НА ГЛАВНУЮ (кнопка меню sheba.spb.ru)ТЕКСТЫ КНИГ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)АУДИОКНИГИ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)ПОЛИТ-ИНФО (кнопка меню sheba.spb.ru)СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ (кнопка меню sheba.spb.ru)ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ФОТО-ПИТЕР (кнопка меню sheba.spb.ru)НАСТРОИ СЫТИНА (кнопка меню sheba.spb.ru)РАДИОСПЕКТАКЛИ СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ВЫСЛАТЬ ПОЧТОЙ (кнопка меню sheba.spb.ru)

К истории развития передовых идей в русской методике математики. Пособие для учителей. Ланков А. В. — 1951 г.

Проф. А. В. Ланков

К истории развития передовых идей
в русской методике математики

*** 1951 ***


DjVu

<< ВЕРНУТЬСЯ К СПИСКУ

 

      Полный текст книги

 

      СОДЕРЖАНИЕ
     
      Глава первая
      Введение. Возникновение меюдико-мачематических идей н России в XVIII в. Российская империя в начале XVIII в. Учебные заведения и очаги культуры в первой половине XVIII в. Л. Ф. Магницкий. Подготовка преподавательских и научных кадров. Первые учебники математики, борьба с иностранными влияниями. Методическая школа Л. Эйлера. Вторая половина XVIII в.; возникновение народных училищ. Учебники для народных училищ. Литература 5—22
     
      Глава вторая
      Возникновение научной методики арифметики в России. Первая половина XIX в.; развитие школы и математической пауки. Г. Песталоцци. Ф. И, Буссе. П. С. Гурьев. Литература 23—31
     
      Глава третья
      Собирание опыта школы. Первая работа по теории методики. Вторая половина XIX в. Школа и наука. К Д. Ушинский о преподавании математики. В. А. Латышев и его журнал. «Методика» В. А. Латышева. Литература 35-47
     
      Глава четвёртая
      Из истории борьбы с иноземным влиянием в русской методике математики. Метод Грубе и его посчедователн в России. Борьба с методом Грубе. А. И. Гольденберг. Труды А. И. Гольденберга. Литература 48—56
     
      Глава пятая
      Ьлняние педагогических учебных заведений на формирование русской школы методики арифметики. Воспитание нового учителя. Преклонение перед иностранным «творчеством». Состояние преподавания арифметики до реформы методики. Плеяда представителей русской школы методики арифметики. Литература 57—65
     
      Глава шестая
      Педагогика и психология арифметики. Метод целесообразных задач. С. И. Шохор-Троцкий. Методические идеи С. И. Шохор-Троцкого. Значение С. И. Шохор-Троцкого в методике. Литература 66—73
     
      Глава седьмая
      Первые работы о преподавании геометрии на рубеже XIX века. Евклид и его критика. С. Е. Гурьев. Система математического образования, выработанная С. Е. Гурьевым. Философские и методические взгляды С. Е. Гурьева. Т. Ф. Осиповский. Лобачевский. Литература 74—83
     
      Глава восьмая
      Методика геометрии в XIX веке. Геометрия в первой половине XIX в. Русская методика геометрии в 60—70-х годах XIX в. А. Н. Острогорский. Подготовительный курс геометрии. Литература 81—94
     
      Глава девятая
      Методика алгебры в XIX веке. Факторы, задерживавшие развитие методики алгебры. Учебное пособие по алгебре Н. И. Лобачевского. А. Н. Страннолюбскнй. В. А. Евтушевский. П. Л. Чебышев. В. П. Ермаков В. П. Шереметевский. Новые течения в методике алгебры. Создание учебников алгебры. Литература 95 113
     
      Глава десятая
      Развитие методики тригонометрии. Первые работы по тригонометрии. Тригонометрия в гимназиях. Работа над учебниками во второй половине XIX в. Программы реальных училищ 1906 г. и новые учебники. Идея пропедевтического курса тригонометрии. Литература 114—122
     
      Глава одиннадцатая
      Пятнадцать лет нового века. Некоторые особенности в развитии .методики математики в XIX в. Подъём методико-математической мысли на рубеже нового века. Съезды и их значение для методики математики. Новые течения в методике арифметики. Новые течения в геометрии и алгебре. Преподавание основ высшей математики и тригонометрии в средней школе. Новый центр методико-математической работы. Литература. 123—143
     
      Заключение 114-145
      Именной указатель 115—119

     
     
      «Когда мы слышим нередко и среди представителей молодёжи, и среди некоторых защитников нового образования нападки на старую школу, что старая школа была школой зубрёжки, мы говорим им, что мы должны взять то хорошее, что у было в старой школе». — В. И. Ленин.
     

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Методика преподавания — молодая наука. О ней немного говорят и ещё меньше пишут. Наша русская школа прошла длинный путь. Этот путь не был усеян розами, наоборот, на всём его протяжении было слишком много терний. У царского правительства школа всегда была под особым подозрением: на неё смотрели, как на очаг революционной заразы, её отдавали под надзор самых ревностных опекунов от реакции, её чаще че-м какое-либо другое учреждение «исправляли» и «очищали». И тем не менее в течение XIX в. мы имеем, несомненно, большой прогресс в постановке работы школы и методах преподавания. XIX век создал основы методики преподавания математики, заложил прочный фундамент, необходимый для дальнейшего развития этой науки.
      Этапы рождения методики математики интересны и поучительны. Русская методика математики развивалась в условиях острой борьбы с иностранными влияниями. В своём развитии она не только не отставала от западноевропейской методической мысли, но нередко опережала её. Россия создала свою школу методики преподавания начальной арифметики, школу более прогрессивную и плодотворную, которая определила резкий перелом в работе нашей начальной школы.
      Мы поставили перед собой задачу проследить отдельные наиболее яркие моменты развития методики математики в начальной
      1 В. И Ленин, Задачи союзов молодёжи, 1947, стр. 10.
      И средней школе, осветить особенно захватывающие эпИзоДЫ борьбы с западноевропейскими «образцами», показать, как иногда замалчивались и затушёвывались достижения представителей русской науки. Наша работа — не история методики математики в России, а только ряд очерков по развитию методики математики, ставящих перед собой определённую цель.
      В основном мы берём лишь XIX век. Первая глава, посвящённая XVIII в., является необходимым вступлением, а последняя, относящаяся к XX в., — некоторым подведением итогов.
      Ряд очерков, освещающих развитие методики математики в советский период, мы предполагаем дать во II выпуске. Приносим глубокую благодарность действительному члену Академии педагогических наук РСФСР проф. Е. Н. Медынскому, проф.
      А. П. Юшкевичу и доц. В. Г. Чичигину, сделавшим много ценных замечаний при просмотре рукописи.
      А. В. Ланков
     
      ВОЗНИКНОВЕНИЕ МЕТОДИКЕ)-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИДЕИ В РОССИИ В XVIII В.
      Российская империя в начале XVIII в. а рубеже XVIII в. происходит большой сдвиг в социально-экономическом и культурном развитии России.
      В рамках старых феодально-крепостнических отношении растут ремёсла и развивается промышленность, перед которой ставится задача удовлетворения потребностей внутреннего рынка.
      Развитие промышленности и товарного оборота в стране приводит к росту городов. Уже в XVII в. возникло более 160 новых городов.1 В связи с оживлением экономической жизни страны естественно усиливаются связи России с соседними странами. Жизнь выдвинула перед страной ряд больших вопросов. Разрешение этих вопросов составляет основу преобразовательной деятельности Петра I.
      Реформы Петра I носили классовый характер. Сущность их вскрыл товарищ Сталин: «Пётр Великий, — говорит товарищ Сталин, — сделал много для возвышения класса помещиков и развития нарождавшегося купеческого класса. Пётр сделал очень много для создания и укрепления национального государства помещиков и торговцев... и укрепление национального государства этих классов происходило за счёт крепостного крестьянства, с которого драли три шкуры».2
      Смелая реформаторская деятельность Петра I, его решительная борьба за нововведения произвели расслоение верхушки русского общества на два лагеря: врагов преобразователя — приверженцев старины и сторонников его — «птенцов гнезда Петрова».
      1 Из истории русской философии, сб. статей, 1949, ст. Я. Д. Бетяева, стр. 101.
      2 И. В. Сталин, Беседа с немецким писателем Эмилем Людвигом, 1938, стр. 3.
      Развитие промышленности, торговли и культуры, упорядочение государственного аппарата вызвали потребность в новых кадрах, которые нужно было подготовить.
      Первая высшая школа в России возникла в Киеве: в 1631 г. «братская школа» была преобразована в «Коллегиум», а в 1701 г. — в «Академию». Одним из видных деятелей этой школы является Феофан Прокопович, преподаватель философии, арифметики, геометрии и физики и с 1707 г. — префект «Академии», оратор, писатель « государственный деятель. «В его лекциях по риторике, философии (и особенно по геометрии и физике, введённым им впервые) чувствовались живой интерес н вдумчивое отношение к действительности, содержались призывы к передовой науке, к знанию».1 Прокопович считал, что в борьбе науки и богословия победа будет на той стороне, где «достоверные физические и математические доводы», а не догматы.
      Он со всей силой своего красноречия критикует иностранцев, принижавших роль великого русского народа, и в своей книге «Краткая история о делах Петра Великого» стремится показать величие России в прошлом и настоящем.
      В 1687 г. в Москве открылась славяно-греко-латинская Академия, питомцами которой были Л. Ф. Магницкий и М. В. Ломоносов.
      Выдающимся сподвижником Петра I был Василий Никитич Татищев, автор «Разговора о пользе наук и училищ». Он выступает за развитие типографского дела, призывает к открытию библиотек в стране. К полезным паукам он относит письмо, красноречие, иностранные языки, арифметику, геометрию, землемерие, механику, физику, химию и др.
      Будучи начальником всех уральских и сибирских заводов, он строит большой завод на реке Исеть с рабочим посёлком, из которого впоследствии вырос г. Екатеринбург (ныне Свердловск). Здесь он создаёт «цифирную школу» (ныне Свердловский индустриальный техникум), которой в 1945 г. исполнилось 225 лет.
      В «арифметическом отделении этой школы преподаются арифметика, геометрия, логарифмические вычисления, тригонометрия и «знаменования (т. е. черчение и техническое рисование)».2 Иван Тихонович Посошков, автор сочинения «Книга о скудости и богатстве», требовал «обязательного 3 — 4-летнего обучения для крестьянских детей с тем, чтобы не было и в малой деревне безграмотного человека».3
      Величайшим деятелем науки и культуры в XVIII в. является Михаил Васильевич Ломоносов. Учёный-энциклопедист, он, по
      1 Из истории русской философии, сб. статей, 1949, ст. Я. Д. Бетяева, стр. 1П.
      2 М. К. Рахилевич, О рукописи «Книга поземельная геометрия». Учёные записки Молотовского государственного педагогического института, вып. II, .1948, стр. 175.
      3 Из истории русской философии, сб. статей, ст. Я. Д. Бетяева, стр. 150.
      словам Пушкина, «обнял все отрасли просвещения... всё испытал и всё проник». Передовую науку М. В. Ломоносов соединял с интенсивной практической деятельностью. Он обосновал закон сохранения вещества в природе, дал ценные исследования в области русского языка, истории, геологии, минералогии, физики, астрономии, химии; занимался изучением природных богатств России в целях их разработки, создал фабрику для производства цветного стекла, работал над проблемой морского пути через Ледовитый океан. При его участии созданы Московский университет, гимназии.
      Свои замечательные открытия он рассматривал как борьбу за честь русского народа, за его счастье.1
      Вопреки утверждениям русских буржуазных историков педагогики (Владимирский-Буданов, Рождественский), отмечавших узкий профессионализм школ, созданных Петром I, исследования советского периода устанавливают широкий и разносторонний энциклопедизм образования с преимущественным реальным направлением и светский характер школы.2
      Учебные заведения и очаги культуры в первой половине XVIII в.
      Государственные школы возникают в России в эпоху Петра I. Для устранения экономической зависимости России от более развитых стран Запада необходимо было развитие общего и технического образования. Великий преобразователь России, «царь помещиков и купцов», чётко проводит свой план подготовки специалистов, которые могли бы принять участие в осуществлении задуманных реформ.
      В 1701 г. в Москве открывается «Математических и навигационных, т. е. мореходно-хитростных, наук школа». В 1703 г. возникает частная гимназия пастора Глюка. В 1712.г. появляются в Москве инженерная и артиллерийская школы. В 1714 г. в городах начинают насаждаться цифирные школы и «наука цифирная» объявляется обязательной. В 1715 г. организуется Морская академия в Петербурге.
      Таким образом, реформы Петра I приводят к развитию в России реального образования, к открытию школ р е а л ь но го типа, в которых математика ставится на первый план. Для подготовки духовенства открываются епархиальные школы, в учебный план которых вводится математика (геометрия, по указу 1722 г.). При пехотных полках появляются гарнизонные школы. Совершенно иное положение наблюдается на Западе. Общеобразовательные средние школы Западной Европы, являясь
      1 Из истории русской философии, сб. статей, ст. Г. С. Васецкого, стр. 155 — 180.
      2 Е. II. М е л ы н с к и й, История русской педагогики, стр. 47 — 49. Ш Н. Ганелиг и Е. Я. Гола ит. История педагогики, стр. 212.
      преемниками латинских школ, имели по преимуществу классическое направление и находились под прямым влиянием духовенства. Естественно, что математика там не была в почёте. Померанский статут, относящийся к концу XVI в., подчёркивает, что в математике преподаватели ничего не могут излагать «не посоветовавшись с начальником и пасторами». М. Симон приводит высказывание проф. А. Бриля, который утверждает, что «за сто лет до нас (следовательно, в конце XVIII в.) математика в немецких гимназиях была чуждым элементом», её терпели только в форме числового счёта.1 В известном Итонском колледже (Англия) обязательный курс математики был введён лишь в 1851 г. Развитие методики на Западе в XVII и XVIII вв. ограничивалось запросами технических и военных школ.
      Реформы Петра носили исторически ограниченный классовый характер. Образованием охватывались лишь узкие слои населения, главным образом дети дворян, духовенства, купцов и посадских людей. В обществе образовательные реформы встречали прямое противодействие. «Не вели, государь, для означенной науки, во учинённые в Москве школы детей наших брать», — писали жители трёх городов. И, действительно, в 1720 г. посадские дети были освобождены от обучения. Дворяне также предпочитали не учиться. Однако великий преобразователь настойчиво продолжал начатое дело. В последние годы царствования Петра каждый губернский город имел две школы — духовную и светскую. В 1724 г. был разработан «Устав» Академии Российской. И в Академии почётное место заняли представители математической науки: проф. Я- Герман, ученик Якова Бернулли; Николай и Даниил Бернулли, сыновья Иоганна Бернулли; X. Гольдбах, Л. Эйлер, Д. Мейер и др. Первое торжественное заседание Академии открылось 13 ноября 1725 г. докладом акад. Я. Гер-мана «Об аналитическом выводе сфероидальной формы земли».
      В 1726 г. при Академии открывается гимназия, в которую было принято 112 учащихся. Дворяне и купцы не желали посылать своих детей в гимназию: первые приёмы академической гимназии дали значительное число детей солдат, мастеровых и даже крепостных. Гимназия не давала ни чинов, ни прав. Дворяне предпочитали учиться в шляхетном корпусе, открытом в 1731 г. В учебном плане гимназии видное место занимали арифметика, геометрия и тригонометрия.
      В навигационной школе на арифметику отводился 1 год, геометрия изучалась в течение 8 месяцев, плоская и сферическая тригонометрия — 3 месяца. Пётр распорядился отвести для каждой науки особый день и проходить их параллельно.
      В Морской академии изучались арифметика, геометрия, артиллерия, навигация, фортификация и т. д. В цифирных школах также проходились арифметика, геометрия и плоская тригоно-
      1 «Методика и дидактика математики в средней школе», 1917, стр. 13.
      метрия, причём занятия носили индивидуальный характер. Одновременно при Академии был открыт университет. Студентов в нём было меньше, чем в гимназии. Из окончивших гимназию в университет переходили очень немногие. Были годы, когда университет совсем не имел студентов (1731 г.), иногда количество профессоров было равно количеству студентов (в 1742 г. — по 12 человек).
      Пополнение для университета брали из Духовной академии. В 40-х годах в университете вводится обучение высшей математике (для наиболее успевающих). Во второй половине XVIII в. в программу университетского преподавания вводятся механика, оптика, гидростатика.
      Наконец, в 1755 г. открывается Московский университет с двумя гимназиями при нём (для дворян и для разночинцев). В 1758 г. такие же гимназии были открыты в Казани. Число учащихся в Московской гимназии быстро увеличивалось (в 1787 г. было до 1000 человек).
      Л. Ф. Магницкий
      Только первое время Россия использовала иностранцев в качестве учителей в школах и учёных — в Академии. В навигационной школе первыми преподавателями были профессор Абердинского университета Эндрыо Фархварсон, Стефан Гвин, Ричард Гриз. Но уже с первых лет существования школы появился талантливый преподаватель Леонтий Филиппович Магницкий (1669 — 1739), русский человек, не уступавший иностранцам ни в знаниях по математике, ни в организационных способностях. Крестьянин Тверской губ., питомец Московской славяно-греколатинской академии, Л. Ф. Магницкий был образованным человеком своего времени. Он владел латинским, греческим, немецким, голландским языками и был достаточно знаком с достижениями западноевропейской математики.
      Его книга «Арифметика сиречь наука числительная», 1703, является первым фундаментальным трудом в истории русской математики. Заглавие не определяет её содержания. По существу, «Арифметика» Магницкого является энциклопедией математических знаний. Большой том, объёмом свыше 600 страниц, содержит элементарную арифметику в полном объёме, обобщённую арифметику (учение о числах алгебраических), решение уравнений первой и второй степени, извлечение квадратных и кубических корней, сведения из геометрии, тригонометрии, астрономии, навигации и т. д. Книга Магницкого не является простым переводом с какого-то иностранного языка, не составляет подражания — это оригинальный труд, стоящий на уровне аналогичных западноевропейских изданий того времени. Славянский шрифт, догматическое изложение, заимствованная главным образом из латинского языка терминология, отвлечения и общефилософские рассуждения даже в стихотворной форме — вот характерные особенности этой книги.
      По содержанию «Арифметика» Магницкого — плод зрелой мысли, не лишённый своеобразных методических достоинств; примеры восходящей трудности, интересный подбор задач и т. п. По этой книге учились поколения русских людей. Ломоносов называл её «вратами своей учёности» и многое знал наизусть. Таким образом, Л. Ф. Магницкий опередил своих учителей, создав книгу, достойную удивления.
     
      Подготовка преподавательских и научных кадров
      Проблема преподавания математики в общеобразовательных и технических школах, созданных в XVIII в., могла быть решена лишь при условии освоения достижений мировой математической науки.
      Первый призыв учёных Академии Российской состоял из иностранцев. Из них Л. Эйлер (1707 — 1783), сын базельского пастора и ученик И. Бернулли, ассимилировался в России и всем своим существом был предан своей второй родине. 20-летннм юношей, по вызову братьев Бернулли, он приехал в Россию и с русской научной культурой был связан кровными узами всю свою жизнь. Он сделался русским академиком, учёным с мировым именем.
      В 1741 г. Эйлер выехал в Берлин, где прожил 25 лет. Но и во время пребывания в Пруссии, оставаясь почётным членом С.-Петербургской Академии, он был предан русскому народу. Из Берлина он прислал в Академию 105 работ и в том числе два главных труда: «Основания дифференциального исчисления» и «Морская наука». «Его королевское величество (Фридрих Прусский) недавно меня спрашивал, — пишет Эйлер, — где я изучал то, что знаю? Я, согласно истине, ответил, что всем обязан пребыванию в Петербургской Академии наук». Диапазон исследований Эйлера был исключительно велик: проблемы транспорта породили «Морскую науку», связанную с ней теорию движения луны, работы по картографии; в области чистой математики его можно по праву назвать создателем аналитической теории чисел; ему принадлежит классический труд — «Введение в анализ бесконечно-малых», трактат по вариационному исчислению и т. д. При жизни Эйлера в изданиях Петербургской Академии было опубликовано 464 его работы и после смерти 199 работ. На сочинениях Эйлера учились западноевропейские математики: «Читайте, читайте Эйлера, — писал Лаплас, — это учитель нас всех».
      Эйлер создал в России плеяду талантливых учеников (М. Е. Го-ловин, П. Б. Иноходцев, С. К- Котельников, С. Я. Румовский,
      Н. И. Фусс, В. Е. Ададуров и др.), в трудах которых и определились прогрессивные идеи по методике математики. Из военноучебных заведений вышло второе поколение учеников (Н. Г. Курганов, С. Е. Гурьев и др.). Многие из них были не только блестящими педагогами, но и талантливыми математиками-ис-следователями. Таков, например, сын солдата Преображенского полка Семён Кириллович Котельников (1723 — 1806). В 1754 г. Эйлер писал о нём: «Во всей Германии не найти более 3 человек, которые в математике заслуживали бы предпочтение перед Котельниковым, но в течение года я добьюсь того, что он превзойдёт и этих людей».
      Котельников оправдал ожидания своего учителя. Конкурентами С. Котельникова на кафедру математики были немцы. Эйлер писал о них: «Эти Л. Эйлер. субъекты, как мне кажется,
      из-за своего необыкновенного трудолюбия потеряли здравый человеческий смысл. По сравнению с ними я могу с полным правом считать Котельникова Архимедом или Ньютоном». В течение 5 лет С. К. Котельников руководил академической гимназией.
      Столь же показательна и личность Степана Яковлевича Румовского (1734 — 1812). Он родился в семье священника и из духовной семинарии был переведён в академическую гимназию. 19 лет получил звание адъюнкта и был направлен учиться к Эйлеру. В своём лице он соединял блестящего астронома, в течение 25 лет руководившего составлением астрономических календарей, талантливого йедагога, составителя учебников и опытного администратора (член главного управления училищ, попечитель Казанского университета, вице-президент Академии наук). Между прочим, когда в России было предпринято составление словаря русского языка, С. Я. Румовский принял и в этой работе энергичное участие, за что был награждён золотой медалью.
      Выдающимся деятелем просвещения XVIII в. является Николай Гаврилович Курганов (1726 — 1796), ученик Магницкого. По окончании Морской академии Курганов сделался преподавателем математики в Морском корпусе. В 1774 г. Эйлер — сын и Котельников отличают его как учёного, достойного стать профессором математических наук. В 90-х годах Н. Г. Курганов был назначен инспектором Морского корпуса. Н Г Курганов является автором учебников по математике, наиболее новых по идеям М популярных в XVIII в.
      Николай Иванович Фусс (1755 — 1826), ученик и секретарь Эйлера, работоспособный и талантливый математик, был долгое время непременным секретарём Академии наук. Им составлено несколько учебников. В качестве члена Главного правления училищ Н. И. Фусс принимал деятельное участие в реформе системы народного образования и в организации университетов.
      На немногих примерах мы показали, как росли в XVIII в. национальные кадры педагогов-математиков. История подготовки этих кадров тем более поучительна, что в течение первой четверти века существования Академии наук в руководстве делами Академии наблюдалось открытое немецкое засилье. Управляющий делами Академии Шумахер и другие чиновники с пренебре. жением относились к русским и ставили на их пути всяческие преграды. Из биографии гениального учёного XVIII в. М. В. Ломоносова это хорошо известно. Но пионеры русской математической науки и русской методики математики, в большинстве случаев разночинцы по происхождению, оказались волевыми людьми: они преодолели все препятствия.
     
      Первые учебники математики, борьба с иностранными влияниями
      В связи с ростом школ необходимо было разрешить проблему учебников математики. XVIII век не создал и не мог создать методической литературы. Здесь закладывался лишь фундамент методической науки. Методические факты, отдельные методические направления находили своё отражение в учебниках. Методика рождалась в противоречиях, в борьбе и прежде всего в борьбе с иностранными влияниями.
      «Арифметика» Магницкого — это эпоха в деле создания учебников. «Магницкий, по словам Галанина, стоит на рубеже старой европейской математики и её нового развития в XVIII в.».1 Заслуга Л. Ф. Магницкого заключается в том, что он создал оригинальный русский учебник, хотя при его знании иностранных языков соблазн перевода той или иной западноевропейской книги, безусловно, был велик.
      В русской математической литературе «Арифметике» Магницкого предшествовали многочисленные рукописи и две книги.
      В 1682 г. напечатана таблица «Считание удобное, которым всяк человек, купующий или продающий, зело удобно изыскать может, число всякие вещи...» Это пифагорова таблица умножения от 1 до 100, напечатанная славянскими знаками, автор не указан. Язык предисловия близок к языку Магницкого.
      1 Д. Д. Г а л а и и и, История методических идей по арифметике в России, ч. Г XVIII в., М. 1915.
      В книге Магницкого эта таблица дана в другом виде. Можно предполагать, что эта «таблица» составлена Магницким.
      В 1699 г. в Амстердаме напечатано сочинение Ильи Копиевского «Краткое и полезное руковедение во арифметику, или в обучение и познание всякого счёту, в сочтении всяких вещей», 71 стр. Эта книга не имела распространения, тем более что арифметике в ней уделено лишь 16 страниц, вся остальная часть занята, различными изречениями и баснями. Книга И Копиев-ского издана голландским купцом Я. Тессингом по заказу Петра I для распространения в России. «Опыт» издания книг за границей оказался неудачным и был оставлен. Неизбежно пришлось делать ставку на иностранные учебники. Однако русские люди очень быстро стали относиться скептически к этой литературе. В 1740 г. вышла «Арифметика» Эйлера в переводе адъюнкта Василия Евдокимовича Ададурова. Автор в своём обращении к читателю пишет: «Число арифметических книг, которые в разных государствах на свет изданы, так велико, что многим сей труд мог бы весьма ненужным казаться.. Но русское юношество не может пользоваться иностранными руководствами без больших затруднений и сочинения страдают крупными недостатками» (разрядка наша. — А. Л.). «Учебников много, — говорит Е. Войтяховский, — но в своём практическом приложении они дают много недочётов» («Практический и теоретический курс чистой математики», 1787). В дальнейшем особенно резкая нота недовольства замечается у академика С. Е. Гурьева.
      Классическая литература по математике пользовалась в XVIII в. вниманием педагогической общественности.
      В 1703 г. были изданы таблицы логарифмов Влакка (переизданы в 1715 г.).
      «Начала» Евклида переводились три раза. В 1739 г. вышел перевод переработки «Евклидовых элементов» А Такэ, под ред.
      Э. Фархварсона. Этой книгой пользовались в качестве учебника в Морском корпусе. Затем Евклид был переведён в 1769 г., в 1784 г., и последнее издание повторено в 1789 г.
      Педагогическая мысль XVIII в. ищет основы математических знаний и пытается разрешить вопрос о приложимости этих знаний к жизни. Чистый теоретик считается «ремесленником, художество разумеющим, а не действующим, инженером, добывающим крепости на бумаге». Практик же «на песке строил бы» («Геометрия словенски землемерие», 1708, или «Приёмы циркуля и линейки»). Рукопись этого перевода была лично просмотрена Петром I.
      Иностранные авторы, наиболее последовательными представителями которых в России были X Вольф и И. Вейдлер,1 выдви-
      1 X. Вольф, Atiszug aus Anfangsgriidcn aiicr mathematischen Wlssen-schaften, 1713.
      И. Вейдлер, Jnstltutlones inathematicae, 1718.
      .гали на первый план логическую тренировку ума. За математикой они признавали значение всеобъединяющего метода познания. Это течение, не отрицая приложений математики к жизни, фактически выродилось в формалистический педантизм.
      Из русских математиков к нему частично примкнул Д. С. Аничков, профессор логики, метафизики и чистой математики в Московском университете.
      Но и Д. С. Аничков не был слепым подражателем формалистов XVIII в. Он признавал смешанную математику прикладного характера, позволяющую исследовать явления природы. В своей «Теоретической и практической арифметике», М. 1765 (переиздавалась в 1788 и 1793 гг.), он ввёл примеры и задачи, изменил многие доказательства, сделав курсболее живым и содержательным. Вольф утверждал, что «не математические правды, но п о-рядок учения, из которого оные точно познаются, способствует ко изощрению человеческого разума».1 Вольфанистов менее интересовали отдельные факты, материал, жизнь. Изложение курса математики у них переходило в схоластику; Д. С. Аничков видоизменил и дополнил Вольфа и Вейдлера. Сочетание теоретического материала с прикладными задачами особенно заметно в его геометрии.2 Д. С. Аничков (как и школа Вольфа) — типичный идеалист. «Количество, — говорит он, — не есть неотъемлемое свойство вещей, а есть продукт внутреннего построения нашего ума».3
      Принципиальными противниками вольфанистов были Л. Эйлер и его ученики: С. Котельников, С. Румовскин, М. Головин, В. Ададуров и И. Фусс. Немецкое издание «Руководства арифметики» Эйлера вышло в 1738 — 1740 гг., русский перевод В. Е. Ада-дурова, ч. I, в 1740 г., ч. II в переводе В. Кузнецова — в 1760 г.
     
      Методическая школа Л. Эйлера
      Методическая школа Л. Эйлера резко критикует и учебники, которые удовлетворяются только правилами (догматическое изложение), и учебники, которые пытаются давать туманные доказательства. Сам Эйлер в «Руководстве к арифметике» отказывается от аксиоматического изложения; он ставит перед собой задачу дать строгое и удобопонятное изложение числовой арифметики. «Руководство» Эйлера — прототип современных учебников систематического курса арифметики.
      Перед школой Эйлера стоял ряд методических задач, которые ею постепенно и разрешались.
      1 «Сокращение первых оснований математики, сочинённое в пользу учащегося юношества Христианом Вольфом», М. 1770 — 1771.
      2 Д. Аничков, Теоретическая и практическая геометрия, М. 1780 (переиздана в 1787 г.).
      3Д Аничков «Теоретическая и практическая арифметика».
      Во-первых, необходимо было преодолеть схоластику и формализм вольфанистов и приблизить математику к изучению жизни; во-вторых, настоятельно требовалось упростить изложение, не нарушая его научности; в-третьих, следовало освободиться от тяжёлого арсенала иностранной терминологии и сделать математику доступной для народа и, наконец, в-четвёртых, положить начало созданию учебника для народных училищ, появившихся в последнюю четверть века.
      Первая задача, как мы уже видели, частично разрешалась уже русскими последователями Вольфа и Вейдлера в лице Д. С. Аничкова.
      Наиболее талантливым представителем школы Эйлера является ученик Магницкого Н. Г. Курганов. В «Универсальной арифметике» 1 автор стремится дать «основательное учение, как легчайшим способом разные в обществе случающиеся, Математике принадлежащие, Арифметические, Геометрические и Алгебраические выкладки производить». Книга по образцу «Арифметики» Л. Магницкого является энциклопедией, но отличается лёгкостью и простотой изложения и хорошим литературным языком.
      Автор не признавал длинных и тем более туманных доказательств, заменял их объяснениями на конкретных примерах и задачах. В его книгах появился конкретно -индуктивный метод, который потом нашёл широкое применение в школе. «Продолжительное и подробное объяснение, — говорит он, — причиняет юношеству скуку с нерачением». «Числовник» 1 Курганова, как и «Руководство» Эйлера, является учебником систематического курса арифметики.
      Книги Курганова были самыми популярными во второй половине XVIII в.
      Книги С. Румовского и С. Котельникова2 трудны и тяжеловесны.
      Первым научным курсом алгебры, по изложению приближающимся к учебникам XIX в., является книга Эйлера «Универсальная арифметика», перевод П. Иноходцева и И. Юдина СПБ 1768 — 1769 (переиздана через 9 лет).3 Первый том излагал основные понятия алгебры, второй был посвящён уравнениям и дио-фантову анализу. Это был серьёзный и оригинальный труд, послуживший в дальнейшем основой для учебников алгебры. В него Эйлер ввёл формулу бинома, соединения, прогрессии, логарифмы. «Универсальная арифметика» Эйлера была переработана его учеником Н. Фуссом в учебных целях. «Начальные основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда Эйлера» Н. Фусса, СПБ 1798, перемещают учение об уравнении ближе к началу, сокращают раздел уравнений высших степеней, упрощают определения и терминологию. Книга Фусса методически определила направление учебников алгебры на первую половину XIX в.
      Несколько сложнее обстояло дело с учебниками по геометрии. Со времени Э Фархварсона высоко оценивается авторитет Евклида. Евклид три раза переводится (И. Сатаровым в 1739 г.,
      Н. Кургановым в 1769 г., В. Никитиным и П. Суворовым в 1784 г.). Курс Евклида с его застывшими формами изложения не мог удовлетворить растущую педагогическую мысль. В 1748 г. выходит «Краткое руководство к теоретической геометрии» Г. В. Крафта. В этом учебнике нет системы аксиом, широко используется движение для образования фигур, много практических приложений.
      Книга Крафта, отличаясь лёгкостью и простотой изложения, не даёт надлежащей строгости. В 1765 г. Н. Курганов выпускает «Генеральную геометрию», которая отличается ещё меньшей строгостью и неудовлетворительностью доказательств. Практическая геометрия С. Назарова совсем порывает связи с систематичностью изложения.
      Пробел отчасти восполняется Н. Фуссом,1 который даёт систематическое изложение геометрии, использовав частично аксиоматику. Однако и этот учебник ещё далёк от правильного методического построения: в нём много тяжёлых определений и неудачных формулировок, неточных доказательств.
      Отдельные книги по тригонометрии начали выходить лишь в последней четверти века. В 1787 г. издаётся учебник В. Ники тина и П. Суворова.2 Эта книга составлена по устаревшим западноевропейским образцам. Автор применяет славянскую терминологию: сумма «купа», параллельные — «минующие», гипотенуза — «подтягающая» и т. д.
      Первым русским учебником тригонометрии является книга М. Е. Головина «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами», СПБ 1789. Научной канвой этого учебника являются тригонометрические исследования Л. Эйлера; изложение аналитическое; введена современная нам символика. Книга содержит почти весь материал учебника тригонометрии XIX в. (за исключением обратных тригонометрических функций).
      «Геометрия в пользу и употребление обучающегося благородного юношества в Сухопутном шляхетском корпусе», СПБ 1709.
      2 «Тригонометрия, две книги», СПБ 1787.
      Таким образом, в XVIII в. в значительной степени разрешен вопрос об учебниках арифметики, алгебры и тригонометрии для средней школы, сделан тем самым шаг вперёд на пути создания русской методики математики.
     
