Учебник прислал Паскин Роман Викторович.
_____________________
ФPAГMEHT УЧЕБНИКА (...) На рисунке 151 изображены ворота Летнего сада в Ленинграде. Они состоят из двух половин, которые симметричны друг другу относительно прямой I. Говорят, что фигура симметрична относительно прямой, если эта прямая делит её на две части, симметричные друг другу. Прямую I в этом случае называют осью симметрии данной фигуры. Фигуры, имеющие ось симметрии, часто встречаются в природе и технике.
Некоторые фигуры имеют несколько осей симметрии (рис. 152). Самой симметричной фигурой является окружность: любая прямая, проходящая через центр окружности, делит её на две симметричные части (рис. 153).
На рисунке 154 изображены две пересекающиеся окружности с центрами в точках А и В. Проведём прямую АВ. Она делит обе окружности на две симметричные полуокружности. При перегибании листа бумаги по прямой АВ нижние полуокружности совпадут с верхними. Значит, течка D — точка пересечения кижннх полуокружностей, совместится с точкой С — точкой пересечения верхних полуокружностей. Мы показали, что точки С и D симметричны относительно прямой АВ.
Точки пересечения двух окружностей симметричны, относительно прямой^ проходящей через центры о тих окружностей.
1006. На рисунке 155 изображены фигуры. Какие из ник имеют одну ось симметрии, две оси симметрии, более двух осей симметрии?
1007. На рисунке 156 изображены две окружности. Какая прямая служит их общей осью симметрии?
1008. На рисунке 157 изображены два треугольника — ABC и ABD, такие, что АС = AD и ВС = BD. Докажите, что эти треугольники симметричны относительно прямой АВ. Равны ли эти треугольники?
1009. Какие из нарисованных букв (рис. 158) имеют вертикальную ось симметрии, какие имеют горизонтальную ось симметрии, какие имеют и вертикальную и
горизонтальную ось симметрии? Какие из нарисованных букв не имеют осей симметрии?
1010. Начертите треугольник ABC. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно стороны АВ.
§ 18. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
82. Равнобедренные и равносторонние треугольники.
Треугольник, у которого две стороны равны друг другу, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника, а третья сторона — его основанием. На рисунке 159 А В и АС — боковые стороны, а ВС — основание равнобедренного треугольника ABC. Точку А называют вершиной равнобедренного треугольника.
Для построения равнобедренного треугольника начертим окружность с центром О, выберем на ней две точки А н В и соединим их друг с другом и с точкой О {рис. 160). Получится равнобедренный треугольник АОВ с вершиной О и боковыми сторона-
ми ОА и ОВ. Его основанием является отрезок АВ.
Треугольник ABC, все стороны которого равны между собой (АВ =АС =ВС)Г называют равносторонним.
Равносторонний треугольник можно построить так: начертить окружность с центром О (рис. 161), взять на неб точки А и В, расстояние между которыми равно радиусу. Треугольник АОВ равносторонний.
1011. Прямая BD (рис. 162) проходит через вершину В равнобедренного треугольника ABC и середину D основания АС, Докажите, что прямая BD является осью симметрии треугольника.
1012. Докажите, что прямая, проходящая через вершину равнобедренного треугольника и середину его основания, перпендикулярна его основанию и делит пополам угол при вершине.
1013. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны друг другу.
1014. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Чему равны углы при основании треугольника?
1015. В равнобедренном треугольнике угол при основании на 30“ больше угла при вершине. Чему равны углы этого треугольника?
1016. Чему равны углы равностороннего треугольника?
1017. На рисунке 161 изображён равносторонний треугольник. Какую часть окружности составляет дуга АВ?
1018. Как разделить окружность на 6 равных частей?
1919. В треугольнике ABC перпендикуляр, проведённый через вершину А к стороне ВС, делит эту сторону пополам. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
1020. Угол при вершине равнобедренного треугольника в 2 раза больше каждого из углов при основании. Чему равны углы этого треугольника?
