесные одежды, конструировать новые логические задачи с заранее заданными свойствами.
Подобно латыни в средневековых университетах, «табличный язык» является обязательным для всех, кто переступает порог школы Бизама и Герцега. Не беда, если вы не владели им раньше! Вам предоставляется уникальная возможность сделать это теперь. Курс прямого и обратного перевода столь интенсивен, а «разговорная практика» столь обширна, что вы весьма скоро научитесь говорить на табличном языке без малейшего акцента и незаме о для себя достигнете высшей степени владения языком — умения мыслить на нем. Нужно ли говорить, сколь важную роль играет формируемое при этом особое «табличное» мышление в наши дни, когда методы так называемой конечной математики не только обрели права гражданства в самой математической науке, но и находят широкое применение за ее пределами.
Но сколь бы высокие цели ни ставили перед собой авторы, достичь их было бы невозможно, если бы им не удалось найти необычайно яркой формы для воплощения своих замыслов — той самой Игры, которая на протяжении всей книги идет рука об руку с Логикой. Нет нужды перечислять все приемы и средства, которые используют Бизам и Герцег: сухой перечень (и даже подробный пересказ) бессилен передать своеобразие их книги — ее нужно читать, читать не торопясь, с карандашом в руке, следуя всем советам авторов.
Итак, добро пожаловать в школу мышления!
Ю. Данилов
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Некоторые из этих задач уже были опубликованы в венгерском научно-популярном еженедельнике «Жизнь и наука» в разделе «Школа мышления» (еще до того, как в этом разделе начали появляться задачи Логара Мишки1)2. Именно в процессе работы в этом разделе журнала у нас появилась мысль о том, что публикуемые в нем материалы, надлежащим образом упорядоченные и дополненные, можно было бы издать отдельной книгой.
Подбор и систематизацию логических задач, несомненно, следовало начать с разбиения их на типы. Материал книги, как бы переплавляясь в процессе работы, вынуждал нас постоянно вносить те или иные усовершенствования до тех пор, пока, наконец, не выкристаллизовалась та последовательность связанных между собой типов логических задач, подробное изложение которой стало основной темой всей нашей книги.
Тщательно систематизировав собранный материал, мы изложили его в виде задач, проблем. Из 85 задач, вошедших в окончательный вариант рукописи, лишь 8 были заимствованы нами из других источников (задачи 1, 2, 3, 4, 79, 80, 81 и 82), однако даже эти задачи были частично переработаны, а решения во всех без исключения случаях написаны заново. Все остальные задачи оригинальны. Нам хотелось бы надеяться поэтому, что и содержание всей книги можно считать более или менее новым. Впрочем, вполне возможно, что нам так и не удалось достичь поставленной перед собой цели, и мы с благодарностью воспримем все критические замечания.
Пользуясь случаем, мы хотели бы поблагодарить всех, кто подсказал нам мысль о создании книги: редакторов журнала «Жизнь и наука», главного редактора журнала «Фенье Бела», сотрудников отдела «Школа мышления» (без ценных советов которых эта книга вряд ли была бы написана), читателей журнала, исправивших замеченные ими ошибки и высказавших немало критических замечаний и указаний. Наконец (но отнюдь не в последнюю очередь), мы благодарим сотрудников издательства и всех, кто принял участие в работе над книгой.
Дьердь Бизам Янош Герцег
Будапешт, 7 сентября 1970 г.
1 Персонаж, имя и фамилия которого по-венгерски напоминает слово «логарифм». — Прим. перев.
2 Мы даже собирались назвать нашу книгу «Школа мышления» — именно такое название как нельзя лучше подходило бы к ее содержанию Однако нам пришлось отказаться от своего намерения, поскольку под таким названием вышел в свет венгерский перевод книги известного математика и педагога профессора Дьердя Пойа (Д Пойа, Как решать задачу, Гос. учебно-педагогическое изд-во Министерства просвещения РСФСР, М., 1959).
