Математический анализ для школьников

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Эта небольшая книга, объемом около пяти листов, рассчитана на то, чтобы при удаче стать учебником математического анализа в средней школе. Она содержит все, что может войти в любой вариант учебной программы. Книга начинается не с определения предела и правил его вычисления. Предел трактуется в ней как нечто само собой понятное и разъясняется на определениях касательной и производной. С этого начинается книга. Далее вычисляются производные многочленов, тригонометрических функций и даются правила дифференцирования произведения и дроби, а также сложной функции. В промежутке доказываются теорема Ролля и формула Лагранжа. На основе этого изучаются функции, находятся участки возрастания и убывания, максимумы и минимумы. Интеграл определяется в трех вариантах: операция, обратная дифференцированию, площадь графика, предел конечных сумм. После этого очень тщательно изучается функция e в ст. x как предел последовательности многочленов (1+x/n) в ст. n при целом n, стремящемся к бесконечности. Вычисляются производные функций e в ст. x, ln х. В конце даются упражнения к каждому параграфу, немногочисленные, но иногда довольно трудные. В книге делается упор не на логическую строгость, но на вычислительную технику. Как популярная книга может служить для самого первоначального ознакомления с математическим анализом. Поскольку я сам никогда не преподавал в средней школе, при написании книжки я руководствовался здравым смыслом квалифицированного математика и своими личными воспоминаниями о восприятии анализа в мои школьные времена. Хотя тогда анализ не преподавали в средней школе, я еще до поступления в университет был довольно хорошо знаком с ним. Знал, что такое производная, интеграл и умел пользоваться этим аппаратом для решения задач. При этом я не имел ни малейшего представления о теории пределов. О существовании ее я узнал только в университете и был чрезвычайно этим удивлен. Я считаю, что начинать изложение анализа в средней школе с теории пределов не следует. Нужно помнить, что теория пределов исторически возникла как надстройка над уже существовавшим анализом. Тщательное изучение таких вещей, как пределы и непрерывные функции, может навести скуку и даже вызвали отвращение. Помню, как, будучи еще школьником, в каком-то курсе анализа я читал доказательство теоремы о том, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения. Это чтение вызвало у меня тогда крайнее недоумение и раздражение. Здравомыслящий человек должен воспринимать график функции как хорошо отделанный край незазубренной металлической пластинки. При таком восприятии понятия графика касательная на выпуклой его части должна восприниматься как край линейки, плотно прижатой к выпуклой части края пластины, и потому ни существование касательной, ни существование производной не должны вызывать сомнение. Точно так же не должно вызывать сомнение, что существует площадь такой пластины, и потому нет сомнения в том, что существует интеграл. Мне хотелось бы, чтобы школьник при изучении геометрии воспринимал треугольник как сделанный из тонкой металлической пластинки, так чтобы его можно было брать в руки, перекладывать на другое место и перевертывать наизнанку. Это не значит, что таково должно быть определение треугольника, но восприятие его, мне кажется, должно быть именно таким. Исходя из таких методических соображений, я начинаю изложение анализа не с определения предела, а с определения касательной и производной.
      Мне кажется, что в учебную программу средней школы должны быть включены лишь сведения, изложенные в параграфах с 1 по 7. Убедительное описание функции ех, которому посвящены параграфы с 8 по 10, представляется мне чрезмерно сложным. Тем не менее, я даю его, исходя из требований программы. Точно так же, для выполнения требования учебной программы я привожу некоторые сведения о пределах и непрерывных функциях, но лишь в послесловии (§ 13).
      В заключение я выражаю благодарность В. Р.- Те-леснину за большую помощь, оказанную мне при написании и редактировании книжки.