1021. Угол при вершине равнобедренного треугольника в 2 раза меньше одного из углов при основании. Чему равны углы этого треугольника?
2022. Разделите окружность на три равные части и соедините точки деления отрезками.
83. Построение треугольника по трём сторонам.
Задача. Постройте треугольник со сторонами АВ = 6 см, ВС — 5 см и АС = 4 см.
Сначала проведём прямую I и отложим на ней отрезок АВ = = 6 см (рис. 163). Точка С удалена от точки А на 4 см, от точки В на 5 см. Чтобы найти положение точки С, проведём две окружности: одну с центром А и радиусом 4 см, а другую с центром В и радиусом 5 см. Эти окружности пересекутся в двух точ-
ках С и D (рис. 163). Соединим точку С с точками А и В. Получим треугольник ЛВС со сторонами АВ = 6 см, ВС -= 5 см и АС - 4 см. Если мы соединим точку D с точками А и В, то получим второй треугольник ABD со сторонами АВ — 6 см, BD - 5 см и AD = — 4 см. Треугольники ABC и ABD равны: если перегнуть рисунок 163 по прямой АВ, то точки С и D совпадут, а тогда совпадут и треугольники ABC и ABD.
Если из трёх стержней изготовить треугольник, то, не растягивая, не сжимая и не изгибая стержни, нельзя изменить форму треугольника, даже если они скреплены в вершинах шарнирами (рис. 164). Говорят, что треугольник есть жёсткая фигура. Этим свойством треугольника пользуются на практике (рис. 165, 166.)
Четырёхугольник не жёсткая фигура. На рисунке 167 изображены два неравных четырёхугольника, у которых соответственные стороны равны.
Длины отрезков, по которым строится треугольник, нельзя задавать произвольно. Треугольник можно построить, если длина большого отрезка меньше суммы двух других.
Например, нельзя построить треугольник из отрезков, длины которых равны:
а) 5 см, 3 см, 1 слг;
б) 5 см, 3 см, 2 см.
1023. Отметьте точки А и В, расстояние между которыми 5 см. Найдите точку С, удалённую:
а) от точки А на 3 см, а от точки В на 4 см;
б) от точки А на 5 с.и, а от точки В на 5 см;
в) of точки А ка 2 см, а от точки В на 3 см;
г) от точки А на 7 см, а от точки В на 1 см;
д) от точки А на 1 см, а от точки В на 3 см.
1024. Постройте треугольник ABC, если:
а) АВ = 4 см, ВС 3 см, АС = 2 см;
б) АВ = 8 см, ВС 3 см, АС = 5 см;
в) АВ = 3 см, АС = 11 см, ВС = 5 см;
г) АВ — 3 см, ВС — 5 см, АС — 4 см.
1025. Постройте равнобедренный треугольник ABC с основанием АС = б см и боковой стороной АВ = 5 см.
1026. Постройте равносторонний треугольник со стороной 4 см,
1027. На рисунке 168 изображён треугольник. Постройте в тетради равный ему треугольник.
1028. На рисунке 169 изображён четырёхугольник. Постройте в тетради равный ему четырёхугольник. (У к а з а н и е: отрезок АС разбивает четырёхугольник ABCD на два треугольника.)
1029. Расстояние между телевизионными станциями 100 км. Передачи станции А принимаются в круге радиуса 50 км, а станции В — в круге радиуса 75 км. Отметьте станции
А и. В в масштабе 1 : 2 500 000. Покажите область, в которой принимаются передачи обеих станций; область, в которой принимаются только передачи станции Л; область, где принимаются только передачи станции В; область, где не принимаются передачи ни одной из этих станций.
Ў
.1030. Постройте на листе бумаги два треугольника. Стороны одного треугольника равны; 3 см, 4 см, 6 см. Стороны другого — 4 см, 6 см, 3 см. Равны ли эти треугольники? Вырежьте эти треугольники и с помощью наложения убедитесь в правильности вашего ответа.