НЕСКОЛЬКО НАПУТСТВЕННЫХ СЛОВ К ЧИТАТЕЛЮ
Лет 30—40 назад математика, по всеобщему мнению, была истинным «пугалом». Ясно, что при таком отношении математики за малым исключением никто не знал, да и знать не мог. И хотя теперь к математике относятся совершенно иначе, порой все же приходится слышать отголоски прошлого, причем, к сожалению, не так уж редко. Многие считают (в особенности, если их знакомство с математикой ограничилось теми познаниями, которые они вынесли из средней школы), что у них «нет математических способностей». Между тем подобное мнение часто бывает ошибочным.
Школьная программа по математике ставит перед собой двоякую задачу: во-первых, способствовать развитию у учащихся логического мышления и, во-вторых, дать им конкретные математические знания. Не все дети выносят эту двойную нагрузку. И все же вторую задачу нельзя отделять от первой. Если кто-нибудь не усвоил учебный материал, то какими бы математическими способностями он ни обладал, он не сможет уследить за ходом рассуждений. Не поняв объяснения учителя, такой человек начинает переживать «отсутствие» у него математических способностей и перестает вообще заниматься математикой.
Во время работы над книгой мы с особым вниманием следили за тем, чтобы не упустить из виду интересы именно этого круга читателей. Нам кажется, что мы достигли поставленной цели: для понимания книги никаких предварительных знаний не требуется. Необходимо лишь усвоить то, что написано в нашей книге. Если кто-нибудь возьмет на себя труд прорешать все задачи от первой до последней (и при этом будет сверять свои решения с приведенными у нас в книге), то можно ручаться, что содержание книги станет для него «родной стихией» и все будет понятно.
Со своей стороны мы хотим помочь читателю в овладении математическим мышлением и подсказать ему направление, в котором следует развивать свои способности. Например, задачи в книге расположены не как придется, а в такой последовательности, которая должна помочь читателю угадать решение. С этой же целью написаны совершенно необходимые с точки зрения единства книги разделы, в которых речь идет о соответствии между задачами и решениями, принадлежащими к различным направлениям. Иногда (это бывает довольно редко) нам все же приходится ссылаться на те или иные математические факты. Однако такие разделы читатель без ущерба для понимания дальнейшего может пропустить.
В том же духе были выдержаны задачи в разделе «Школа мышления» венгерского научно-популярного еженедельника «Жизнь и наука». Работа в редакции этого раздела послужила для нас хорошей школой. За четырехлетний срок существования раздела число присылаемых в редакцию писем с решениями задач возросло примерно в 10 раз. Из этих писем мы не только узнали, какие задачи особенно любимы читателями, но и познакомились с наиболее распространенными ошибками и типичными недочетами решений.
Мы считаем, что переходить от одной темы к другой в математике имеет смысл лишь тогда, когда вы основательно разобрались в предыдущей теме, чувствуете себя в ней, «как дома». Разносторонность знаний приобретается с опытом, в процессе решения возникающих по ходу изучения темы задач. В нашей книге задачи сгруппированы по темам. Однако одинаковыми они могут показаться лишь при самом поверхностном знакомстве. Внимательный читатель сразу же увидит, что во всей книге не найдется и двух задач, совпадающих до мельчайших подробностей. Каждая задача непременно содержит какой-нибудь новый, дополнительный штрих, отличающий ее от предыдущей.
Популярной математике не чужда забота о внешней форме изложения. Памятуя об этом, мы стремились излагать задачи в как можно более «несерьезной», «игрушечной» форме. Однако за их занимательной формой кроется вполне серьезное содержание. Что же касается решений, то они заинтересуют лишь тех читателей, которые любят поломать голову над трудной задачей.
КАК ЧИТАТЬ ЭТУ КНИГУ
Разумеется, мы прекрасно сознаем, сколь разнообразно множество наших читателей, сколь разнообразны их требования. Поскольку нам хотелось удовлетворить запросы как можно более широкого круга читателей, то мы постарались предусмотреть, чтобы каждый мог извлечь из нее нечто полезное для себя.