      Вторая половина XVIII в.; возникновение народных училищ
      Дворцовый переворот вынес на историческую арену Екатерину II, которая, понимая опасность, угрожавшую дворянскому крепостническому государству, проводила мероприятия по укреплению государства и усилению власти помещиков над крепостными крестьянами.
      Однако для завоевания популярности в Западной Европе Екатерина II лицемерно выступает с либерально-дворянской программой. Много говорится о воспитании, которому придаётся большое значение, о создании «новой породы людей», о «воспитании человека и гражданина», о мягкой дисциплине и т. д.
      «Корень всему злу и добру — воспитание», — говорит И. И. Бецкой.1 В своих сочинениях Бецкой подробно развивает воспитательную систему, причём воспитание оценивает выше обучения. Он высказывается против телесных наказаний, против перегру-жения памяти детей, предлагает использовать при обучении детские интересы.
      По планам Бецкого был открыт ряд новых учебных заведений; училища при Академии художеств и Академии наук (1764 и 1765); институт для воспитания благородных девиц (Смольный институт, 1764) с «мещанским отделением» при нём (1765), Коммерческое училище в Москве (1772) и др.
      Возникает много проектов об учреждении училищ: «План об учреждении разных училищ проф. Ф. Дильтея» (1764), проект организации государственных гимназий (1766), проект комиссии об училищах (1768).
      Все проекты в основном предусматривают создание сословных школ (как для благородных, так купеческих и «других неподлого состояния людей детей»)
      В проекте 1767 г., составленном «Комиссией об училищах», ставится даже вопрос о массовой начальной школе («Элементарные публичные школы для простого народа»), предполагается ввести для мальчиков начальное обязательное обучение.
      Наконец, «частная комиссия об училищах и призрения требующих» составляет четыре проекта: о низших деревенских учи-. лищах, о низших городских училищах, о средних училищах и об училищах для иноверцев.
      Однако весь этот поток проектов остаётся без результатов. Напуганная революционными выступлениями крестьянства и в особенности восстанием Пугачёва, Екатерина прекращает лицс-
      1 «Генеральное учреждение о воспитании юношества».
      мерные заигрывания с французскими философами. Попорот в политике нельзя объяснить личными взглядами Екатерины, как это пытались доказывать буржуазные историки (Милюков, Сербов и др.). Советские исследователи считают, что в связи с развитием денежного хозяйства и ростом фабрик в поместьях родовитой знати происходит быстрое обогащение дворянской верхушки.1 Возникает подражание французскому двору, развивается пышность, показное покровительство искусствам и просветительной философии.
      По по мере приближения к Французской революции просветительная философия становилась более революционной, и феодальная знать России во главе с «мудрой, благой и великой» Екатериной (такими эпитетами награждали её некоторые буржуазные историки) отвернулась от этой философии.
      Бесчеловечная эксплоатация крепостных, использование крестьянского труда на мануфактурах, угнетение народов окраин России и грабёж их земель привели к крестьянской войне.
      Идейно-теоретическим выражением чаяний н требований явились сочинения А. Н. Радищева, просветителя и дворянского революционера, подавшего свой голос в защиту угнетаемого крепостного крестьянства.2
      Восстания были жестоко подавлены. Школа рассматривается теперь как средство укрепления в населении религиозности и покорности власти. За основу взят был реакционный австрийский проект, но в него внесены существенные изменения. Отпал вопрос о сельских школах, образование для крепостных было признано вредным.
      Для проведения реформы школьного дела приглашён был серб Янкович де-Мириево. Организована «комиссия об учреждении народных училищ». Комиссия выработала «План к установлению народных училищ в Российской империи», который был утверждён в 1782 г. План предусматривает открытие главных (5 лет обучения) и малых (двухклассных) училищ. В русском издании австрийского проекта отвергается всеобщность и обязательность обучения в малых училищах.
      В малых училищах (в уездных городах) проходится курс арифметики, в главных (в губернских городах) — вводится алгебра и геометрия.
      Янкович де-Мириево в 1783 г. выпускает «Руководство учителям первого и второго классов народных училищ», устанавливающее школьный режим и методику преподавания. В главных училищах предписывается иметь собрание геометрических тел, математических и физических орудий, чертежей и моделей. Обучение носит утилитарный, реалистический характер.
      1 Е. Н. М е д ы п с к и й, История педагогики, стр. 75 — 77.
      2 «Путешествие из Петербурга в Москву», 1790.
      В 1786 г. было открыто 26 главных народных училищ, в 1788 г. ещё 14. В 1786 г. в народных училищах было 4398 учащихся; в 1800 г. число училищ увеличивается до 315 и число учащихся вырастает до 19 915. Сеть народных училищ была несовершенна и ограниченна, и тем не менее она создала предпосылки для подготовки своих учёных, инженеров, архитекторов, навигаторов и других специалистов. В основу всей реформы был положен принцип «единообразия». Даже учебные планы инженерного и артиллерийского корпусов согласуются с планом народных училищ, преобразуется сухопутный шляхетский корпус и, наконец, все училища ставятся в подчинение «комиссии». «Единообразие» касается плана, методов преподавания, учебной литературы и внешнего порядка.
      Из всех вопросов, стоящих перед «комиссией», самым тяжёлым оказался вопрос об учебниках.
      Первая учительская семинария с одногодичным курсом обучения была открыта в 1782 г. В 1783 г. её заменило главное народное училище. В 1786 г. из него выделилось самостоятельное учебное заведение для подготовки учителей.
     
      Учебники для народных училищ
      Педагоги-математики предшествующего периода всей своей деятельностью слились или с высшей школой (Аничков, Барсов), или со специальными учебными заведениями (главным образом военными). Некоторые из них в последней четверти XVIII в. уже вышли из строя (Эйлер, Ададуров), многие занялись исключительно научной и административной деятельностью (Котельников, Румовский). С учительской семинарией был наиболее тесно связан последние годы своей жизни почётный академик М. Е. Головин, занимавшийся в ней четыре года. Ему принадлежат первые учебники для народных училищ. Он составил первый учебник арифметики.1 В первой части излагались нумерация и действия над целыми и именованными числами, во второй — дроби, пропорции и различные «правила». Большое внимание уделялось десятичным дробям.
      Большое распространение имела «Краткая арифметика» М. Меморского.2 Её популярности способствовала катехизическая форма изложения. Эта форма изложения помогла неопытным учителям того времени перейти от метода чтения и заучивания учебника к более сознательному усвоению путём вопросов и ответов. Через учебник М. Меморского в методику арифметики вошла беседа.
      Геометрический материал был исключён из курса арифметики.
      1 «Руководство к арифметике», ч. I, 1783, стр. 102; ч. II, 1786, стр. 138.
      2 «Краткая арифметика, служащая к легчайшему обучению малолетнего юношества, в вопросах н ответах».
      Необходим был специальный учебник геометрии. Такой учебник был издан в 1786 г.1 Автор учебника не указан.
      Мнения исследователей относительно автора этой книги расходятся. В. В. Бобынин (Биография М. Е. Головина, журнал «Математическое образование», т. I, 1912, стр. 371) и А. Воронов («Историко-статист, обозрение учебн. заведений С.-Петербургского учебного округа, 1849, стр. 28) утверждают, что автором книги является М. Е. Головин. С другой стороны, А. П. Юшкевич («Математика в школе», 1947, № 4, стр. 28 — 29) считает его переводом «какого-то скверного иностранного учебника».
      Учебник, несомненно, интересен как отражение идей пропедевтического курса геометрии. В «Предисловии» к учебнику изложены мысли, свидетельствующие, что автор учебника — серьёзный и вдумчивый педагог: «При задачах, доказательства требующих, надлежит сначала истолковать самое предложение, потом приступить к доказательству. Причём должно напоминать ученикам, в каком случае задачу сию в общежитии употреблять можно. Если ученик сделает одну такую задачу, то задавать и больше на её применение таких, кои можно употреблять действительно в общежитии с пользою... Учитель должен объяснения свои писать па большой чёрной доске, каждую задачу исследовать по частям». В 200 страницах текста учебник содержит лишь 16 теорем, доказательства примерно те же, что и в учебниках Крафта. Широко используется идея движения как при выяснении новых понятий, так и при доказательстве теорем.
      Большая часть материала учебника состоит из задач. Задачи интересны по содержанию, много внимания уделяется вопросам измерения. «Практические задачи, — говорит автор, — можно разрешить на ровном столе булавками и нитками, из которых первые заступят место кольев, а другие — цепей; притом училище должно быть снабжено употребляемыми в сей книге орудиями, как-то: астролябиею, компасом и проч., с коими учителю вместе с учениками надлежит в летнее время выходить на поле и там на деле показать решение практических задач».
      Учебник на первый план ставит не логику, а интуицию и наглядность. Такой учебник не может быть переводом. По свежести и оригинальности методических концепций авторство учебника можно приписать М. Е. Головину. Этот учебник — одна из интересных книг второй половины XVIII в.
     
      Резюмируем достижения XVIII в. в русской методике математики:
      1. В связи с созданием общих и специальных учебных заведений в XVIII в. в России появились кадры блестящих русских педагогов-математиков.
      1 «Краткое руководство к геометрии», издало для народных училищ Российской империи... в С.-Петербурге, 1786.
      2. Нарождается оригинальная учебная литература по математике, которая от типа полуэнциклопедических изданий постепенно эволюционирует к типу специализированных учебников по отдельным разделам математики и профилям школ.
      3. Русские учебники по математике успешно преодолевают схоластику и формалистический педантизм вольфанизма и приближают математику к исследованию окружающей жизни.
      4. Русские учебники по математике, постепенно овладевая научностью изложения, делают решительный переход от догматизма к использованию дедуктивного и индуктивного методов.
      5. Остаётся не вполне разрешённым вопрос об учебнике геометрии, но в методике начального обучения геометрии имеется большой сдвиг в смысле создания пропедевтического курса геометрии для народных школ (М. Е. Головин).
      6. Русскими педагогами-математиками высоко оценивается классическая литература (многократные издания Евклида).
      7. Отмечается высокая эрудиция русских педагогов-матема-тиков, знание иностранной литературы и критическое к ней отношение.
      8. И в количественном отношении XVIII век даёт большое число учебников по математике (оригинальных и переводных): в первую половину века издано 30 книг, во вторую — 98 книг.
      9. Проведён переход от латино-славянской терминологии в математике к современной нам терминологии.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. «Из истории русской философии». Сборник статей, 1949, стр. 829.
      2. Е. Н. Медынский, проф., История русской педагогики, стр. 506.
      3. А. П. Юшкевич, проф., Математика и её преподавание в России, журнал «Математика в школе», 1947, № 2 — 5.
      4. Б. М. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, 1946.
      5. Д. Д. Галанин, История методических- идей по арифметике в России, ч. 1, XVIII в.. 1915.
      6. Его же, Леонтий Филиппович Магницкий и его арифметика, М. 1914.
      7. В. В. Бобыкин, проф., Очерки истории развития физико-математических знаний в России, журнал «Физико-математические науки в их прошлом и настоящем», т. I — XI, 1886 — 1893.
      8. Его же, Элементарная геометрия и сё деятели во второй половине XVIII в., журнал МНП, ноябрь, 1907, ч. XII, п январь 1908, ч. XIII.
      9. Его же. Русская физико-математическая библиография, т. I 1886-1890; т. II, 1889 — 1895 и т. III, 1900.
      10. С. В. Рождественский, Очерки по истории систем народного просвещения в России в XVIII — XIX вв., 1912.
      11. А. Воронов, Историко-статистическое обозрение учебных заведений С.-Петербургского учебного округа с 1715 по 1728 г. включительно, 1849.
     
      ВОЗНИКНОВЕНИЕ НАУЧНОЙ МЕТОДИКИ АРИФМЕТИКИ В РОССИИ
     
      Первая половина XIX в.; развитие школы и математической науки
      Мри ход к власти двуличного и лицемерного Александра I является дальнейшим торжеством дворянских интересов.
      Начало века характеризуется разложением натурального хозяйства. Идёт массовое разорение крестьян. Товарно-денежные отношения, проникающие в помещичьи хозяйства, несут усиление эксплоатации крестьян. Растут промышленные предприятия. Помещики расширяют посевы. В результате крестьянские волнения систематически вспыхивают в различных местах страны. Молодой царь считает своей задачей «даровать стране свободу и тем не допустить её сделаться в будущем игрушкой в руках каких-либо безумцев» (из письма к Лагарпу).
      Исследователи отмечают, что «просветительная политика царского правительства в первые годы XIX в. ... ставит себе задачей, внешне оперируя просветительными идеями буржуазной революции XVIII в. (и, понятно, соответствующим образом извращая их), обезвредить эти идеи и в таком искажённом виде приспособить их к укреплению самодержавной монархии».1
      В 1802 г. учреждаются министерства, что способствует централизации государственного аппарата. Возникают 6 учебных округов для управления делом просвещения.
      «Министерство народного просвещения, воспитания юношества и распространения наук» разрабатывает новый «Школьный устав» (1804). «Устав» предусматривает три типа учебных заведений: 1) приходские училища (одно на два прихода, с одного-
      1 Е. Н. Медынский, История русской педагогики, стр. 106 — 107.
      дичным курсом); 2) уездные училища (в каждом городе, двухклассные) и 3) гимназии (в губернском городе с 4 классами).
      В приходском училище из математических наук проходятся первые действия арифметики, в уездном училище — арифметика, начальные сведения из геометрии, физики, естествознания и технологии; в гимназиях вводятся чистая и прикладная математика и опытная физика (18 час. в неделю), статистика (6 час.), технология (4 часа), естественная история (8 час.).
      Приходские училища призваны подготовлять детей в уездные училища и «доставить детям земледельческих и других состояний сведения, им приличные».
      Уездные училища подготовляют учащихся в гимназии и «открывают детям различного состояния необходимые познания, сообразные состоянию их и промышленности».
      Гимназии преемственно связаны с уездными училищами и подготовляют учащихся к поступлению в университет.
      Одновременно 5 ноября 1804 г. был издан университетский устав. Устав декларировал школу всех типов бессословной.
      Школьная реформа 1804 г. имела показной характер, являлась тусклой копией проектов народного образования, разработанных деятелями Французской буржуазной революции.1
      Сеть училищ развивалась крайне слабо. Так, за 10 лет (1803 — 1812) открыто всего лишь 178 приходских училищ. К началу 1809 г. насчитывалось 126 уездных училищ (на 533 города).
      К началу XIX в. в России было два университета: Московский и Дерптский. В 1804 г. открываются университеты в Казани и Харькове, в 1819 г. главный педагогический институт преобразуется в Петербургский университет, в 1834 г. возникает университет в Киеве.
      Гимназии и университеты на деле являлись сословно дворянскими учебными заведениями.
      «Что касается начального обучения, то все исследователи единодушно отмечают, что в этой области в этот период почти ничего не было сделано».2
      Уже при своём возникновении «Устав» 1804 г. вызывает возражения со стороны феодально-помещичьей среды. Публицист И. П. Пнин открыто заявляет, что для монархической России неравенство состояний служит подпорой и потому должно поддерживаться».3
      В роли исполнителя идей реакции выступает молодой попечитель Петербургского учебного округа С. С. Уваров, представивший в 1811 г. проект нового гимназического устава («Уваровский план»). По его проекту единственное назначение гимназии — подготовка к университету. «Реформа» в виде опыта в 1811 г. была проведена лишь в петербургской гимназии. По этому проекту из учебного плана гимназии исключаются политическая экономия и другие экономические науки, эстетика, право, сокращаются естественные науки; по математике исключаются начала дифференциального и интегрального исчислений. Вместо исключённых предметов вводятся греческий язык, закон божий и другие дисциплины. В 1819 г. «Уваровский план» распространяется на все гимназии. Средняя школа в России становится классической и узко сословной, вводится 7-летний курс обучения в целях отделения гимназий от уездных училищ. Самобытна в этом плане знаменитая уваровская троица: «п р а в о-славие, самодержавие и народность». Всё остальное в основном повторяет прусский устав и является его ухудшенным изданием. Насаждение классицизма является актом борьбы с влиянием французской рационалистической философии.
      Разгул реакции особенно усиливается после образования «Священного союза» (1815), поставившего своей задачей борьбу с развитием революционных идей. Для цензуры учебников создаётся ученый комитет. К управлению просвещением привлекаются махровые реакционеры — Магницкий, Рунич, Карнеев. В 1817 г. учреждается «Министерство духовных дел и народного просвещения», во главе которого ставится мистик князь А. Н. Голицын. В 1824 г., несмотря на явную реакционность, он был обвинён в либерализме, в попытках ниспровержения православной церкви и даже в политической революции. На смену ему был назначен 70-летний адмирал А. С. Шишков, крайний националист и реакционер.
      Реакция растёт при Николае I: начинаются сплошные репрессии по отношению к школе. Они особенно обостряются в связи с политическими событиями эпохи: восстанием декабристов (1825), июльской революцией во Франции и польским восстанием (1830) и революцией 1848 г.
      В 1828 г. выходит новый устав гимназий. По этому уставу в гимназиях с греческим языком на математику отводится 15 час., на физику — 4 часа, а на латинский и греческий языки — 46 час. В 1844 г. из плана гимназий исключается статистика, в 1845 г. — начертательная и аналитическая геометрия. В 1833 г. С. С. Уваров становится управляющим министерством народного просвещения, в следующем году — министром и остаётся на этом посту до 1849 г. Теперь он неукоснительно проводит программу крайней реакции и даже ставит под сомнение свой излюбленный классицизм.
      После революции 1848 г. царское правительство видит причину беспорядков в средней школе в .. .классицизме. «Знакомство с древними литературами способствует к распространению республиканских идей».1 В 1849 г. вводится бифуркация в гимна-
      1 Из записки барона Николаи, впоследствии попечителя Киевского учебного округа и затем министра.
      зиях. Первые три класса — общие; с четвёртого класса устанавливаются два отделения — классическое и реальное. На реальном отделении число часов по математике доводится до 30 в неделю. А в 1851 г. Николай I вычёркивает из учебного плана греческий язык и только по настоянию министра соглашается оставить его в девяти гимназиях. Математика снова сокращается до 2272 часов.
      В области начального образования в этот период почти ничего не было сделано. Некоторое оживление замечается по ведомству государственных имуществ и уделов, которое начинает заниматься начальным образованием с 30-х годов. В 1844 г. это ведомство имело 1884 школы, в 1852 г. — 2542 школы с 139 320 учащимися, но это была капля в море для такой громадной страны.
      Русская математическая наука, несмотря на преследования и тяжесть монархического режима, начинает приобретать мировое значение.
      В Казани Н. И. Лобачевский (1792 — 1856) создаёт неевклидову геометрию. В Харькове Т. Ф. Осиповский (1766 — 1832) выпускает свой курс математики (2-е изд. вышло в 1814 г.), который, по отзывам специалистов, стоял на уровне мировых работ того времени. И тот и другой учёный стояли на материалистических позициях, боролись с идеализмом и, в частности, с кантианством.1
      В Петербурге нарождается Петербургская математическая школа, представителями которой являются В. Я. Буняковский и М. В. Остроградский. Буняковский работал в области приложений теории вероятностей к статистике; ему принадлежит первый учебник по теории вероятностей. В 1844 г. оп выпустил интересный учебник арифметики.2
      Ученик Осиповского М. В. Остроградский блестяще сдал экзамены в Харьковском университете, но под давлением реакционной профессуры не мог получить диплома, что заставило его выехать для продолжения образования в Париж. 6-летнее пребывание в Париже (с 1822 по 1828 г.) принесло ему известность. По возвращении в Россию он был взят под надзор полиции, но уже в 1830 г. получил звание академика по прикладной математике. Исследования Остроградского относятся главным образо.м к области математической физики и аналитической и небесной механики.
      1 В 1821 г. Т. Ф. Осиповский по доносу был уволен от профессорства и ректорства; в 1846 г. такая же судьба постигла Н. И. Лобачевского — он, вопреки своему желанию, был отстранён от руководства уннверситето!.
      2 Несколько раньше в Москве были выпущены учебники арифметики: Д. М. Перевощиков, проф., Арифметика для начинающих, 1820 (переиздана в 1826 г. с большими изменениями), и Н. Е. Зериов, Начальные основания арифметики, 1827.
      Д. М. Перевощнков в своих учебниках приводит восторженный отзыв о французских учёных, создавших метрическую систему. — А. Л.
      М. В. Остроградский имел большое влияние на преподавание математики в военных учебных заведениях, для которых составил учебник элементарной геометрии и конспект по тригонометрии.
     
      Г. Песталоцци
      Основоположником методики арифметики в Западной Европе по праву считается Г. Песталоцци (1746 — 1827). Не отрицают этого и немцы, гордящиеся своей методикой арифметики. Доктор Вальтер Литцман решительно заявляет: «Именно он (Песталоцци) является создателем методики арифметики, предполагающей правильное классное преподавание».1 Его сочинения, пролагающие путь к методике: «Азбука наглядности или наглядное обучение отношению мер» (2 вып.) и «Наглядное обучение численным отношениям» (3 вып.) вышли в 1803 г., а в 1805 — 1806 гг. появился их русский перевод. В 1810 г. в Россию приехал пастор Иоганн фон-Муральт, ближайший сотрудник Песталоцци. «Он вызван был в С.-Петербург сколько для занятия вакантного места пастора при реформатской церкви, столько же и для основания здесь училища по методе Песталоцци».2 Методом Песталоцци заинтересовались Сперанский, Клингер и многие другие влиятельные лица, 27 октября 1811 г. при реформатской церкви было открыто училище, которое вскоре сделалось «одним из лучших частных учебных заведений столицы».
      Песталоцци считает своей «действительной заслугой в области выяснения существа обучения» то, что он «установил основным началом преподавания — признание наглядности как единственного фундамента всех познаний». Выставив этот тезис, Песталоцци сделал его господствующим в своём методе. Он односторонне подошёл к изучению формы и числа, оставив в тени приложения арифметики к жизни. «Несправедливо и узко, — говорит он, — полагать эту цель (цель обучения) лишь в том, чтобы научить ребёнка считать. Эти «упражнения» — только упражнения силы, силы в созерцании чистых отношений».3 В первой тетради «Упражнений» излагается учение о геометрических отношениях целых чисел от 1 до 100; в двух других тетрадях даются упражнения над дробями. О трудности этих «упражнений» можно судить по следующим примерам. Каждая из трёх таблиц — квадрат, разделённый на 100 клеток; единицы представлены в виде чёрточек: десять раз по одной, десять раз по две и т. д. Ученик, указывая чёрточки на таблице, должен говорить: «Один раз один, 2 раза один... до 10 раз десять». Дальше единицы обращаются
      1 Литературный обзор, сосгаапснный по поручению Международной комиссии по преподапанию математики, т. V, вып. 1, М. 1913.
      2 «О Песталоцци в России», журнал МНП 1850 г., ч. XVI, отд. VII, «Новости и смесь», стр. 99 — 100.
      3 «Упражнения» Песталоцци, обработанные учеником его Крюзи, 1803, Введение.
      в двойки, тройки... Идут также предложения: «17 раз по одному есть 8 раз по два и один раз половина двух» и пр.
      В таблицах для дробей показывается, как дробные числа образуются из единицы, дроби обращаются в целые числа и обратно. Здесь ученик преодолевает такие фразы: «37 пятых составляют 7 целых и 2 пятых части от одной целой...»
      Обучение ведётся по таблицам без употребления цифр. Песта-лоцци требует, чтобы тысячи фраз произносились и заучивались учениками без всяких пропусков.
      «Чтобы дитя достигло, — говорит он, — определённой ступени умственной силы, обусловливающей правильные ответы на предложенные тут вопросы, должно, начиная с первого «Упражнения» и кончая последним, никогда не переходить к следующему ранее того, как дитя достигнет безусловного уменья в предыдущем, или пока созерцание, на котором основываются ответы на каждый вопрос, достигнет неизгладимой сознательности».
      В «Упражнениях» Песталоцци десятичная система счислений оставлена без внимания, понятие о числах приобретается через созерцание, вычисления с именованными числами отсутствуют, действия, как особые операции, не находят себе места. В них мало средств к развитию умственных способностей; отсутствуют и подведение частных случаев под общее правило, и обобщение.
      Книллинг, немецкий педагог второй половины XIX века, разбирая систему Песталоцци, писал: «Упражнения по таблице единиц» относятся к самому чудовищному, странному, сумасбродному и удивительному, что когда-либо являлось в области методики обучения».1
      К. Д- Ушинский во взглядах Песталоцци о развитии способностей и укреплении душевных сил учащихся видит практическую и сильную идею, но в системе обучения усматривает «наивную, детскую непрактичность гения».2
      Подлинной любовью к делу, светлыми мечтами о будущем человечества великий педагог увлёк за собой лучших представителей педагогического мира Западной Европы.
      Созерцание как основа и формальное развитие как цель обучения были слепо восприняты всеми последователями Песталоцци.
      Философские корни системы великого швейцарского педагога несомненно исходят от трансцендентальной философии Канта, который учил, что чувственная способность человека создаёт хаос восприятий, но этот хаос упорядочивается при помощи субъективных форм созерцания.3
      Песталоцци в своих книгах и практической деятельности представлялся чёрствым педантом, создавшим систему пособий из нагромождения линий, фигур и совершенно забывшим о живой жизни. Его метод оказался исключительно плодотворным лишь в его собственном исполнении. В Германии из него родился метод Грубе и «Метод числовых фигур» Беетца, Лая и др.
      На закате своей жизни Песталоцци осознал, что его педагогические принципы несомненны, но опыты приложения их на практике менее совершенны, чем он предполагал. Он надеялся, что недостатки его системы будут устранены его учениками. И действительно, некоторые из его последователей (Шмид, Тиллих, Тюрк и особенно Дистервег) вложили много труда в обработку системы великого учителя.
      В России в начале 30-х годов основывается «Учебный математический журнал» Купфера, который начинает пропагандировать идеи Песталоцци.
     
      Ф. И. Буссе
      В 1816 г. был командирован за границу Фёдор Иванович Буссе (1794 — 1859), окончивший Петербургский педагогический институт и избравший своею специальностью математику. Главная цель командировки — ознакомление с методом взаимного обучения, «изобретённым гг. Ланкастером и Беллем для народных училищ».1 Буссе «посетил Германию, Англию, Францию и в Швейцарии — институт Песталоцци, где разрабатывались новые методы преподавания. В 1819 г. вернулся в Россию и был определён учителем математики во вновь учреждаемый второй разряд главного педагогического института, предназначенный для приготовления учителей в уездные училища».2
      Метод Ланкастера и Белля не имел успеха в России. С 1838 по 1859 г. Ф. И. Буссе состоял профессором в главном педагогическом институте. Буссе является автором ряда книг. В 1829 г. вышло его «Руководство к арифметике, изданное департаментом народного просвещения для употребления в уездных училищах», в 1831 г. — «Руководство к преподаванию арифметики для учителей» и в 1832 г. — «Арифметические таблицы для приходских училищ по способу взаимного обучения».
      «Руководство к преподаванию арифметики» по существу является первой методической книгой в России. По расположению материала эта книга является комментариями для учителяк арифметике того же автора. Однако Ф. И. Буссе высказывает в пей некоторые теоретические положения. Он освещает вопрос о целях преподавания арифметики и излагает их в виде следующих правил преподавания:
      1 «Русская старина», т. XXIX, 1880, стр. 179. Отправка молодых педагогов за границу в 1816 г.
      2 «Русский биографический словарь», СПБ 1903.
      1. Упражнения должно приспособлять к понятияд! и возрасту учащихся.
      2. Не оставлять ничего без основательного объяснения.
      3. Наблюдать постепенность.
      4. Сперва развивать в учениках ясное понятие о предмете, а потом уже давать определение оного.
      5. Показать ученикам пользу и необходимость каждого арифметического правила.
      Буссе высоко ставит устный счёт, ценит задачи, что заставляет его позаботиться об издании сборника задач «Собрание арифметических задач, расположенных по руководству к арифметике, составленному для уездных училищ», 1831.
      Уже из этой краткой характеристики творчества Ф. И. Буссе видно, что он не является поклонником Песталоцци.
      Ф. И. Буссе сделал лишь первый шаг в создании методики арифметики.
     
      П. С. Гурьев
      Творцом методики арифметики в России, бесспорно, является Пётр Семёнович Гурьев. Биографические данные о нём скудны. Сын академика С. Е. Гурьева, автора ряда трудов по математике, Пётр Семёнович состоял в должности преподавателя, а затем инспектора классов Гатчинского сиротского института,-в задачи которого входило и подготовление юношей к учительским обязанностям в уездных училищах.
      Начало интенсивной литературной и педагогической деятельности П. С. относится к мрачному николаевскому времени, когда произвол монархии достиг наибольшего напряжения и педагогические идеи находились под особым наблюдением. Одни мысли нельзя было высказывать прямо и определённо, другие приходилось скрывать за чужими именами. И тем не менее оставленное им литературное наследство ярко рисует П. С. как педагога-новатора, как творца методической школы. Глубокая эрудиция и смелый критический анализ — основные черты творчества П. С. Гурьева.
      «Мы читали Песталоцци, Шмида, Тюрка... и многих других, — говорит он, — и, поверяя читанное на опыте, к которому нам дала возможность служба по одному из обширнейших и разнообразнейших педагогических заведений, составили таким образом нашу книгу» («Руководство к преподаванию арифметики», 1839, предисловие, стр. VIII).
      Школа Песталоцци, как видим, и здесь стоит на первом месте (Шмид — ученик и последователь Песталоцци), но концепции Песталоцци П. С. пропускает сквозь призму опыта и в своём творчестве очень немногое заимствует от него.
      «Мысли, которые будут изложены ниже, не суть все собственные мысли, прямо вышедшие из нашей головы; были авторы выше нас, которые давно заботились разъяснить себе вопросы жизни, не боясь впасть в утопии. Мы только их последователи, но не более; но для нас, — полагаем, что и вы разделяете наше мнение, — не то важно, кому первоначально принадлежит та или другая мысль, но важно, насколько она справедлива. Много бы красивых перьев пришлось сбросить с себя учёной братии, если бы за каждым оставить только то, что собственно ему «принадлежит».1
      Из приведённых цитат можно сделать вывод, что П. С. Гурьев ценил философские основы теории и критерий истины видел в опыте, в практике.
      Кантианская основа учения Песталоцци его явно не удовлетворяла. П. С. считает, что в его сочинении («Руководство к преподаванию арифметики») читатель «найдёт более связи науки с жизнью, и вообще более условий, удовлетворяющих успешному преподаванию, нежели в других сочинениях по тому же самому предмету» (предисловие, стр. VIII). Мы должны помнить, что П. С. Гурьев писал раньше Грубе, резко поставившего тезис об идеологических основах методики начальной арифметики.
      Свои педагогические взгляды Гурьев высказывает в «Отчёте по Гатчинскому сиротскому институту» (рецензия на него помещена в журнале МНП, 1856, т. IV). «Важнее всего, — говорит он, — возбудить самодеятельность в воспитаннике, представить ему будущую науку с её светлой, лучшей стороны, чтобы он постоянно жаждал познаний и уже в маленьком кругу своей учебной деятельности ощущал отраду и наслаждение от изобретений всякого нового познания, всякой новой истины».
      Преподавание он стремится строить так, чтобы воздействовать на лучшие стороны детской природы: «В нежном организме детства есть струна, за которую только умеючи надо коснуться, чтобы она издала самые мелодичные, самые сладостные звуки. Эта струна есть восторженная детская любовь ко всему прекрасному, истинному и бладому» («Отчёт»)
      Деятельность П. С. Гурьева в области создания методики арифметики началась с издания книги «Арифметические листки, постепенно расположенные от легчайшего к труднейшему, содержащие в себе 2523 задачи с решениями оных и кратким руководством к исчислению составленные П. Гурьевым», СПБ 1832.
      Сочинение напечатано на отдельных листках. Цель издания, по мнению автора, — дать учителю средство возбудить и поддержать в учениках своих самодеятельность. На листках даны примеры, задачи и правила для производства арифметических вычислений. Учитель после объяснения того нли иного материала может раздать эти листки, принимая во внимание силы и способности учащихся. «Что же касается до объяснения арифметических правил, — говорит автор, то я старался избирать оные так,
      1 П. Гурьев, Ещё о воспитании «Педагогический сборник», 1857, март, стр. 25.
      чтобы ученик без помощи учителя мог идти один вперёд; и с тою же целью помещены в конце книги вопросы, которые должны руководствовать ученика при изучении объяснений («Арифметические листки», стр. 2).
      Таким образом, даже форма издания подчёркивает основной тезис автора о роли самодеятельности учащихся.
      Гурьев при этом высоко оценивает и роль учителя: «Опытный учитель, без сомнения, будет при сем заставлять ученика сравнивать, противопоставлять пройденное им вновь с выученным прежде и полученные понятия о числе соединять в одно целое».
      Главной методической работой П. С. Гурьева является его «Руководство к преподаванию арифметики», 1839.
      Подготовку учителей П. С. Гурьев считал своим кровным делом, ему он отдал всю свою жизнь.
      «Давно со всех сторон слышны у нас жалобы, — говорит он, — на недостаток в хороших элементарных преподавателях: но как помочь делу? — откуда взять таких преподавателей, когда до сих пор на нашем языке ни по одному предмету всеобщего обучения нет такой книги, которая более или меиее имела целью наставить неопытных, молодых людей на многотрудном шатком их поприще» («Предисловие»).
      Жалобы Гурьева были вполне основательными: трудно было ждать издания учебников от режима, который был против школ, против образования.
      «Ему, — продолжает П. С., — чуждому педагогических знаний, дают в руки сжатую краткую книгу и велят учить по ней с непременным условием, чтобы всё, «неясно изложенное и недосказанное в ней, он дополнил собственным опытом и наблюдениями. Но какой опытности можно ожидать от него, когда он сам только что вступил на педагогическое поприще?» Методику арифметики Гурьев рассматривает как науку, как «Знание, основанное на точных положительных началах» (стр. VI). Строя методику преподавания, автор пытается установить путь формирования знаний. «Всякое знание человека начинается с чувственного и частного и только постепенно, посредством отвлечения и соединения переходит к общим законам и правилам; в каждой части сообщаемого материала должна проявляться идея самой науки, а полнота и совершенство этой идеи всегда находится в прямом отношении с массою сведений».
      Философско-теоретические обоснования, которые он даёт науке преподавания, рисуют его как передового педагога своей эпохи.
      «Наука при своём источнике бывает в тесной связи с жизнью, она отделяется от жизни и входит в область отвлечённого не вдруг, а с наивозможною постепенностью».
      Отсюда автор делает заключение о необходимости концентрического расположения материала при изучении арифметики, о переходе к отвлечённому материалу только тогда, когда ученик уже
      обогащен фактами. Вспомним, что в это время немецкая педагогика, а вслед за нею и методика арифметики тонули в «теории формальных ступеней», изобретая такое расчленение курса, которое могло появиться лишь на основе путаной идеалистической гносеологии.
      В Германии к концентрическому расположению материала по. дошёл А. Дистервег, но его система была вскоре вытеснена «измышлениями» Грубе.
      У нас этот вопрос был .поставлен Ф. И. Буссе и более подробно разработан П. С. Гурьевьим. Последний выделяет два концентра: десяток и сотню.
      «Всякая наука, — говорит П. С. Гурьев, — подчинена двум требованиям. Она должна представлять собою, во-первых, отдельную совокупность знаний, полезных в общежитии; во-вторых, непрерывный ряд идей, ведущих к познанию истины и в то же время служащих к развитию душевных сил». Это даёт право автору со всей категоричностью утверждать, что механические приёмы не должны иметь места в преподавании. П. С. Гурьев решительно порывает с догматизмом старой школы.
      «Неопытному преподавателю, — пишет он, — недостаточно (говорить намёками или отрицательным образом, нет! Ему надобно указать на все трудности обучаемого предмета, раскрыть положительно, как он должен поступать в самомалейших случаях: короче, надо представить ему весь ход дела в виде лестницы, в которой, очевидно, чем ниже и шире ступени, тем легче взойти по ней наверх».
      П. С. Гурьев придаёт очень -большое значение задачам. Он считает, что задачи должны доставлять детям удовольствие, возбуждать в них интерес к арифметике, развивать мышление. Его задачи отличаются конкретностью содержания, близки к жизни, естественны и интересны.
      Особо выделяется им решение устных задач.
      Последняя работа П. С. Гурьева «Практическая арифметика» вышла в 1861 г. Его идеи жили в русской школе до 70-х годов. В конце 60-х годов П. С. Гурьев занялся земской деятельностью, состоял гласным Новгородского уездного земства, где с особенной любовью занимался вопросами народного образования. Умер П. С. Гурьев в 1887 г.
      Имя П. С. Гурьева, талантливого творца первой научной методики начального курса арифметики,1 незаслуженно забыто. Многие страницы его «Руководства» читаются с таким интересом, как будто написаны в последние десятилетия. Его основной тезис «методика есть наука» получил права гражданства лишь в недавние годы. Его принципиальные положения — сознательность обучения, самодеятельность учащихся и жизненность материала — далеко опередили своё время.
      110 лет прошло со времени выхода «Руководства» П. С. Гурьева. Его неоспоримая заслуга в том, что он заложил прочное основание нашей методики арифметики, настолько прочное, что блестящий авторитет и талантливость представителя школы Грубе в России В. А. Евтушевского лишь поколебали эго основание, но не могли его разрушить.
      П. С. Гурьев всю жизнь занимался математикой и методикой арифметики, но это не узкий «частный методист», а широко образованный педагог, начавший строить здание методики арифметики на базе передовых идей педагогики и психологии, которые потом так замечательно расцвели в творчестве К. Д. Ушинского. В этом причина его успеха, залог прочности основания, которое он заложил.
      Деятельность и творчество П. С. Гурьева — одна из поучительнейших страниц русской методики арифметики.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. Ф. И. Буссе, Руководство к преподаванию арифметики для учителей, 1831.
      2. П. С. Гурьев, Арифметические листки, постепенно расположенные от легчайшего к труднейшему, 1832.
      3. Его же, Ключ к арифметическим листкам, 1833.
      4. Его же, Руководство к преподаванию арифметики малолетним детям, 1839 — 1842.
      5. П. С. Гурьев и А. Дмитриев, Практические упражнения в геометрии или собрание геометрических вопросов и задач с ответами и решениями, 1844.
      6. II. С. Гурьев, Практическая арифметика, 1861.
      7. Его же, Очерк истории Гатчинского сиротского института, 1854.
      8. Его же, Мысли о воспитании, «Русский педагогический вестник», т. I, 1857.
      9. Его же, Ещё о воспитании, «Морской сборник», т. XXVIII, 1857.
      10. «Педагогический журнал», издаваемый А. Ободовским, Е. Гугелем и П. Гурьевым, 1833 — 1834.
      11. «Русский педагогический вестник», изд. Н. Вышиеградского и П. Гурьева, 1858 — 1859.
     