.1031. Расстояние между точками М и К равно 4 см. Найдите точки, удалённые:
а) от точек М и К на расстояние 2,5 см;
б) от точки М на расстояние 5 см, а от точки К" на расстояние 1 см.
1032. Постройте треугольник ABC со сторонами:
а) АВ = ВС — 4 см, АС — = 8 ел.
б) АВ=4 см, ВС = 5 см, б АС -- 3 см.
а) АВ=ВС=АС=3 см.
1033. Постройте прямоугольник, равный прямоугольнику ABCD (рис. 170).
84. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Задача 1. Построить треугольник ABC, в котором АВ => = 5 см, А САВ = 56° и г. СВА = 44°.
Для построения треугольника на прямой I отложим отрезом АВ длиной 5 еле. Отложим от луча АВ угол КАВ, равный 56% а от луча ВА по ту же сторону от прямой — угол MBA, равный 44° (рис. 171). Лучи АКи ВМ пересекаются в точке С. Треугольник ABC и будет искомым. Если откладывать лучи по другую сторону от прямой I, то получится ещё один треугольник ABD (рис. 171), у которого одна сторона равна 5 ем, а прнлежащне к ней углы равны 56° и 44°. При перегибании по прямой АВ треугольники ABC и ABD наложатся друг на друга. Значит, треугольники ABC и ABD симметричны и равны.
Задача 2. Измерить расстояние между деревьями А и В, если они растут на разных берегах реки (рис. 172).
Отметим на берегу реки, где растёт дерево А, ещё одну точку С и измерим расстояние АС. Потом измерим углы
САВ и АС В. Зададим какой-нибудь масштаб (например, 1 : 1000) и построим на бумаге треугольник NTK (рис. 173) такой, что отрезок NT в 1000 раз меньше отрезка АС, угол NT К равен углу САВ и угол TNK равен углу АС В. Измерим расстояние NK на чертеже и увеличим его в 100 раз. Мы получим расстояние между деревьями А и В.
1037. Двое наблюдателей находятся в точках А и С. Расстояние между ними 1200 м. Они засекли направления на неприятельскую батарею: ABAC — 45° и АВСА = 65° (рис. 175). Определите положение батареи, сделав план в масштабе 1 :20 000.
55. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Задача 1, Построить треугольник ABC, если АВ = 6 см, АС = 4 см и Z ВАС = 30°.
Сначала строим угол МАК, равный 30°. На стороне AM откладываем отрезок АВ = 6 см, а на стороне А К — отрезок АС = — 4 см (рис. 176). Соединяем точки В и С и получаем искомый реугольник ABC.
Сколько бы мы ни построили треугольников по этим данным, все они будут равны между собой.
Задача 2. Измерить расстояние между деревьями А и В, если между ними находится дом (рис. 177).
Для того чтобы определить расстояние между деревьями А н В, на местности выбирают такую точку С, из которой видны оба дерева. После этого на местности измеряют расстояния С А, СВ и угол АСВ. По этим данным (например, в масштабе 1:1000) строят треугольник НТК, в котором угол НТК равен углу АСВ, а стороны ТН и ТК соответственно в 1000 раз меньше отрезков С А и СВ. Расстояние между деревьями А и В получим, если измерим длину стороны НК и увеличим её в 1000 раз.
1044. Штурман корабля заметил маяк, находившийся на северо-востоке. Когда корабль проплыл 10 км на север, маяк оказался на юго-востоке (рис. 179). Сделайте план в масштабе 1 :100 000 и найдите расстояние от корабля до маяка в начале и в конце пути. Каким было наименьшее расстояние от корабля до маяка?
86. Поворот фигуры около точки.
В жизни мы часто встречаемся с вращением. Шофёр вращает руль автомашины (рис. 181), рулевой на корабле — штурвал (рис. 182). Вращается деталь, обрабатываемая на токарном станке (рис. 183), глобус вокруг своей оси (рис. 184) и т. д. В этом пункте мы рассмотрим вращение фигур в плоскости.
