|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основным видом внеклассной работы по математике в школе являются математические кружки. Вызывая интерес учащихся к предмету, кружки способствуют развитию математического кругозора творческих способностей, учащихся, привитию навыков самостоятельной работы и тем самым повышению качества математической подготовки учащихся. Их дополняют разовые мероприятия, проводимые как в школе Математические вечера, викторины, олимпиады, КВН, соревнования команд и др.), так и вне школы (математические конкурсы, проводимые отдельными газетами, журналами, занятия в физико-математических школах при высших учебных заведениях, конкурсы по решению задач, проводимые радио и телевидением, и др.).
В пособии приводится содержание всех занятии математических кружков с разнообразным набором задач. Во второй части пособия даются решения задач, указания к решению либо ответы. К темам, выходящим за оамки школьной программы, предлагается теоретический материал (краткое изложение). Содержание и порядок рассмотрения материала примерные. Зто ориентир для учителя. Используя литературу и собственный опыт, учитель конкретизиру ет содержание каждого занятия. Молодой учитель, не имеющии еще достаточного опыта ведения кружковой работы, может принять за основу работы кружка материал данного пособия.
По каждому классу математические кружки могут быть в основном двух уровней: один — для более сильных учащихся, второй-для средних. В пособии нет возможности привести содержание всего материала для кружков каждого уровня. Учитывая, что значительная часть материала занятий этих кружков совпадает, в каждое занятие включено на несколько заданий больше. Это дает возможность исключить более легкие упражнения в одном случае и более сложные — в другом.
Занятие математического кружка может быть построено по следующему плану:
1) доклад одного из участников кружка на 5-10 мин по истории математики; сообщение руководителя или участника кружка по теме занятия;
2) решение задач, в том числе повышенной трудности,
3) решение задач занимательного характера (о) и задач на смекалку (Д);
4) ознакомление участников кружка с задачами, предлагавшимися на приемных экзаменах в вузы (к);
5) ответы на разные вопросы учащихся.
Знакомство с конкурсными задачами (к) поможет учащимся со-ставить конкретное представление о требованиях по математике при поступлении в вуз. Эти задания взяты в основном из журналов «Математика в школе» и «Квант». Они предлагались на экзаменах в 1981 — 1983 гг. С условиями таких задач целесообразно знакомить участников в конце каждого занятия, а их решение можно предлагать желающим для самостоятельной работы дома. Следует иметь в виду, что выполнение домашних заданий не обязательно.
Материал по каждому классу располагается в порядке нарастания его трудности. Первая тема в VIII классе «Различные системы счисления» интересна сама по себе, а также важна для ознакомления учащихся с работой ЭВМ. На втором занятии рассматривается график линейной функции и графическое решение систем линейных уравнений. Этот материал тоже достаточно прост и постоянно используется в дальнейшем. Целесообразно познакомить участников кружка с доказательством того, что графиком линейной функции является прямая линия. Это покажет им, что кружок не является повторением урока, и даст возможность получить первое знакомство с требованиями к поступающим в вузы на примере рассмотрения наиболее простого вопроса курса математики средней школы. Третье занятие отводится графику квадратичной функции и графическому решению квадратных уравнений, четвертое — графическому решению систем уравнений, пятое — знакомству с решением систем линейных уравнений методом определителей. На следующих занятиях решаются алгебраические, а затем геометрические задачи. На десятом занятии участники кружка знакомятся с жизнью и деятельностью известных математиков Ф. Виета и Р. Декарта. Весь рассмотренный перед этим материал является необходимой базой для темы указанного занятия. Следующее занятие — «Формула расстояния между двумя точками» — по существу посвящено вопросам приложения открытий Ф. Виета и Р. Декарта. На следующих трех занятиях изучается материал, связанный с понятием модуля числа, строятся графики и решаются уравнения, содержащие знаки модуля. Далее учащиеся знакомятся с жизнью и деятельностью женщин-математиков как прошлого, так и настоящего времени. Это дает возможность сопоставить условия жизни и деятельности женщин-ученых в разные исторические эпохи. Занятие целесообразно провести накануне Международного женского дня. На последних занятиях решаются алгебраические и геометрические задачи.
При решении задач обращается внимание учащихся на отыскание наиболее рациональных, оригинальных способов их решения. Так же как и при выполнении учащимися экзаменационных работ в школе, и на вступительных экзаменах в вузы или техникумы, выбор способа решения — право учащегося. Оформление решения задачи и используемая учащимися символика также могут быть различными, лишь бы они были йатемйтически правильнымй.
Творческое начало должно преобладать и при решении геометрических задач на построение. Здесь желательно проводить анализ, который помогает наметить план решения. Если условие задачи допускает разное число решений, то учащийся должен уметь проанализировать возможное число решений, а иногда и обосновать, сколько и конкретно каких решений будет, если он изменит данные в задаче величины.
В действующих учебниках алгебры и начал анализа нет понятия ОДЗ. И на кружке при решении алгебраических задач нет смысла уделять особое внимание этому вопросу и требовать от учащихся нахождения ОДЗ. Но в ряде случаев нахождение допустимых значений буквенных параметров или переменных облегчает решение задачи. В таких наиболее простых случаях полезно указать допустимые значения. Отсутствие шаблона в подобных вопросах способствует развитию самостоятельности, творческого подхода при решении задач, развитию математического мышления учащихся.