      СОБИРАНИЕ ОПЫТА ШКОЛЫ. ПЕРВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ МЕТОДИКИ
     
      Во второй четверти XIX в. произошли резкие изменения в соотношении крепостного и вольнонаёмного труда, вызванные ростом промышленности и рабочего класса. Крепостническое производство вытесняется производством капиталистическим. В недрах крепостного хозяйства нарождается капиталистический способ производства, возникают буржуазные производственные отношения. Усиливается классовая борьба: наряду с продолжающимися восстаниями крестьян против помещиков начинаются выступления рабочих против крепостнических порядков на предприятиях, и затем на сцену выступает демократически настроенная разночинная интеллигенция.
      Прогрессивным силам страны стало ясно, что Россия под гнётом царизма и крепостного права отстала от передовых стран Запада. Ликвидация крепостного права, изменение формы государственного управления стали знаменем борьбы за свободу.
      «Эпоха крепостная (1827 — 184G), — говорит В. И. Ленин, — полное преобладание дворянства. Это — эпоха от декабристов до Герцена. Крепостная Россия забита и неподвижна. Протестует ничтожное меньшинство дворян, бессильных без поддержки народа. Но лучшие люди из дворян помогли разбудить народ».1 В истории освободительного движения В. И. Ленин указывает три периода: дворянский (декабристы и Герцен), разночинский, или буржуазно-демократический, и пролетарский.
     
      К замечательным революционным деятелям разночинского периода принадлежат Н. Г. Чернышевский и Н. А. Д о б-р о л ю б о в. Их деятельность — одна из ярких страниц 60-х годов (Добролюбов умер в 1861 г., Чернышевский в 1864 г. сослан в Сибирь, возвращён в 1883 г., умер в 1889 г.). Чернышевский и Добролюбов одновременно являются крупнейшими представителями русской материалистической философии XIX в., предшественниками марксизма в России.2
      В эти же годы протекает н литературная деятельность идеолога радикальной интеллигенции Д. И. Писарева (умер в 1868 г.). Вся эта .плеяда блестящих представителей эпохи уделяет большое внимание и вопросам народного образования.
      Передовая философская мысль связывается с расцветом естествознания, в области которого работают такие гиганты мысли, как И. М. Сеченов, И. И. Мечников, А. М. Бутлеров и др.
      В 1863 г. И. М. Сеченов опубликовал свой замечательный трактат «Рефлексы головного мозга», выдвинувший автора в число мировых учёных материалистов XIX в. Впервые в истории науки И. М. Сеченов экспериментально исследовал роль головного мозга как органа психической деятельности и разработал психологию мышления. «Сеченов прежде всего подверг резкой и справедливой критике школьную идеалистическую психологию. Он подчёркивает её отсталость, ненаучность, хаотичность».3
      Успехи естествознания послужили основой расцвета передовой педагогической науки, представителями которой являются Н. И. Пирогов, К. Д. У ш и н с к и й, В. Г. Редкий, И. И. П а у л ь с о н, К. К- С е н т - И л е р и др.
      «Пирогов — идеолог буржуазии, отрицательно относившийся к демократии и к революционному движению, с одной стороны, и к крепостному праву, реакции и «дворцовой камарилье» — с другой», характеризует его историк педагогики.4 Однако его педагогическая работа «Вопросы жизни», помещённая в «Морском сборнике» в 1856 г., произвела впечатление разорвавшейся бомбы. В своей статье Н. И. Пирогов выражает горячий протест против сословно-специального образования, господствовавшего в николаевскую эпоху, и требует гуманитарного образования, общечеловеческого воспитания. Пирогов высказывается за воспитывающее обучение и особенно подчёркивает роль положительных знаний и уменйе приложить их к ж и з н и. Он протестует против формализма старой школы, её схоластичности и казарменного уклада. Он горячий сторонник женского образования и образования взрослых: при его содействии 1859 г. открыта первая воскресная школа в России.
      Н. И. Пирогов как представитель дворянского либерализма не был последовательным мыслителем. И его философские и социальные взгляды, и его педагогические воззрения являются двойственными, он легко соглашался на компромисс: защищая науку, признавал религию, будучи гуманистом, не отказывался от розги.
      Однако при всех его недостатках его прогрессивная роль в развитии педагогической науки является весьма значительной.
     
      Основоположником русской педагогической науки является Константин Дмитриевич Ушинекий (1824 — 1870), которого по праву называют «учителем русских учителей».
      За короткое время пребывания на посту инспектора Смольного института К. Д- Уншнский проявил себя замечательным реформатором женского образования и воспитания, превратив это учреждение из гнилого и затхлого в образцовое.
      «К. Д. Уншнский создал оригинальную, стройную, глубоко продуманную педагогическую систему, в основе которой лежит принцип народности», — говорит Е. Н. Медынский.1 Основу народности составляет патриотизм и горячая любовь к родине, вера в творческие силы русского народа.
      Основной труд его «Человек как предмет воспитания» является классическим в педагогической литературе. Книги Ушинского «Родное слово» и «Руководство к преподаванию по «Родному слову» могут служить настольными книгами для учителя и в наше время.2
      К. Д. Уншнский глубоко разработал дидактические принципы: наглядность, последовательность, сознательность, посилыюсть, активность обучения и воспитывающий характер обучения.
      1 «Великий русский педагог К. Д. У ш и н с к и й», стенограмма публичной лекции, 1945, стр. 11.
      2 «Родное слово» в течение 50 лет выдержало 146 изданий.
      Высоко оценивая роль учителя, Ушинский в 1861 г. разработал проект учительской семинарии, его взгляды по этому вопросу осуществлялись в лучших учительских семинариях России. Ему принадлежит мысль о создании педагогических факультетов для подготовки преподавателей средней школы.
      К. Д. Ушинский — пламенный противник немецкой педагогики, которую он обвиняет в шовинизме, национализме и ограниченности; особенно он подчёркивает её метафизические философские основы.
      60-е годы — эпоха расцвета педагогической журналистики. В 1857 г. возникает «Журнал для воспитания» и «Русский педагогический вестник». В 1861 — 1862 гг. Л. Н. Толстой издаёт журнал «Ясная Поляна». В этот же год начинает выходить «Учитель». В 1864 г. появляется «Педагогический сборник». Журналы объединяют лучших педагогов того времени и оказывают большое влияние на постановку вопросов народного образования. Педагогические проблемы находят отражение и в общественно-политических журналах, например, в «Современнике», выводившем при участии Н. А. Некрасова, Н. Г. Чернышевского и Н. А. Добролюбова.
      В эти же годы возникают и общественные педагогические организации: Петербургское педагогическое общество, Комитет грамотности при Вольном экономическом обществе и др.
      В 1864 г. вводятся земские учреждения, и в том же году утверждается положение о начальных народных училищах.
      Школьная реформа делает шаг вперёд по пути развития светской общеобразовательной народной школы с трёхгодичным курсом обучения. Несмотря на то что земоким учреждениям законом отводится очень скромная роль («участие преимущественно в хозяйственном отношении... в попечении о народном образовании»), некоторые земства оказывали большое влияние на развитие школьного дела. Они не только принимали участие в финансировании школы, но и конкретно поставили вопрос о подготовке учителей (в 1869 г. открыта земская учительская семинария в Новгороде; в 1870 — земская учительская школа Максимовича в Твери, в 1871 г. открываются семинарии в Казани, Вятке и других городах). Одновременно начинается организация учительских курсов и съездов.
      Наряду с светской школой сохраняется и церковно-приходская школа (духовного ведомства).
      Цель на1 альных училищ — «утверждать в народе религиозные и нравственные понятия и распространять первоначальные полезные знания», к числу которых «Положение» относит и «Четыре арифметические действия». Для заведывания школьным делом учреждаются губернские и уездные училищные советы.
      В 1869 г. для надзора за школой учреждается должность инспектора народных училищ.
      По новому уставу 1874 г. влияние дворянства на школу усиливается: выборный председатель училищного совета заменяется предводителем дворянства, в состав совета вводятся инспектор народных училищ и представитель полиции.
      В конце 60-х годов в начальных школах всех ведомств обучалось 725 тыс. учащихся, в том числе в школах духовного ведомства около 22%.
      Проект устава средней школы был выработан в 1860 г., в нём на математику отводилось 27/г час., а на естествознание и физику 20 час., при наличии двух древних языков. Около него разгорелась ожесточённая борьба. И только в 1864 г. был утверждён устав гимназии и прогимназий. Гимназии делились на классические и реальные. В гимназиях первого типа на математику отводилось 22 часа и на естествознание и физику по 6 час., в реальных гимназиях математика имела 25 час., естественные науки 23 часа и физика 9 час. Классические гимназии давали право поступления в университет, реальные гимназии давали подготовку для поступления в высшие специальные учебные заведения (первое время реалистам было разрешено поступать на физико-математический факультет).
      В 1864 г. было издано новое «Положение о начальных народных училищах», совпавшее с введением земских учреждений в 34 губерниях. «Попечение о развитии средств народного образования» было возложено на земство. В 1869 г. начали открываться министерские двухклассные училища (с 5-летним сроком обучения).
      Устав гимназии 1864 г. был финалом либеральных реформ в области просвещения. В 1866 г. на пост министра назначается крепостник граф Д. Толстой. «Усиление изучения древних языков должно способствовать к отрезвлению юношества от современного свободомышлення как религиозного, так и политического» писал барон Николаи, крупный чиновник министерства. Один из творцов нового устава средней школы реакционный публицист К- Леонтьев открыто заявлял: «Необходимо всеми силами бороться против народного образования».
      Наконец в 1871 г. был утверждён новый устав средней школы.
      По новому уставу сохраняются лишь классические гимназии. На математику вместе с физикой, математической географией и кратким естествознанием отводится 37 час. нз 206 час. (на латинский язык 49 час. и на греческий 36 час.). Перед математикой ставится исключительно формальная цель обучения.
      В 1872 г. был утверждён устав реальных училищ, которые должны давать «общее образование, приспособленное к практическим потребностям и к приобретению технических познаний». На математику в них отводился 31 час, на естественную историю и физику — по 8 час. Окончившие реальные училища были лишены права поступления в университет. Доступ в средние школы детям низших сословий постепенно затрудняется.
      Начало женского образования в России относится к 1860 г. Учреждены были женокие училища 1-го разряда (с 6-годичиым сроком обучения) и училища 2-го разряда (с 3-годичным сроком обучения). В первых .проходились арифметика и начала геометрии, в училищах 2-го разряда преподавались лишь четыре арифметических действия. Никаких прав эти училища не давали. Для подготовки учителей открываются учительские семинарии («Положение» от 17 марта 1870 г.) и учительские институты («Положение» 1872 г.). Проект подготовки начальных учителей был разработан К- Д- Унншским.
      В 1895 г. Россия имела 9 университетов (13 976 студентов), 225 гимназий и прогимназий (64 711 учащихся), 107 реальных училищ (26 002 учащихся) и 68 029 начальных школ (1 937 076 учащихся).
      В математической науке в эту эпоху происходят большие сдвиги. В 1858 г. в Петербурге занимает профессорскую кафедру П. Л. Чебышев. Его работы по теории чисел, теории вероятностей, теории механизмов и машин приобретают мировую известность.1 В Москве в 1864 г., по инициативе Н. Д. Брашмана, возникает Московское математическое общество и через год начинает выходить «Математический сборник». Начинают свою блестящую деятельность Л. Н. Коркин (1837 — 1908) и II: Я- Сонин (1897 — 1915). В 1874 г. получила степень доктора первая женщина — профессор С. В. Ковалевская.
     
      К. Д Ушинский о преподавании математики
      В 1864 г. К Д. Ушинский выпускает свою знаменитую книгу «Родное слово», которая составила эпоху в нашей бедной педагогической литературе. Новая эпоха, новая школа должны были вызвать новые передовые идеи в русской методике арифметики. Выразителем этих идей явился К. Д. Ушинский.
      Широкими и смелыми мазками К. Д. Ушинский набросал программу новой методики арифметики. В «Руководстве к преподаванию по «Родному слову» в числе приложений имеется глава «О первоначальном обучении счёту» (стр. 95 — 99). На нескольких страничках он развёртывает перспективы большой методики, разработка которой выпала на долю последующих поколений.
      К. Д- Ушинский рекомендует учить счёту наглядно, указывая при этом и наглядные пособия: пальцы, орехи, палочки.
      Ушинский вводит счёт парами, тройками, четвёрками, пятками в пределе 10. Он создаёт наглядный переход к сотне, употребляя в качестве пособия пучки из 10 палочек (десятки).
      1 О педагогической деятельности П. Л. Чебышева см. книгу В. Б. Прудникова «П. Л. Чебышев — учёный и педагог», Учпедгиз, 1950 г.
      К. Д- Ушинский объясняет, как сами ученики должны открывать арифметические правила: вычитая 4 из 23, нужно дать ребёнку 2 пучка (десятка) и 3 отдельных палочки, затем попросить у него 4 палочки. Ученик даёт 3 палочки и затем сам догадается, что у десятка нужно «занять» единицу.
      Ушинский пишет, что ученикам нужно как можно скорее дать меры: аршин, сажень, весы, гири, монеты. Пусть они «меряют, весят и считают».
      Задачи, по мнению К- Д- Ушинского, должны иметь практический, наглядный характер; их нужно брать из мира, сгружающего детей. Он рекомендует измерять класс, двери, окна, скамьи; считать страницы книг и тетрадей; вычислять недели, дни и часы до праздников и т. д.
      Идеи о преподавании арифметики К- Д- Ушинский излагает ещё в одном документе, который был найден в архиве Смольного института, — это «Записка» от 20 апреля 1860 г. о преобразовании учебных курсов Смольного института.1
      В «Записке» К- Д- Ушинский кратко формулирует те мысли, которые он потом полнее развил в «Руководстве». «Арифметике нужно учить так, — замечает он, — чтобы её нельзя было забыть». Основная мысль К- Д- Ушинского — нельзя начинать преподавание начальной математики с усвоения правил, как это обычно делалось в «старой» школе. Нужно прежде всего знакомить детей с мерами и весами, заставить их самих измерять, взвешивать и считать, пользоваться масштабом, определять площади и величину углов. Даже в XX в. один из наших методистов, предлагая строить преподавание арифметики на непосредственном измерении длины, площади, объёма, определении веса, ёмкости, указывает в числе источников немецких авторов Книллннга и Танка, работы которых относятся к 1884 г. Между тем К. Д. Ушинский эти идеи не только провозгласил, но и приводил в исполнение почти на четверть века раньше.2
      «Программа» К- Д. Ушинского прежде всего нуждалась в теоретических обоснованиях, в создании методики, правильные линии которой уже были намечены П. С. Гурьевым.
      В. А. Латышев и его журнал
      Выразителем идей новой методики арифметики является Василий Алексеевич Латышев.
      В. А. Латышев родился в 1850 г. в семье крупного чиновника, работавшего по министерству народного просвещения в Петербурге. Годы учения в гимназии и на физико-математическом факультете Петербургского университета совпали с развитием рево-
      1 В. Чернышев, К. Д. Ушинский как реформатор преподавания арифметики, «Педагогический сборник», 1910, декабрь.
      2 Д. Гадании. Начальное обучение по математике, «Воспитание и обучение», 1910, № 4 и 5.
      люционных настроений в русском обществе. Это было замечательное время. Молодёжь на гимназической скамье зачитывалась произведениями В. Г. Белинского, Н. А. Добролюбова и Н. Г. Чернышевского. «Рабье молчание было нарушено» (Ленин), — громко звучал «Колокол» А. И. Герцена. «Рефлексы головного мозга» И. М. Сеченова подорвали основы идеалистической философии; только что появилась на свет теория Ч. Дарвина.
      По окончании университета В. А. Латышев выбирает скромную карьеру преподавателя Петербургского учительского института. Через 8 лет (в 1880 г.) он основывает журнал «Русский начальный учитель», издававшийся нм до конца жизни (по 1911 г. включительно).
      Роль В. А. Латышева в ведении журнала была исключительно велика: он был и издателем (фактическим), и редактором, и секретарём редакции, и единственным постоянным сотрудником и даже корректором. В № 1 журнала за 1882 г. в статье «От редакции» В. А. Латышев объясняет цель издания. Журнал издаётся «с целью помочь учителям как своими советами, так и предоставлением им возможности печатать спои работы. Оказалось, что недостатка в работах начальных учителей нет, напротив, количество доставляемых нам работ всё увеличивается. Это доказывает, что между народными учителями не мало есть работающих над своим делом и подготовленных к такой работе, а при поддержке желание работать, вероятно, разовьётся ещё сильнее» (стр. 1).
      В течение 32 лет журнал был трибуной русского народного учителя: с его редактором учителя делились своими тревогами и сомнениями, присылали ему свои статьи и работы, в журнале помещались даже некрологи скромных тружеников. И вряд ли был случай, чтобы на обращение в редакцию не был получен ответ лично от В. А. Латышева. Сотни писем в год посылал неутомимый редактор во все концы России своим корреспондентам. Трудно было верить, что В. А. Латышев занимает высокие посты: в 90-х годах он уже директор народных училищ Петербургской губернии, в начале XX в. — помощник попечителя учебного округа и затем управляющий учебным округом и, наконец, член совета министра народного просвещения. Каждое (письмо было написано лично им и содержало исчерпывающие ответы по существу вопроса.1
      Журнал, издаваемый В. А. Латышевым, явился источником распространения массового опыта работы школ. П. С. Гурьев создавал работы на основании своего опыта. Это лучше, чем, например, методические «конструкции» известного немецкого педагога Гербарта, который просто создавал их нз «своей головы»
      1 Автор настоящей работы поместил в журнале свою первую печатную статью, кажется, в 1905 г., печатался в нём в течение 5 лет и получил от В. А. Латышева несколько десятков писем. — Д. Л.
      и даже не считал необходимым проверять, на практике. Личный опыт — необходимый фактор успешного построения методической системы, но он не является достаточным. В. А. Латышев избрал другой, более совершенный путь. При помощи журнала он создал большую сеть учителей-корреспондентов, которые по крупицам несли к нему свой опыт. Опыт учителей он проверял путём непосредственных наблюдений в качестве администратора, во время посещения школ. В одной из своих статей В. А. пишет, что он посетил тысячи школ и, следовательно, слушал десятки тысяч уроков. Таким путём он мог накопить большой материал для построения курса методики. В лице В. А. Латышева мы имеем талантливого педагога, синтезировавшего в своих методических построениях опыт рядовых учителей, хорошо знавшего начальную школу.
      В первые годы в качестве приложений к журналу печаталась методическая литература для учителя и книги, повышающие его образовательный кругозор. Между прочим в 1880 — 1882 гг. напечатано было и первое издание «Руководства к преподаванию арифметики» В. А. Латышева.
      Одной из задач журнала редактор считал борьбу с «промышленниками педагогического дела», авторами учебников, которые в погоне за доходами мало заботились об изучении дела («От редакции», № 1, 1882, стр. 5). В журнале помещались исчерпывающие рецензии на учебную и методическую литературу и книги для чтения учащихся, обзоры литературы.
      Редакция давала учителям тематику работ. Например, в конце 1881 г. по арифметике было предложено две темы: 1) изложить ход урока при разборе данной задачи и 2) изложить приёмы объяснения разностного и кратного отношений. В № 3 за 1882 г. редакция сообщает, что получено 5 работ на первую тему и 4 — на вторую.
      На первую тему лишь две работы дают «описание действительного хода урока», сообщает В. А. Латышев, эти работы печатаются в журнале (И. М е ф о д и е в и С. Рыбаков).
      На страницах журнала помещается много интересных работ, принадлежащих народным учителям: Н. Ларионов «К вопросу о приёмах решения арифметических задач» (№ 11, 1892), С. Кузьмин «Письменные работы по арифметике в начальной школе» (№ 4, 1893), Е. Страхов «О преподавании арифметики в начальной школе» (№ 3, 1894), А. Синдеев «Каков должен быть учебник арифметики» (№ 12, 1898) и др.
      Журнал привлекает к обсуждению актуальных вопросов не только учителей, но и бывших учащихся народных школ. В 90-х годах журнал помещает ряд статей П. Орёлкина «Ответы окончивших курс в народных школах па вопросы редакции».
      Привлечение учителей к обсуждению актуальных вопросов школы — излюбленный метод работы В. А. Латышева. В № 6 — 7 за 1882 г. помещается статья «О курсе городских училищ» (программа курса геометрии принята собранием учителей в феврале 1882 г.) и др.
      Ряд статей в журнале принадлежит редактору.
      Небольшие книжечки журнала (от Здо5 листов каждая) расходились по всей России и много способствовали повышению методического и педагогического уровня народных учителей.
     
      «Методика» В. А. Латышева
      Основной работой В. Л. Латышева является «Руководство к преподаванию арифметики».1
      Автор сначала предполагал дать «не только изложение руководящих начал преподавания, но и описание практического осуществления этих начал в форме более или менее подробного описания последовательного хода классной работы. По недостатку времени, чтобы не откладывать печатание общей части методики, мы издали её отдельно» (из «Предисловия»). «Печатая третье издание, мы всё-таки не дополняем книгу практической частью, однако не только по недостатку времени, но уже и потому, что в существующих у нас руководствах к преподаванию арифметики всё более и более распространяется обычай излагать только тот метод, который выработан автором; из-за этого получается такое представление, «ак будто успех преподавания только тогда и возможен, когда преподающее лицо будет точно следовать указаниям автора методики. Мы считаем такое направление весьма неблагоприятно влияющим на развитие дела преподавания и потому вредным» (из «Предисловия» к 3-му изд.). В. А. Латышев высоко ценит руководящую теорию методики. По его мнению, «слишком большая привязанность к форме, а не к сущности дела» мешает развитию личного почина, лишает работу одухотворяющего начала, «без которого легко обратиться в педагогического ремесленника». И в отношении учителей, и в отношении учеников В. А. Латышев остроумно замечает: «Кого всегда тащат на помочах, тот уже не сумеет ходить сам без поддержки».
      «Руководство» В. А. Латышева, по сравнению с книгой П. С. Гурьева, делает большой шаг вперёд. В 1878 г. В. А. Латышев дал обстоятельный разбор методики В. А. Евтушевского,2 его отношение к методу «изучения чисел» резко отрицательное. «Руководство» В. А. Латышева - живой протест против импортированного из Германии метода. В главе третьей «Краткий очерк различных систем курса, предложенных в русских руководствах к преподаванию арифметики», автор подробно останавливается на концепциях В. А. Евтушевского. Считая последнего автором наиболее полного и самостоятельного из сочинений о «преподавании арифметики (напечатанных на русском языке)», В. А. Латышев даёт отрицательную характеристику его системе.1
      В. А. Латышев останавливается и на методике своего предшественника П. С. Гурьева. Он отмечает её хорошие стороны: «автор не увлекается изучением чисел и обращает внимание на приёмы вычислений... Основная мысль книги, как высказывает её автор в предисловии, довольно близка к основным положениям метода преподавания арифметики, высказанным в первой главе нашей книги». Но в частных своих советах, в исполнении метода П. С. Гурьев, к сожалению, постоянно себе противоречит.
      Большое внимание уделяет В. А. Латышев и взглядам Л. Н. Толстого,2 который выставил тезис, что «единственным методом должен быть опыт, а свобода — единственным руководящим началом педагогики». Л. IT. Толстой видит объединяющее начало всего курса арифметики в счёте «вперёд и назад до ста». По его мнению «тот, кто умеет считать вперёд и назад до ста, тот в голове делает и сложение, и вычитание, и умножение, и деление, и возвышение в степень, и извлечение корней».
      В. А. Латышев признаёт это положение порочным, считает его большой ошибкой, так как (при счёте вперёд и назад никаких действий вовсе не производится». В. А. Латышев вскрывает в методе Л. Н. Толстого большие противоречия и относится к нему отрицательно.3
      В главе первой «Основные положения метода преподавания арифметики» В. А. Латышев устанавливает связь между теорией и практикой, приходит к необходимости единства теории и практики (стр. 9 и 10). «Действия над целыми числами многими считаются несходными с действиями над дробными числами. Это положительная ошибка», — говорит автор. Далее интересен взгляд автора на определения: «не переменять однажды данного определения, а только дополнять его, развивать» (стр. 15). Впервые в методической литературе автор останавливается на вопросе о «правильном образовании понятий». Придавая большое значение теории, В. А. Латышев, естественно, приходит в выводу, что «содержание всей арифметики приводится к 4 действиям», причём «правильное понимание действий есть правильное понимание теорий арифметики», вычисления же являются уменьями. Основы метода изучений действий В. А. Латышев формулирует » чётко и определённо.
      Глава вторая содержит «План курса арифметики». Здесь автор выставляет принцип сознательности обучения: «Знание учеников достигло сознательности, если они могут го-
      1 А. И. Гольденберг выступил раньше против метода Грубе, ио его «Руководство» вышло после «Руководства» В. А. Латышева.
      2 «Азбука» Л. Н. Толстого и его «Арифметика». А Л.
      3 Очень интересный разбор метода Л. Н. Толстого даёт В. А. Евтушев-ский в своём ответе на письмо Л. Н. Толстого, помещенное в «Отечественных записках». Этот «ответ» был издан отдельной брошюрой. — А. Л.
      ворить не только об отдельном данном примере, но и о всех однородных случаях» (стр. 42), иначе говоря, если они умеют обобщать. «Понятие о каком-нибудь предмете можно считать выработанным, если ученики могут высказать его своими словами и привести свои собственные частные примеры».
      Одна из глав посвящена задачам. Этому вопросу автор справедливо уделяет 59 страниц. Напомним, что XVIII век в значительной степени игнорировал вопрос о задачах.
      В главе разработана цепная теория этого вопроса. Некоторые взгляды автора очень полезно усвоить авторам современных руководств. «Необходимо упомянуть, говорит В. А. Латышев, ещё о распространившемся в последние годы увлечении сборниками так называемых «типических задач...» Это увлечение «типическими задачами» неблагоприятно отражается на школьных занятиях; оно заставляет тратигь драгоценное в народной школе время на работу, полезность которой очень сомнительна» (стр. 142). Прошло 68 лет со дня опубликования работы В. А. Латышева, а туманный вопрос о «типических задачах» всё ещё не сходит со страниц методик.
      Глава пятая посвящена «теоретическим выводам». Исчерпывающей методики «выводов» не встречается в последующей литературе.
      Книга отличается безупречной литературностью изложения. Ценность её, заключается в том, что она создаёт теорию методики, рецептурную часть методики автор ставит на второй план. Из разбора сочинений В. А. Евтушевского, И. Пауль-сона и других поклонников немецкой педагогики можно сделать заключение, что автор вообще знаком с иностранной литературой.
      Но его труд независим от иностранных источников, В. А. Латышев избегает даже ссылок на иностранных авторов.
      Мы не утверждаем, что автор разработал все теоретические вопросы методики. На долю последующих поколений остаётся ещё многое, в качестве примера можно привести вопрос о наглядных пособиях, который не освещается В. А. Латышевым. Но то, что сделано, носит печать серьёзной эрудиции автора и хорошего знания школы. В. А. Латышев горячо любил своё дело, народную школу и учителей. «Наши начальные школы были не только лучшими из наших школ, но и положительно хорошими», — гово- рит он в статье «Школа и учащие» в 1910 г.1 По духу, господствующему в них, и по стремлению детей к образованию В. А. признаёт их стоящими выше западноевропейских. Это не хвастовство самовлюблённого администратора, а глубокое убеждение педагога. В его административной деятельности на первый план выделяется личность педагога. Диапазон его деятельности исклю-
      1 Цитируем по некрологу, написанному С. Степановым, «Русская школа», 1912, № 3, стр. 98 — 100.
      чителыю велик. Он организует общеобразовательные курсы для учителей в Павловском дворце (с 1899 г.). На курсах читают лекции университетские профессора и наиболее известные педагоги страны. Для учителей устраиваются посещения театров, концертов, публичных лекций, музеев: перед скромными сельскими тружениками раскрываются культурные ценности столицы. Любя начальную школу, В. А. с энтузиазмом работает в комиссии, учреждённой министром фон-Кауманом в 1907 г. по связи начальной и средней школы. Без преувеличения можно сказать, что В. Л. Латышев в недрах министерства народного просвещения был единственным работником, хорошо знавшим такие типы учебных заведений, как двухклассные училища МНП или городские училища по положению 1872 г. Этн школы не пользовались вниманием министерства, так как обслуживали «простых людей».-В. А. Латышев печатает ряд статей в «Русской школе» и в своём журнале, освещая отдельные вопросы их работы, в частности, вопросы преподавания геометрии, о чём мы будем говорить в дальнейшем.
      В 1897 г. общественность Петербурга единодушно праздновала 25-лстнс его педагогической, государственной и общественной деятельности. Последние годы своей жизни В. А. Латышев был занят трудами по введению всеобщего обучения в России. «Бодрым работником проходил жизненный путь В. А., был отзывчив ко всякому полезному начинанию на пользу просвещения русского народа и встретил смерть не на одре болезни и покоя, а на пути к новому делу», — заканчивает некролог С. Степанов. Мы вправе задать вопрос, почему же имя В. А. Латышева как одного из создателей методики арифметики в России было забыто? — Такова судьба многих деятелей в России: были забыты и Кулибин, и Ползунов, и Попов, а в области методики арифметики и П. Гурьев, и многие другие, культурное наследство которых начинает раскрывать великий русский народ лишь после Великой Октябрьской социалистической революции.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. В. А. Латышев, Руководство к преподаванию арифметики, журнал «Русский начальный учитель», 1880, № 3; изд. 2-е, 1897, изд. 3-е, 1904.
      2. Его же, Объяснительный курс арифметики, 1877
      3. Его же, Учебник арифметики (для младших классов гимназий), 1882.
      4. Журнал «Русский начальный учитель», ред.-изд. В. А. Латышев, 1880 — 1911 (статьи В. А. Латышева помещались ежегодно).
      5. Его же. Исторический очерк русских учебных руководств по математике, «Педагогический сборник», 1878, № 3 — 12.
     
      ИЗ ИСТОРИИ БОРЬБЫ С ИНОЗЕМНЫМ ВЛИЯНИЕМ В РУССКИЙ МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ
     
      Метод Грубе и его последователи в России
      В 1859 — 1860 гг. в «Журнале для воспитания» была напечатана работа И. Паульсона «Арифметика по способу Грубе». Вскоре она вышла отдельной книгой и имела шумный успех. В течение нескольких лет разошлась в 12 изданиях. И. Паульсон избрал своей специальностью перенесение немецких методов в русскую школу. «Опыт» Паульсона нашёл подражателей. В 1872 г. издана «Методика арифметики»
      В. А. Евтушевского, который поставил своей задачей приспособление метода Грубе к условиям русской школы. Талантливый методист, В. А. Евтушевский не удовлетворился теоретической постановкой вопроса. К своей «методике» он выпустил задачники, получившие большую известность и разошедшиеся в сотнях тысяч экземпляров.
      В 1873 г. книга Грубе «Руководство к счислению в элементарной школе, основанное на эвристическом методе», вышла на рус- ском языке в переводе Г. Ф. Эвальда (её первое немецкое издание появилось в 1842 г.).
      Так возник и укрепился в России метод, который в литературе известен под именем «метода изучения чисел».
      В. А. Грубе (1816 — 1884) с 1830 г. по 1840 г. был домашним учителем, а затем посвятил себя литературной деятельности.
      Свою книгу он начинает философским «Введением»: «Если мы ближе взглянем на процесс развития познающего духа, чтобы точнее представить себе тот способ, каким преподаваемый объект и обучающийся субъект вступают в единство, то в этом процессе мы найден три известных момента: созерцание, представление и понимание (чистое мышление), общее их основание — чувство.
      В чувстве дух находится в грубом, непосредственном и поэтому бессознательном единении с предметом, как чувствующее, так и чувствуемое, т. е. субъект и объект составляют непосредственно единое», а потому именно один и не знает другого. Противоположность сознания и предмета существует только сама по себе, но не существует ещё для сознания. Дабы совершилось последнее, необходим особый акт со стороны воли, который мы называем вниманием, с ним начинается интеллектуальное развитие, ибо с ним прекращается непосредственное, имеющее место в чувстве, единство субъекта с объектом и открывается путь к посредствуе. мому, свободному их единству в мышлении».1 На 26 страницах, таких общих туманных фраз, вообще свойственных немецкой идеалистической философии, Л. Грубе обосновывает роль созерцания и закладывает фундамент своего метода.
      В основание обучения арифметике Грубе и его последователи ставили не обучение производству действий над числами, а «созерцание чисел» (по Грубе) или «осязательное понимание чисел» (по Евтушевскому).
      «Исходной точкой для обучения, — говорил Грубе, — должна быть сущность числа. Пусть ученик изучает число не врозь, не разбросанно по действиям; пусть, напротив, каждое число узнает он и подвергнет этим действиям в их органическом единстве. Так как непосредственному созерцанию доступны все числа от единицы до сотни и все работы могут быть сведены к первой сотне, то каждое число в этом пределе должно предстать перед умом ученика со всеми своими составляющими частями; из всестороннего созерцания отдельных чисел должны сами собой произойти четыре действия. Каждое число должно быть сравниваемо и измеряемо предыдущими числами, что делается или посредством разностного отношения, или посредством кратного».
      Изучение каждого числа, по Грубе, состоит из следующих ступеней: 1) измерение числа и сравнение его с каждым предыдущим (Alessen und Vergleichen) и прежде всего с единицей; 2) быстрый счёт (Schnellrechnen); 3) комбинации изучаемого числа с предыдущими в разбивку (kombiniren) и 4) практические задачи, в которые входят число изучаемое и все предшествовавшие (angewandte Zahe).
      Упражнения проводятся: а) над предметами видимыми и осязаемыми, б) над предметами, известными ученикам, но не находящимися перед глазами (задачи), и в) над отвлечёнными числами.
      Приведём пример изучения числа 6.
      1. Измерение и сравнение.
      а) С единицей.
      На палочках, камешках или пальцах ученики выполняют упражнения и записывают их:
      1 Цитируем по переводу Г. Эвальда, 1873, 1, «Введение», стр. 4 — 5.
      (...)
      Так же проводится сравнение с четырьмя и пятью единицами.
      2. Быстрый счёт.
      Учитель пишет: (1 X 2) + (1 X 3) — (2 X 2) + (4 — 1) + 2; ученики считают.
      Или учитель говорит: «К 2 прибавить 3, отнять 4, взять полученное число 3 раза и узнать, сколько раз последнее число содержится в 6».
      3. Комбинации.
      Даются вопросы: «Какое число можно отнять 3 раза от 6 и только 2 раза от 4?» Или: «На сколько половина 6 больше половины 4 и меньше 5?» и т. д.
      4. Практические задачи.
      Например, предлагается задача: «6 пфеннигов составляют один зексер. Сколько раз в одном зексере заключается по одному, по 2, по 3 пфеннига?» и т. п.
      Арифметическая работа по методу Грубе скучна и действует на учеников «отупляющим образом». Изучив «всесторонне» несколько чисел, ученики замечают, что в будущем им предстоит та же грустная перспектива бесконечных комбинаций, без остановок для обозрения пройденного. Сознание вечного однообразия ослабляет силы учащихся, убивает их интерес.
      В системе Грубе на первый план выдвигалось очень неопределённое требование созерцания числа в его сущности, отдавалось предпочтение трудным обратным действиям, приёмы вычисления оставлялись в стороне. Некоторые из последователей Грубе доходили даже до отрицания действий, утверждая, что изучение чисел производится при помощи каких-то «особых процессов сравнения», не имеющих ничего общего с действиями.
      Не трудно видеть, что «принцип всестороннего изучения чисел» Грубе стоит в тесной связи с идеей «созерцания» числа Песталоцци. Господство метода Грубе повело к нежелательным последствиям. Затрачивалось много времени без осязательных результатов; изобретались такие упражнения, которые не имели ничего общего с арифметикой; изучение «количественных отношений действительного мира, подменялось «раскрытием» сущности числа, созерцанием числа».
      В. А. Евтушевский видоизменил метод Грубе — в этом его большая заслуга: «осязательное понимание чисел», скрупулёзное изучение их по схеме он ведёт лишь в пределе от 1 до 20; в пределе от 20 до 100 он более, подробно останавливается на тех числах, которые содержат несколько простых множителей (24, 30, 32, 36 и т. д.), и, наконец, числа больше 100 рекомендует проходить по методу изучения действий.
      Воинствующим сторонником метода Грубе в России является также В. Воленс, выпустивший книгу: «Метод элементарного преподавания арифметики в народной школе», 1880.
      Борьба с методом Грубе
      С резкими возражениями против метода Грубе выступил в 1874 г. в «Отечественных записках» Л. II. Толстой. Эта статья (открытое письмо на имя председателя Московского комитета грамотности Шатилова) была написана по поводу дискуссии о методах обучения грамоте и арифметике, проводившейся Московским комитетом грамотности и ничем не закончившейся. Авторитет великого писателя поколебал «грубеизм», но не опроверг его, так как взамен концепций Грубе не было предложено ничего нового.
      Для борьбы с порочными идеалистическими в своей основе, а следовательно, и отсталыми для своего времени взглядами в области методики математики буржуазного немецкого методиста Грубе нужен был педагог-методист, способный противопоставить идеям Грубе свой метод, согласованный с требованиями педагогики и психологии.
      Борцами за новый метод преподавания арифметики выступили почти одновременно два талантливых методиста: в Москве А. И. Гольденберг и в Петербурге В. А. Латышев.
     