Вырежем из бумаги фигуру М и проткнём её булавкой в точке О (рис. 185). Если повернуть фигуру М вокруг точки О, она займёт положение Р.
Говорят, что фигура Р получилась из фигуры М поворотом вокруг точки О.
Рис. 183. Рис. 184.
Фигуру М можно и не вырезать из листа бумаги, а просто начертить её на этом листе. Тогда лист бумаги можно проткнуть булавкой в любой точке О, даже не принадлежащей фигуре М. Вращая лист бумаги, мы будем поворачивать вокруг точки О и фигуру М (рис. 186).
При повороте фигуры вокруг точки О расстояние каждой точки этой фигуры от точки О не изменяется. Поэтому все точки фигуры М описывают при вращении окружности с центром в точке О. Точку О называют центром поворота.
Возьмём какую-нибудь точку А на фигуре М и проведём л уч ОА. После поворота точка А перейдёт в точку В, а луч ОА — в луч ОВ. Угол АОВ называется углом поворота. Он будет одним и тем же для всех точек фигуры М.
При повороте каждая фигура переходит в равную ей фигуру: прямая — в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, окружность — в равную ей окружность и т. д.
Задача 1. Повернуть точку А вокруг О на 60° по часовой стрелке (рис. 187).
При вращении точка А описывает окружность с центром в точке О. Проведём эту окружность (рис. 187). Точка А перейдёт
в такую точку В окружности, что угол АОВ равен 60°. Поэтому проведём луч ОА и отложим от него угол АОК, равный 60\ Этот угол можно отложить в двух направлениях. По условию его надо откладывать по часовой стрелке (рис. 188). Точка В лежит на пересечении луча О К и окружности.
Задача 2. Повернуть квадрат ABCD вокруг вершины А на 135° по часовой стрелке.
При повороте вершина А остаётся на месте (рис, 189). Повернём сначала вершину D на 135° по часовой стрелке, как было показано в задаче 1. Мы получим точку К. После этого таким же образом повернём на 135° вершины В и С. Мы получим точки L, Т и К — вершины нового квадрата, в который переходит квадрат ABCD при повороте. Квадраты ABCD и ALTK равны.
1046. На какой угол повернётся часовая стрелка за 2 ч?
1047. На какой угол повернётся минутная стрелка за 15 мин?
1048. Начертите окружность радиуса 3 см и возьмите на ней точку А. Поверните окружность на 45° по часовой стрелке
~ около точки А.
1049. Начертите квадрат ABCD со стороной 4 ел и проведите диагонали АС и BD. Поверните квадрат на 90° по часовой стрелке около точки О пересечения этих диагоналей. В какие точки перейдёт каждая вершина квадрата при этом повороте?
1050. Начертите треугольник ОАВ с вершинами О (0; 0), А(3;0); В(0; 5). Поверните этот треугольник на 90° против часовой стрелки вокруг точки О.
1051. Какие из фигур, изображённых на рисунке 190, получены поворотом около данного центра?
1051. Отметьте точки А, В и С. Поверните точки А и В вокруг точки С на 45° по часовой стрелке.
1053. Начертите прямоугольник ABCD со сторонами 6 см и 2 см. Поверните этот прямоугольник на 90° по часовой стрелке вокруг вершины А.
1054. Возьмите отрезок АВ и точку О вне отрезка. Выполните поворот отрезка АВ около точки О на угол 120° по часовой стрелке.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
87. Из истории арифметики и алгебры.
Арифметикой древние греки называли науку о свойствах натуральных чисел (от слова arithmos — число). Уже очень давно люди заметили различие между чётными и нечётными числами. Различными свойствами натуральных чисел интересовались уже несколько тысяч лет тому назад учёные древнего Вавилона. От них интерес к свойствам натуральных чисел перешёл к учёным древней Греции.