В IX классе первое занятие отведено рассмотрению метода математической индукции. На втором занятии решаются задачи на применение метода математической индукции. Его значение в познавательном и методическом отношении велико. К тому же этот материал на уроках не изучается. А тема «Метод математической индукции» не требует знания программного материала курса математики IX класса. На третьем занятии рассматривается материал, относящийся к действиям над действительными числами и выполнению тождественных преобразований. На четвертом занятии решаются алгебраические и геометрические задачи. Следующие два занятия посвящены рассмотрению числовых последовательностей. Этот материал связан с программой IX класса. Седьмое занятие проводится накануне 7 Ноября. Оно знакомит учащихся с ведущими советскими математиками, а значит и с достижениями советской математической школы. Затем на трех занятиях решаются геометрические задачи. Далее дается представление о комплексных числах и их приложениях к решению уравнений, в первую очередь двучленных и трех-членных. На следующих занятиях рассматриваются графики функций затем задачи на построение сечении многогранников. Двадцатое занятие отведено знакомству с жизнью и научно-общественной деятельностью Н. И. Лобачевского. Это занятие можно провести в форме вечера. На заключительных занятиях отрабатываются навыки преобразований тригонометрических выражений и доказательств тригонометрических тождеств.
Первая тема X класса — «Комбинаторика и бином Ньютона». Этот материал важен и полезен для дальнейшего изучения математики, тем более что программный материал еще не накоплен на уроках для его использования на кружковых занятиях. На эту тему можно отвести четыре занятия. На следующих двух занятиях закрепляются навыки преобразований тригонометрических Выражений и решаются тригонометрические уравнения. Далее решаются геометрические задачи, причем в основном планиметрические. Это является подготовкой к решению стереометрических задач. На занятиях по теме «Уравнения и их системы» отрабатываются наиболее рациональные приемы решения уравнений. Затем рассматриваются уравнения и неравенства, содержащие показательную и логарифмическую функции. Одно занятие отводится знакомству с жизнью и деятельностью одного из крупнейших математиков всех времен — Карла Гаусса. На заключительных занятиях решаются неравенства и геометрические задачи с использованием векторов, а также стереометрические задачи, предлагавшиеся на приемных экзаменах в вузы.
Подготовка к занятиям на исторические темы начинается за 3 — 4 недели до проведения. Весь материал темы необходимо разбить на отдельные вопросы, каждый из которых представляет самостоятельный доклад одного из участников кружка.
Причем если доклад об ученом небольшой, то его делает один ученик. Если большой, то один из кружковцев рассказывает о жизни ученого, второй — о его научных открытиях, третий — о его общественной деятельности. Число докладчиков может быть и гораздо большим. Преподаватель заранее распределяет материал между участниками вечера, указывает им на литературные источники.
Ответственные за занятие вместе с докладчиками подготавливают иллюстративный материал. Решению задач, предусмотренных на занятии, желательно придать игровую, занимательную форму. Можно провести небольшой конкурс.
Занятие на историческую тему лучше проводить в конце какой-либо четверти или в каникулы в форме вечера. В этом случае желательно включить и художественную часть. На вечера приглашаются все, в первую очередь учащиеся старших классов школы.
Порядок изучения тем на кружковых занятиях примерный. Учитель вправе изменить его по своему усмотрению, исключить некоторые темы, заменить другими. С целью более свободного варьирования тематикой в пособии приведено по каждому классу на 2 — 3 занятия больше, чем это необходимо. Проводится одно занятие в 2 недели, с сентября по апрель включительно. Продолжительность каждого занятия — не более 1,5 ч. На первое занятие кружка учителя приглашают всех желающих, и после этого учащийся должен решить вопрос о его участии в работе кружка; на нем же проводится вводная беседа, на которой руководитель кружка знакомит учащихся с содержанием и с планом работы кружка.
Работу кружка по каждому классу целесообразно освещать в математической газете, выпускаемой раз в месяц. В газете, как правило, помещаются план работы кружка, задачи для проведения заочного математического конкурса, заметки и др. Итогом работы кружка являются математические олимпиады или конкурсы по решению задач.
VIII класс
Занятие 1. Тема. Различные системы счисления
Система счисления — это, совокупность правил чтения и записи чисел. Поинятая нами система счисления называется позиционной десятичной системой счисления. В ней за основание нумерации принято число 10 и соответственно этому имеется 10 различных знаков — цифр для записи чисел. Числа от 0 до 9 составляют простые единицы. Десять единиц составляют один десяток — единицу второго разпяда. Десять десятков составляют одну сотню единицу третьего разряда и т. д. Значение цифры для чтения и записи числа зависит от ее места, позиции в записи числа. Поэтому система счисления и называется позиционной. Так, в числах 52», 352, цифра 5 стоит на разных местах и в зависимости от этого имеет различные значения: в первом числе она означает сотни, во втором — десятки, а в третьем — единицы.
Если за основание принять другое число, то получим другую систему счисления: восьмеричную, если за основание принять число 8- троичную, если за основание принять число 3, и т. д. Наибольшее применение в вычислительной математике имеет двоичная система счисления. В ней всего две цифры: 0 и 1. Числа, записанные в двоичной системе счисления, удобно вводить в вычислительную электронную машину и производить над ними действия для решения различных довольно сложных задач.
Действия над числами в любой системе счисления выполняются аналогично действиям над числами в десятичной системе счисления. Надо только помнить, что если в каком-то разряде получается число единиц этого разряда, равное основанию системы счисления, то это будет единица следующего разряда. Аналогично одна единица старшего разряда при переводе в младший разряд равна числу единиц в основании системы счисления.
Основой перевода чисел из любой системы счисления в десятичную является запись их в виде многочлена, расположенного по степеням основания системы.
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