      А. И. Гольденберг
      Александр Иванович Гольденберг родился в 1837 г. в Москве, в семье врача-гомеопата. Окончил 3-ю Московскую реальную гимназию и в 1858 г. — Московский университет. В семье в совершенстве изучил французский и немецкий языки, с ранних лет занимался музыкой у известного пианиста Л. Онноре. С гимназических лет отличался многогранностью интересов. Любил природу, которая привлекала его закономерностью, целесообразностью, разнообразием форм и красок. Много занимался ботаникой, собрал гербарий московской флоры. Хорошо помнил всё, что изучал: питомцы классической гимназии изумлялись, например, его знанию латинского языка. По окончании университета поступил на военную службу в артиллерию. В 1859 г. сдал экзамен на офицера и был принят в Михайловскую артиллерийскую академию, которую окончил в 1861 г. с производством в поручики.
      Четыре года служил артиллерийским офицером. В 1865 г. был назначен преподавателем математики во вторую Московскую военную гимназию. В 1867 г. вышел в отставку и занялся преподаванием математики в частных мужских и женских учебных заведениях и на различных курсах.
      В 1873 г. А. И. был назначен директором Поливановской земской учительской школы, открытой Московским губернским земством. Работа в земской школе дала возможность А. И. ознакомиться с начальной школой и сельскими учителями.
      В 1875 г. земская учительская школа была преобразована в учительскую семинарию министерства народного просвещения. «Казённая» чиновная атмосфера семинарии была не по душе А. И.; он возвратился в Москву.
      В 1876 г. в первом томе «Учебно-воспитательной библиотеки», издававшейся учебным отделом Московского общества распространения технических знаний, А. И. Гольденберг помещает
      статью, в которой подвергает подробному и обстоятельному разбору «Методику» В. А. Евтушевского. Влияние Евтушевского в то время было исключительно велико: его считали непререкаемым авторитетом в вопросах методики арифметики, цитировали как педагога-классика наряду с А. Коменским и Г. Песталоцци. Нужно было мужество, чтобы выступить против «великана». А. И. нашёл в себе силы для такого выступления: он был человеком не только большого ума, по и глубоких убеждений, ему были чужды компромиссы со своей совестью. В этой рабоге Гольденберг с присущей ему эрудицией доказывает несостоятельность положения Грубе, что все числа в области первой сотни доступны непосредственному созерцанию и что работа над числами выше сотни может быть сведена к первой сотне, и отвергает монографическое (термин А. И.) изучение чисел.
      В 1880 г. в Л“Ь 196 «Русских ведомостей» появляется его критическая статья на методику арифметики В. Воленса под заглавием «Немецкие измышления в русской школе». Это был уже разгром «грубеизма». Здесь А. И. доказывает, что «созерцание числа» или «осязательное понимание числа» — только фикция.
      А. И. Гольденберг был глубоко убежден, «что методика начальной арифметики вступит на правильный путь с того лишь дня, когда освободится от измышления немецкого педагога, от монографического изучения чисел».
      В 1884 г. А. И. Гольденберг переезжает в Петербург. Вскоре появляется его «Методика начальной арифметики» и «Сборник задач и примеров для обучения начальной арифметике». А. И. Гольденберг является одним из основоположников метода изучения действий. «Общеупотребительные, сокращённые способы производства арифметических действий основаны, с одной стороны, на применении простейших свойств чисел и, с другой, — на пользовании десятичным расчленением чисел» («Методика»). При изучении действий он вводит 3 концентра: 1) числа до 10, 2) числа до 100 и 3) числа выше 100.
      Движение против метода Грубе началось и на его родине, в Германии, но с опозданием: в 1884 г. выступает Танк и в 1886 г. — Книллинг. В 1889 г. в Германии нарождается «неогрубсизм»: экспериментальные исследования Беетца вводят метод числовых фигур; продолжателем Беетца является Лай, опубликовавший в 1897 г. свою работу, посвящённую популяризации квадратных числовых фигур. Однако авторитет м е-тода изучения чисел был уже настолько поколеблен трудами А. И. Гольденберга и В. А. Латышева, что его учёные апологеты-немцы в лице Беетца, Лая и др. в России почти не имели сторонников.
     
      Труды А. И. Гольденберга
      Велико значение А. И. Гольденберга и в области методики систематического курса арифметики. А. И. первым выступил против «арифметического староверства» (выражение Д. Л. Волковского), против пережитков отдалённого прошлого, «набальзамированных членов науки самой тёмной эпохи средних веков».
      Даже в настоящее время в среднешкольном курсе арифметики сохраняется много «рудиментарных придатков, не исполняющих никаких функций» (учение о пропорциях, периодические дроби и т. д.).
      В конце XIX в. в курсе арифметики русских гимназий и реальных училищ было много таких статей, общеобразовательная и практическая ценность которых вообще не может быть доказана, например: коммерческий и математический учёт векселей, правило смешения, цепное правило и др. Совсем ненормально обстояло дело и с задачами. Задачи оторвались от действительной жизни, превратились в самодовлеющую отрасль, которая стала подавлять арифметическую теорию. Задачи делались из года в год сложнее, задачники обширнее. В качестве примера можно привести известный «Сборник» задач И. Верещагина, про который остроумно говорили, что его «ни рукой не поднять, ни умом не объять». Автор в предисловии прямо указывает, что этот «Сборник» составлен по лучшим западноевропейским образцам.
      Все эти тенденции проводились официальными программами гимназий и реальных училищ.
      Подражание иностранным учебникам, заимствования из них легли тяжёлым бременем на нашу учебную литературу по арифметике. «Одной из причин неудовлетворительного состояния средней школы, — говорил Д. Л. Волковский, — бесспорно являются плохие учебники».
      За реформу задачников берётся А. И. Гольденберг. В 1895 г. он начинает работу над сборниками задач. Для средних учебных заведений он даёт 4 задачника: ч. I — для приготовительного класса, 80 стр., ч. II — для первого класса, 80 стр., ч. III — для второго класса, 80 стр., и дополнение для второго класса — десятичные дроби, 56 стр. Последняя книга вышла уже после смерти автора.
      «Своею целесообразной, строгой последовательностью в распределении материала, подбором задач и совершенно новыми и своеобразными упражнениями они уже обратили на себя внимание педагогического мира», — пишет Я. Г. в некрологе, посвящённом А. И. Гольденбергу».2
      А. И. Гольденберг присоединяется к мнению С. И. Шохор-Троцкого, что арифметические задачи не цель, а только средство обучения, и на этом строит реформу учебно-задачной литературы. К задачам он предъявляет большие требования.
      «Он не выдумывал задач, — говорит К. К- Мазинг, — но подобно художнику или поэту вызывал в своём воображении всю классную комнату, учебную обстановку, учеников, представляя их ответы при разном складе их мысли».3
      Задачникам А. И. Гольденборга свойственны простота, логичность построения, точность, ясность языка, краткость содержания, отсутствие задач казуистического, схоластического и искусственного характера, систематичность и чувство меры в использовании лёгкого и трудного материала. Во всех отношениях книги А. И. Гольденберга были антиподом «Сборника» И. Верещагина, собравшего, как в фокусе, все «достижения» западноевропейской методики.
      А. И. Гольденберг исключил из своих книг задачи на «правила». Он считал правила вредными, «ибо рутина освобождает ученика от необходимости мыслить» («Предисловие» к «Арифметике и сборнику арифметических задач», М. 1901).
      Против «правил» восставали лучшие методисты того времени: «Итак, мы видим — говорит К- Мазинг, — что в отдел арифметики, преподаваемый в третьем классе, входят целые группы задач, частью неверных, частью бесполезных».1 Но одни из них не рискнули провести реформу в жизнь (Гатлих, Егоров), боясь нападок, другие даже не поняли сё, так, например, С. И. Шохор-Троцкий признал последний задачник А. И. «недооконченным».2
      У А. И. Гольденберга не выделяются в особую главу задачи на именованные числа, на метрическую систему мер, на проценты. «Только арифметическому изуверству можно приписать то, что проценты проходятся совершенно изолированно от остальных частей курса», говорит Д. Л. Волковский.3
      В начале XX в. общественное мнение единодушно высказывалось за исключение из курса арифметики периодических дробей. Постановление об этом вынесено было в «Совещаниях» при Московском учебном округе в 1899 г., на XI съезде русских естествоиспытателей и врачей. Проф. В. Ермаков рекомендовал перенести периодические дроби в учение о прогрессиях.4 А. И. Голь-деиберг одним из первых осуществил это пожелание.
      «Нововведения» Гольденберга противоречили установившимся канонам учёного комитета при министерстве народного просвещения, который неукоснительно стоял на страже «старины». И тем не менее обаяние «нового», свежесть мыслей и талантливость построения послужили причиной того, что «Сборники» А. И. Гольденберга расходились в сотнях тысяч экземпляров. Горячий патриот своей родины, «он верил, что придёт время, когда учебное дело будут направлять не по проторенной дорожке, по которой всякому легко идти, а по единственно правильному, научнообоснованному пути» (из «личных воспоминаний» К- Мазинга).
      Биограф утверждает, что Гольденберг «отличался чрезвычайно многосторонним образованием, широтою взгляда н глубоко интересовался не только книгами, но и вообще всеми течениями государственной и общественной жизни. Это был человек не только большого ума, но и глубоких убеждений, не знавший компромиссов с своей совестью» (некролог Я. Г.).
      Книги А. И. Гольденберга не только способствовали прогрессу школы, но влияли и на учителей: «До знакомства с Вашими книгами я не любил арифметику, ученики на моих глазах сильно утомлялись и тоже не симпатизировали предмету. Ваши руководства сделали чудо: арифметика как предмет, имеющий цену, как незаменимая практика логики заняла в моей жизни почётное место» (из выступления А. Овчинникова, слушателя курсов в г. Вятке в 1900 г.).
      Об эрудиции А. И. Гольденберга можно судить по той библиотеке, которую он завещал различным учреждениям. В ней было 902 названия иностранных книг и 551 название русских книг. Среди книг — многие классики математики (Евклид, Архимед, Апполоний, Диофант, Ньютон, Лаплас и др.), наиболее солидные труды по истории и философии математики (Монтюкла, Кантор, Кестнер и др.), журналы на западноевропейских языках. Прекрасное знание западноевропейских языков и литературы на этих языках помогло А. И. Гольденбергу поставить борьбу с иноземными влияниями на глубоко научную принципальную основу.
      А. И. Гольденберг оказал несомненное влияние на направление движения за реформу преподавания математики в России. Это движение, интенсивно развивавшееся в России в начале XX в., отклонялось от западноевропейского трафарета. Как известно, один из видных представителей международного движения за реформу преподавания математики французский профессор Э. Бо-рель выпустил книгу «Элементарная математика», которая должна была послужить образцом учебника, построенного в духе реформы.1 На I Всероссийском съезде преподавателей математики в 1911 — 1912 гг., выступая в прениях, проф. В. Ф. Каган привёл выдержку из письма академика А. А. Маркова, учёного, боровшегося с реакционными педагогическими измышлениями реакционного проф. П. А. Некрасова, который стремился ввести теорию вероятностей в гимназиях, чтобы лженаучными аргументами подкрепить самодержавие: «Я был сторонник, если не решительный сторонник реформы, то во всяком случае стоял к ней ближе, чем теперь, но если будет реформа так проведена, как представляет её книга Бореля, то, извините, я буду против реформы».
      Нужно приветствовать ту осторожность, с которой мы подходим теперь к реформе программ математики в средней школе и к замене отживших старых учебников новыми, но осторожность не должна переходить в медлительность.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. А. И. Гольденберг, Методика начальной арифметики, 1885.
      2. Его же, Сборник задач и примеров для обучений начальной арифметике, вып. I и II, 1891.
      3. Его же, Собрание арифметических упражнений для гимназий и реальных училищ, курс первого класса, 1896.
      4 Его же, Беседы по счислению, 1906.
      5. Некролог А. И. Гольденберга, «Русская школа», 1902, № 5 — 6.
      6. К. Мазннг, Из личных воспоминаний, «Русская школа», 1903, № 5 — 6.
     
      ВЛИЯНИЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ НА ФОРМИРОВАНИЕ РУССКОЙ ШКОЛЫ МЕТОДИКИ АРИФМЕТИКИ
      Основоположник русской педагогики К. Д. Ушинский начертал путь, по которому должна развиваться методика арифметики, В. А. Латышев заложил основы теории новой иауки, А. И. Гольденберг с присущей ему талантливостью встал на защиту молодой русской методики, освободив её от иностранных влияний и построив практический план самостоятельного развития науки о преподавании арифметики.
      Так создавалась Русская школа методики арифметики. Её история тем более поучительна, что реакция, пришедшая на смену кипучих 60-х годов, тяжело отразившаяся на средней школе, не могла парализовать поступательного движения методики начальной арифметики. В последнюю четверть века педагогическая мысль напряжённо работает над созданием методических руководств, над оформлением нового плодотворного направления в русской методике арифметики. Создаётся ряд трудов, в которых тщательно разрабатываются все детали, ставится задача оказать действенную помощь ещё не опытному, не окрепшему- народному учителю, питомцу только что народившейся учительской семинарии. В чём причина успешного нарастания методической работы?
      Введение земских учреждений повело к массовому открытию народных школ. Возникла большая потребность в учительских кадрах. Первое время учителя комплектовались из разночинцев, которым по различным причинам не удалось закончить среднюю школу. Небольшой приток учителей был и из дворянской интеллигенции.1
      1 Потоком этого движения был увлечён и граф Л. Н. Толстой, открывший свою школу в Ясной Поляне; в этой школе он вёл занятия, составлял
     
      Воспитание нового учителя
      Духовные семинарии были лишь вспомогательным источником педагогических кадров, так как сравнительно привольная и хлеб, ная жизнь духовенства более притягивала питомцев духовных семинарий, чем скромная и будничная карьера народного учителя.
      Духовное ведомство было непрочь взять в свои руки управление новым, широко развернувшимся идеологическим фронтом. Стали насаждаться школы грамоты и затем церковно-приходские школы. Учительские обязанности в этих школах нередко возлагались на священников. Однако К- Д. Ушинский имел все основания говорить, что крестьянин желает «иметь в своей школе настоящего учителя, а не священника». Этого настоящего учителя нужно было подготовить.
      Правительство пе решилось передоверить эти функции молодым земским учреждениям, считая их недостаточно благонадёжными.
      Вопрос о воспитании настоящего учителя ставит и разрабатывает К. Д. Ушинский. Он высоко оценивает личность учителя. «В организации общественного воспитания, — говорит он, — всякому назначено своё дело; но самый важный член в этом организме, — без сомнения, преподаватель... Всякая программа преподавания, всякая метода воспитания, не перешедшая в убеждение воспитателя, останется мёртвой буквой... Влияние личности воспитателя на молодую душу составляет ту воспитательную силу, которой нельзя заменить ни учебниками, ни моральными сентенциями, ни системой наказаний и поощрений».
      «Проект учительской семинарии» К. Д. Ушинского опубликован в 1861 г. Идеи Ушинского были настолько ярки и убедительны, что даже реакционное министерство графа Д. Толстого не решилось их полностью разрушить. Немногие земские учительские школы новый министр взял под подозрение и впоследствии ликвидировал.1
      Учительские семинарии сыграли большую роль в истории русской культуры. Они дали России тысячи хорошо подготовленных учителей. Среди личного состава учительских семинарий было много высоко культурных, педагогически грамотных и, в ряде ? случаев, глубоко идейных «наставников».
      Из рядов преподавателей учительских семинарий вышла плеяда блестящих педагогов-методистов, оказавших большое
      учебники и, в частности, интересовался методикой арифметики. Другим примером может служить Татевская школа проф. С. А. Рачинского, который также увлекался преподаванием и особенно любил устный счёт; эта школа увековечена художником Богдановым-Бельским в его известной картине «Устный счёт».
      В 1892 г. С. А. Рачинский выпустил интересную книгу «1001 задача для умственного счёта» — первое пособие по устному счёту. А. Л.
      1 Так, например, Полива новская земская учительская школа, в которой работал А. И. Гольденберг, в 1875 г. была преобразована в учительскую семинарию. — Л. Л.
      влияние на разработку методики начального обучения (В. А Флеров, П О. Афанасьев, К. П. Аржеников, В. К- Беллюстин и др.).
      Аналогичную роль сыграли и учебные заведения второй ступени педагогического образования — учительские институты.
      В создании методики начального обучения арифметике эти «очаги» педагогической мысли имели исключительно большое значение. С подготовкой учителей в Гатчинском сиротском институте имел дело П. С. Гурьев, В. А. Латышев — преподаватель Петербургского учительского института, А. И. Гольденберг — руководитель Поливановской земской учительской школы, Ф. И. Егоров — преподаватель и затем директор Московского учительского института. К- П. Аржеников — наставник Поливановской учительской седшнарии, В. К. Беллюстин свою методическую работу начал в Новинской учительской семинарии, учительская семинария создала опыт для «записок по методике» Г. М. Вишневского и т. д. Эту большую работу, которая нашла себе место в педагогических учебных заведениях, не мог разрушить реакционный режим царского самодержавия.
      Высокая идейность многих представителей этой замечательной плеяды объясняется тем, что сами они учились в 60-е годы, когда велико было влияние на русское общество революционеров-демо-кратов, когда в русской науке преобладали материалистические идеи.
      Преклонение перед иностранным «творчеством»
      В официальных материалах учебных округов и министерства народного просвещения, в работах, освещающих деятельность земских учреждений, можно найти многочисленные подтверждения, что дело преподавания в народных школах стояло значительно выше, чем в средних школах. И тем не менее русская методика арифметики не всегда получала признание в своей стране. В докладе на I Всероссийском съезде преподавателей математики один из «передовых» представителей педагогической мысли В. Р. Мрочек так характеризует положение: «Под «методиками арифметики» обыкновенно подразумеваются те ходячие книжки, в которых рассматриваются вопросы обучения арифметике в русских начальных школах. Громадное большинство авторов совершенно не касается при этом вопросов дидактики и всё своё внимание устремляет на разработку деталей курса. При этом, конечно, имеется в виду лишь начальная школа, а о существовании школ других типов, где тоже проходится арифметика, авторы, повидимому, забывают».1
      Этот трубадур иностранных влияний в методике совершенно не знает о работах П. С. Гурьева, о роли К. Д. Ушинского в создании методики, совершенно не говорит о значении А. Н. Острогорского. В его книге имена П. С. Гурьева, В. А. Латышева, А. И. Гольденберга, А. Н. Острогорского даже не упоминаются.1
      Для представителей русской методики арифметики В. Мрочек придумывает эмпирическое направление. Более высокий класс составляют у него переходное и экспериментальное направления. К ним он относит французских (Ф. Дож), швейцарских (И. Штеклин), немецких (Герлах) и американских (Вентворт и Рид) авторов.
      В своей книге В. Мрочек основателем новой методики арифметики безапелляционно признаёт творца «числовых фигур» Беетца, превозносит Лая, имя которого, по его мнению, «говорит само за себя», утверждает, что «понимание больших чисел предполагает не счисление, а восприятие групп числовой системы». Иными словами, этот «европеец» в русской методике арифметики предлагает вернуться... к Грубе, считая, что «деятельность германской педагогики является законодательной для остальных европейских народов».2
      К счастью для нас, для России, история русской методики арифметики пошла не по тому пути, который был намечен для неё В. Мрочеком; школа Беетца и Лая не имела влияние в России.3
     
      Состояние преподавания арифметики до реформы методики
      Нужно представить себе, как обстояло дело усвоения арифметики в «старой школе», и сравнить с тем, что Россия имела в этой области в последней четверти XIX в., чтобы установить достижения методики арифметики. Обучение обыкновенно начинали с определений (арифметика, число, единица, действия), затем переходили к изучению нумерации и действий. Требовалось наизусть заучить определения и правила, о понимании материала меньше всего заботились. Существенный недостаток преподавания заключался в том, что игнорировались особенности детской природы и основным фактором при усвоении признавалась память. Мы имеем в нашей литературе многочисленные свидетельства такого состояния преподавания.
      Вот что пишет, например, земец Корф: «В огромном большинстве школ старого закала вы встретите обучение счёту, но вызовите к доске лучших учеников, — и окажется, что они обучены сложению, вычитанию, умножению и делению, которых они не понимают... Задайте ученику самую лёгкую задачу: «было у меня 25 орехов и подарили мне 30 орехов, сколько у меня стало орехов?» Ученику и в голову не приходит, что ему необходимо прибегнуть к сложению для решения этой задачи, так как «Сложение» заучено им как какое-то самостоятельное, бесполезное упражнение, ни к чему не нужное... При мне л у ч-ш и и ученик школы старого закала собрался делить сумму на одно из слагаемых для проверки сложения. :. Этим объясняется то, что ученик, знавший арифметику в марте 1868 г., в октябре того же года возвращался в школу, забыв арифметику».1
      Метод Грубе задержал развитие русской методики, по крайней мере, на 20 — 30 лет. Уже П. С. Гурьев высказывался против метода Грубе. «В нынешних учебных программах, — говорит он, — составленных по методике Евтушевского, поставляется учителям даже в обязанность во весь первый учебный год не проходить более как только числа 1 — 20, а во весь второй учебный год — не далее как числа 1 — 100? Вот какая гомеопатическая кашица! Она ли в состоянии испортить слабые детские желудки? Принцип г. Евтушевского — дать детям яичко да ещё облупленное». О результатах метода Грубе в русской школе в своё время писали достаточно красочно. Директор народных училищ Витебской губ. Д. И. Тихомиров пишет, например: «Учитель поставлял своей целью изучить все мнимые свойства чисад... в результате оказывалось, что... ученики теряли голову в бесчисленных, на разные способы, выкладках при изучении каждого числа... Такая постановка преподавания начальной арифметики... не могла удержаться в школе значительное время, как существенно затруднявшая дело обучения своею сложностью, проистекавшею из неправильно установленного основного положения».2
      Плеяда представителей русской школы методики арифметики
      80-е и 90-е годы особенно богаты методическими курсами по начальной арифметике. Почти все руководства отличаются одними и темн же особенностями. Педагогическая мысль того времени не могла примириться с уродствами «метода Грубе», критика которого была блестяще выполнена В. А. Латышевым и, в особенности, А. И. Гольденбергом. Протест против метода Грубе — их первая основная черта.
      Вторая особенность — методические руководства строятся главным образом на основе личного опыта, отражают личные взгляды автора на построение курса и чаще всего являются «путеводителями» к задачникам тех же авторов. «Записки» Г. Вишневского сопровождаются «арифметическим задачником для начальных училищ»; Ф. И. Егоров в предисловии указывает, что «Книга эта составлена применительно... к задачникам». Задачники К. П. Арженикова, В. К- Беллюстина и других авторов методических руководств общеизвестны.
      Вообще говоря, иллюстрация курса методики сборником задач не может рассматриваться как недостаток, если автор методики излагает курс как научную систему, обладает широтой взглядов и не сопровождает изложения постоянными обращениями к своему «задачнику». Некоторые из авторов это сознавали. В. К. Беллюсгин в предисловии пишет: «Я далёк от того, чтобы считать свои способы единственными, применимыми всегда и вполне. Наоборот, я горячо советовал бы принимать во внимание развитие детей и местные школьные условия».
      Но, например, содержательная методика К. П. Арженикова пестрит ссылками на его задачники.
      Третья особенность — отсутствие педагогической и психологи-ской базы. Г. М. Вишневский замечает в предисловии: «Автор старался составить краткое и сжатое руководство, не включив в него главы из психологии, логики, дидактики и т. д.». Включение таких глав не вызывается необходимостью, однако научный курс методики не может быть построен без опоры на педагогику и психологию, что хорошо сознавали П. С. Гурьев, В. А Латышев и А. И. Гольденберг.
      Несмотря на целый ряд недостатков принципиального значения, все эти методические руководства сыграли большую организующую и прогрессивную роль в развитии методов преподавания арифметики в русской школе. Прежде всего был тщательно разработан метод б е с е д ы. Так называемые «Методические разработки» составляют характерный материал многих руководств. В них приводятся не только вопросы учителя, но и ожидаемые ответы учащихся, даются наводящие вопросы (Вишневский, Аржеников и др.). Для учителя того времени, ещё недостаточно искушённого в проблемах методики, для школы, в которой были ещё живы традиции старой дореформенной школы, такая рецептурная помощь была «откровением». По страницам методик прямо и непосредственно составлялись конспекты уроков, причём в большинстве случаев это был добросовестный материал, перенесение которого в школу поднимало эффективность занятий.
      В «Методике» В. К- Бел-люстина был приведён даже «дневник занятий», в котором темы уроков были распределены по месяцам и числам.1
      Большим достижением методических руководств этого периода является разработка вопроса о наглядности в преподавании начальной арифметики. Так, у Г. Вишневского приводится следующий перечень пособий: русские торговые счёты, арифметический ящик, шведские счёты, дробные счёты, счёты Каховского, тонкие палочки, коробочки с пуговицами, образцы мер и т. д. Автор по- в. К. Беллюстни.
      дробно описывает русские торговые счёты, признавая их «самым лучшим пособием для русской начальной школы» (стр. 17). К. Аржеников кроме арифметического ящика и счётов, вводит пальцы, палочки, пучки соломы и вообще акцентирует внимание учителей на самодельных пособиях. Наглядные пособия не только описываются, при разработке уроков они включаются как необходимый дидактический материал: «На планку доски ставится несколько кубиков, например, четыре. Сколько кубиков стоит на планке? Как это узнать? Поди и считай вслух» (Аржеников). Наглядные пособия в большом ассортименте сделались необходимой принадлежностью процесса преподавания арифметики. Старая школа в сущности не знала наглядных пособий.2 Применение наглядности не только осмыслило арифметическую работу, но и способствовало зарождению у учеников интереса к арифметике.
      Далее, разработана была чёткая концентрация начального курса арифметики. В качестве первого концентра все руководства выделяют «первый десято к»; В. К- Беллюстин «вторым концентром ставит действия в пределе до 20, оправдывая его целесообразность необходимостью проработки таблиц сложения и вычитания; чаще же всего в качестве второго концентра берутся «круглые десятки до ста» (Аржеников, целые десятки — Вишневский, чистые десятки — Егоров и т. д.); далее идёт концентр «действия в пределе с о т н и»; почти все руководства выделяют концентры «первая тысяча» и «числа выше тысячи» (у Егорова в последних изданиях — «числа до 10 000» и «выше 10 000»). Так была закончена работа, которая впервые в неясных контурах намечалась у Ф. И. Буссе и П. С. Гурьева. К достижениям всей группы методик необходимо отнести тщательную разработку учения о мерах. Г. Вишневский считает необходимым иметь в школе образцы различных мер: линейные меры — сажень, аршин, вершок, фут, дюйм; квадратный фут; кубическую четверть; меры веса — фунты, лоты и золотники; меры жидкостей — ведро, штоф; меры сыпучих тел — четверик и гарнец. Рекомендуется не только показать меры, но и производить ими измерения и взвешивания.
      Широкая пропаганда наглядности в преподавании арифметики вызвала зарождение нового вида промышленных заведений-мастерских по изготовлению наглядных пособий. Инициатива в этом деле принадлежит земским учреждениям.1
      Успешно разрабатывался вопрос о самостоятельной работе учащихся. Постановке этого вопроса способствовал тот факт, что в сельских школах чаще всего один учитель вёл занятия с тремя классами. Аржеников и Егоров скептически относятся к возможности классификации задач по типам, между тем обширная литература (методические руководства и «сборники» задач) придаёт этому вопросу исключительно большое значение.
      Воспитание учителей в духе творчества, начатое В. А. Латышевым, стало приносить плоды: появились методические работы учителей. К ним можно отнести книгу В. М. Куперштейн, учительницы начальной городской школы.2 Автор этого интересного руководства ставит перед собой задачу «черпать всё из содержимого детской психики, оперировать над тем маленьким, но порой очень достаточным, детским житейским опытом, который школьники уже приносят с собой в школу» (стр. 1). Куперштейн строит преподавание на основе решения тщательно подобранных задач, но так как, по мнению автора, задачи отражают дошкольный опыт детей, она высказывается за особый подбор задач для сельской и городской школы. В книге дано много конспектов уроков, которые не нарушают целостности изложения, а скорее составляют единый художественный образ работы учителя.
      Богатая методическая литература последней четверти XIX в. имела влияние не только на учителей. Её основные тенденции можно проследить и на официальном программном творчестве. В объяснительной записке к программам церковно-приходских школ 1886 г. говорится: «Обучение детей счислению имеет целью научить их производить с разумением действия над числами и развить в детях навык прилагать эти действия к решению задач из житейского быта».
      Приходится отметить, что вся методическая литература рассматриваемого периода составляет единый принципиальный ф р о и т отрицательного отношения к тем направлениям, которые шли из-за границы и, в частности, из Германии. А. И. Гольденберг нанёс первый решающий удар «грубеизму» и «немецким измышлениям», а окончательное поражение является общим делом замечательной плеяды методистов конца XIX в. и учителей, воспитанных на идеях русской методической школы. Идеи Грубе, облачённые в тогу сугубой научности доктором Лаем, не нашли применения в русской школе. Русский перевод сочинения Лап 1 воспринят был лишь как своеобразный теоретический эпизод, не получивший отражения в практике школы.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. А. С. Пчёл ко, Хрестоматия по методике начальной арифметики, 1940.
      2. Д. Мартынов, Методика арифметики, 1884.
      3. С. В. Ж и т к о в, Методика арифметики с приложением сборника арифметических упражнений для учеников с учителем, 1886.
      4. Ф. И. Егоров, Методика арифметики целых чисел, 1887.
      5. Г. М. Вишневе к и й. Записки по методике арифметики, 1892.
      6. Т. Л у б с н е ц, Методическое руководство по арифметике, Киев 189Q.
      7. К. П. Аржеников, Методика начальной арифметики, 1898.
      8. В. К. Беллюстин, Методика арифметики, 1899, и другие авторы.
     
      ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИ Л АРИФМЕТИКИ. МЕТОД ЦЕЛЕСООБРАЗНЫХ ЗАДАЧ
     
      С. И. Шохор-Троцкий
      Нстодич-еская литература двух последних десятилетий XIX в. поставила своей задачей разработку деталей того направления, которое возникло в России как реакция на метод Грубе. Эта, несомненно, плодотворная работа была проделана с большим успехом. Фундамент новой методики был заложен П. С. Гурьевым, В. А. Латышевым и А. И. Гольденбергом. Десятки их последователей занялись тщательной отделкой того мощного здания, которое составило русскую школу методики арифметики. Народные учителя получили, богатый материал для построения своей практической работы. Однако почва, на которой выросло это здание, была ещё недостаточно укреплена. Принципиальная теоретическая база была лишь в общих контурах очерчена основоположниками методики, отсутствовала тесная связь с педагогикой и психологией. Молодая методическая наука оказала большое сопротивление натиску со стороны немецкой идеалистической философии, но необходимо было более твёрдо обосноваться па позициях материалистической школы.
      Честь этой работы выпала на долю Семёна Ильича Шохор-Троцкого, который выступил на поприще методики также в 80-е годы.
      С. И. Шохор-Троцкий (1853 — 1923) родился в г. Каменец-Подольске в небогатой семье. Среднее образование получил в Киевской и затем в Херсонской гимназиях. Состоял вольнослушателем в Новороссийском университете, затем поступил в Петербургский институт инженеров путей сообщения, но через два года принуждён был уехать за границу. Он изучает Математику, физику и философию в Берлине, Гейдельберге и Кенигсберге.
      По возвращении в Россию он сдаёт экзамен на звание домашнего учителя, чтобы получить право преподавания. Таким образом, лишь в возрасте 34 лет он выходит на педагогическую дорогу. В конце 80-х годов в России возникают частные средние учебные заведения, являвшиеся благодарной почвой для молодых педагогов-новаторов, энтузиастов своего дела. Шохор-Троцкий преподаёт в гимназиях Стою-нина, Оболенской, Таганцевой и др.
      В годы первой буржуазно-демократической революции С. И. Шохор Троцкий с и Шохор-Троцкий примкнул к революционной интеллигенции, в результате чего его работы были взяты под подозрение. В 1906 г. он принял участие в политической забастовке, что послужило поводом к увольнению С. И. Шохор-Троцкого по знаменитому 3-му пункту от должности преподавателя Смольного и Александровского институтов. Однако имя его уже было настолько известно, что земские учреждения, устроители курсов, принимали все меры к его приглашению. С. И. Шохор-Троцкий работал на многочисленных учительских курсах, вкладывая в работу с учителями всю душу. Учителя Петербурга, Саратова, Витебска и других городов знали С. И. Шохор-Троцкого не, только как блестящего лектора, но и как одухотворённого новыми идеями педагога, готового отдать в их распоряжение всё своё время.
      Педагогическая деятельность С. И Шохор-Троцкого протекала в самых разнообразных учебных заведениях от начальной школы до Вольной высшей школы, педагогической Академии лиги образования, психоневрологического института. С 1918 по 1923 г. он состоял профессором математики в Каменноостровском сельскохозяйственном институте.
      Большая эрудиция в области математики и философии и огромный опыт многогранной педагогической работы создали С. И. Шохор-Троцкому славу талантливого педагога-методиста, оказавшего большое влияние на направление русской школы методики математики.
      Первая методическая работа С. И. Шохор-Троцкого «Методика арифметики с приложением сборника упражнений по арифметике» вышла в 1886 г.1
      Педагогические и философские взгляды С. И. Шохор-Троцкого выражаются в его других сочинениях и в выступлениях на съездах. Методические труды С. И. Шохор-Троцкого весьма обширны и многообразны. После его смерти осталась рукопись примерно в 65 печатных листов, в которой он вновь переработал всё то, что было им опубликовано в 90-х годах в различных его книгах.2 Его труд «Геометрия на задачах», книга для учителей, 1908, являющийся также методическим пособием, содержит около 26 печатных листов. Его творческие искания в области методики математики продолжались около 30 лет. На протяжении такого большого отрезка времени его взгляды, естественно, эволюционировали. Так, в 1892 г. им был выпущен «Учебник геометрии для средних учебных заведений», который он впоследствии признал «устарелым да и вообще неудачным».3 Необходимо отметить, что его работы по методике геометрии были менее удачны. Основные положения методики арифметики он защищал до конца своей жизни.
      Особенно содержательными и оригинальными являются его три публичные лекции, прочитанные в 1893 г. в Педагогическом музее военно-учебных заведений.4
      Специальная работа посвящена обоснованию цели преподавания математики.5 Наконец, вопросы связи преподавания математики с психологией развиты им в специальном докладе на I Всероссийском съезде преподавателей математики в 1911 — 1912 гг.
      В методике математики С. И. Шохор-Троцкнй — творец метода целесообразных задач, который является своеобразным развитием индуктивного метода (впоследствии он получил название конкретно -индуктивного метода — в алгебре).
      В «трёх лекциях» С. И. так определяет этот метод: «С помощью простейших наглядных пособий и с помощью задач, относящихся к самым простым случаям арифметического вычисления, учащиеся научаются считать, притом вполне сознательно, понимать, что значит прибавить, отнять единицу, образовывают себе
      1 Посмертное издание «Методики начального курса математики» выпущено в 1924 г.
      2 Частично эта рукопись использована в следующих изданиях советского периода: 1) С. И. Шохор-Троцкий, Методика начального курса арифметики, 1924, под ред. И. Н. Кавуна, 2) Методика арифметики. Пособие для учителей средних школ, 1936, под ред. В. И. Синакевича.
      3 См. сноску на стр. XXI «Геометрия на задачах», книга для учителей.
      4 «Чему и как учить на уроках арифметики», «Русская школа», 1894, январь, февраль и март.
      Б «Цель и средства преподавания низшей математики с точки зрения требований общего образования», 1893.
      соответствующие сущности дела представления... С задач, при методе целесообразных задач, начинается урок, задача делается исходным пунктом, когда приходится обратиться к новому арифметическому представлению, будь то представление о сущности умножения однозначного числа на однозначное, будь то условие о смысле умножения на дробь...»
      Более подробно свой метод автор обосновывает в «Методике». «Истинная метода, говорит он, состоит в том, чтобы ставить ребёнка в условия, при которых ум человеческий начал изобретать арифметику, сделать его «свидетелем этого изобретения». Но теперь этого уже недостаточно: в настоящее время надо стремиться к тому, чтобы метода поставила учащегося в такие условия, при которых он мог бы быть не только свидетелем, но, по возможности, активным у ч а с т н и к о м этого изобретения».
      Ставя задачи в качестве «исходного пункта обучения», Шохор-Троцкий особенно большое значение придаёт простым задача м, которые являются средством «для выработки представлений арифметического характера, средством для выработки точных понятий о действиях, для возбуждения деятельности ума учащегося». Значение сложных задач должно быть исключительно практическим. Он решительно возражает против задач, содержание которых «заключается в различных хитросплетениях», против трудных, запутанных задач, «не проникнутых единою руководящею идеею». Арифметические приёмы решения таких задач, по его мнению, «чужды и мере понимания и степени умственного развития учащихся». Развитие и укрепление творческой мысли учащихся должно стоять на первом плане. «Поменьше определений, — говорит он, — ничего не говорящих ни уму, ни воображению учащихся... поменьше мнимой учёности, но зато побольше власти над своею собственною мыслью». С. И. Шохор-Троцкий решительно осуждает «антипедагогические тенденции авторов задачников», вводящих распределение задач «по типам», решительно восстаёт против «дрессировки, неприемлемой с педагогической точки зрения». В начальной школе является излишним учебник, но очень велико значение задачника. В средней школе необходимо «привести учащихся к уменью учиться по книге». К учебнику Шохор-Троцкий предъявляет высокие требования; он враг такого учебника, который представляет «бездушный сборник неудобоваримых определений, правил и терминов, курсивов и цыфирных схем».
      Шохор-Троцкий требует очищения курса арифметики от всякого неарифметического материала. «Разные «тройные правила», учения о пропорции, периодические дроби и т. п.» он называет «пережитком средневековой истории». Если обучение арифметике будет поставлено согласно с требованиями здравой методики, то «неспособных к изучению арифметики... нет и быть не может».
      С. И. Шохор-Троцкий протестует против существующей системы обучения. Нужно отметить, что в гимназиях того времени неуспеваемость по математике доходила до 60 — 80%.
      В методических трудах С. И. Шохор-Троцкого мы впервые встречаем новые методические понятия: лабораторные работы, работы по измерениям на местности и т. д. С. И. Шохор-Троцкий выступает против отрыва геометрического материала от арифметики: этот материал он включает и в начальный курс арифметики и в практический курс (так он называет систематический курс арифметики).
      Его большая работа «Геометрия на задачах» является попыткой построения пропедевтического курса геометрии «на методических упражнениях в геометрическом черчении». Критикуя постановку геометрической работы в школе, С. И. замечает, что «Современный курс математики вообще лишён возможности внушать ученикам удивление перед силою человеческого ума, могущего добраться до запрятанных в геометрические фигуры и математические формулы истин» («Книга для учителей», стр. XVII).
      Методической основой «геометрии на задачах» является опять метод целесообразных задач. Многое и в эгой книге представляет большую ценность и для современного учителя; подбор упражнений по черчению, подбор задач, правила изготовления чертежей и т. п. Курс этот не был воспринят школой (как, впрочем, и все другие опыты построения пропедевтического курса): «чертёжное» направление показалось многим односторонним, лишённым ценных образовательных и воспитательных свойств (преобладание плоскостных образов, искусственное отделение от них пространственных образов, игнорирование функциональной зависимости и т. д.).
      В методических приёмах, которые рекомендует в своих трудах С. И. Шохор-Троцкий, можно в большом количестве найти драгоценные перлы, которых нельзя встретить в других книгах. Эти приёмы характеризуют автора не только как энтузиаста-иоватора, но скорее педагога-художника.
      Например, глава пятая «Методики начального курса арифметики» озаглавлена так: «О выразительности речи, жесте и ритме при обучении арифметике». В ней он развивает такие мысли, как «роль пауз и интонации» при чтении условия задачи, «ритм в формулах», «ритм при сложении двузначных чисел» и т. д. Вообще чувство изящного особенно близко творчеству С. И.: он нередко говорит и об изящных приёмах вычислений, и об изящных способах решения задач, и о чертежах, эстетически привлекательных, и пр. Эти высказывания не случайны, они органически
      связаны с глубокой постановкой вопроса о цели преподавания математики»,1 о воспитательном значении математики.
      С. И. Шохор-Троцкого глубоко интересует идейная сторона математики. Возражая против всего «ненужного, излишнего и неуместного» в арифметике, он признаёт глубокую ценность понимания функциональной зависимости и рекомендует к этой идее «возвращаться при всяком удобном случае».2
      Являясь принципиальным противником метода Грубе, С. И. Шо-хор-Троцкий возражает и против «метода изучения действий». «Почти все остальные авторы, — говорит он, — взамен «метода изучения чисел» предлагают какую-то «методу изучения действий», не подозревая, что предлагаемое ими представляет не некоторую методу обучения, а только характеристику цели всего курса предмета».3 Спор здесь только в словах. Такие возражения можно высказать и против формулировки самого Шохор-Троцкого, назвавшего свой метод «Методом целесообразных задач». Сторонники «метода изучения действий» никогда не придавали им самодовлеющего значения; они считали, что действия необходимы для приобретения навыка в решении задач. С другой стороны, и сам С. И. высоко ценил арифметическую теорию, в ней именно видел центр тяжести обучения.
      В своих работах Шохор-Троцкий даёт оригинальное распределение курса арифметики на 30 ступеней,4 в дальнейшем увеличив их число до 40: на первый класс йриходится 14 ступеней, на второй — 11, на третий — 5. Приводим некоторые его ступени:
      1. Упражнения детей в сознательном устном счёте от одного до двадцати включительно. 2. Ознакомление детей с арифметическими цифрами от 1 до 9. 3. Прибавление единицы к числам, не большим восьми, знаки + и =, отнимание единицы от чисел, меньших 10, и знак ( — ) вычитания. 4. Обозначение двузначных чисел от 11 до 19 включительно, а также обозначение 10 и 20.
      5. Сложение чисел, сумма которых не более 10, и т. д. Такое деление курса не представляется достаточно обоснованным, тем более что даже автор заявляет: «Ни ученики, ни даже учитель не должны помнить, что на какой ступени проходится».5
      В своём докладе на I Всероссийском съезде преподавателей математики С. И. Шохор-Троцкий, характеризуя математику, указывает, что «надо не преподавать математику, а учить ей всеми доступными учителю и целесообразными для учащихся способами». Ученикам он говорит: «Недостаточно только учиться, надо научиться учиться».1
      Этим С. И. подчёркивает, что в процессе преподавания математики надо уметь пользоваться самыми разнообразными средствами. И, действительно, арсенал этих средств в его «Методике» исключительно велик: и графические представления, и лабораторные работы, и измерения на земле, и последовательно проводимая наглядность, и жесты, и мимика и т. д.
      В том же докладе С. И. Шохор-Троцкий отрицательно оценивает роль эмоций, считая, что «они неуместны при обучении математике».
      В его «Методике» мы находим подробное и научное обоснование принципа наглядности,2 при этом он выставляет шесть тезисов:
      «1. Обучая математике, должно иметь в виду не только способность человека к умозрению, но и органы ощущений учащихся и волевой элемент в душевной их жизни.
      2. Без чувственных восприятий и соответствующих им ощущений и представлений не может получиться ни точных понятий, ни плодотворных математических идей, ни основательных знаний, ни твёрдых навыков.
      3. Одно только знание ряда слов без полной власти над их смыслом — знание призрачное, ложное и безрезультатное.
      4. Истинное знание возможно только при следующих условиях: а) при наличности ясных и верных представлений и б) при должной подготовке к надлежащему ассоциированию представлений, понятий и идей, составляющих материал этого знания.
      5. Эти условия достижимы только при полной наглядности обучения, при интересе детей к делу и при посильной активной работе органов ощущений, с одной стороны, и ума, творческой фантазии и воли — с другой.
      6. Готовые наглядные пособия, конечно, полезны; но важнее всего самодеятельность учеников, а потому изготовленные ими самими наглядные пособия и затраченный при этом планомерный физический труд ещё полезнее, чем готовые наглядные пособия».
      Все наглядные пособия С. И. делит на четыре группы: 1) готовые наглядные пособия; 2) изготовляемые учителем при содействии учащихся; 3) изготовляемые учащимися при помощи учителя и 4) изготовляемые учащимися на дому или в школе самостоятельно. Сам С. И. создал оригинальную конструкцию школьных счётов с вертикальными проволоками.
      К С. И. Шохор-Троцкому примыкает С. В. Житков (в 1885 г. они вместе выпустили «Методику арифметики»).
      С. И. Шохор-Троцкий — педагог большого плана и больших творческих масштабов. Вряд ли можно назвать методическую проблему, которой он не касался бы в своих работах. Значение С. И. особенно велико в постановке и разрешении многих принципиальных вопросов: о цели обучения, о психологических основах обучения, о принципах дидактики в процессе преподавания математики, об идейной стороне математики и др.
      С. И. Шохор-Троцкий не только завершает 80-летний период создания русской школы методики арифметики, но многими сторонами своего творчества примыкает к советскому периоду.
      1. С. И. Шохор-Троцкий, Методика арифметики, 1886.
      2. Ег о же, Опыт методики арифметики для преподавателей математики в средних учебных заведениях, 1887.
      3. Его же, Цель и средства преподавания низшей арифметики с точки зрения требовании общего образования, 1893.
      4. Его же, Учебник методики арифметики для тех учебных заведений, где преподаётся этот предмет, 1896.
      5. Его же, Методика начальной арифметики, ч. 1, 1898.
      6. Его же, Чему и как учить на уроках арифметики. «Русская школа»,
      1894, № 1, 2, 3.
      7. Его же, Геометрия на задачах, 1908.
      8. Его ж е, Методика начального курса математики, ч. I, под ред. И. Н. Кавуна, 1924.
      9. Его же, Методика арифметики, пособие для учителей средней школы, под ред. В. И. Сипакевнча, 1936.
      Указатель трудов С. И. Шохор-Троцкого, выпущенный к его 35-лстиему юбилею, представляет целую книжечку.
      Биографические данные о С. И. Шохор-Троцком:
      1. «Педагогическая мысль», 1923, № 3.
      2. «Вестник просвещения», 1923, 4.
      3. Методика начального курса математики под ред. И. Н. Кавуна, 1924.
     
     
      ПЕРВЫЕ РАБОТЫ О ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ НА РУБЕЖЕ XIX ВЕКА
     
      Евклид и его критика
      Вопрос об учебнике геометрии не был решён в XVIII в. И это вполне понятно. Методические концепции и логическая структура учебника геометрии всегда были и будут наиболее трудными. С одной стороны, слишком большой авторитет имеет Евклид, которого считали образцом классической строгости. При возникновении школ с развитым курсом математики, таковы, например, были военные и морские школы России в XVIII в., в любой стране взоры обращались прежде всего к Евклиду. Этим объясняется изобилие переводов Евклида в России именно в XVIII в. С другой стороны, люди, даже не имеющие прямого отношения к делу преподавания, видели, что «Начала» Евклида — не учебник. Отсюда пути расходились; в одних странах (Англия) начинали заниматься «приспособлением» Евклида, созданием «школьного» Евклида; в других, — принципиально следуя Евклиду, несколько изменяли его систему (Франция — Лежандр). Однако везде вместе с тем начиналась критика Евклида и делались попытки создания учебника, независимого от Евклида. На последний путь встал, например, французский математик Клеро.1 «Нам казалось, — говорит он, — что потребность измерять земли была причиною происхождения первых предложений геометрии, в доказательство чему служит самое слово геометрия... Желая следовать по пути основателей геометрии, мы прежде всего старались, чтобы начинающие познакомились с правилами, от которых может зависеть измерение земель и расстояний, доступных и недоступных. Отсюда мы переходим к другим исследованиям».
      1 «Элементы геометрии», 1741.
      В генетических построениях Клеро нельзя не видеть влияния французских материалистов. Критическое отношение к системе Евклида видим у французского математика, философа-энцикло-педиста Даламбера (1717 1783), редактора математического
      отдела «Энциклопедии». Он исключает из геометрии аксиомы и постулаты, требует пересмотра многих евклидовых определений, высказывается против евклидовой теории пропорций. На первый план он выставляет вопросы метрической геометрии, рекомендует пользоваться при доказательствах идеен движения. Принципиальным сторонником Евклида во Франции является Лежандр.1 Однако в методе изложения и объёме материала Лежандр расходится с Евклидом. Он отводит большую роль интуиции, свободно пользуется арифметикой, допускает прикладные моменты. В России мы видели оригинальную попытку построения нового учебника геометрии у М. Е. Головина (1786). Однако принципиальная сторона вопроса оказалась не разрешённой. Её обсуждение явилось мотивом первых работ о преподавании геометрии. Они принадлежат академику С. Е. Гурьеву (1764 — 1813).
     
      С. Е. Гурьев
      Биографические сведения о Семёне Емельяновиче Гурьеве скудны; родился он в небогатой дворянской семье. Учился в Артиллерийском, а затем в Морском корпусе. По окончании корпуса молодой офицер был назначен преподавателем навигации и артиллерии в греческий кадетский корпус, основанный для «чужестранных единоверцев». В 1792 г. С. Е. командируется в Англию для изучения гидравлических работ. По возвращении читает лекции по математике и артиллерии офицерам гребного флота. В 1796 г. избран адъюнктом Академии, где развивает кипучую деятельность: его научные доклады и различные выступления, отзывы иа печатные и рукописные сочинения заполняют протоколы академической конференции. В январе 1798 г. С. Е. Гурьев получил звание академика. В этом же году назначен профессором вновь открытого Училища корабельной архитектуры, где читал элементарную математику.
      В 1800 г. Гурьев избирается действительным членом Российской академии, учреждённой в 1783 г., участвует в составлении издаваемого Академией словаря. В 1801 г. по инициативе С. Е. Гурьева при Морском корпусе создаётся комиссия с целью улучшения в нём преподавания математики, в эту комиссию С. Е представляет свой проект системы математического образования.
      В 1809 г С Е Гурьев получил кафедру физико-матема тических наук в Петербургской духовной академии. При открытии Академии он произносит речь «Рассуждение о математике и её
      1 «Элементы геометрии», 1794
      отраслях», из которой можно видеть материалистические взгляды на предмет и происхождение математики. Ученики С. Е., будущие профессора математики в духовных семинариях, глубоко почитают своего учителя и математику предпочитают богословским наукам.
      В 1811 г. С. Е. Гурьев назначается профессором в новом институте корпуса путей сообщения.
      Первая работа, перевод 6-й части «Курса математики» Безу, издана в 1790 г. под заглавием «Навигационные или мореходные исследования».
      В 1796 г. в Академию наук представлена им рукопись «Начала геометрии трансцендентной и исчисления дифференциального, извлечённые из истинной натуры их предметов».
      В 1798 г. выпускается большой труд «Опыт об усовершении элементов геометрии, составляющий первую книгу математических трудов академика Гурьева». Это первая работа в России философско-методического характера.1
      В 1804 — 1807 гг. выходит морской учебный курс, содержащий основания геометрии и основания арифметики.
      В 1811 г. «Основания геометрии» переиздаются в 4 книгах. С. Е. Гурьеву принадлежит также ряд работ по высшей математике, причём он первый на русском языке даёт изложение дифференциальной геометрии и теории двойных интегралов.
      Система математического образования, выработанная С. Е. Гурьевым
      Обратимся к системе математического образования, которая была выработана в комиссии при Морском корпусе (под председательством вице-адмирала П. В. Чичагова). «Проект» системы предложен С. Е. Гурьевым. Вся математическая подготовка делится на три ступени:
      Первая ступень — детская арифметика и геометрия. Отвлечённая математика недоступна детям. С. Е. Гурьев ставит перед педагогами задачу построения первого подготовительного концентра математики, состоящего из начальных правил арифметики и предварительного знакомства с геометрическими образами, основанного на опыте. В этом курсе С. Е. Гурьев рисует основы наглядности и даже лабораторности на уроках математики. Можно без преувеличения сказать, что С. Е. является пионером плодотворной идеи создания пропедевтического курса геометрии, которая в дальней-
      1 Русским математикам XVIII в. ие была чужда философия. Примером может служить «Слово о пользе упражнения в чистых математических рассуждениях» С. Котельникова, 1761. В нём автор говорит, что «существуют три ступени познания вещей: историческая (описательная), философская, исследующая причины вещей, и математическая, завершающая две первые и дающая подлинное и точное доказательство миропорядка. — A. Л.
      шем нашла убеждённых сторонников в лице М. О. Косинского (1871), Борышкевича (1876) и др.
      Вторая ступень — настоящая геометрия и наука исчисления, содержащая основания настоящей арифметики и простой алгебры, с приложением опых к геометрии и присовокуплением плоской и сферической тригонометрии.
      Третья ступень — высшая математика, состоящая из теории уравнений и функций, дифференциального, интегрального и вариационного исчисления и специальных дисциплин (механики, гидродинамики, физики, астрономии, геодезии и др.).
      В систематическом курсе автор проекта первое место отводит геометрии. Он считает, что геометрия конкретно знакомит учащихся с теми фактами, которые потом отвлечённо изучаются в остальных математических пауках. Геометрическая величина, по его мнению, является более общим и широким понятием, чем число, так как несоизмеримые геометрические величины не могут быть точно выражены ни целым ни дробным числом. В лице С. Е. Гурьева педагог преодолел математика: он считал, что геометрия конкретнее, красочнее, интереснее для учащихся, что отвлечённая идея числа психологически является более трудной.
      Философские и методические взгляды С. Е. Гурьева
      Перейдём к анализу философско-методического труда С. Е. Гурьева, который в первой редакции имел название «Опыт о посгановлепии математики на твёрдых основаниях».
      Математику он представлял как «огромное здание непрестанно возвышающееся на слабых основаниях, всегда сокрушался о преклонности к падению сей чрезвычайной громады полезнейших роду человеческому знаний, ибо полагать линии из точек, поверхности из линий и тела из поверхностей составленными, принимать количества бесконечные, почитать кривые линии за совокупление прямых и утверждать бытие количеств, коих величина меньше ничего, всегда мне казалось странным и рассудку противным» («Введение», стр. I).1 Стремление к методике изложения у него всегда стоит на первом плане: он против введения в алгебру и геометрию «понятий, совершенно чуждых сим наукам», каковы движения, время и скорость; он вместе с Далам-бером возражает против распространённого на Западе утверждения, что «строгость и совершенная математическая точность затрудняет и ум обременяет».
      С. Е. Гурьев смело выступает против авторитетов. «Геометрия до времён Кавальери, — говорит он, — всегда сохраняла сущесг-
      1 С. Е. Гурьев является более последовательным философом, чем Лазарь Карно, выпустивший в 1796 г. «Размышление о метафизике исчисления бесконечно-малых».
      венные чей свойства, то-есть точность и ясность; он, издав своё учение о неразделимых, первой начал вводить в неё неосновательные положения». Успех Кавальери он объясняет так: «Поелику ум от того оставался почти без действия, то обрёл себе весьма многих последователей!» («Опыт о усовершении», стр. 5). Надо заметить, что метод Кавальери был распространён в русских учебниках геометрии и, таким образом, С. Е. Гурьев прямо поставил вопрос об их ненаучное™.
      Гурьев хорошо знаком не только с русской, но и с современной ему западноевропейской литературой. Он критически подходит к работам Даламбера и Лежандра. Построение геометрии на базе некоторых знаний из алгебры не может удовлетворить Гурьева, так как «алгебра, рассматриваемая во всей её общности, некоторым образом предполагает геометрию» («Опыт о усовершении», стр. 177). Он возражает против введения арифметической теории пропорций как базы для изучения, считая, что она «как до соизмеримых только величин простирающаяся для геометрии недостаточна». Гурьев обвиняет Лежандра в игнорировании метода пределов, критикует ряд его определений (прямой линии, угла и др.), не удовлетворяется доказательствами некоторых теорем. «Кто читал Евклида, тот не захочет следовать в сем деле и Лежандру», — говорит он («Опыт», стр. 198). «Избранной системой» он считает систему Евклида, но и в неё он вносит ряд исправлений, с этой целью он даёт две специальные главы (глава I о тех предложениях, «в коих утверждается равенство двух величин из трёх родов протяжения» и глава II, излагающая доказательство предложений, «в коих изыскивается пропорциональность двух величин». По правильному замечанию Н. II. Шемянова С. Е. Гурьев является «первым из русских математиков, посягнувшим на многовековый авторитет Евклида».1
      Ещё менее удовлетворяла Гурьева систе.ма Даламбера, хотя он и смыкается с последним в отрицательном отношении к арифметической базе геометрии и в положительной оценке метода пределов и правила наложения. Гурьев вносит поправки в формулировку понятия предела у Даламбера, возражает против измерения углов дугами. Вообще система Даламбера не обладает, по его мнению, необходимой строгостью.
      Он строит свою собственную систему изложения геометрии, которая отличается и от Евклида, и от Лежандра, и от Даламбера. Его курс распадается на 4 части: о сопряжении прямых с прямыми, круга с прямыми, плоскостей с прямыми и плоскостями н, наконец, цилиндра, конуса и шара — с прямыми.
      С. Е. Гурьев поставил ряд серьёзных принципиальных вопросов в деле преподавания геометрии: с чего начинать изучение геометрии — с линий или геометрических тел? Какова должна быть
      1 «У истоков русской методики математики», стр. 14.
      связь между планиметрией и стереометрией? Следует ли отдать предпочтение синтетическому или аналитическому изложению? и др.
      Не со всеми выводами автора можно согласиться: его концепцию начинать систематический курс математики с геометрии нельзя признать правильной; его громоздкая теория пропорциональных величин менее совершенна, чем Евклидова теория. Но дело не в этом. С. Е. Гурьев строит критику «заслуженных» авторитетов с принципиальных позиций. Правильно замечает проф. А. П. Юшкевич, что его «Опыт» является «первым обобщающим трудом такого рода в европейской литературе».1 При посредстве его труда Западная Европа услышала «голос» России и поняла, что в нашей стране зреет смелая творческая мысль, закладывающая основы философии и методики математики. Ценно и то, что С. Е. Гурьев не только рассуждает об основаниях геометрии и методики, но и практически их осуществляет, выпуская свой труд («Основания геометрии»).
      Значение трудов С. Е. Гурьева высоко оценивают некоторые математики, например, Д. Д. Мордухай-Болтовский. Но не все так понимали Гурьева. Поверхностно и пристрастно отнёсся к его трудам проф. В. В. Бобынин, обвинив в излишнем самомнении, в недостаточном знакомстве с Евклидом и Архимедом: он не понял С. Е. Гурьева как педагога-творца, прокладывающего новые пути в новой науке.2
     
      Т. Ф. Осиповский
      Почти одновременно с С. Е. Гурьевым в области философии и методики математики выступает Тимофей Фёдорович Осиповский (1766 — 1832), питомец Петербургской учительской гимназии, откомандированный в это учебное заведение из Владимирской духовной семинарии.
      В 1800 г. он возглавляет кафедру физико-математических дисциплин в учительской гимназии. В 1803 г. получает профессуру во вновь открытом Харьковском университете. С 1813 г. по 1821 г. — ректор этого университета. В 1821 г. он был освобождён и от должности ректора и от профессуры по доносу реакционеров попечителя Харьковского учебного округа мистика Кар-неева и проф. философии Дудровича.
      В начале XIX в., как мы уже говорили, была проведена в России реформа школьной системы. Устав от 5 ноября 1804 г. вводит 3 ступени школьного образования: приходское училище — 1 класс, уездное училище — 2 класса и гимназия — 4 класса. Предусматривается непрерывность программ для всех ступеней. Гимназии открываются во всех губернских городах. В учебном плане гимназий наряду с математикой и опытной физикой вводятся такие предметы, как статистика, политическая экономия, право естественное и народное, эстетика, логика и психология. В преподавании математики «устав» предписывает соединять теорию с практикой, проводить с учениками экскурсии (§ 28), широко использовать наглядные пособия (§ 31). Но эта «весна» продолжается очень короткое время. Александр I «спасает» Европу от революции. Во внутренней политике России начинается аракчеевщина. Министерство народного просвещения объединяется с ведомством духовных дел. Во главе его ставится мистик-реакционер князь Голицын. Над просвещением командуют такие мракобесы, как попечитель Казанского учебного округа М. Л. Магницкий, разгромивший Казанский университет, попечитель Харьковского учебного округа 3. Я. Карнеев, разгромивший Харьковский университет, и попечитель Петербургского учебного округа Д. П. Ру-нич, разрушивший только что открытый Петербургский университет
      В эту эпоху и работал Т. Ф. Осиповский. Ярко выраженный материалист по философским воззрениям, он открыто выступал против кантианства и немецкой идеалистической философии. Исходным пунктом познания он считал опыт, опровергая систему Канта и его учение о пространстве и времени. Осиповский писал: «Пространство и время — условия бытия вещей, в самой природе и в них самих, а не в «нашем только образе существующие».
      В 1801 г. Т. Ф. Осиповский выпустил учебник «Курс математики Тимофея Осиповского, т. II, содержащий геометрию». Автор расходится с С. Е. Гурьевым и в вопросе о значении геометрии и в методах её изложения. В математическом образовании он на первое место выдвигает арифметику, курс геометрии строит, на базе арифметики, использует арифметическую теорию пропорций и т. д.
      Относительно методов построения курса геометрии читаем: «Какой бы предмет в природе узнать не захотели, самый первый приступ к исследованию неминуемо откроет, что он состоит из частей, и что нельзя получить обо всём предмете полного познания, если прежде не получишь полного познания о частях его составляющих. Следовательно, самый первый и самый естественный путь исследования есть путь аналитический, т. е. путь раздробления сложных понятий на понятия простые... Естественно надлежало бы каждое исследование начинать путём аналитическим, употребляя после, для усовершенствования познаний, путь синтетический». Таким образом, автор, в отличие от С. Е. Гурьева, не игнорирует аналитический метод.
      Начальные сведения из геометрии даны в определениях с богатыми объяснениями к ним. Для учебника Т. Осиповского характерны законченность содержания и большая связность изложения.
     
      Н. И. Лобачевский
      Большой вклад в философию и методику математики сделал великий русский учёный Николай Иванович Лобачевский (1793 — 1856). Педагогические взгляды Н. И. Лобачевского изложены в его речи «О важнейших предметах воспитания», произнесённой 5 июня 1823 г. Воспитанию он отводит исключительно большое значение.
      «Все способности ума, все дарования, все отрасли, всё это обделывает воспитание, соглашает в одно стройное целое, н человек, как бы снова родившись, являет творение в совершенстве». Под воспитанием он понимает не только воспитание ума, но и воспитание воли. На пути воспитания человека стоит невежество, поддерживаемое крепостническим строем России. Источником познания он считал природу, внешний мир. Он исходит из идеи неразрывной связи материи и пространства, причём первичным считает материю. «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быгь ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врождённым — не должно верить» («О началах геометрии», сочинения по геометрии, том I, 1946, стр. 186). Материалистическая теория познания, критика основ философии Канта об априорности знаний характеризуют Н. И. Лобачевского как философа.
      Методические взгляды Лобачевского мы находим и в его учёных трудах (в особенности в сочинении «О началах геометрии», 1829) и в его учебнике «Геометрия», рукопись которого в 1823 г. была представлена попечителю Казанского учебного округа Магницкому. Академик Н. Фусс дал об этой работе отрицательный отзыв. Рукопись была напечатана в 1911 г. в качестве приложения к журналу Казанского физико-математического общества.
      В своем труде «О началах геометрии» Н. И. Лобачевский решительно критикует систему изложения Евклида: «Никакая наука не должна бы начинаться с таких тёмных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы геометрию». Его не удовлетворяют и логическая, и гносеологическая стороны изложения. Он указывает на несовершенство многих определений Евклида, на отсутствие у греческого геометра генезиса понятий. Источником геометрических представлении по Лобачевскому является дви-ж е и и е: «В природе мы познаём собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны». Легко по-
      1 Мы не даём сведений о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского, так как литература о нем на русском языке очень богата. Отсылаем читателей к таким книгам, как В. Ф. Каган, Лобачевский, изд. АН СССР, 1944; А. А. Максимов, Очерки по истории борьбы за материализм в русском естествознании, 1947 и др. А. Л.
      знается то, что может быть измерено и сосчитано. Труднее создаются понятия механики.
      Его сочинения не были поняты современниками: на работу «О началах геометрии» в Академии наук дал отрицательный отзыв 31 октября 1832 г. акад. М. В. Остроградский, обратив главное внимание па формальные погрешности и на «малое старание» автора; тем более не понят был акад. Н. Фус-сом учебник геометрии.
      По своей конспективности «Геометрию» Н. И. Лобачевского скорее можно считать методической работой (вся «Геометрия» изложена на 72 стр.). Геометрию он определяет как «часть чистой математики, в которой предписываются способы измерять пространство» (стр. 11). Таким образом, свою геометрию он строит как метрическую геометрию. Изложение не загромождается обилием определений, теорем, следствий, расчленяющих школьный курс геометрии на отдельные куски, иногда очень необстоятельно связанные друг с другом.
      Автор берёг лишь существенное, смело отбрасывая детали, обычно затемняющие изложение. Он стремится дать удобочитаемый текст. Терминология учебника умышленно бедна, автор считает сё излишней в рамках средней школы. Отводится большая роль интуиции. Вообще весь строй учебника — оригинальная реакция на формализацию евклидова изложения. Совершенно очевидно, что II. И. Лобачевский, гигант математической мысли, мог бы составить учебник, безупречный в научном отношении, но реакционные, веяния николаевской эпохи, узкий формализм в преподавании в корне противоречили его убеждениям.
      Методическое наследство, оставленное С. Е. Гурьевым, Т. Ф. Осиповским и Н. И. Лобачевским, предопределило весь дальнейший путь развития школьного курса геометрии. Такого полного и совершенного анализа построения школьной геометрии, основанного на глубоком фундаменте материалистической философии, на критике существующих систем изложения, не было дано в Западной Европе. Дальнейшая задача русских педагогов-математиков XIX в. заключалась в построении учебника для средней школы, который отвечал бы всем поставленным требованиям. В этом направлении работали десятки педагогов, начиная с М. В. Остроградского и кончая проф. Давидовым и Д. П. Киселёвым. Тот факт, что, например учебник геометрии А. П. Киселёва используется школой уже в течение 55 лет, свидетельствует о его достоинствах.
      Новые требования к школьному курсу геометрии ставит теперь советская школа, но о них буде.м говорить во II выпуске нашей работы.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. II. И. Лобачевский, Том первый, сочинения по геометрии, 1946.
      2. А. А. Максимов, Очерки по истории борьбы за материализм в русском естествознании, 1947.
      3. Н. Н. Шсмянов, У истоков русской методики математики. Ученые записки Ярославского государственного педагогического института, вып. V, 1943.
      4. А. П. Юшкевич, Математика и её преподавание в России. «Математика в школе», 1947, № 6.
      5. Его же, Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии русской науки, Труды института истории естествознания, т. I, 1947. ф
      6. В. В. Бобыини, Элементарная геометрия и её деятели во второй половине XVIII в. Журнал МНП, 1907, XI.
      7. В. Ф. Karaи, Лобачевский. Изд. Академии наук СССР, 1944,
      8. А. В. Ланков, Н. И. Лобачевский в элементарной геометрии. Учёные записки Пермского государственного педагогического института, вып. 3, 1938.
      9. В. М. Нагаева, Педагогические идеи и деятельность Н. И. Лобачевского, 1949; рукопись кандидатской диссертации.
     
      МЕТОДИКА ГЕОМЕТРИИ В XIX ВЕКЕ
     
      Геометрия в первой половине XIX в.
      В «Малых народных училищах» геометрия не преподавалась. Для «Главных народных училищ» была написана удачная книжка по геометрии — «Краткое руководство» М. Е. Головина.
      XIX век вновь поставил проблему учебника геометрии в связи с реформами школьной системы.
      В уездных училищах по уставу 1804 г. преподавались «начальные правила геометрии», но учебник для этого курса не был издан. По уставу 1828 г. геометрия в уездных училищах преподавалась один год (в третьем классе) «без доказательств» и только до стереометрии. В 1830 г. было издано «Руководство к геометрии для уездных училищ», составленное Ф. И. Буссе. По учебнику Буссе курс геометрии имеет в значительной степени теоретический характер, хотя многие теоремы и не доказываются. Учебник составлен под влиянием Дистервсга, имя которого упоминается в предисловии. Рекомендуется наведение учащихся на вывод, который по существу подсказывается учителем. Книга Буссе определила состояние геометрии в народных школах до 50 годов. Мрачная николаевская эпоха не способствовала пробуждению методической мысли. В журналах того времена помещена лишь одна статья, посвящённая этому вопросу.1 Статья ре комендуст начинать курс геометрии с изучения тел, в результате этих занятий вырабатываются отчётливые представления о формах, необходимых для изучения геометрии.
      1 «Педагогический журнал», 1833. Перевод введения к книге Д и с т е р-вега Raumlehre (описания куба, призм, цилиндра, пирамид, конуса и шара).
      В статье подчёркивается, что геометрия древних неспособна быть пищей для детского ума.
      Вопрос о геометрии, однако, не снимался с обсуждения. До Крымской войны вышло несколько учебников: Литтрова, Фуасси, Ламе-Флсри и др.1 Эти переводные учебники были настолько неудовлетворительны, что не могли даже вытеснить слабого руководства Ф. И. Буссе.
      Надо заметить, что затруднения в методику начального обучения геометрии внесены Г. Песталоцци и его немецкими последователями. «Средства для наглядного обучения отношению мер: 1) прямая линия и 2) квадрат», — говорит Песталоцци. В качестве основного пособия он даёт три таблицы, содержащие эти фигуры и их элементы в самых разнообразных сочетаниях. Например, па первой таблице приведены 10 горизонтальных линий разной длины, начиная от 1 и кончая 10. Песталоцци рекомендует установить следующие наглядные истины: первая линия короче второй, вторая линия длиннее первой, но короче третьей н т. д. Далее, первая линия не разделена, вторая линия точкой разделена на две равные части и т. д. Всего ученики должны усвоить 376 «истин» относительно горизонтальных линий и столько же относительно вертикальных линий.2 В общем первая тетрадь «Азбуки наглядности» Пссгалоцци заключает более 1000 «истин», предлагаемых для усвоения. «Наглядность» Г. Песталоцци в отношении форм — своеобразный аналог «метода изучения чисел» Грубе, на связь которого с Песталоцци мы уже указывали.
      Идеи своего великого предшественника развил Гербарт. Уже в 1802 г он, будучи поклонником швейцарского педагога, заявлял, что «у Песталоцци не было системы», что многое следовало бы изложить иначе.3 По Гербарту «простые точки сами по себе ничто»... прямая линия хотя и важна для измерения, но формы здесь ещё нет; «истинными элементами всякой фигуры являются треугольники». Теоретические построения Гсрбарта (на практике он их не проводил) с треугольниками обременяют память ученика, «требуя от него почти невозможного». Чтобы пройти всё по его системе, «требуется терпение осуждённого на это каторжника», сознаётся П. Трейтлейн.4
      Метод Песталоцци «углубляет» его ученик Иосиф Шмид. По словам В. Гарниша, преподавание по системе И. Шмида «было
      1 Литтров, Геометрия для народных школ и для подготовления желающих заниматься впоследствии геометрией Евклида, 1843.
      Фуасси, Геометрия и землемерие для первоначального обучения народных школ и сельских жителей, 1842.
      Ламе-Флсри, Краткая геометрия для детей, 1847.
      2 Автор «Методики арифметики» Д. Марты н о в подсчитал, что по методу Грубе в пределах 100 ученик должен заучить 25 500 выводов, стр. IV V.
      3 «Идея Песталоцци относительно азбуки наглядности», 1802,
      4 Методика геометрии, ч. I. 1915, стр. 51.
      противное занятие с комбинациями линий, ненужное напряжение сил, без пользы, без цели, без связи с наукою или жизнью».1
      В 20-х годах В. Гарниш рекомендует начинать геометрию с изучения тел. Дистервег излагает свой «развивающий» метод, заключающийся в постановке вопросов и задач; в нём он также исходит из пространства и тела, но категорически отрицает графические упражнения, относя их к элементам искусства.
      Расцвет немецкой идеалистической философии в корне пресёк развитие методики геометрии. На почве этой философии вырос аристократический новогуманизм, который задержал развитие школьной математики почти до конца столетия. Даже в 1887 г., по свидетельству Шельбаха, «непризнанные и презираемые по невежеству и высокомерию, математика и естественные науки влачат в гимназиях до сих пор жалкое существование».2
     