Греки изучили вопрос о делимости чисел. Они изучали числа, равные сумме всех своих делителей (меньших самого числа). Такие числа они называли совершенными, Совершенными числами являются, например, числа 6 и 28. Число 6 равно сумме своих делителей 1, 2 и 3. Число 28 равно сумме своих делителей 1, 2, 4, 7 и 14. Понятие общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного, простых и составных чисел восходит к древнегреческой математике. О них писал живший в египетском городе Александрии математик Евклид в своей книге «Начала#-, бывшей на протяжении двух тысячелетий основным учебником математики. Евклид знал, что простых чисел бесконечно много, что каждое составное число можно единственным образом разложить в произведение простых множителей.
Для отыскания простых чисел греческий учёный Эратосфен, живший в III в. до н. э., придумал такой способ. Он записывал все числа от 2 до какого-то числа, а потом вычёркивал через одно все числа, идущие после двух (то есть числа 4, 6, 8, 10,12 н т. д.). Первым оставшимся после 2 числом было 3. Далее вычёркивались через два на третье все числа, идущие после 3 (то есть числа 6, 9,12 и т. д.). В конце концов оставались невычеркнуты-мн только простые числа. На рисунке 191 изображён процесс Эратосфена для чисел от 2 до 40. Так как греки писали на покрытых воском табличках, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то табличка в конце вычисления напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют «решетом Эратосфена». В этом решете отсеиваются простые числа от составных. Из рисунка 191 видно, что простыми числами от 2 до 40 являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
Древних греков интересовали числа, которые выражали количество точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — треугольника, квадрата и т. д. Например, числа 1,3,6, 10 они называли треугольными (рис. 192), а числа 1, 4, 9, 16 — квадратными (рис. 193). Изображение таких чисел в виде геометрических фигур позволяло греческим учёным обнаруживать интересные свойства таких чисел. Например, из рисунка 194 видно, что 16 = 1+3+5+7. В00бще, если сложить нечётные числа, идущие подряд от 1 до какого-то нечётного числа, то сумма всегда будет квадратом какого-то числа.
В связи с изучением звуковых сочетаний греческие учёные рассматривали различные средние. Они знали не только среднее арифметическое двух чисел а и Ь, но и среднее геометрическое и среднее гармоническое. Средним геометрическим чисел а и Ь называли такое число с , что а : с = с : Ъ. Например, если о = 18, Ь =2, то с =6, так как 18:6=6:2. А среднее гармоническое двух чисел — это частное от деления произведения этих чисел на их среднее арифметическое. Например, чтобы найти среднее гармоническое чисел 18 и 2, надо сначала найти их среднее арифметическое. Оно равно 10. А потом надо разделить на 10 произведение чисел 18 и 2. В частном получится 3,6. Значит, среднее гармоническое чисел 18 и 2 равно 3,6,
В самых древних дошедших до нас письменных источниках — в египетских папирусах и вавилонских глиняных табличках — встречаются не только натуральные числа, но и д р о б и. Они были нужны, чтобы выразить результат измерения длины, площади, веса в случае, когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз. Тогда вводили новую, меньшую единицу измерения. Названия этих единиц измерения и стали первыми названиями дробей. Например, у римлян унция сначала была названием двенадцатой доли единицы веса. А потом слово «унция» стало обозначать двенадцатую долю любой величины, и стало возможно говорить о семи унциях пути (то есть о семи двенадцатых пути).
Первой дробью, с которой познакомилось человечество, была половина. У всех народов название половины не связано с числительным «два». В то же время, например в русском языке, названия всех долей связаны с названиями числительных — треть от слова «три», четверть от слова «четыреи т. д.
В древней Руси были дроби «половина» и «треть», а остальные получались из них делением пополам. Например, говорили не «одна двенадцатая», а «пол-пол-трети».
Уже у древних греков появляется запись дробей с помощью числителя и знаменателя. Только знаменатель они записывали сверху, а числитель — снизу. Писать сверху числитель, а снизу
знаменатель стали впервые индусы около 1500 лет тому назад. Но они не писали черты между числителем и знаменателем. Дробная черта стала общеупотребительной лишь в XVI в.