Наша задача облегчалась тем, что некоторые читатели прислали нам свои предложения, сообщили, в какой последовательности, по их мнению, следовало бы расположить задачи.
Каждому из типов читателей (за исключением типа А) мы присвоили особый знак. Он как бы служит сигналом, по которому читатель без труда узнает те задачи, которые, по нашему мнению, ему следовало бы решить.
Однако прежде чем мы перейдем к рекомендациям для каждого типа читателей в отдельности, нам xoie-лось бы обратить внимание на два обстоятельства, которые в большей или меньшей степени затрагивают всех читателей.
а. Мы считаем, что каждый читатель должен пытаться сначала самостоятельно решать каждую задачу и лишь затем заглядывать в решение, приведенное в книге. Вместе с тем мы обращаемся к читателям с просьбой: не упускайте случая заглянуть в конец книги, где собраны решения. Это позволит вам, во-первых, сравнить свое собственное решение с нашим (может случиться, что найденное вами решение окажется проще приводимого нами) и, во-вторых, при чтении готового решения узнать методы и понятия, без которых вам было бы трудно решить следующие задачи. Такие вещи просто необходимо знать заранее!
б. Рисунки органически связаны с текстом и составляют с ним единое целое. Иногда текст и рисунок не только дополняют друг друга: рисунок может с успехом заменять текст. Мы надеемся, что такой «симбиоз» рисунка и текста не только делает более наглядными условия задачи и оживляет книгу, но и способствует уяснению смысла задачи.
А. Читателям, которые хотят дружить с математикой и жаждут развить свое математическое мышление, необходимо прорешать все задачи от первой до последней и попытаться каждую задачу решить самостоятельно. Этим читателям не рекомендуется «подглядывать» в конец книги и для вящей уверенности заимствовать (хотя бы в самых общих чертах) приведенное там готовое решение. Не будет ничего плохого, если читатель этого типа не сумеет решить одну-две задачи. Вот тогда действительно имеет смысл заглянуть в книгу и посмотреть, как они там решаются.
Не будет большой беды и в том, если кому-нибудь не удастся решить какую-то из задач сразу: не следует забывать о том, что эти задачи для того и придуманы, чтобы читатели могли поломать над ними головы. В этом случае мы также рекомендуем прочитать решение, приведенное в книге: в нем может содержаться какая-нибудь полезная идея. Однако большинство задач все же следует решать самостоятельно.
Но если задача успешно решена, то зазнаваться вовсе не следует. Сравните полученное вами решение с приведенным в книге. Вы узнаете много нового и не пожалеете затраченного времени!
Если ваше решение не совпадает с приведенным в книге, то это еще не означает, что оно неверно. Вполне возможно, что задача допускает еще одно решение и вам удалось найти именно его. Установить, что задача допускает несколько решений, не менее важно, чем найти любое из них.
Следует внимательно прочитать указания и примечания, содержащиеся в решениях, приведенных в конце книги.
Б. Читателю, который не обладает достаточным терпением, чтобы внимательно читать всю книгу, но из любопытства все же заглянул в нее, мы советуем немного запастись терпением. Не начинайте читать книгу с приглянувшейся вам задачи в середине: этого делать нельзя даже в том случае, когда «подводных камней» совсем не видно 1. Для самых нетерпеливых мы рекомендуем несколько безопасных «маршрутов» по книге.
1 Попробуйте, например, начать с задачи 40, 41 или 42, не заглянув предварительно в решение задачи 39, а затем для сравнения попробуйте решить те же задачи после того, как вы познакомитесь с рекомендуемым там методом составления «маршрутов». Различие вроде бы совсем невелико!
У каждого маршрута имеется свой номер. Маршрут с большим номером иногда может проходить по тем же задачам, что и маршрут с меньшим номером.
Через каждую задачу непременно проходит по крайней мере один маршрут, поскольку каждый маршрут рано или поздно приводит к какому-нибудь математическому понятию. Встреча с этим понятием происходит там, где маршрут покидает область ранее решенных задач и вступает в область задач, еще ждущих своего решения.
|