      Русская методика геометрии в 60 — 70-х годах XIX в.
      Методика начальной геометрии в России начинает оформляться в эпоху школьных «реформ». В связи с появлением новых типов учебных заведений (двухклассные училища МНП, городские училища по положению 1872 г.) возникает вопрос о про.-граммах геометрии в школах этого типа и об учебниках.
      Одновременно дебатируется вопрос о введении пропедевтического курса геометрии в среднюю школу.
      В 1867 г. выпускает «наглядную геометрию» М. О. Косинский, сослуживец К. Д. Ушинского по Смольному институту.3 «Очень полезно, — говорит автор, — приучать ум к размышлению не только о наглядных предметах, но также о понятиях и представлениях отвлечённых, но .. .нельзя давать их в пишу для ума, ещё совершенно неподготовленного к размышлению. В высшей степени важно сгладить Переход от наглядного к отвлечённому, сделать его постепенным, начать с рассуждений, основанных на внешних чувствах, и только мало-помалу присоединять к ним рассуждения, заставляющие работать способности внутренние». В этих положениях явно звучи г голос творца русской педагогики К. Д. Ушинского. «Наглядная геометрия» М. Косинского начинает изложение «с протяжений о трёх измерениях» и на их изучении вырабатывает главнейшие понятия геометрии.
      В шестидесятые годы под влиянием подъёма общественной мысли начинается интенсивная педагогическая работа. Возникают журналы: «Воспитание» Чумикова, «Учитель» Паульсона п Весселя, «Русский педагогический вестник» Вышнеградского. В «Морском сборнике» появляется знаменитая статья Пирогова «Вопросы жизни». Реорганизация армии поручается новому восн-
      1 Цитируем по книге Т рейтлейна, стр. 56 — 57.
      2 О будущности математики.
      3 Барон М. О. Косинский из Смольного института перешёл на должность директора Новгородской земской учительской школы.
      ному министру, просвещённому деятелю эпохи, графу Д. А. Милютину. Особый комитет работает над преобразованием военноучебных заведений, учреждаются общеобразовательные военные гимназии, в которых преподавание согласуется «с современными требованиями педагогики». Все лучшие силы привлекаются к работе в новых школах. На пост начальника военно-учебных заведений приглашается энергичный попечитель Московского учебного округа генерал Н. В. Исаков.
      В 1864 г. начинает выходить журнал «Педагогический сборник», к руководству которым привлекается крупный педагог Н. X. Вессель. Появляются новые учреждения: «Педагогический музей военно-учебных заведений в Соляном городке в Петербурге», Педагогические курсы при второй Петербургской военной гимназии, Учительская семинария военного ведомства в Москве. Лучшие педагоги переходят в военное ведомство (А. И. Гольденберг — в Москве, А. II. Острогорский — в Петербурге и др.). По словам Д. И. Тихомирова, «В «Милютпнское время» Главное управление военно-учебных заведений «служило центром всего педагогического движения»1 и военное министерство нередко называли «Ведомством народного просвещения».
      Академик М. В. Остроградский и проф. Блюм в I860 г. в статье «О преподавании точных наук» выставляют ряд требований, которым должно удовлетворять преподавание математики. Школьная математика, по мнению авторов, 1) должна соответствовать прогрессу науки, 2) соответствовать детскому возрасту и 3) подготовлять учащихся к практической деятельности.2
      П. К- Генлер в журнале «Учитель» проводит разделение курса геометрии на ступени. «Геометрию следует начинать с сравнительного рассмотрения наглядных преподавательских средств, а н е с отвлечённых понятий, как то до спх пор делалось, когда начинали с точек, линий, площадей».3 Но автор предупреждает, что нельзя переходить из одной крайности в другую: «от сухих отвлечённостей бросились на одни формы и на бесплодный перечень названий».
      Изготовление чертежей и моделей должно сопровождаться соответствующими обобщениями и выводами, иначе геометрия не только не будет способствовать умственному развитию, но подобное преподавание приведёт «к поверхностному, неверному и неполному пониманию оснований науки».4
      1 Д. И. Тихомиров — педагог по призванию, «Педагогический листок», 1906, кн. V.
      2 Е. Ф. Сабинин, Математический сборник, т. XXII, стр. 524.
      3 П. К. Гейл ер, Геометрия как необходимое образовательное средство в каждом мужском и женском учебном заведении, жури. «Учитель», 1864.
      _ 4 По вопросу о первой ступени курса геометрии интересные соображения даёт В. А. Ев туш ев с кий в статье «Из пропедевтики геометрии», «Педагогический сборник», 1866, т. VII.
      А. Н. Острогорский
      Первым большим трудом по методике геометрии является книга А. Н. Острогорского «Материалы по методике геометрии», печатавшаяся в приложении к «Педагогическому сборнику» за 1883 г. и в следующем году вышедшая отдельным изданием.
      Алексей Николаевич Острогорский родился в 1840 г. Первоначальное образование получил во 2-м кадетском корпусе .в Петербурге, который окончил в 1858 г. фельдфебелем с производством в офицеры в Финляндский полк. По окончании корпуса был зачислен в Михайловскую артиллерийскую академию, окончил её в 1861 г. с званием «отличнейшего». Поступил на должность репетитора физики в свой родной 2-й корпус. Эпоха преобразования военно-учебных заведений застала его в должности воспитателя 2-й военной гимназии. В 1872 г. он назначается на должность инспектора классов Петербургской военной гимназии, а в 1877 г. получает пост директора учительской семинарии военного ведомства. В семинарии он преподаёт геометрию и методику геометрии.
      В 1882 г. А. Н. Острогорский назначается редактором «Педагогического сборника», в этой должности работает до 1910 г. В 1906 г. производится в генералы от инфантерии. В 1907 г. праздновался 25-летний юбилей редакторской деятельности А II. Острогорского. Общественность Петербурга высоко оценила личность юбиляра. Получено было много приветствий. «Вы звали вперёд своих читателей, — говорится в одном из них, — Вы вливали в них новые мысли, Вы, наконец, поддерживали их в минуты уныния и тоски, нападавшие на них под влиянием тяжёлой жизненной обстановки».
      Автор называет свой труд «Материалами»,1 так как не считает «себя достаточно подготовленным, чтобы составить методику геометрии».
      1 А. Н. Острогорский, Материалы по методике геометрии в связи с изучением учебников. Учебное пособие для начинающих преподавателей, СПБ 1884, стр. 175.
      Приводим его содержание: «Общие замечания о геометрических определениях. Определения прямой, угла, фигуры и т. д. Аксиомы. Происхождение и дидактическое значение их. Арифметические аксиомы. Геометрические аксиомы. Теорема, состав её. Взаимная зависимость теорем. Значение обратных теорем. Образование обратных теорем. Доказательство теоремы. Убеждение учеников в необходимости доказывать теоремы. Доказательство с логической стороны. Чертёж. Вспомогательные линии. Прямые и косвенные доказательства. Способ наложения. Способ пропорциональности. Способ пределов. Алгебраические выкладки при доказательстве теоремы. Запись доказательства. Аналитический и синтетический методы. Проработка теоремы в классе».
      Знакомство с «Материалами» показывает, что книга содержит теоретические основы методики геометрии и в этом смысле аналогична «Руководству» В. А. Латышева, относящемуся к арифметике. Всё изложение автор ведёт на фоне критического анализа учебников (Волков, Воронов, Вулих, Гурьев С., Давидов, Дистер-вег, Дюгамель, Евклид, Егоров и Малинин, Кравченко, Латышев, Леве, Лежандр, Мазинг, Мерчинский, Остроградский, Поляков, Пржевальский, Руше, Симашко, Соннс, Фальке), что особенно ценно.
      В основаниях науки автор далёк от влияния немецкой идеалистической философии. Останавливаясь на образовании понятий, он замечает, «что понятие идёт за наблюдением, что оно имеет в основании своём мир реальный, существующий» (стр. 8). Точно так же «аксиомы не составляют умственного материала, прирождённого душе человеческой» (стр. 27).
      А. Н. Острогорский обстоятельно останавливается на логической стороне: понятия и их образование, определения, аксиомы и теоремы и т. д. Решение вопросов в большинстве случаев правильное с современной точки зрения. Остановимся на определении прямой. Автор практически рассматривает следующие определения (стр. 13): «Прямая есть кратчайшая из всех, проведённых между двумя точками (Сонне, § 4; Лежандр). Прямою называется линия, идущая неизменно в одном направлении (Фальке, стр. 105). Прямою называется линия, положение которой вполне определяется двумя своими точками (Пржевальский, Остроградский). Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек (Евклид, кн. 1). Прямая линия есть такая линия, каждая часть которой, будучи перемещена на другую часть прямой, сливается с нею вполне, если две крайние точки её совместились с точками другой части её (программа, составленная обществом для улучшения преподавания геометрии)».
      После разбора автор делает вывод: «Понятие о прямой служит основанием для всего дальнейшего; само же оно не имеет перед собою ничего более простого, что могло бы служить основанием для её определения» (стр. 17). Ещё раньше автор указы-
      вал, что «Понятие прямой принадлежит к основным, не допускающим никакого определения» (стр. 13), и некоторые учебники встали на эту точку зрения (Вулих, Давидов, Мазинг и др.).
      Говоря о понятии «угол», автор приводит 7 определений (стр. 17 — 20) и подвергает их критическому анализу.
      Внимательно исследуется вопрос о классификации геометрических понятий.
      Приняв обычное для того времени определение аксиомы: «аксиомами называются истины, не требующие доказательства» (стр. 27), автор после разбора приходит к правильному выводу: «Мы признаём ггстину- аксиомою совершенно условно». О системе аксиом и требованиях, которым она должна удовлетворять, автор, конечно, ничего не говорит: в то время этот вопрос не представлялся ещё научно обоснованным.
      Многие тонкие вопросы, на которых нередко не акцентируют внимание не только преподаватели, но и авторы учебников, например, вопрос о геометрическом равенстве, разбираются в книге.
      В главе о теоремах автор даёт много ценных научных и методических сведений (вопрос о значении обратных теорем, о значении силлогизма — в связи с развитием естественных наук и др.). Со всей ответственностью можно сказать, что методика доказательства теорем изложена автором с исчерпывающей полнотой, много внимания уделяется и вопросам повторения.
      Некоторые вопросы, актуальные в наше вре.мя, не получили освещения (о параллельности, об измерении величин, о симметрии, о геометрических преобразованиях, о задачах и др.), но надо принять во внимание, что организация «Материалов» относится к 70-м годам, когда в геометрической науке мы ещё не имели многого, что имеется в настоящее время.
      Для своего времени груд А. Н. Острогорского — большое событие в России. В Западной Европе в это время и даже в самом конце XIX в. «в геометрии всё ещё господствует кантовоиое понимание пространства».1 Пицкер в 1893 г. делает новую попытку философски и математически обосновать кантовскую априорность и абсолютную истину евклидовой геометрии. Л. Кутюра в 1905 г. заявляет, что наша обыкновенная геометрия основывается единственно и исключительно на принципах и основных понятиях логики. М. Симон, вообще очень щедрый на библиографию, в своих 29 примечаниях не мог привести в немецкой литературе ни одного труда, относящегося к методике геометрии.
     
      Подготовительный курс геометрии
      «Материалы» А. Н. Острогорского относятся к методике так называемого систематического курса геометрии, который естественно является второй ступенью курса геометрии. Автор
      1 М. Симон, Дидактика и методика элементарной математики.
      определённо ставит вопрос, что «подготовкою к работе над отвлечённым материалом должна служить пропедевтика, т. е. она должна привести ученика к тому, чтобы он, исходя от наблюдения тел, граней, рёбер, пришел к отвлечённому представлению поверхностей, линий, точек и т. д.» (стр. 9), и эта работа методически освещена и продвинута в России во второй половине XIX в. с большой полнотой.
      В России создано большое количество учебников, определяющих этот курс, серия которых начата «Наглядной геометрией» М. О. Косинского. К ним относятся: Фан-дер-Флит, Вулих, Волков, Борышкевич, Шохор-Троцкий, Астряб и др.1 Необходимость такого рода учебников вызывается потребностями в них различных типов школ: двухклассные училища МНП; городские училища по положению 1872 г. (в XX в. преобразованные в высшие начальные училища), шТзшие технические училища, торговые школы и пр.
      По вопросам обоснования программ и методики преподавания пропедевтического (начального) курса геометрии большая работа проделана В. А. Латышевым.
      В. А. Латышев строит два типа начального курса: элементарный и элементарно-теоретический. Первый он относит к двухклассным училищам МНП, второй — к городским училищам. Программа курса геометрии для двухклассных училищ была выработана Петербургским учебным округом при ближайшем участии В. А. Латышева в 1890 г. и обсуждена на собраниях учителей. Автор считает его «Курсом практического характера». Содержание курса определяется тем фактом, что двухклассные училища открываются в сельских местностях и, следовательно, они должны удовлетворять потребностям крестьянского населения.
      В основу курса он положил «Сведения о практических применениях геометрии, преимущественно к измерению поверхностей, объёмов и к съёмке планов».2
      Большое место он отводит приёмам геометрических построений, построениям с помощью циркуля и линейки. В целях образовательного значения курса он предъявляет к нему требования законченности и равномерности в частях. В практическом курсе «можно давать и так называемые наглядные доказательства». Рассуждение возможно в том случае, «когда оно не представляет затруднений для учащихся». Автор особенно возражает против «поверхностных и неправильных доказательств». Занятия геометрией соединяются с черчением. Рекомендуется применение астролябии, эккера, мензулы. В целях подготовки учителей к проведению такого курса в учительских семинариях были введены практические занятия по измерениям на земле.
      Для городских училищ В. А. Латышев строит элементарнотеоретический курс.1
      «Наша умственная работа, — говорит он, — опирается главным образом на три элемента: наблюдение, обобщение и умозаключение. Первое представляет главнейший и основной источник наших знаний, второе — основной источник обработки приобретённых знаний (образование понятий)... третье... расширяет область познания и изменяет его приёмы». В городских училищах «должен преподаваться теоретический курс» в виду особого значения геометрии для развития дедуктивного мышления. «Рассмотрение форм должно предшествовать занятиям геометрией и составлять содержание приготовительного курса геометрии». Автор считает приготовительный курс для городских училищ неизбежным (на него отводится первый год занятий). Автор считает невозможным в течение оставшихся трёх лет изложить учащимся всё содержание предмета. Представляется два пути: пройти кратко весь курс или подробно планиметрию. В. А. Латышев считает, что на первом месте должен стоять пе объём курса, а тщательное изучение научного материала. Из стереометрии он берёт только то, что касается выражения поверхностей и объёмов (без доказательств). Автор за научную строгость доказательств, но он против доказательства тех положений, которые понятны ученикам без доказательства, он также против поверхностных, неправильных доказательств. Методические построения автора в сущности исходили из действующей программы и не требовали их коренной ломки. Надо заметить, что окончившие городские училища, поступив затем в различные средние технические училища, без особых затруднений овладевали геометрией. Методические концепции В. А. Латышева отличались реальностью и научностью, он был убеждён, что исключительно наглядное прохождение геометрии теряет образовательную ценность.
      Много интересных взглядов на преподавание геометрии автор высказывает в своей работе, помещённой в «Педагогическом сборнике»2 в статье о преподавании математики в женских
      1 В. А. Латышев, Геометрия в городских училищах, «Русская шкапа» 1893, № 3 и 4.
      2 Его же, О преподавании геометрии. «Педагогический сборник», 1877, № 12.
      гимназиях1 и в своей специальной работе по методике геометрии.2
      Вопрос о построении законченного сокращённого курса геометрии для ряда учебных заведений с пониженным сроком обучения был удачно решён русской методикой геометрии.
      Сложнее обстояло дело с пропедевтическим курсом геометрии в общеобразовательных средних учебных заведениях. Этим вопросом интенсивно занималась методика геометрии, но к его разрешению подошла лишь в первом приближении.
      На рубеже XX в. вопрос был разрешён положительно в кадетских корпусах, некоторых коммерческих и реальных училищах и в частных гимназиях.
      Во второй половине XIX в. была создана богатая учебная литература по геометрии для средних учебных заведений.3
      Из учебников геометрии заслуженным успехом пользовалась «Элементарная геометрия в объёме гимназического курса» А. Давидова (1-е изд. вышло в 1866 г., 30-е изд. — в 1910 г.).
      Август Юльевич Давидов (1823 — 1885) родился в г. Либаве, сначала учился дома, затем посещал старшие классы института для обер-офицерских детей. Высшее физико-математическое образование получил в Московском университете, окончив его с золотой медалью в 1845 г. В 1850 г. А. Ю. начинает чтение лекций в Московском университете и в 1853 г. назначается экстраординарным профессором. В I860 г. он принимает пост инспектора частных учебных заведений г. Москвы и, таким образом, становится в центре интересов преподавания математики в средней школе. Автор популярных учебников по всем разделам математики, один нз учредителей Московского математического общества.4
      Среди учебников А. 10. Давидова по научности и методике изложения первое место занимает «Элементарная геометрия». Несмотря на истекшие 85 лет со дня выхода этой книги, по логической строгости, содержанию и стилю она весьма близка к современным нам учебникам. 14 глав учебника содержат материал программ нашего времени, даже с некоторыми дополнениями: гармоническое деление, поляры, теория правильных многогранников, понятие о конических сечениях, сферический треугольник. Теоретический курс сопровождается приложениями геометрии к жизни. Автор знакомит учащихся с астролябией, съёмкой плана. В связи с теорией дано около 600 хорошо подобранных задач.
      Учебники А. 10. Давидова, несомненно, оказали большое влияние на преподавание математики в нашей средней школе.
     
      НЕКОТОРЫЕ НАИБОЛЕЕ ТИПИЧНЫЕ УЧЕБНИКИ XIX в.
      1. Ф. И. Буссе, Руководство к геометрии для уездных училищ, 1830.
      2. М. В. О ст р о г р а д с к и и, Руководство начальной геометрии для тю-еино-учебных заведений, курс II кл., 1855. курс III кл., 1857, курс V кл., 1860.
      3. А. Д а в и д о в, Элементарная геометрия, 1863.
      4. М. О. Косинский, Наглядная геометрия, 1871.
      5. А. Малинин и К. В у р е н и и, Курс начальной геометрии и собрание геометрических задач для уездных училищ, 1873.
      6. И х же, Руководство наглядной геометрии, 1875.
      7. А. М а л н н и и, Геометрия, 1885.
      8. 3. Вулих, Краткий курс геометрии (для городских училищ), изд. 10, 1885.
      9. И. Александров, Методы решения геометрических задач на построение, 1885.
      10. А. Малннин и Ф. В го ров, Руководство геометрии, изд. 2, 1886.
      11. К. М а з и и г. Геометрия, 1886.
      12. А. Богородицкий, Геометрия для городских училищ, 1891.
      13. А. П. Киселев, Элементарная геометрия, 1893.
      14. А. Н. Глаголев, Элементарная геометрия, 1895 и др.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. А. II. О с т р о г о р с к и й, Материалы по методике геометрии, пособие для начинающих преподавателей, 1884, стр. 173 (печатались в качестве приложения к «Педагогическому сборнику» в 1883 г.).
      2. В. IA. Латышев, Записки по методике геометрии, литографир. издание, 1878.
      3. В. А. Л а т ы hi е в, О преподавании геометрии, «Педагогический сборник», 1877, As 12.
     
      МЕТОДИКА6®4 АЛГЕБРЫ В XIX ВЕКЕ
      I
      Факторы, задерживавшие развитие методики алгебры
      области преподавания арифметики Россия в XIX в. создала свою передовую методическую школу, далеко опередив в этом смысле западноевропейскую школу. По геометрии во второй половине века определились значительные сдвиги, были намечены линии большой прогрессивной работы и заложены основы методики. Алгебра как дисциплина более абстрактная оказалась в сильной зависимости от формально-схоластических тенденций, которые господствовали в органах министерства народного просвещения, являясь отражением реакционной политики царского правительства.
      Программы курса алгебры в первой половине XIX в. поражают своей громоздкостью.
      В Морском корпусе после деления дробей идет «разложение дробей в строки» и т. п.). Действия над корнями содержат такие упражнения: «извлечение квадратного корня из многочлена», «извлечение корня кубичного и высшей степени из многочлена», «разложение несоизмеримых корней в строки»
      — «извлечение квадратного корня из бинома Затем проходятся действия над мнимыми количествами ( ). После логарифмов помещены «непрерывные или цепные дроби», которыми заканчивается первая часть алгебры. Уравнения (первой степени, квадратные и высших степеней) отнесены ко второй части. Кубичные уравнения решаются тремя способами: по формуле Кардана, по делителям последнего члена и по приближению. Во второй же части проходятся арифметическая н геометрическая прогрессии.
      Таким образом, первая часть алгебры, носящая исключительно формальный характер, целиком отводится «Задачам алгебраического языка».1 Почти такой же материал содержит и программа гимназий.
      Рукопись «Алгебра Н. И. Лобачевского», представленная в сентябре 1825 г. физико-математическим отделением Казанского университета попечителю учебного округа «для введения оной в употребление в гимназиях», содержит в «счёт непрерывных дробей» (гл. VIH), и «неопределённые уравнения» (гл. X «значение неизвестного в целых числах»), и «степени и корни воображаемые» (гл. XII), н «логарифмы» (гл. XIV).
      «Начальная алгебра» А. Давидова, первое издание которой вышло в 1866 г., содержала следующие статьи, большая часть которых исключена из программ гимназий лишь в 1890 г.: разложение иррационального квадратного корня в непрерывную дробь, извлечение кубического корпя нз алгебраических выражений; распространение бинома Ньютона на показатели отрицательные и дробные, уравнения 3-й и 4-й степеней, неопределённые уравнения со многими неизвестными, неопределенные уравнения 2-й степени, некоторые предложения о числах и рядах, логарифмические строки, разложение в ряды по способу неопределённых коэффициентов.
      Учёный комитет, составлявшийся всегда из наиболее реакционных представителей педагогического мира, стремился насаждать тяжеловесность формул, трудность изложения, искусственность приёмов, нежизненность задач. Тщательно изгонялись из программ приложения математики к жизни. Целью алгебры ставятся «способы, посредством которых можно одно алгебраическое выражение преобразовать в другое, тождественное ему». Алгебра совершенно игнорирует функции, даже уравнения попадают в положение каких-то рудиментарных органов. Пышным цветом расцветают такие задачи: «В училище больше 100 и меньше 200 учеников; если их рассадить по стольку человек на каждой скамье, сколько единиц во втором члене геометрической прогрессии, состоящей из 6 членов, из которых сумма первых трёх 35, а сумма последних трёх 280, то на одной из скамеек сядет только 5 учеников; если же па каждую скамью посадить число учеников, равное корню уравнения , то на одной из скамеек сядет только т учеников, причём т удовлетворяет условию Ат - 12. Сколько учеников в училище? (В. Ипатов, № 459).
      Эти формалистические тенденции шли в Россию из Западной Европы: прототипом наших учебников алгебры был учебник алгебры француза Бертрана,1 застой и рутина в алгебре отчасти объясняются п тем обстоятельством, что эта дисциплина не была связана с народной школой, которая всегда .питалась более передовыми методическими идеями, так как имела более демократический состав преподавателей, получивший притом подготовку в педагогических учебных заведениях, в стенах которых, как мы видели, создавалась новая методика. Не случайно, конечно, вопрос о пропедевтическом курсе алгебры поставлен на очередь лишь в советский период.2
     
      Учебное пособие по алгебре Н. И. Лобачевского
      Великий русский геометр с успехом преподавал математику в гимназии и, кроме учебника геометрии, создал учебное руко-! водство по алгебре, характеризующее его, как глубокого педагога-новатора.
      В 1825 г. Н. И. Лобачевский представил в Казанский университет рукопись «Алгебра», которая, согласно предисловию, предназначалась в качестве учебника алгебры для гимназий.3 Рукопись не была напечатана, так как автор изменил намерение, решив увеличить её объём и дать книгу, которая «будет служить руководством для учителей и учебной книгой для слушателей в университете». В этом виде она и вышла в свет в 1834 г. под заглавием «Алгебра или вычисление конечных». Рукопись учебника «Алгебры» состоит из 14 глав, в книге — 17 глав; первые 13 глав книги содержат материал рукописи.
      «Предисловие» к рукописи, а также «Наставления учителям математики в гимназиях» 4 излагают взгляды автора на содержание, построение и методы преподавания курса алгебры.
      «В постепенном развитии понятий и в уменье не допускать, чтобы одно изучение на память общих правил и механическое исчисление заменяли суждение, заключается искусство преподавания и успех его», — говорит Н. И. Лобачевский в «Наставлении». Эти замечательные мысли для первой четверти XIX в. были откровением. Работа над формированием математических понятий является н в настоящее время одним из труднейших вопросов методики.
     
      Материалистическая основа его педагогических концепций
      Алгебра Иосифа Бертрана, франц. изд. 1850 г., русский перевод, 1885.
      отчётливо вскрывается в «Наставлении»: «Математическим паукам, — говорит он, — служат те первые понятия, которые мы получаем в природе прямо чувствами; даже первые наши суждения о предметах, составляющих эти понятия, заключаются более в чувствах по навыку, нежели в действии ума».
      Проблема образования понятий особенно остро стоит в алгебре, отличающейся от всех других математических предметов исключительной абстрактностью.
      Как же Н. И. Лобачевский разрешает этот вопрос в своём учебнике?
      В «Предисловии» автор замечает, что «Новая книга начал математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много». Однако читателю довольно слегка пробежать мою «Алгебру», чтоб открыть в ней большое различие со всеми, изданными до сих пор».
      В учебнике II. И. Лобачевский отражает опыт своей работы в Казанской гимназии: «Два года читается алгебра в Казанской гимназии под моим руководством, — продолжает он, — и в последнее время я имел всю причину восхищаться успехами детей. Видел, что они твёрды в правилах, понимая всё, совершенно уверенные в своих знаниях».
      Первые семь глав «Алгебры» отличаются от современных ей учебников (не только русских, но и западно-европейских) систематическим изложением правил основных арифметических операций, вводимых, формально. Это шаг к аксиоматическому курсу алгебры. 8-я глава излагает непрерывные дроби; в последующих главах даны уравнения и логарифмы. Таким образом, «Алгебра» Н. И. Лобачевского является «опытом» построения научного учебника. Без введения пропедевтического курса алгебры такой учебник вряд ли был посилен для учеников гимназий и успехи Н. И. Лобачевского в преподавании скорее всего объясняются его высокими личными преподавательскими качествами.
      В «Обзоре сочинения «Алгебра или вычисление конечных» редактор тома покойный Н. Г. Чеботарёв справедливо замечает: «Лобачевский первый опубликовал в России курс высшей алгебры; книга его очень оригинальна и в своё время, несомненно, являлась выдающимся событием в математической литературе».1
     
      А. Н. Страннолюбский
      В первой половине XIX в. вопросы методики алгебры не ставились. Движение за реформу программ и методов преподавания алгебры началось в 60-е годы в связи с общим подъёмом общественного самосознания. Наметились следующие вехи в работе:
      1) установление цели преподавания алгебры, содержания курса школьной алгебры и требований к учебникам; 2) обсуждение методов перехода от арифметики к алгебре; 3) включение в курс алгебры понятия функции и 4) оздоровление алгебраических задачников.
      Новое направление в преподавании алгебры стремится создать петербургский педагог — преподаватель Морского кадетского корпуса.
      Александр Николаевич Страннолюбский родился в 1839 г. на Камчатке, где его отец был начальником области.
      Образование получил в Петербургском Морском корпусе и затем в его офицерских классах (впоследствии Николаевская морская академия). С 1867 г. по 1894 г. преподавал математику в Морском училище.
      А. Н. был одним из передовых и образованных педагогов своего времени. С конца 60-х годов он примкнул к движению, направленному на улучшение женского образования, участвовал в составлении плана высших педагогических женских курсов и в течение ряда лет состоял их преподавателем.
      В качестве домашнего учителя давал уроки математики С. В. Ковалевской.
      В 1868 г. он выпустил книгу «Курс алгебры», основанный на постепенном обобщении арифметических задач (дидактические указания для преподавателей начальной алгебры), 134 стр. Мысли, которые проводит в ней А. Н. Страннолюбский, знаменуют новую эпоху в преподавании алгебры, создают направление, до которого ещё не дошла западноевропейская школа. Это первая методика алгебры в России. Печатая эту книгу журнал «Учитель» снабдил её характерным предисловием: «Помещаем в «Учителе» этот курс алгебры по глубокому нашему убеждению, что принятый в общеобразовательных заведениях способ преподавания её и геометрии есть одно из величайших безобразий теперешней системы обучения».
      Обобщение задач, по Странполюбскому, проходит через три ступени.
      Первая ступень — «Задачи, тождественные по условиям, роду данных и вопросу, но отличающиеся одни от других численною величиною данных. Рассмотрение таких задач приводит к первому обобщению, результатом которого являются общие решения, выражаемые буквами с каким-нибудь наименованием» (стр. 8).
      Вторая ступень — «Задачи, различные между собою условиями и родом данных, но одинаковые по численной величине и притом такие, что поставленный в конце их вопрос и содержащиеся в них условия приводят для отыскания неизвестного к одной и той же совокупности действий над одинаковыми отвлечёнными числами».
      Третья ступень — «Задачи, различные по условиям, роду и величине данных, но приводящиеся к одной и Той же совокупности действий над данными».
      Автор располагает материал последовательно, по урокам:
      1) запись решения произвольными значками с наименованиями;
      2) замена произвольных значков буквами; 3) сложение; 4) вычитание; 5) употребление скобок; 6) значение коэффициента; 7) понятие о многочленах; 8 — 9) подобие одночленов; 10) сложение многочленов и т. д.
      «Положительные и отрицательные величины» автор вводит в процессе решения уравнений 1-й степени и задач на составление этих уравнений. Он протестует против догматического изложения теории относительных чисел и указывает, что отрицательным и положительным числам нет правильного истолкования вне обобщений (стр. 112). Действия над относительными числами он объясняет конкретно-индуктивным методом, широко применяя движение. Правило умножения, например, он вырабатывает на такой задаче: «Паровоз, идущий равномерно со скоростью V вёрст в час, проходит мимо станции В ровно в полдень. На каком расстоянии будет этот паровоз от другой станции А, отстоящей от В на а вёрст». Рассматриваются 4 случая (стр. 130). Этот метод, подробно разработанный через 40 лет после А. Н. Страннолюб-ского, широко применяется в наше время.
      Название книги А. Н. Страннолюбского говорит о том, что автор арифметические задачи ставит в качестве исходного момента при изложении всего отдела тождественных преобразований. Из задач он стремится получить все формулы алгебры (до алгебраических дробей включительно). Эта попытка, неосуществлённая и в наши дни, несомненно заслуживает особого внимания. Начало алгебры подавляет учащихся своей абстрактностью. Арифметика и геометрия заставляют учащихся жить в мире конкретных представлений. Алгебра переводит их в какой-то новый мир с и м в о л о в, за которыми первое время учащиеся не видят никакого конкретного содержания. Обычное изложение раздела тождественных преобразований представляет разительный пример психологически неоправданного формализма, который исчезает лишь в тот момент, когда изложение подходит к решению задач с помощью составления уравнений.
      Плодотворная идея А. Н. Страннолюбского не нашла последователей. Причины нужно искать в её новизне, в том, может быть, что автор сам неудачно её изложил, не довёл до надлежащей ясности.1 Можно сказать без всякого преувеличения, что этой .концепции принадлежит будущее, что только с её помощью можно преодолеть формализм, особенно характерный в изложении алгебры.
      Большой заслугой А. Н. Страннолюбского является новый подход к изложению учения об относительных числах. До него действия над относительными числами или излагались догматически, или правила действий выводились примитивно на операциях с имуществом (+) и долгом ( — ), или, при выводе правила умножения, пользовались обобщённым определением.1
      А. II. Страннолюбский вводит конкретно-индуктивный метод, связывая изложение с вопросом о движении точки по прямой.
      Идеи передового педагога оказались слишком новыми и не привились на практике. Дальнейшее развитие они получили лишь в XX в.
     
      В. А. Евтушевский
      Вопрос об упрощении курса алгебры, о создании пропедевтического курса алгебры волновал передовых педагогов средней школы.
      Одновременно с А. Н. Страниолюбским этим вопросом занимается В. А. Евтушевский, первая работа которого публикуется также в 1868 г.2
      Василин Андрианович Евтушевский (1836 — 1888) окончил Петербургский университет. В течение ряда лет стоял во главе преподавания математики в военных учебных заведениях. Много труда положил на устройство педагогического музея военно-учебных заведений в Петербурге.
      Был учредителем многих педагогических учреждений: главный деятель на Аларчинских женских курсах, из которых потом развились Высшие женские курсы; один из основателей Андреевских курсов для подготовки учителей народных школ; активный член Петербургского педагогического общества и с 1879 г. — его председатель; инспектор учебной части совета детских приютов.
      С конца 60-х годов читал систематические лекции для учителей. Блестящая эрудиция В. А. привлекала всегда многочисленную аудиторию. С 1877 г. по 1882 г. — один из редакторов журнала «Народная школа».
      Талантливый популяризатор метода Грубе, внесший в него свои коррективы.
      «Сборник арифметических задач» Евтушевского выдержал более 30 изданий — свыше миллиона экземпляров. Свои взгляды на преподавание начальной алгебры В. А. Евтушевский подробно излагает в специальном методическом труде.3 Курс, который строят авторы, делится на две части. Первая часть ставит задачу введения «алгебраического языка»; переход к буквенным обозна-
      1 Lacroix. Начальные основания алгебры, пер. с франц., 1822, «Умножить а на Ь есть то же, что составить из количества, изображённого через а, некоторое другое количество точно так, как количество, представленное через Ь, составлено из единицы», стр. 44. Подобное определение применял И. Ньютон в «Универсальной арифметике».
      2 «Пропедевтика алгебры», «Педагогический сборник», 1868, июль.
      3 В. Евтушевский и А. Глазырип, Методика приготовительного курса из алгебры, 1876.
      чениям от числовых формул задач, обобщение решения задач с элементарными тождественными преобразованиями.
      Вторая часть отводится уравнениям. Понятие уравнения авторы также связывают с понятием задачи. «Уравнение есть равенство, выражающее содержание задачи», — говорят они. Для пропедевтического курса подобная трактовка уравнения является методически целесообразной. На первых шагах алгебры нельзя допускать, чтобы уравнения существовали отдельно от задач. Отделение уравнения от задачи поведёт к формалистическому построению курса.
      Авторы делают попытку элементарной классификации задач, приводящих к составлению простейших уравнений, доступных для учащихся на этой ступени. Связь упражнений на усвоение «алгебраического языка» с задачами приводит их к мысли о педагогической ценности решения задач с буквенными данными. .
      Работы В. А. Евтушевского постигла та же участь, что и работы А. М. Страннолюбского. Они не соответствовали официальному направлению преподавания. «Учёные комитеты насадили у нас культ другой учёности, тяжеловесной и замысловатой, стремящейся к полноте изложения, к блеску искусственных приёмов», говорит А. Н. Шапошников.1
      Свежие и оригинальные идеи передовых педагогов шли в разрез с формалистическими тенденциями преподавания, не были освящены европейскими авторитетами и потому двери казённой школы для них были закрыты.
     
      П. Л. Чебышев
      Имя Пафнутня Львовича Чебышева (1821 — 1894) как создателя русской школы теории чисел, как великого русского математика мирового значения хорошо известно во всех культурных странах. Он не работал в средней школе, не создавал учебников, однако его значение в методике элементарной математики было исключительно велико.
      «Основы математической методики», 1930, стр. 13.
      С 1856 г. в течение 17 лет П. .Л. Чебышев состоял членом учёного комитета министерства народного просвещения, представляя в нём наиболее прогрессивную, научную, свежую педагогическую мысль, независимую от реакционной политики правительства. Через учёный комитет проходили рукописи всех учебников, предназначавшихся для школы. В качестве рецензента П. Л. Чебышев просмотрел более 200 учебников.
      Его отзывы были исключительно содержательны и строги.
      О требованиях, предъявляемых П. Л. к учебнику, можно судить по проекту объявления о конкурсе на учебники, которое было им составлено по поручению учёного комитета:
      «При изложении означенных руководств, — говорит ОН, — должно быть обращено особое внимание на ясность и определительность выражений, на устранение таких оборотов речи, при которых является возможность различного понимания смысла. Все объяснения должны быть вполне строги (разрядка наша. — А. Л.), без излишних подробностей и с крайне осмотрительным употреблением слов: «очевидно», «само по себе», «понятно» и т. п., которые нередко употребляются авторами там, где доказательства представляют особые затруднения».1
      В своём объяснении на жалобу П. А. Полякова, учебник которого был отклонён, П. Л. писал: «Если что-либо не может быть строго доказано, необходимо это прямо сказать ученикам, а не вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство».
      Борьба за создание доброкачественного, независимого от иностранных влияний учебника по математике — главная заслуга П. Л. Чебышева. Им были одобрены такие учебники, как «Руководство алгебры» Малинина и Буренина, «Начальная алгебра» Пржевальского, пользовавшиеся в своё время заслуженной известностью.
      В 1858 г. П. Л. Чебышев составил проект программы по математике для гимназий. Он предполагал ввести в курс гимназий
      1 Цитируем по ст. В. Е. Прудиикоп а, Педагогическое наследие П. Л. Чебышева, «Математика в школе», 1948, Л» 6.
      основы аналитической и начертательной геометрии и некоторые разделы математического анализа. После 6-летнего обсуждения победило «классическое направление», в результате чего курс математики в гимназиях остался в прежнем сокращённом объёме.
      В 1&57 г. П. Д. Чебышев составил программы с методическими указаниями для уездных училищ. В методических указаниях он особое внимание отводит доказательной форме изложения математики и обращает внимание на роль задач при изучении теории.
     