В старину, как правило, применяли обыкновенные дроби. Это объяснялось сложностью системы мер, в которой единицы измерения делились и на 12, и на 16, и на 40 частей. Только учёные использовали вавилонские шестидесятеричные дроби. Но потом было замечено, что самыми удобными для вычислений являются десятичные дроби. Но только в XVII — XVIII вв. они получили всеобщее распространение. Окончательно десятичные дроби стали наиболее употребительными после введения десятичной системы мер и весов.
После V в. н. э. математические исследования в Европе почти прекратились. Христианские императоры под страхом смертной казни запрещали занятия математикой, астрономией и другими «языческиминауками. Центр математических исследований переместился в арабские страны. Арабы перевели творения Архимеда, Евклида и других греческих учёных. Большой вклад в математику внесли учёные, происходившие из Средней Азии (узбеки, таджики) и писавшие на арабском языке.
Арабы не только сохранили древнегреческую науку, но и сами получили важные научные результаты. Они развили науку об уравнениях. Одно из правил для решения уравнений — перенесение членов уравнения в другую часть с противоположным знаком, называлось по-арабски «аль-джебр, то есть восстановление. Поэтому и науку о решении уравнений стали называть алгеброй. Некоторые алгебраические понятия и сейчас имеют арабские названия, например «алгоритм— совокупность действий, выполняемых в определённом порядке.
Развитие промышленности, ремесла, архитектуры, мореплавания вызвали подъём наук в Западной Европе. Первые европейские математики обучались в арабских университетах, но уже в XIII в. начинают выходить книги по математике сначала в Италии, а потом в Германии, Франции и других европейских странах. Дальнейшее развитие получила алгебра. При этом сначала все записи делали словами. Это было неудобно и занимало много места. Постепенно стали появляться сокращённые обозначения для арифметических действий, вместо неизвестных величин стали писать буквы, появились скобки, знаки для равенства и неравенства. Позже всего появились современные обозначения для степеней. Полностью развил буквенные обозначения и правила действий над буквами французский математик и философ Декарт, живший в XVII в.
Развитие алгебры потребовало дальнейшего обобщения понятия о числе. При решении уравнений стали появляться отрицательные ответы. Сначала европейские математпкп считали эти ответы нелепыми, не имеющими смысла, хотя уже индусские математики в XII в. истолковывали различие между положительными и отрицательными числами как различие между «имуществом» и «долгом». Полное объяснение отрицательным числам и обоснование действий над ними дал Декарт. Он стал изображать положительные и отрицательные числа точками числовой прямой. Чтобы изображать формулы, Декарт ввёл к00рдинатную плоскость. Со времён Декарта алгеброй стали называть науку об уравнениях и действиях с буквенными выражениями. Теперь и изучение свойств арифметических действий тоже считают частью алгебры.
Наряду с развитием алгебры продолжалось изучение свойств натуральных чисел. Большой вклад в изучение натуральных чисел внёс знаменитый русский математик П. Л. Чебышев (1821 — 1894). Он доказал, например, что если натуральное число больше, то между числами п и 2 п — 2 есть хотя бы одно простое число (их может быть и больше, например, если п=10, то между числами 10 и 18 три простыл числа — 11, 13 и 17).
Некоторые задачи о натуральных числах формулируются так просто, что их может понять даже школьник V класса. Но решить эти задачи иногда не удаётся даже самым крупным учёным. Например, более 200 лет тому назад было замечено, что любое чётное число является суммой двух простых чисел, например: 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, .... 100=41+59
и т. д. Но доказать это утверждение не удавалось никому. Только в 1937 г. советский математик И. М. Виноградов сделал большой, решающий шаг в решении этой задачи. Он доказал, что все нечётные числа, начиная с некоторого, являются суммами трёх простых чисел. Отсюда следует, что все чётные числа, начиная с некоторого, равны сумме четырёх простых чисел.
88. Задачи повышенной трудности.
1058. В магазине было шесть разных ящиков с замазкой в 15 кг, 16 кг, 18 кг, 19 кг, 20 кг, 31 кг. Два покупателя взяли пять ящиков. Один из них взял по весу в 2 раза больше, чем другой. Какой ящик остался в магазине?
1059. На аэродром к прибытию самолёта из почтового отделения был послан мотоциклист. Самолёт прибыл раньше установленного срока, и привезённая почта тут же была направлена в почтовое отделение с верховым. Проехав полчаса, верховой встретил мотоциклиста, который принял почту от верхового, и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение мотоциклист прибыл на 20 мин раньше, чем следовало. На сколько минут раньше срока самолёт прибыл на аэродром?
1060. Продаются чайные чашки по 75 коп., 70 коп., 60 коп., 50 коп., 40 коп. и блюдца по 58 коп., 42 коп., 32 коп. Сколько различных наборов из одной чашки и одного блюдца можно составить? Какой набор будет самым дешёвым и какой — самым дорогим? Могут ли оказаться два различных набора с одинаковой ценой?
1061. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 17 команд. Каждая команда с каждой из остальных сыграть должна 2 раза: один раз на своём поле, а другой — на чужом. Сколько матчей будет проведено в турнире?
1062. Туристы увидели огромную стену. Её длина 20 м, высота 3 м, а вес 1,8 т. Мэжзт лд ветер опрокинуть эту стену, если 1 cms стены весит 3 г?
1063. Можно ли выбрать 5 чисел из таблицы, у которых сумма равна 20?
1065. Бригада косцов в первый день скосила половину луга и ещё 2 га, а во второй день — 25 % оставшейся части и последние 6 га. Найдите площадь луга.
1066. Пассажир, проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шёл вдоль линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 сек пассажир вышел из трамвая и пошёл догонять своего знакомого. Через сколько секунд он догонит знакомого, если он идёт в 2 раза быстрее знакомого и в 5 раз медленнее трамвая?
1070. Турист решил отправиться из одного города в другой не пешком, а воспользовавшись попутным транспортом. Первую половину пути он проехал на автомашине в 10 раз быстрее, чем если бы шёл пешком, а вторую половину пути он двигался на волах — в два раза медленнее, чем если бы шёл пешком. Сэкономил ли время турист тем, что проехал весь путь, а не прошёл его пешком?
1071. Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 сек, а мимо будки стрелочника — за 15 сек. Вычислите длину поезда и его скорость.
1072. Саше и Лене куплены пальто, ботинки и шапочки. Всего заплатили 75 руб. Каждая вещь, купленная для Саши, стоит в 1,5 раза дороже, чем такая же вещь, купленная для Лены. Сашино пальто в 10 раз дороже его шапочки и в 3 раза дороже ботинок и шапочки Лены. Сколько стоит каждый купленный предмет?
1073. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99 %, Когда грибы под суш ч ли, влажность снизилась до 98%. Сколько стали весить грибы после подсушивания?
1074. Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные станции и создавать на них запасы пищи и воды. За сколько дней он сможет пересечь пустыню?
1075. Город расположен на 10 островах. Эти острова соединены мостами. В путеводителе по городу было напечатано, что с 5 островов ведут по одному мосту на материк, на 4 островах берут начало 4 моста, на 3 островах — 3 моста и на одном острове — 1 мост. Докажите, что в этих сведениях содержится ошибка.
1076. В комнате стоят 10 больших ящиков. В некоторых из них есть ещё по 10 меньших ящиков, а в некоторых из меньших ящиков есть по 10 совсем маленьких ящиков. Всего заполнено 54 ящика. Сколько всего ящиков находится в комнате?
1077. Взяли 6 больших листов бумаги и часть из них разрезали на 7 кусков каждый. Некоторые из этих кусков снова разрезали на 7 кусков и так сделали несколько раз. Может ли в результате получиться 67 кусков бумаги? А 72 куска?