      В. П. Ермаков
      Плодотворная идея включения функциональной зависимости в изложение алгебры начала обсуждаться лишь в 90-х годах. Обычные определения школьной алгебры и формулировка её задач были далеки от идеи функциональной зависимости. «Наука, занимающаяся составлением общих решений различных задач и вообще решением вопросов относительно чисел в общем виде», называется алгеброй (Малинин и Буренин «Руководство», 1875).-
      В «Начальной алгебре» А. Давидова (1866) читаем: «Алгебра учит рассуждать о величинах, при этом она изображает их буквами и обозначает особыми знаками зависимости между ними». В «Элементарной алгебре» А. Киселёва (1888) находим: «Алгебра прежде всего указывает способы, посредством которых одно алгебраическое выражение может быть преобразовано в другое, тождественное ему».
      Чуткий педагог и глубокий математик, киевский профессор В. П. Ермаков подходит к определению алгебры в сущности так же, но лишь конкретизирует его. Решив одну и ту же арифметическую задачу двумя способами, он делает вывод: «Ряд одних действий над какими бы то ни было числами может быть заменён рядом других действий над теми же числами» (разрядка автрра) и далее продолжает: «Алгебра даёт правила для замены одних действий рядом других действий над теми же числам и».1
      Брошюра В. П. Ермакова (2 печ. листа) — третья методическая работа о преподавании алгебры в России. Вопрос о цели автор ставит узко, в этом отношении его взгляды ничем не отличаются от направления популярных учебников. Но во многом другом В. П. Ермаков резко расходится с господствующими взглядами представителей формалистической школы. Отмечая большую неуспеваемость по алгебре, он категорически протестует против утверждения, «что алгебра есть символическая наука, доступная только избранным натурам». Причиной неуспеваемости он считает «плохое преподавание». Только оно, по его мнению, «служит единственною причиною деления учеников на способных и неспособных к математике».
      Прежде всего автор делает «несколько замечаний о преподавании вообще». Эти замечания интересны и характеризуют
      В. П. Ермакова, профессора-математика, представителя абстрактной науки, как глубокого педагога. «Педагогическая литература, — говорит он, — основана на чистом умозрении без участия опыта и наблюдения... Необходимы наблюдения над детьми в семье и школе». Мысль для начала 90-х годов звучит смело. К. Д. Ушинского реакция в это мрачное время считала сданным в архив.
      Далее: «При правильной постановке учебного дела не должно быть неуспевающих учеников». Развивая этот тезис, автор идёт в разрез с реакционным направлением науки того времени. «Не доказано, — говорит он, — чтобы дети рождались с различными способностями... Если же в школьном возрасте мы замечаем у детей различные способности, то нельзя ли подобное явление объяснить неизвестными нам причинами, оказывающими своё влияние на детей уже после появления их на свет?» Дело психолога дать ответ на этот вопрос, но если дети действительно рождаются с различными способностями, то «священный долг педагога состоит в том, чтобы исправить природные недостатки». Не менее резко В. П. Ермаков нападает и на математический формализм и логизм. «На математическую науку до сих пор смотрят, как на своеобразную символическую науку, имеющую свой особый язык, особую логику и особую грамматику... Такое мнение ложно», — утверждает он. «В настоящее время, математика в высшем своём развитии удалилась от практических потребностей жизни и прикладных наук» (подчёркнуто нами. — А. Л.).
      Указав некоторые- отрицательные стороны математики, перед которыми он не считает нужным преклоняться, автор делает дидактический вывод: «Теория должна быть доведена до минимума, учебники должны быть кратки» (разрядка автора).
      «Я противник тяжеловесных немецких учебник о в», — говорит он. «Дав другие определения и условия, мы можем получить многие отделы математики в новой форме, отличной от теперешней... Необходимо теорию алгебры довести до возможной краткости и простоты».
      Принципиальные установки В. П. Ермакова настолько новы, что и в наше время над ними следует серьёзно задуматься. А в реакционные 90-е годы это был гром при ясном небе.
      Работа была замечена прогрессивной педагогической мыслью.
      Отклик на неё даёт С. И. Шохор-Троцкий.1 «Назидательным, — говорит он, — кажется нам тот факт, что В. П. Ермаков, столь счастливо соединивший в себе звание профессора с правом на признание за ним крупных учёных заслуг, не только не относится сколько-нибудь презрительно к педагогике и методике преподавания, но даже некоторым образом берёт эти дисциплины под своё покровительство».
      С. И. Шохор-Троцкий, не соглашаясь с некоторыми частными вопросами построения методики, отмечает «способность автора смело смотреть правде в глаза», его «искренность и нелицеприятность в вопросах математического образования».
      Переходим к методическим тезисам В. П. Ермакова. «Математика, — говорит автор, — состоит из положений, условий, определений и задач. Положение или теорема есть неизменная истина в науке. Условие есть то, что зависит от нашего произвола» (стр. 18).
      В основу алгебры автор кладёт 18 положений, 2 условия и 7 определений. Условия устанавливают порядок действий. Определения относятся к следующим понятиям: член, многочлен, вычитание, отрицательное число и др. Дальше идут положения: 1) переместительный закон суммы; 2) результат сложения и вычитания нескольких чисел не изменится, если переставим числа вместе с их знаками; 3) последовательное вычитание нескольких чисел можно заменить вычитанием их суммы и т. д.
      Правила действий с относительными числами он «выводит», распространяя правила арифметики на отрицательные двучлены и многочлены. Например, . Отсюда . Выясняет реальное значение отрицательных чисел и делает вывод, что положительные и отрицательные числа суть абстракции положительных и отрицательных величин.
      На этом, к сожалению, кончаются методические соображения В. П Ермакова.
     
      В. П. Шереметевский
      С именем московского педагога В. П. Шереметевского связывается новый этап в развитии методики алгебры.
      В 1893 г. с рефератом на тему о реформе преподавания математики выступает в Петербурге Сердобинский,2 поставивший тезис о необходимости включения идеи функциональной зависимости в элементарную математику.
      В 1895 г. этот вопрос приобретает уже общественный интерес: ему уделяет внимание журнал «Русская мысль», являющийся «ежемесячным литературно-политическим изданием», рассчитанным на широкий круг читателей. В журнале помещается статья, обосновывающая необходимость реформы.1
      Выступление автора статьи было не случайным и не звучало как мнение прогрессивного педагога-одиночки. Как видно из примечаний 27 и 29 к статье, вопрос о реформе возник ещё в 1892 г. в Московском обществе распространения технических знаний, где произошли оживлённые прения в связи с предложением «произвести в курсе математики нашей средней школы целый ряд сокращений с целью очистить его «от веками накопившегося мёртвого груза». Обсуждение закончилось принятием постановления «о дополнении среднеучебного курса» элементами высшей математики, «причём сообщён был и набросок программ».
      Так началось движение за реформу преподавания математики в России.
      В своей статье В. П. Шереметевский заявляет: «Какое бы мировоззрение ни лежало в основе наших отношений к природе, сущность процесса мировой жизни выразится основным понятием — изм е и ен и я (разрядка автора)... Если вся математика есть в сущности учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости». Эти мысли почти в тех же выражениях высказывает через 9 лет немецкий математик Ф. Клейн на конференции в Бреславле в 1904 г. в своём докладе «О преподавании математики и физики».2
      В 1898 г. появляется большая работа В. П. Щереметевского, в которой автор конкретизирует вопросы реформы.3 Из примечаний на странице 2 работы можно видеть, что выступление в «Русской мысли» принадлежит тому же автору. «Так как понятие о функции, — говорит он, — несмотря на его первенствующее значение, до сих пор не получило общепризнанного права гражданства в области элементарной математики, то приходится прежде всего позаботиться о выяснении его» (стр. 9).
      Автор определяет математику как учение о функции (стр. 11) и приводит многочисленные примеры выяснения явлений природы с помощью учения о функциях.
      Выделение «высшей» математики он считает случайным, обусловленным лишь преходящими традициями. «Лишь отрывочность», исключительная отсталость средне-учебного курса математики породили эту своеобразную терминологию; мы не встре-
      1 В. П. Шерский, Математика как наука и её школьные суррогаты, «Русская мысль», 1895, май, стр. 105 — 125.
      2 См. нашу статью «Ф. Клейи и В. Шереметевский», журнал «Математика в школе», 1949, № 6.
      3 В. П. Шереметевский, Очерк основных понятий, приёмов и метода математики как основы изучения природы, «Сборник статей в помощь самообразованию по математике, физике, химии и астрономии», вып. I, 1898.
      чаем её в других предметах... Ни в одном предмете средней школы учащийся не остаётся в такой мере отчуждённым от существенного содержания главного нерва науки, как в математике» (стр. 3).
      Таким образом, инициатором движения за реформу преподавания математики, в частност и, алгебры, на функциональной основе является Россия и имя В. П. Шереметевского и его работы составляют одну из замечательных страниц методики алгебры.1
      Идеи В. П. Шереметевского претворяются в жизнь в трудах К. П. Лебединцева и других педагогов начала XX в.
      Новые течения в методике алгебры
      Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны быть включены: идея переменной величины, понятие функции, изучение процесса изменения простейших функций и графический метод изображения функциональной зависимости.
      Учебная литература XIX в. (Давидов, Пржевальский, Шапошников, Киселёв — до 23-го издания и др.) не признавала этих идей. Учебники держались формального изложения курса.
      В XX в. появляются учебники нового типа, стремящиеся восполнить основной недостаток преподавания алгебры. К ним относятся книги Лебединцева, Глаголева и Левитуса.2
      1 В. П. Шереметевский умер в 1919 г. Редактор второго издания его «Очерков по истории математики» проф. А. П. Юшкевич в предисловии пишет: «Особенно хочется отметить, что В. П. Шереметевский, жизнь и дарование посвятивший пропаганде математических знаний в душных условиях царской России (о нём и сейчас с тёплой благодарностью вспоминают бывшие его ученики и ученицы, слушатели и слушательницы), прекрасно понимал, какое значение для прогресса математики имеет общественная среда. Максимальный и обеспеченный расцвет математики он мыслил себе лишь в обществе, в котором она будет соединена прочными связями с необъятными и неиссякаемыми источниками народного духа, в котором, как писал он, заканчивая очерк, тесный круг «образованного общества» превратится в широкую область «образованного парода». В. П. Шереметевский в математической литературе оставил большой след как автор переработки «Элементов высшей математики» Г. Лоренца. — A. Л.
      2 К. Ф. Лебедиицев, Курс алгебры для средних учебных заведений, ч. 1, 1909, ч. II, Киев 1910.
      Его же. Концентрическое руководство алгебры, чч. I и II, 1914.
      Его же, Основы алгебры для высших начальных училищ и торговых школ, 1911.
      Его же. Систематический сборник задач по курсу алгебры, чч. I и II, 1910.
      А. Н. Глаголев, Элементарная алгебра и сборник упражнений и задач, М. 1911.
      Д. М. Левитус, Курс элементарной алгебры для среди учеби. завед., чч. I и II, 1911 — 1912.
      К- Ф. Лебединцев (1878 — 1925) по окончании Киевского университета в 1900 г. работал преподавателем математики в Киевских учебных заведениях и на высших женских курсах Л. В. Жекулиной.
      В годы реакции, после подавления первой революции 1905 г.,
      К. Ф. привлекается к суду по обвинению в том, что на педагогических советах и в заседаниях педагогического общества требовал амнистии ученикам, принимавшим участие в политической забастовке. Генерал-губернатор Сухомлинов и попечитель учебного округа Зилов принуждают К- Ф. Лебединцева прекратить работу в Киеве.
      С 1909 г. по 1916 г. К. Ф. преподаёт в одном из лучших частных учебных заведений г. Москвы — гимназии Е. А. Кирпичниковой.
      В 1916 г. либеральный министр граф Игнатьев назначает К- Ф- Лебединцева окружным инспектором Петроградского учебного округа и включает в работу по реформе средней школы.
      В 1917 г. Лебединцев избирается председателем педагогического совета частной женской гимназии нового типа М. X. Свен-тицкон в Москве. После Великой Октябрьской социалистической революции он привлекается консультантом при отделе реформы школы Наркомпроса.
      В 1919 г. К- Ф. Лебединцев возвращается в Киев, читает курс математики на украинских педагогических курсах и затем с 1921 г. — в Киевском институте народного образования. Одновременно он принимает активное участие в работе Наркомпроса Украины и в губернском отделе народного образования. Им составлены первый учебный план единой трудовой школы для Украины и первая программа по математике для 7-летней школы.
      Учебники алгебры К. Ф. Лебединцева получили признание не только в России, но и за границей (переведены на польский и немецкий языки). Работа над ними продолжалась более 10 лет. Путём кропотливой и тщательной переработки автор добивался их усовершенствования.
      В книгах К. Ф Лебединцева параллельно развиваются понятие о числе и понятие о функциональной зависимости. Глава «Функции первого порядка и их наглядное изображение» поме-
      шается сразу же после уравнений и неравенств первой степени. За квадратными уравнениями идут «Функции второго порядка и их наглядное изображение». Автор стремится от абстрактнодедуктивного изложения перейти к конкретно-индуктивному методу (действия над относительными числами). Наряду с этим даётся логически обоснованная теория иррациональных чисел. Формальное учение о логарифмах излагается на основе исследования показательной и логарифмической функций.
      Методические интересы К. Ф. Лебединцева не ограничивались вопросами алгебры. Ему принадлежит ряд книг по другим вопросам.1
      Своеобразен и «Сборник задач» К. Ф. Лебединцева. В нём меньше искусственных задач, отсутствуют громоздкие упражнения и задачи. Элементы исследования вводятся сразу же при решении задач с помощью составления уравнений 1-й степени.
      «Элементарная алгебра» А. Н. Глаголева — объёмистый труд, около 800 страниц. Функциональная зависимость представлена подробно. Статья «Графики изменения алгебраических функций» предваряется подробным изложением элементов аналитической геометрии, учение об иррациональных числах дано по Дедекинду (А. П. Киселёв в 23-м изд. также приводит теорию Дедекинда — в приложении). Книга А. Н. Глаголева по изложению труднее курса алгебры К. Ф. Лебединцева.
      Д. М. Левитус в своём «Курсе элементарной алгебры» даёт концентрическое расположение материала. Изложение популярное и менее строгое, чем у предыдущих авторов. В первом приближении к вопросу автор даст иногда те или иные предложения совсем без доказательств; в других случаях доказательства заменяет разъяснениями и разбором примеров. При изложении учения об относительных числах геометрические интерпретации не применяются. Основные вопросы, связанные с выяснением понятия функциональной зависимости, излагаются в пяти главах, элементов аналитической геометрии не даётся.
      Эти книги новы и оригинальны, содержат много свежего материала. К «реформистам» нередко предъявляется обвинение в разрушении строгости и даже научности изложения. В этом смысле все три автора стоят значительно выше своего французского собрата Э. Бореля.2
      В 1916 г. вышла методическая работа Лексина.3
      1) «Метод обучения математике в старой и новой школе», 1914.
      2) «Развитие числовых представлений у ребёнка в ран Нем детстве», 1923.
      3) Введение в современную методику математики», 1925 и др. Биография К- Ф. Лебединцева напечатана в сб. «Математика
      в школе» Ленинградского Губоно, вып. 1 (V), 1926, автором её является проф. А. М. А с т р я б.
      2 Элементарная математика, «Алгебра», перев. под ред. В. Ф. Кагана, изд. Матезис, 1911.
      3 Н. Г. Л е к с и и, Методика алгебры. Методические указания и примерные уроки по наглядно-лабораторному методу, Казань 1916, стр. 343.
      Труд М. Г. Лексина остался незамеченным, так как вышел небольшим тиражом в провинции, накануне резкого перелома всего школьного строя. В основном он отражает господствующие тенденции последнего периода, но идёт несколько дальше новых учебников. В нём широко представлены геометрические интерпретации, уделяется много снимания функциональной зависимости, графикам. Принципиально новым является «нагляднолабораторное изучение некоторых алгебраических вопросов». В изложении первых глав алгебры автор идёт по стопам
      А. Н. Страннолюбского и В. А. Евтушевского, хотя, судя по «списку пособий», книга последнего Н. Г. Лексииу не была известна. Исходным моментом построения урока он считает задачу и на обобщении арифметических задач проводит изложение начальных глав. Отрицательной особенностью книги является расплывчатость и многословность изложения.
      Автор — большой противник некритического заимствования иностранных идей: «Индивидуальные качества русского народа, — говорит он, — привитием германских и вообще западноевропейских идей не уничтожаются, а только засариваются, покрываются пришлой чужеземной паутиной» (стр. 68). Он верит, чго «природные качества русского народа разорвут и сбросят с себя эту закрывающую их паутину и предстанут во всём своём блеске и величии».
      Мечты Н. Г. Лексина очень быстро начали претворяться в действительность. В Советской стране народ и педагоги строят новую школу, какой не видел мир.
     
      Создание учебников алгебры
      Вторая половина XIX в. характеризуется интенсивной работой по созданию учебников алгебры. В эгот период создаются все наиболее популярные учебники: Г. Сомов «Начальная алгебра», 1860, А. Давидов «Начальная алгебра», 1866, Е. Пржевальский «Начальная алгебра», 1867; Ф. Бычков «Сборник примеров и задач», 1868, А. Малинин и К. Буренин «Руководство алгебры», 1875 и др.
      В 60 — 80-е годы наибольшей популярностью пользуется «Начальная алгебра» Давидова, один из наиболее полных учебников (в изд. 15, 1906 г. он пересмотрен и значительно сокращён
      В. Ф. Найдёновым). «Преемником» книги Давидова является «Элементарная алгебра» А. П. Киселева, первое издание которой вышло в 1888 г. До Великой Октябрьской социалистической революции вышло 30 изданий книги Киселёва и в советский период — более 25 изданий. Общий тираж превышает 7 миллионов.
      Учебник А. П. Киселёва по простоте и общедоступности изложения более соответствовал программам гимназий 1890 г., что и позволило ему вытеснить из средней школы книгу Давидова.
      Уже в 5-м издании автору пришлось сделать дополнения; ввести неравенства 2-й степени, нахождение наибольшего и наименьшего значения трёхчлена
      2-й степени. Особенно существенные изменения внесены в 23-е издание — под влиянием новых идей, развитых в работах Лебединцева, Глаголева и других авторов (дано новое изложение главы об отрицательных и положительных числах на основе индуктивного метода, понятие о несоизмеримых числах трактуется независимо от понятия предела, введено понятие функции и т. д.
      Андрей Петрович Киселёв (1852 — 1940) является одним из популярнейших авторов учебников. Все его учебники пере-А- П. Киселёв. шли в советский период.
      По окончании Петербургского университета в 1875 г. он преподавал математику в Воронежском и Харьковском реальных училищах до 1901 г. (в Харькове был лишь 2 года); затем вышел в отставку и всецело отдался литературной деятельности.
      В 1884 г. вышла его «Арифметика», в 1888 г. — «Алгебра», в 1892 г. — «Геометрия». Все эти книги печатались в миллионах экземпляров, издавались за границей.
      В годы революции А. И. Киселёв преподавал математику в военных школах. В 1933 г. Советское правительство наградило \ его орденом Трудового Красного Знамени. «Я счастлив, что дожил до дней, когда математика стала достоянием широчайших масс», — говорил А. П. перед своей смертью.1
      Для преподавателей вышла «Элементарная алгебра» Н. Н. Ма-ракуева, ч. I, 1887, и ч. II, 1888 — один из наиболее полных и разработанных курсов, служивший «справочной книгой» в течение многих лет.
      Задачник Н. А. Шапошникова и Н. К- Вальцова вышел в 1887 г. под названием «Методический сборник алгебраических задач». До 1917 г. он выдержал 24 издания и в советский период — 28 изданий.
      Были случаи составления учебников по иностранным образЦам. Директор Петербургского реального училища II. Билибин выпустил «Алгебру», использовав в качестве образца учебники Бертрана, Тодгентера и Комбетта (3-е издание, 1899 г.). Учёный комитет отметил её премией Петра I, но книга не пошла дальше 3-го издания. Вообще иностранная учебная литература была полностью вытеснена. Редкие издания иностранных учебников («Алгебра» Бертрана, 1885) почти не окупали себя.
      В работу над учебниками широко включаются рядовые педагоги: А. Всребрюсов (Харьков 1889), П. Матковский (Киев 1890), В. Соколов (Остров 1892), К. Торопов (Пермь 1900), Д. Хмыров (Орёл 1891), Г. Юревич (Юрьев 1896), Б. Чиханов (Люблин 1899) и многие другие.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. Н. И. Лобачевский, Том четвёртый, сочинения по алгебре, 1948.
      2. А. Н. Страинолюбский, Курс алгебры, основанный на постепенном обобщении арифметических задач (дидактические указания для преподавателей начальной алгебры), 1868, стр. 134.
      3. В. П. Ермаков, О преподавании алгебры, 1892.
      4. Его же, Статьи п журнале «Педагогический сборник»; ненужные упражнения в алгебре, 1894. Педагогические ошибки в алгебре, 1893. В чем сущность алгебры, 1896.
      5. В. П. Шереметевский, Математика как наука и се школьные суррогаты. «Русская мысль», 1895, май.
      6. Его же, Очерк основных понятий, приёмов и метода математики как основа изучения природы, «Сборник статей в помощь самообразованию по математике, физике, химии и астрономии», вып. I, 1898.
      7. В. А. Евтушевский, Пропедевтика алгебры, «Педагогический сборник», 1868.
      8. В. А. Евтушевский и А. Глазырин, Методика приготовительного курса алгебры, 1876.
      9. А. Н. Барсуков, Уравнения первой степени в средней школе, 2-е изд. 1949, приведена богатая библиография.
      10. Н. Г. Лексин, Методика алгебры. Казань, 1916.
      11. Е. Г. Гаркави, Учебники алгебры русской школы в XIX в., рукопись кандидатской диссертации, Москва, 1944.
      12. Л. Н. Грацианская, Русская методика алгебры в XIX в., рукопись кандидатской диссертации, Москва, 1944.
      13. Н. Д. Беспамятных. Научное и методическое значение алгебраических работ Н. И. Лобачевского, 1949; рукопись кандидатской диссертации (АПН).
     
      РАЗВИТИЕ МЕТОДИКИ ТРИГОНОМЕТРИИ
      Первые работы по тригонометрии ригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной .математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи ее относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К- Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.)- Европейские математики достигли высокой степени совершенства в вычислении таблиц натуральных синусов и тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).
      Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductio in analysis infinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов — соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял за единицу. Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функции с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщённую формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех европейских учебниках математики (тупые углы не имеют функций и т. п.).1
      1 А. П. Юшкевич в своей работе «Математика и её преподавание в России XVIII — XIX вв.», журнал «Математика в школе», 1947, № 4, стр. 27, приводит краткий обзор учебника А. Депарсье (1741), крайне примитивного по научности изложения.
      Сочинение Л. Эйлера в дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии. Одно из первых руководств, «Сокращённая математика» С. Румовского (1760), отдел «Начальные основания плоской тригонометрии», начинает изложение следующим образом: «Тригонометрия плоская есть знание через Арифметические выкладки сыскивать треугольники, которые геометрия черченьем находит». Всё изложение сводится к решению треугольников (самые простые случаи), вычисления проводятся весьма сложным путём, учение о функциях отсутствует.
      Почти также изложен и учебник В. Никитина и П. Суворова.1
      Вполне научное изложение тригонометрии даёт акад. М. Е. Головин в своём учебнике «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами», 1789. В этой книге можно найти все важнейшие формулы тригонометрии почти в том виде, в каком принято излагать их в XIX в. (за исключением обратных тригонометрических функций). Автор не нашёл нужным загромождать изложение введением секанса и косеканса, так как эти функции в редких случаях применяются на практике.
      В 1804 г. выходит учебник Н. Фусса.2 Книга предназначена для гимназий. «Плоская тригонометрия, — говорит автор, — есть наука, имеющая предметом из трёх данных и числами изображённых частей прямолинейного треугольника определять три прочие его части». Учебник состоит из 4 равных частей. Общие понятия, решение треугольников, приложение тригонометрии к практической геометрии и геодезии и, наконец, теорема сложения. Учебник Н. Фусса отмежёвывается от сферической тригонометрии.
      Шаг вперёд делает акад. М. В. Остроградский в 1851 г. В своём конспекте по тригонометрии для руководства в военноучебных заведениях он выступает как сторонник определения тригонометрических функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в прямоугольном треугольнике с последующим обобщением их определения и распространением его на углы любой величины. Так возникает идея пропедевтического курса тригонометрии.
     
      Тригонометрия в гимназиях
      Формальное направление в преподавании математики, укоренившееся в гимназиях при Николае I, не оказало заметного влияния на содержание курса тригонометрии. Программы 1804 г. самим названием предмета «Математика чистая и прикладная и опытная физика» подчёркивали направление преподавания. Перед тригонометрией ставилась определённая цель — решение треугольников.
      1 «Тригонометрия, две книги», 1787.
      2 «Начальные основания плоской тригонометрии.
      Ярким и последовательным противником формальной школы является М. В. Остроградский. Его авторитет в этом вопросе оказал большое влияние и на последующие годы.
      В 1852 г. был издан для гимназий учебник Фр. Симашко,1 определявший с предельной ясностью содержание курса. «Предмет тригонометрии, — говорит он, — состоит в решении треугольников». Тригонометрические величины он выводит из прямоугольного треугольника, выбраоывает секанс и косеканс. Эта книга в течение десятков лет была учебником в гимназиях. Её 2-е издание, вышедшее в 1857 г., в определение предмета тригонометрии добавляет слово «преимущественно», но содержания почти не изменяет.
      Реакционные реформы графа Д. Толстого отражаются и на изложении тригонометрии. 3-е издание учебника Фр. Симашко появляется в 1886 г., в момент расцвета «толстовской» школы. В предисловии автор пишет: «В настоящее время программы всех учебных заведений, не исключая кадетских корпусов, требуют рассмотрения тригонометрических величин из круга; согласно этим программам (разрядка наша А. Л.), я переделал заново теоретическую часть науки.
      В ноябре 1886 г. специальная комиссия преподавателей средних школ при педагогическом музее военно-учебных заведений обсуждает вопрос о преподавании тригонометрии.2
      А. Н. Страннолюбский выступает с докладом «Об учебнике тригонометрии Ф. И. Симашко».3 Докладчик даёт очерк главных направлений в учебной литературе по тригонометрии. Он отмечает три направления: 1. Цель тригонометрии — решение треугольников; в литературе это направление представлено учебником Ф. И. Симашко в I-м и 2-м изданиях. 2. Цель тригонометрии — теория круговых функций вообще, применяемая к решению треугольников; лидером этого направления является
      Н. Шапошников.4 3. Направление, среднее между двумя первыми, стремящееся объединить их; представителем его является тригонометрия Фр. Симашко в 3-м изд. (1886).
      На XIV собрании той же комиссии, состоявшемся 11 декабря 1886 г., проведена была «беседа о преподавании тригонометрии».
      А. Н. Страннолюбский резюмировал прения следующим образом:
      1. В курсе тригонометрии необходимо изучать теорию круговых функций с применением её к решению треугольников; ни в коем случае не ограничивать курса решением треугольников.
      2. Приложения тригонометрии к решению геодезических задач не считать необходимым».
      1 «Тригонометрия» Фр. Симашко, 1852.
      2 Протокол XIII собрания, «Педагогический сборник», 1887, февраль, стр. 17 — 20.
      3 «Тригонометрия» Фр. Симашко, 3-е изд., переделанное заново, 1886.
      4 1-е изд. «Тригонометрии» Н. Шапошникова пышло в 1880 г., 2-е изд. — в 1886 г.
      Первый пункт этого постановления является прогрессивным. Он обосновывает решение треугольников необходимой теорией. Второй пункт, наоборот, изгоняет приложения тригонометрии к вопросам жизненной практики.
      Министерство народного просвещения быстро откликнулось на это постановление. В 1892 г. оно предлагает в 7-классной гимназии исключить измерение линий и углов на земной поверхности и приложения тригонометрии к измерениям на местности. В реальных училищах исключаются графические способы решения треугольников и вычисления с помощью таблиц натуральных тригонометрических величин.
      Таким образом, в 80 — 90-х годах тригонометрия вступила на путь формального изложения, оторванного от жизни и практики. Это изложение характеризуется следующими особенностями:
      1. Отсутствие пропедевтического курса.
      2. Определение тригонометрических функций как отношений «тригонометрических линий» к радиусу.
      3. Недостаточное использование понятия функциональной зависимости и, в частности, изучение изменений тригонометрических функций в отрыве от графиков.
      4. Отсутствие приложений тригонометрии к решению задач на местности.
      5. Неудовлетворительное развитие теорий функций.
      Работа над учебниками во второй половине XIX в.
      Типичным формалистическим учебником курса тригонометрии, воплотившим в себе все отмеченные выше недостатки изложения предмета, является книга Н. Рыбкина.1
      На протяжении второй половины XIX в. были попытки постановки отдельных методических вопросов в учебниках тригонометрии.
      Так, например, Серре излагает вопрос об обратных тригонометрических функциях параллельно с изложением тригонометрических функций и, таким образом, устраняет разрыв между ними. В остальном, однако, этот учебник разделяет недостатки учебника Рыбкина.
      К. А. Торопов впервые делает попытку создать общий метод решения треугольников, исходя из ряда равных отношений (теорема синусов2). Впоследствии этот метод получает теоретическое обоснование в ценной работе С. О. Шатуновского «Методы решения задач прямолинейной тригонометрии» (1929). Учебников тригонометрии было много, но почти все они страдают общими
      1 Первое издание её вышло в 1888 г. под названием «Конспект прямолинейной тригонометрии».
      2 К. А. Торопов, Курс прямолинейной тригонометрии, Пермь 1894. Его же. Конспективный курс тригонометрии
      недостатками, свидетельствующими о неразработанности методики школьного курса тригонометрии.
      Положительный отзыв даёт П. Л. Чебышев об учебнике
      А. Ф. Малинина (1834 — 1888), популярного автора учебников для средней школы и городских училищ. Это был первый опыт автора над созданием учебников.1 Но книга Малинина, сочетавшая научность изложения с литературностью стиля, не могла вытеснить распространённого в то время учебника Фр. Симашко.
      «Прямолинейная тригонометрия» Е. Пржевальского (3-е изд., 1884) была, наоборот, от-Л. Ф. Малинин. клонена П. Л. Чебышевым, так
      как не вносила ничего нового в структуру учебника. А. Веребрюсов («Прямолинейная тригонометрия» 1890), А Воинов («Прямолинейная тригонометрия», 1894) и указанный выше К. Торопов являются рядовыми преподавателями провинциальной средней школы.
      Программа реальных училищ 1906 г. и новые учебники
      Под влиянием общественного мнения в 1906 г. изменена программа курса тригонометрии в реальных училищах.
      Тригонометрия была разделена на два концентра. Первый концентр (VI кл.) содержал материал, необходимый для решения прямоугольных и косоугольных треугольников с помощью таблиц логарифмов тригонометрических величин. Второй концентр (VII кл.) давал теорию гониометрических функций (включая понятие об обратных функциях), тригонометрические уравнения и неравенства, необходимые для приближённого вычисления тригонометрических функций.
      Выход новых программ является победой «новаторов» в построении курса тригонометрии, голос которых до этого скромно звучал лишь на совещаниях по реформе средней школы, созванных при учебных округах в 1899 г., и в среде педагогической
      1 «Руководство прямолинейной тригонометрии», 1867. А. Ф. Малинин совместно с К. Бурениным создали «Руководство арифметики» (15 изданий — 537 тыс. экз.) и «Собрание арифметических задач» (18 изданий — 645 тысяч).
      общественности (Московское математическое общество, Комиссия преподавателей математики средней школы при Музее военно-учебных заведений в Петербурге, Киевское общество и др.).
      Появляется ряд новых учебников тригонометрии, вносящих свежие идеи в изложение курса.1
      Даётся исторический очерк развития идей тригонометрии (например, у Мрочека ему отводится 24 стр.). В старых учебниках некоторые исторические сведения были помещены лиш в книге проф. Г. Тиме «Плоская тригонометрия», 1881.
      В связи с построением пропедевтического курса пересматривается вопрос об определениях тригонометрических функций. На первом методическом этапе вводятся определения синуса, косинуса и тангенса через стороны прямоугольного треугольника. При переходе к решению косоугольных треугольников первоначальные определения обобщаются, делается переход к определениям с помощью проекций (Мрочек и др.).
      При рассмотрении «особых» случаев решения прямоугольных треугольников указывается общий метод решения — составление уравнения, связывающего основные элементы треугольника с неосновными (Билибин). Подробное и обстоятельное изложение вопроса о решении треугольников; ряд приложений, дающих понятие о тригонометрической съёмке планов, измерении высот, триангуляция (Мрочек, Билибин и др.).
      Во второй части (гониометрические функции) вводится понятие о векторах, широко используются графики тригонометриче ских функций, подробно рассматривается вопрос о вычислении приближённых значений функций и о составлении таблиц, рассматриваются формулы Делямбра. В ряде учебников обстоятельно излагается теория обратных круговых функций.
      Особенно выигрывает отдел «Тригонометрические уравнения». Развивается не только теория тригонометрических уравнений, но приводятся с подробным объяснением «Задачи на составление и исследование уравнений». В результате весь отдел приобретает не только теоретическое, но и практическое значение, в противовес его чисто формалистическому изложению в средней школе XIX в.
      Таким образом, преподавание тригонометрии в реальных училищах приобретает новое направление, теоретически более обоснованное и рассчитанное на широкое использование приложений.
      1 1) В. Мрочек, Прямолинейная тригонометрия, 1908.
      2) Н. Билибин, Курс тригонометрии, 1909.
      3) В. Шидловскии, Курс прямолинейной тригонометрии, приспособленный к первому ознакомлению с этим предметом, 1909.
      4) Ф. Ф. Чемолосов, Прямолинейная тригонометрия, 3-е изд., Киев 1909.
      5) В. Шифф, Прямолинейная тригонометрия, 2-е изд., 1910.
      6) П. Курилко, Сборник задач по элементарному курсу гониометрии и тригонометрии, в 4 частях, Одесса 1914, и др.
     