1078. Путешественник ехал в автобусе и увидел, что на километровом столбе написано двузначное число. Он уснул, а через час проснулся и увидел, что на километровом столбе написано трёхзначное число, первая цифра которого такая же, как вторая цифра час тому назад, вторая цифра — нуль, а третья — такая же, как первая цифра час тому назад. Ещё через два часа он выглянул в окно автобуса и увидел, что на километровом столбе число такое же, как два часа тому назад, только цифра 0 заменилась иной цифрой. Найти скорость автобуса.
1079. В зале было почти 100 стульев. Так как пришло много зрителей, то принесли ещё столько же стульев, сколько
было в зале. После этого — всего числа стульев оказалась незанятой. Сколько было стульев в зале и сколько было зрителей?
1030. Часть жителей одного города умеет говорить только по-русски, часть — только по-узбекски и часть умеет говорить на обоих языках. По-узбекски говорят 85 % жителей, а по-русски — 75 %, Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?
1031. Разделите 7 яблок на 12 человек поровну, разрезая каждое яблоко не более чем на 5 частей.
1032. Как разрезать торт в 600 г на части, чтобы его можно было разделить поровну и на троих, и на четверых человек. Постарайтесь сделать как можно меньше кусков.
1083. Я отпил — чашечки чёрного кофе и долил её молоком.
Затем я выпил — чашечки и снова долил её молоком. По-3
том я выпил полчашечки и снова долил её молоком. Наконец я выпил полную чашечку. Чего я выпил больше — кофе или молока?
1084. Поезд проходит путь от станции А до станции В за 10 ч.
Если бы скорость поезда была на 10 — больше, он проч
шёл бы этот путь за 8 ч. Найдите скорость поезда и расстояние между станциями А и В.
1085. Сеня взял в столовой 3 порции винегрета, а Саша — 2 порции. За столом к ним присоединился Костя и они разделили весь винегрет поровну. При расчёте оказалось, что Костя должен уплатить товарищам 25 коп. Сколько денег из этой суммы должен получить Сеня и сколько Саша? Сколько стоит одна порция винегрета?
1086. Из железного прута хотят сделать цепь либо в 80 звеньев, либо в 100 звеньев. Во втором случае каждое звено окажется на 5 г легче. Сколько весит прут?
1087. Мама купила яблоки для своих детей — Вани, Нины и Миши. Дети должны были поделить яблоки между собой поровну. Ваня пришёл домой первым, сосчитал яблоки, взял третью часть и ушёл. Потом пришла Нина и, полагая,
что она пришла первой, сосчитала оставшиеся яблоки, взяла третью часть этих яблок и ушла. Наконец, пришёл Миша и взял третью часть оставшихся яблок. После этого в сумке осталось 8 яблок. Сколько яблок купила мама для своих детей?
1088. С рынка возвращались две колхозницы. Одна спросила другую: «Что Вы продавали?» Последовал ответ: «Я продавала живых цыплят, и получилось так, что первому покупателю я продала половину всех цыплят и ещё полцыплёнка, второму — половину оставшихся у меня цыплят и ещё иолцыплёнка. Третьему покупателю я также продала половину цыплят, оставшихся после второго покупателя и ещё полцыплёнка. А больше цыплят у меня не осталось». Сколько цыплят продала колхозница?
1089. Петя съел — всех яблок и ещё 2 яблока, Сеня съел — всех яблок и ещё 1 яблоко, а Коля — половину того, что осталось после Пети и Сеии, После этого осталась — часть первоначального числа яблок. Сколько яблок было в начале?
1090. Из 8 монет одна фальшивая (более лёгкая). Как определить фальшивую монету двумя взвешиваниями на весах с двумя чашечками без гирь?
1091. Среди 20 одинаковых на вид монет имеется одна фальшивая, которая легче, чем настоящая. С помощью трёх взвешиваний на весах с чашечками без гирь определить фальшивую монету.
1092. Среди 27 монет одна фальшивая. По виду её отличить от остальных невозможно. Определите фальшивую монету с помощью трёх взвешиваний на весах с чашечками без гирь, если известно, что фальшивая монета тяжелее, чем настоящая.
|