      Идея пропедевтического курса тригонометрии
      В классических гимназиях курс тригонометрии был сокращённым. По программам 1890 г. и раньше пропедевтический курс там отсутствовал.
      Своеобразное разрешение вопроса, принятое в настоящее время и в советской школе, даёт Д. Ройтман.1 Идея Ройтмана заключается в связи тригонометрии с геометрией. Тригонометрические величины естественно связываются с геометрической темой «Подобие фигур». Из подобия треугольников получаются понятия «синус», «косинус» и «тангенс». Создаётся пропедевтический курс тригонометрии, в содержание которого входит лишь решение прямоугольных треугольников (с помощью таблиц натуральных значений тригонометрических величин). Введение пропедевтики тригонометрии в геометрию облегчает и обобщает многие теоремы геометрии (квадрат стороны треугольника, пропорциональные отрезки в треугольнике и круге и др.). Решение многих задач приобретает более простой и изящный вид.
      Идея Ройтмана почти одновременно и несколько позднее была подхвачена французскими «реформистами» (Борель, Бурле).2
      Вторая особенность концепции Ройтмана сводится к введению в курс геометрии некоторых понятий и теорем сферической гониометрии. В этом смысле книга Д. Ройтмана представляет оригинальную и смелую попытку некоторого дополнения курса тригонометрии, которое, ксгати сказать, отсутствует в аналогичных иностранных HeenHKaix, хотя Мерапские программы это дополнение предусматривают (класс Unterprima — VIII). Простейшие предложения сферической тригонометрии крайне необходимы средней школе при -изложении математической географии и космографии (астрономйи).3 Идея пропедевтического курса, связанного с геометрией, Haftoia методическое воплощение в книге П. А. Баранова «Решение треугольников в курсе геометрии с приложением таблиц катетов», 1910.
      В книге П. А. Баранова делается попытка построить решение треугольников «внутри геометрии», не обращаясь к формулам тригонометрии. В ином варианте эту мысль развивает Д. В. Агапов.4
      Для осуществления своей идеи автору пришлось взять несколько новых определений и доказать 73 теоремы. В сущности концепция Агапова содержит тригонометрию «в скрытом виде». Его основное определение формулировано так: «Величина каждого угла равна отношению длины перпендикуляра, восстановленного в какой-либо точке одной из сторон угла до пересечения с другой стороной, к длине отрезка от вершины угла до основания этого перпендикуляра». На языке тригонометрии это обозначает, что автор измеряет углы их тангенсами. Обходный путь неизбежно создаёт много трудностей и требует введения новых громоздких теорем.
      Работа Д. В. Агапова в методическом отношении не представляет большой ценности. Она лишь показывает, что в начале XX в. идея включения решения треугольников в курс геометрии была исключительно популярной и одновременно развивалась различными авторами (варианты Ройтмана, Баранова и Агапова). Наиболее удачным оказался вариант Д. Ройтмана. Официальными кругами он был встречен неблагожелательно. II. С. (Н. Соллертинский )в своей «учёной» рецензии 1 назвал его «ненужным новшеством, крайне неумелым и беспомощным», забыв, очевидно, что двумя годами ранее учёный комитет разделил курс тригонометрии в реальных училищах на два концентра. Нельзя не согласиться с Д. Ройтманом в том, что «выпады» учёного комитета выполняют «не учёную» функцию, а функцию «общественно-политическую», что они направлены против «дерзкого» желания передовых людей того времени издавать серии «книг для современной школы».2
      Сам Ройтман включение начал тригонометрии называет «необычным нововведением» («Необходимое предисловие», стр. XIV). .История показывает, что «нововведение» оказалось жизнеспособным, что по этому пути пошли не только программы советской школы, но и иностранные авторы учебников.
      Как положительное явление следует отметить выход в свет энциклопедии тригонометрии, предназначенной в качестве пособия для преподавателей.3 Книга содержит много сведений, которые обычно не входят в учебники тригонометрии: суммирование тригонометрических функций углов, составляющих арифметическую прогрессию; раскрытие неопределённое™; нахождение пределов тригонометрических выражений; точность таблиц и т. п. Особенно большое внимание уделено решению задач. Для своего времени книга действительно являлась настольной для преподавателя.
      XIX век и начало XX в. не создали методики тригонометрии.
      Однако методическая мысль в России даёт богатый материал по этому вопросу. От первых элементарных книг, ставивших перед собой узкую задачу решения треугольников (Головин, Фусс, Симашко в 1-м изд.), сделан переход к подробному изучению гониометрических функций. Литература обогатилась содержательными пособиями (Мрочек, Шифф и др.). Освещены наиболее трудные вопросы курса (Торопов, Курилко, Ройтман). Программа реальных училищ 1906 г. представляет интересный «опыт» разрешения методического вопроса и позволяет сделать вывод, что в России заложен прочный фундамент методики тригонометрии.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. П. Я. Севастьянов, Тригонометрия в русской дореволюционной и советской школе, 1938; рукопись кандидатской диссертации, Москва.
      2. В. В. Котек. Тригонометрические функции в средней школе, 1948: рукопись кандидатской диссертации, Киев.
      3. М. Е. Головин, Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами, 1789.
      4. Н. Фусс, Начальные основания плоской тригонометрии, 1804.
      5. Ф. Симашко, Тригонометрия, 1852, 1857, 1886.
      6. М. В. Остроградский, Программа п конспект по тригонометрии для военно-учебных заведений, 1851.
      7. Н. Рыбкин, Конспект прямолинейной тригонометрии, 1888.
      8. А. Ф. Малинин, Руководство прямолинейной тригонометрии, 1867.
      9. К А. Торопов, Курс прямолинейной тригонометрии, Пермь 1894.
      10. Д В. Агапов, Новая тригонометрия, Оренбург 1894.
      11. Д. М. Ройтман, Курс элементарной геометрии, 1907.
      12. В. Мрочек, Прямолинейная тригонометрия, 1908.
      13. П. Курилко, Гониометрические уравнения, 1912.
      14. Шмулевич, Энциклопедия тригонометрии, 1907.
      15. П. А Баранов, Решение треугольников в-курсе геометрии, 1910.
     
      ПЯТНАДЦАТЬ ЛЕТ НОВОГО ВЕКА
     
      Некоторые особенности в развитии методики математики в XIX в.
      XVIII в. демократический состав академических кругов Dy и профессуры принимал деятельное участие в создании fSj методической науки: профессора преподавали в акаде-мической и университетской гимназиях и военно-технических учебных заведениях, составляли учебники, методическая мысль рождалась под их непосредственным влиянием.
      XIX век выдвинул новые «очаги» развития методической культуры, новые методические кадры. Это были преподаватели педагогических учебных заведений, деятели военно-учебных заведений, работники выросшей средней школы. Академические круги постепенно отходили от жизни начальной и средней школы, замыкались в специальные интересы своей науки.
      В первой половине XIX в. проблемами школы в широком смысле слова, вопросами методики занимались такие выдающиеся деятели высшей школы, как проф. Т. Ф. Осиповский, проф. Н И. Лобачевский, акад. В. Буняковский (выпустивший интересный учебник арифметики),1 акад. М. В. Остроградский. Реакция, особенно усилившаяся при Николае I, прежде всего обрушивается на университеты. К погромной деятельности призываются такие «столпы строя», как Магницкий, Рунич, Карнеев и др. Крепостным запрещается поступать в средние и высшие учебные заведения. По новому уставу университетов 1835 г. ограничиваются права совета и непосредственное руководство передаётся попечителю учебного округа, вводится повышенная плата за учение и принимаются всяческие меры к сокращению контингентов учащихся, не принадлежащих к дворянскому сословию.
      В создавшейся удушливой политической атмосфере переживают трагедию Т. Ф. Осиповский и Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградскому не дают окончить университет. «Разночинцам» затрудняется дорога к академической карьере.
      Под сугубым надзором находилась и массовая школа. Однако контроль за нею осуществить было труднее.
      Во второй половине XIX в. редеют ряды университетских деятелей, тяготеющих к школе. Среди них можно назвать заслуженного профессора Августа Юльевича Давидова, педагога по призванию, автора распространённых учебников; Киевского профессора Василия Петровича Ермакова. Чаще всего пыталась влиять на школу реакционная профессура типа Н. В. Бугаева, автора многочисленных учебников, П. А. Некрасова и некоторых других. В результате в академических кругах создалось пренебрежительное отношение к педагогическим наукам и, в частности, к методике.
      Это дало повод С. И. Шохор-Троцкому сделать горькое признание: «Ныне считается, — говорит он, — едва ли не признаком наилучшего топа не только среди людей науки, но даже и среди преподавателей средних учебных заведений и руководителей учебного дела относиться к педагогике и к методике преподавания различных учебных предметов непременно с усмешечкою или, в лучшем случае, совершенно равнодушно».1
      С другой стороны, XIX век дал России десятки талантливых преподавателей средней школы, которые создали богатую учебную литературу по математике, совершенно вытеснившую иностранных авторов. Люди типа Александра Фёдоровича Малинина (1834 — 1888) были не только энтузиастами-преподавате-лями, но и творцами популярных учебников. Книги Андрея Петровича Киселёва (1852 — 1940) и в настоящее время составляют золотой фонд наших учебников математики.
      Вторая особенность последней четверти XIX в. — развитие педагогического общественного мнения. В столицах и больших городах создаются общественные организации, которые ставят своей задачей широкое обсуждение вопросов преподавания математики. В 80-х годах в Москве возник математический кружок, которым руководил проф. Б. К- Млодзеевский. В Петербурге почти одновременно создана была специальная комиссия преподавателей средних учебных заведений при педагогическом музее военно-учебных заведений, в соляном городке. В Киеве аналогичную работу проводило Киевское физико-математическое общество, в Риге — математическое отделение Рижского педагогического общества и др.
      1 «Авторитетное слово в области методики математики», «Русская школа», 1893, № 1.
      На заседаниях этих организаций деятельно обсуждаются проекты программ, учебники и даже узкие частные вопросы методики математики.
      Для примера приводим йовестКу дня XIII собрания преподавателей математики в Петербурге от б ноября 1886 г.1
      1. А. О. Пиленко «Определения тригонометрических понятий по различным учебникам».
      2. А. Н. Страннолюбский «Об учебнике тригонометрии Ф. И. Симашко».
      3. Беседа «О педагогическом значении длинных числовых примеров» (Резюме — вычисления с длинными числами — напрасная трата времени).
      Такие обсуждения вовлекали в активную работу широкие массы преподавателей, будили методическую мысль, влияли на работу школы. Одновременно в последние десятилетия XIX в. нарождается специальная методико-математическая журналистика. В 1884 г. возникает в Киеве «Журнал элементарной математики» под ред. В. П. Ермакова. В 1886 г. его сменяет «Вестник опытной физики и элементарной математики», редактируемый В. Ф. Каганом. В 1885 г. в Москве начинают выходить «физико-математические науки в их настоящем и прошедшем» В. В. Бо-бынина. Большое внимание уделяют преподаванию математики и «толстые» педагогические журналы: «Русская школа» Я. Гуревича, «Вестник воспитания» Михайлова и «Педагогический сборник», изд. Главного управления военно-учебных заведений. Издание специальных журналов в первые годы их жизни не окупалось подпиской, редакторы-издатели тратили на них свои личные скудные средства. Так, например, в январе 1885 г. В. В. Бобынин объявил подписку на своё издание «Физико-математические науки». Подписная цена была назначена 10 руб. при расчёте на 600 подписчиков. Но первый год существования дал лишь 126 подписчиков, в том числе лишь 87 экз. журнала выписали учебные заведения. И тем не менее скромный, постоянно терпевший нужду, В. В. Бобынин издавал свой журнал в течение 20 лет. Это было мужество, продиктованное любовью к делу, стремлением принести пользу русскому народу.
     
      Подъём методико-математической мысли на рубеже нового века
      Во второй половине 1899 г. министерство народного просвещения предложило созвать при учебных округах особые совещания, посвящённые вопросам реформы средней школы. Совещания прошли по всем округам и дали интересные материалы по программам и методам преподавания математики в средней школе. К участию были привлечены широкие круги педагогической общественности. Так. например, в Москве в работе приняли участие до 200 чел. Из математиков присутствовали профессора: Н. А. Андреев, Н. Е. Жуковский, Б. К- Млодзеевский; выдающиеся педагоги: А. М. Воронец, В. Я- Гебель, Ф. И. Егоров, К. К. Мазинг, Н. А. Рыбкин и др. Составлены были учебные планы и программы по следующим типам школ: гимназия с двумя древними языками, гимназия с одним древним языком, реальная гимназия, средняя школа нового типа. Широко дебатировался вопрос о цели преподавания математики. Большинство признавало единственно правильной целью «усвоение математики как науки и как научного метода миропознавания». В преподавании «необходимо, чтобы теоретический курс был поставлен на первое место и чтобы решение задач служило только пособием к изучению теории...» Особенное внимание было обращено на освобождение программ от устаревшего материала. Всё несущественное, «все статьи, имеющие лишь вспомогательное значение, должны быть, по возможности, сокращены».1
      Все материалы учебных округов поступили в министерство. В 1900 г. министром народного просвещения Н. П. Боголеповым создана была комиссия из представителей всех учебных округов. В состав её входило до 100 чел. профессоров, известных педагогов и представителей ведомств. Матоматическая подкомиссия работала в количестве 12 членов и 3 представителей ведомств под руководством Н. М. Билибина.
      В «боголеповской комиссии» разработаны учебные планы шести типов средней школы: гимназии с двумя древними языками, гимназии с одним латинским языком, 8-классного реального училища, школы нового типа, школы с бифуркацией и шкоды с индивидуализацией обучения в старших классах. Подкомиссия Н. Билибина поставила для решения следующие задачи: 1) определить объём преподавания математики как общеобразовательного предмета; 2) распределить учебный материал по классам соответственно возрасту учащихся; 3) определить необходимое число часов по каждому классу и 4) указать всё то, что должно послужить предметом объяснительной записки к примерным программам. Подкомиссия приняла как принцип, что постановка преподавания математики в первых трёх классах и учебные планы в IV — VII классах должны быть совершенно одинаковы и в гимназиях и в реальных училищах. Программы мужских гимназий 1890 г., формализирующие обучение, были осуждены.2
      Обычно официальным началом международного движения за реформу преподавания математики считают 1904 г. (конференция естествоиспытателей и врачей в г. Бреславле) и первым документом реформистского движения называют Меранские программы (1905 г.). В России это движение началось раньше, чем в Западной Европе, и первые документы его были опубликованы в 1899 — 1900 гг.
      Движение приняло широкий общественный характер.
      В июне 1901 г. и в январе 1902 г. состоялись съезды директоров и представителей попечительных Советов коммерческих училищ (второй съезд был продолжением первого). В математической комиссии председательствовал А. Н. Страннолюбский. Съезды высказались за предоставление большей свободы педагогическим комитетам училищ: «не стеснять указаниями, где начинать и где кончать те или другие отделы математики; не обязывать принятием того или другого числа часов... держаться в пределах от 24 до 28 час. в неделю; признать желательным изучение аналитической геометрии» и т. д.2
      В 1903 — 1904 гг. вопросы преподавания математики были поставлены на обсуждение на 3-м съезде деятелей по техническому и профессиональному образованию.
      Во второй секции съезда (средние и низшие технические учебные заведения) были заслушаны два доклада: 1. Н. Завадского «К вопросу о реформе преподавания математики» и
      2. Д. В. Ройтмана «О возможном преобразовании программ математики в средних учебных заведениях, как общеобразовательных, так и технических, с целью придать этому предмету содержание, более отвечающее современным требованиям общего и специального образования».
      Доклад Н. Завадского носил дискуссионный характер. Он предлагает в основу обучения математики поставить геометрию как наиболее конкретный отдел математики, алгебру начинать значительно раньше; начала дифференциального и интегрального исчисления, аналитическую геометрию и начала начертательной геометрии считает необходимым включить даже в программу низших технических училищ; программу строит концентрами.
      Д. В. Ройтман особенно подчёркивает значение математики как орудия исследования явлений природы; с этой целью он считает особенно важным включение в программу начал анализа; количество теорем по геометрии, по его мнению, может быть сокращено в два раза, но пропедевтическому курсу геометрии он придаёт большое значение.3
      Необходимо отметить, что большая часть постановлений по коммерческим и техническим училищам была проведена в жизнь, так как ведомства, которым они подчинялись, были более передовыми, чем министерство народного (просвещения.
      Военное ведомство, в виде опыта, с начала 1903 — 1904 гг. ввело новые программы математики в трёх кадетских корпусах (Первом, Псковском и Донском).1
      Волна политических забастовок, отдалённые раскаты приближающейся революции расшатывали царизм. Правительство с особой подозрительностью относится к деятельности «идеологического» министерства народного просвещения. Министры в период 1901 — 1905 гг. сменяются ежегодно: на смену Н. Г. Боголепова приходит генерал П. С. Банковский, за ним следует Г. Э. Зенгер и, наконец, генерал Глазов. Каждый министр вырабатывает своё «Положение о средней школе», но не успевает провести его в жизнь.
      Печать и общественные организации с большим подъёмом обсуждают вопросы реформы школы. В журналах того времени можно найти многочисленные отклики по вопросу о программах и постановке преподавания математики.2 В центре внимания стоят такие проблемы, как цель преподавания математики, построение курса элементарной математики на основе функциональной зависимости и др.
      В июне 1906 г. состоялся Второй делегатский съезд Всероссийского союза учителей и деятелей средней школы, также поставивший вопрос о реформе школы.
      «Съезд потребовал привлечения учительства к разработке проектов реформы школы и рекомендовал пропагандировать идеи новых («вольных») школ».3
      Несмотря на ряд прогрессивных решений этого съезда, в деятельности его замечалась тенденция построить школу «вне политики». Вопреки настроениям «верхов» Союза учителей революционные выступления учителей и учащихся продолжались. Министерство не могло приостановить их своими «циркулярами», направленными на «подтягивание» школы и внедрение в неё «порядка».
      В 1908 г. наступили наиболее мрачные дни для школы. Политику Столыпинской реакции призван был насаждать новый министр Шварц, внесший в Государственную думу законопроекг о гимназиях, возвращавший среднюю школу к реакционным порядкам, установленным в свое время графом Д. Толстым. По монархист-реакционер Шварц всё-таки был обвинён в «либерализме». Его пост занял друг Г. Распутина Кассо, который в целях «исправления» школы установил тесный контакт министерства с полицией и «Союзом русского народа».
      «Началась эпопея вандалов, — говорили в Думе депутаты-большевики, — Шварц, а за ним достойный преемник Кассо довершает разорение сокровищницы науки, лелеянной десятками лет лучшими людьми России». В законопроекте, внесённом в Думу за подписью 83 её членов, положение характеризуется так: «Современная средняя школа является повреждённым наследием эпохи, выдвинувшей в качестве руководителя народного образования в России графа Д. Толстого».
      В условиях полицейского режима, который насаждался в школах, знания учащихся по всем предметам катастрофически снижались.
      Проф. Лахтин, анализировавший экзаменационные письменные работы по математике по Московскому учебному округу за 1911 — 1912 гг., приходит к самым тяжёлым выводам о знаниях учащихся Московских реальных училищ.
      1911 — 1913 гг. характеризуются широким обсуждением вопросов преподавания математики на Всероссийских математических съездах.
      Осторожность и последовательность — основные черты русского движения за реформу, однако реформы не были осуществлены, так как за поражением революции 1905 г. последовала реакция. Новые программы реальных училищ (1906 — 1907), введённые министром П. М. фон-Кауфманом в 1908 г., были далеки от тех целей, которые были сформулированы сторонниками движения: рассматривать математику как научную систему, как могучий метод, дающий возможность изучить явления окружающей действительности.
     
      Съезды и их значение для методики математики
      Политическая реакция, начавшаяся в 1907 г., сменяется новым подъёмом революционного движения. Уже в 1911 г. усиливаются забастовки рабочих, разрастается крестьянское движение.
      В 1912 г. «Ленские выстрелы разбили лёд молчания, и — тронулась река народного движения.» (И. Сталин). Начинает раскрепощаться и педагогическая мысль. 27 декабря 1911 г. — 3 января 1912 г. в Петербурге проходит 1 Всероссийский съезд преподавателей математики. Этот съезд нужно отмстить уже потому, что методика математики на нём получает признание. III секция съезда является секцией методики математик и.1 Её работа, как и работа всего съезда в целом, представляет интерес прежде всего с точки зрения постановки многих общих проблем, обсуждение которых не могло остаться без влияния на дальнейшее направление .методики как научной дисциплины.
      О размахе работ съезда можно судить но следующим данным: число членов съезда 1217 человек; число докладов на общих собраниях и секциях — 71, в том числе 47 докладов по методологии и методике преподавания; «Труды» съезда составляют три больших тома общим объёмом в 1083 страницы.
      Такой аудитории и такого внимания русская методика математики никогда не видела. Это была мобилизация сил.
      Докладчики выдвигают «Требования жизненности и реальности изучаемого материала», одновременно отмежёвываясь от признания утилитарного направления, которое в начале века усиленно шло к нам из США. «Цель науки более высокая, чем непосредственная польза... Мы должны приучить наших воспитанников к постоянной проверке теоретических построений на их согласие с действительностью» (Н. Н. Володкевич).
      Ставится много существенных вопросов, по-новому освещающих центральные проблемы методики: лабораторный метод (Д. Д. Галанин, Н А Тамамшева, Н. П. Попов и др.), функциональная основа математики (Н. Н. Володкевич, В. В. Лермантов и др.), внесение в программу теоретической арифметики и теории чисел (Б. Б. Пйотровский и И. И. Чистяков), приближённые вычисления (В. А. Крогиус), применение графического метода (Д. Э. Теннер и II. А. Томилин, М. Л. Франк), начала анализа (Ф. В. Филиппович и М. Г. Попруженко, Б. К. Крамаренко, П. А. Некрасов), исторические элементы в преподавании (В. В. Бобынин).
      Восемь докладчиков сообщают съезду о деятельности математических обществ и кружков (Петербург, Москва, Варшава, Рига, Нижний Новгород, Орёл, Новочеркасск).
      Анализ учебной литературы, анализ наглядных пособий, даже библиотечная и библиографическая работа находят отражение на съезде.
      Более скромным по масштабам представляется II Всероссийский съезд преподавателей математики, состоявшийся в Москве 26 декабря 1913 г. — 3 января 1914 г. На нём было заьчушано 32 доклада. Представитель русской национальной подкомиссии в Международной ассоциации преподавателей математики проф. Д. М. Синцов сделал доклад о работе этой ассоциации.
      Ассоциация была организовала 9 апреля 1908 г. на IV Римском международном математическом конгрессе. В состав русской национальной делегации входили: акад. II. Я. Сонин, проф. Б. М. Коялович и директор реального училища в Петербурге К. В. Фохт, после смерти заменённый проф. К. А. Поссе.
      В ассоциации было представлено 19 стран. Ассоциация провела большую работу по ознакомлению с постановкой преподавания математики в разных странах. К V Международному математическому конгрессу в Кембридже (1912) ассоциацией было издано 280 отчётов, составляющих более 9000 страниц текста.
      Между прочим об участии России в Международной ассоциации в литературе имеются очень скудные сведения. Они отсутствуют и в докладе проф. Д. М. Синцова. Сообщаем некоторые подробности. Русская национальная делегация, первое заседание которой состоялось 21 ноября 1909 г., провела довольно большую подготовку к V Международному конгрессу в Кембридже.
      Представлено было 13 отчётных докладов (на французском языке): по университетам и высшим техническим и военным школам (К. А. Поссе), по кадетским корпусам (3. А. Макшеев и М. Г. Попруженко), по реальным училищам (К В. Фохт), по мужским и женским гимназиям (В. А. Кондратьев и М. Михель-сон), по низшим учебным заведениям (В. С.), по технологическому институту и высшим женским курсам в С.-Петербурге (Б. Коялович), по Московским высшим женским курсам (Б. К Млодзеевский), по Варшавскому политехническому институту (Д. Д. Мордухай-Болтовский), по подготовке преподавателей средних школ (В. Ф. Каган) и др. Журнал Ассоциации «Lenseigneinent mathematique» помещал методические статьи русских учёных (В. В. Бобынина и др.), давая о них лестные отзывы.
      Съезды возбудили живое внимание к методике математики не только представителей педагогического мира, но и широких общественных кругов. Интенсивный рост учебной и методической литературы в 1912 — 1915 гг., новой по содержанию и идеям, в значительной степени объясняется влиянием съездов.
      В 1914 г. началась первая мировая империалистическая война.
      «Русская буржуазия рассчитывала, начав войну, поправить свои дела: завоевать новые рынки, нажиться на военных заказах и поставках и заодно подавить революционное движение, используя военную обстановку».1
      Первые же месяцы войны показали несбыточность этих надежд. Воспользовавшись смертью Кассо в ноябре 1914 г., буржуазные круги повели наступление на политику министерства народного просвещения, «разложившего» среднюю школу. В январе 1915 г. на пост министра был призван граф П. Н. Игнатьев, ярый монархист и крепостник, которого обстановка заставила пойти на известное лавирование и «поступиться создавшимися твёрдыми традициями в интересах новых требований».
      С его именем связан так называемый «Игнатьевский проект» реформы школы. «Необходимо, — говорил он, — через школу способствовать развитию производительных сил страны: школа должна служить жизни и нуждам населения».
      Создано было «особое совещание по реформе средней школы» (апрель 1915 г.), которое разрешило важнейшие принципиальные вопросы реформы: 11-летний срок обучения, фуркацию, однотипность мужской и женской школы и др. Создан был ряд комиссий из педагогов и деятелей средней школы, которые разработали учебные планы и программы средней школы по специальностям. Математическая комиссия работала под руководством проф. К- А. Поссе. Начальная школа по проекту имела 3-годич-ный срок обучения. С IV класса шла средняя школа, делившаяся на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую и реальную; последняя ветвь в свою очередь имела два подразделения: естествоведческое и математическое. Подробно разработаны были программы первых четырёх классов средней школы. На математику и смежные дисциплины в этих классах часы планировались следующим образом: ...
      По ряду предметов были включены практические занятия, декларирована «важность не расширения, а углубления курса», обращено большое внимание на воспитательные мероприятия и т. д.
      «Игнатьевский проект» и все начинания министерства встретили поддержку со стороны педагогической общественности, но «Союз русского народа» и черносотенное чиновничество оказали ему прямое противодействие. В декабре 1916 г. Игнатьев был уволен с поста министра. Министром был назначен Кульчицкий, удалённый Игнатьевым с должности попечителя учебного округа за саботаж.
      1 Математическая ветвь.
      2 Материалы по реформе средней школы. Примерные программы и объяснительные записки, изданные по распоряжению г. министра народного просвещения, 1915.
      Реформистская деятельность министерства на этом закончилась. К февралю 1917 г. «средняя школа подошла в состоянии развала».1
      Новые течения в методике арифметики
      Большое оживление в области методики арифметики начинается в 1910 г. Появляется новая оригинальная литература, пропагандирующая принципиально новое направление в преподавании начальной арифметики — лабораторное направление.
      Идея лабораторного метода не нова. Смелыми общими мазками его обрисовал Ян-Амос Коменский в своей «Великой дидактике» (XVII в.). «Надо постоянно пользоваться, — говорит он, — вместе и слухом, и зрением, языком и рукою, то-есть не только произнося то, что надо знать, чтобы оно воспринималось на слух, по и рисуя это... Школы суть не что иное, как мастерские, в которых кипит работа». А. Коменского талантливо дополняет Жан-Жак Руссо (XVIII в.). Он выставляет тезис, что «истинное воспитание состоит не столько в правилах, сколько в упражнениях» («Эмиль»). Его призыв: «Измеряйте, считайте, взвешивайте, сравнивайте» звучит как основа нового трудового воспитания. В Методике арифметики, в связи с этими положениями, прежде всего глубоко разрабатывается наглядное обучение.
      В XX в. буржуазная педагогика проявляет много энергии в поисках новых путей воспитания и образования. Это стремление к обновлению методов работы в школе ие является случайным и бескорыстным. Даже в таких странах с монархически-полицейским режимом, как Германия и Россия, на власть оказывается большое давление со стороны буржуазии. Её предприятия, фабрики и заводы, железные дороги и шахты испытывают острую потребность в хорошо подготовленных инженерах и техниках, в организаторах дела и мастерах, в рабочих, которые могли бы удвоить и утроить доходы хозяев. Методы старых лицеев, колледжей и гимназий с их мёртвым грузом знаний, с их схоластической основой становятся явно не эффективными.
      Лабораторный метод поднимают на щит почти одновременно и в США (В. Спир, Мур), и в Англии (Лодж, Перри), и во Франции (Лезан) и в других странах. У нас ярким и наиболее последовательным представителем его является московский педагог Дмитрий Дмитриевич Галанин.2 Д. Д. Галанин считает, что даже понятие о числе нужно вырабатывать с помощью процесса измерения. Он рекомендует на уроках измерять ёмкость сосудов с водой или песком, переливая воду или высыпая песок из одного сосуда в другой, измерять длину бумажной ленты и т. д.
      В своих сочинениях он приводит большой описок пособий, составляющих арифметическую лабораторию: листы цветной бумаги, деревянные линейки, весы с гирями, чаши с песком, модели монет, различная посуда.
      В том же году вышла книга «Педагогика математики» Мрочека и Филипповича. Авторы её на первый план выставляют лабораторный метод. Они предлагают преподавание арифметики соединить со столярными и картонажными работами, с экскурсиями «в банки и большие магазины, хлебные биржи и пароходные пристани».1
      Л. В. Глаголева 2 весь материал распределяет на 76 уроков и даёт много практических указаний по применению лабораторного метода.
      Ряд авторов знакомит русских учителей с применением лабораторного метода за границей (Н. Томилин, Е. Янжул и др.).
      В дальнейшем делается попытка перенесения лабораторного метода в систематический курс арифметики. В 1913 г. выпускается большая книга казанского педагога Н. Г Лексииа.3
      В «Введении» автор заявляет, что он настаивает «на общих классных наглядно-лабораторных работах» (стр. XIII). В § 5 «Практические упражнения в измерении» у него ученики измеряют глубину колодцев, озёр, рек, ям; высоту домов, деревьев и т. д. (стр. 8 — 9). Книга Н. Г. Лексииа посвящена именованным числам и дробям, следовательно, составляет вторую ступень курса арифметики. Новым в своей книге автор считает «обработку учебного материала на самом уроке по наглядно-лабораторному способу».
      1 «Педагогика математики», стр. 265.
      2 «Преподавание арифметики лабораторным методом», год первый, 1910.
      3 «Опыт практического руководства по методике арифметики», Казань 1913.
      Д. Д. Галанин.
      Некоторые авторы (В. Фридман, Ф. Эри), признавая частично лабораторный метод, вводя его как отдельные лабораторные уроки, проявляют к нему критическое отношение.1
      Основным возражением против широкого применения лабораторного метода авторы считают трудность его практического осуществления (большие затраты средств, материалов, отсутствие помещений). Отмечается также, что постоянное применение лабораторных занятий может привести к такому же сухому и педантичному ходу работы, иакой наблюдался у Песталоцци и Грубе.
      Вместе с лабораторным методом большое применение начинают приобретать в арифметике иллюстрации и графические упражнения. Появляется большое количество задачников с картинками и различными графическими задачами.2
      При наличии увлечений, свойственных проведению в жизнь всякой новой идеи, в методических работах этого периода встречается много ценного и интересного. Так например, уже в начальную арифметику вносится идея функциональной зависимости. «Математическим действием, — говорит Галанин,- — называется логическое следствие функциональной зависимости величин и тех условий, которые даны в задаче». Фридман отмечает, «что наилучшее и наиболее реальное знание функциональных зависимостей должно получиться при лабораторном методе» (стр. 152).
      В те же годы в методике арифметики начинает популяризироваться новое направление, которое некоторыми авторами называется неогрубеизмом. Направление это приходит с Запада и поддерживается московским педагогом Димитрием Лукичей Волковским. Идеологом одной ветви этого направления является директор учительской семинарии в г. Карлсруэ (Германия) доктор В. А. Лай,3 являющийся представителем экспериментальной педагогики (его экспериментальная дидактика вышла на русском языке в 1906 г.). Лай экспериментальным путём устанавливает, что область чисел, доступных непосредственному восприятию, ясному и раздельному, доходит до 12, при условии возникновения числовых представлений путём созер-ц а и и я специально приспособленных для этой цели объектов, так называемых квадратных числовых фигур. Почти в то же время экспериментальные исследования Вальземана (его первая работа по этому вопросу вышла на немецком языке в 1904 г.), не расходясь с Лаем в принципе, отдают предпочтение числовым фигурам Борна.
      1 В. Г. Фридман, Методика арифметики, 1913.
      2 В качестве примера приведём задачник Е. Горбунова и И. Цунзер «Живые числа», 1912.
      3 «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов», пер. иод ред. Д. Л. Волковского, 1910,
      Борновская двойная строка изображается чёрными кругами на белом фоне — диаметр кругов 46 мм; расстояние между кругами в строке равно радиусу, а по вертикали — диаметру.
      В квадратных фигурах Лая круги располагаются в вершинах квадрата; число 5 начинает новый квадрат (расстояние между кругами равно радиусу, а расстояние между квадратами — диаметру).
      Другая ветвь того же направления возглавляется швейцарским педагогом И. Штеклиным.1 Штеклин является противником числовых фигур. («Совокупность предметов, — говорит он, — никогда не может быть отчётливо воспринята с одного взгляда; для этого нужно, чтобы внимание последовательно переносилось с одного предмета на другой, т. е. чтобы мы последова гельно воспринимали единицы, считал и их». Числовые фигуры он считает вредными.
      Однако, следуя Грубе, он ведёт изучение отдельных чисел до 10. В основу изучения Штеклин кладёт широкую наглядность, использует самые разнообразные наглядные пособия. В его задачниках («Азбука арифметики») особенно большое распространение имеют картинки — ими он иллюстрирует количествен ные отношения между предметами и те изменения, которые могут претерпевать эти соотношения. Д. Л. Волковский являегся не только редактором переводов Лая и Штеклина. Он выпускает задачники («Детский мир в числах») и методику.2 Автор скорее является сторонником И. Штеклина, в своих задачниках он широко применяет картинки.
      Иден Лая, как мы уже говорили, не имели распространения в России. Однако основание, на котором строятся выводы Лая и Вальземана, заслуживает внимания.
      Эксперимет, как один из методов построения науки, должен быть оценен по достоинству. Чуткий педагог К- Ф. Лебедннцев, разбирая новое направление в методике арифметики, так заканчивает свою книгу;3 «Русская методика арифметики трудами гг. Гольденберга, Арженикова, Шохор-Троцкого и др. закончила эмпирический период своего развития, и геперь должна вступить в новый — экспериментальный». С этим взглядом нельзя не согласигься.
      К заслугам популяризатора трудов Лая и Штеклина Д. Л. Волковского надо отнести внедрение в процесс обучения арифметике иллюстративного дидактического материала — картинок, которые стали изготовляться самими учителями и учащимися и широк? применяться на уроках. Лабораторный метод, разработке которого посвятил свои труды Д. Д. Галанин, не получил большого распространения, вследствие технических и материальных трудностей. Но идея его строить работу на самодеятельности учащихся является весьма ценной и введение лабораторных уроков в преподавание, как это предлагали В. Фридман и Ф. Эрн. является серьёзным достижением нового века.
     
      Новые течения в геометрии и алгебре
      XIX век в методике геометрии оставил много неразрешённых" вопросов. Необходимо было с большей строгостью подойти к логической канве систематического курса геометрии, разрешить-вопрос о роли интуиции и, в связи с этим, о пропедевтическом курсе геометрии, пересмотреть материал систематического курса с точки зрения включения в программу элементов «Новой геометрии».
      Критический просмотр учебников, в большом количестве появившихся в предшествующем веке, показал, что в них очень-много логических дефектов в построении системы аксиом, в определениях и доказательствах. Н. А. Извольский в докладе на I Всероссийском съезде1 сделал попытку вскрыть эти «белые пятна».
      Особенно неблагополучно обстоит дело с такими понятиями,, как «многогранник», «объём», «многоугольник», «площадь»,, «длина» и др. «Современное обучение геометрии, — говорит он, — направляется двумя положениями: 1) желанием доказывать всё, что не аксиома, и 2) требованием исходить в этих доказательствах из определений...» В результате «мы доказываем теоремы, не имеющие содержания, а с другой стороны, мы даём определения, противоречащие друг другу» (стр. 90). Вопрос оказался-настолько острым, что П. А. Долгушин (киевский педагог) предложил, чтобы на следующем съезде на эту тему было поставлено несколько докладов.2
      Мнения разошлись и относительно значения пропедевтического курса геометрии. Н. А. Извольский высказал мысль, что в систематическом курсе «и интуиция, и логика должны идти рука об руку» и нет необходимости в каком-то особом пропедевтическом курсе. С. А. Богомолов, наоборот, резко поставил вопрос о строго логическом построении курса геометрии, предложив-в виде вступления дать пропедевтический курс, имеющий целыо-«развитие пространственной интуиции н накопление геометрических знаний». В этом курсе видное место должно быть отведено лабораторному методу. Петербургский педагог А. Р. Ку-лишер обрисовал такой курс.1 Идея пропедевтического курса нашла много сторонников. В 1911 г. в некоторых коммерческих училищах пропедевтический курс геометрии осуществлялся по широкой программе в течение 3 — 4 лет обучения.
      В 1914 г. Н. Г. Лексин выпустил методическое пособие по этому вопросу.2 Одновременно издавалась учебная литература (А. М. Астр я б, Наглядная геометрия, 1909).
      Весьма своеобразную позицию в отношении построения курса геометрии занимал петербургский педагог Д. В. Ройтман (умер в 1911 г.). Его основные положения кратко выражены в «Тезисах», представленных I Всероссийскому съезду. Он доказывает, что средний ученик не может усвоить «толково и с пользой» систематический курс в евклидовой (или изменённой лежандровой) форме, вследствие сложности и громоздкости математического аппарата. «Материальное содержание обычного курса элемен тарной геометрии невелико. Это — учение о подобии многоугольников, теорема Пифагора и ряд результатов измерения геометрических величин... Курс и должен быть расположен так, чтобы указанные результаты достигались на возможно кратком, простом и наглядном пути, хоть это вовсе не значит, что возможно обойтись вовсе без более или менее строгих отвлечённых доказательств».
      Он предлагает «не доказывать теорем, для всякого ученика очевидных, когда понимание доказательства в сотни раз труднее самой теоремы».3
      Наконец, на съездах и в литературе того времени с большим интересом обсуждался вопрос о включении элементов неевклидовой геометрии в курс средней школы.
      Геометрическому материалу в начальной школе посвящена книга В. К. Беллюстина.4
      В алгебре широко разрабатывались идеи В. П. Шереметев-ского о включении функциональной зависимости в среднешкольный курс математики (работы К- Ф. Лебединцева, А. Н. Глаголева, Д. М. Левитуса и др.). Появляются новые оригинальные учебники: В. Г. Фридман, Концентрический учебник алгебры, чч. 1 и II, 1912 — 1913; Д. Бем, А. Волков и Р. С т р у в е, Сборник упражнений и задач по элементарному курсу алгебры, чч. I и И,1916, и др. К октябрю 1917 г., таким образом, были заложены основы методики нового курса школьной алгебры.
      26 декабря 1913 г. проф. Б. К. Млодзеевский, открывая II Всероссийский съезд преподавателей математики, заявил: «Обыкновенно думают, что уже давно — в геометрии едва ли не с Евклида, — содержание элементарной математики определилось с такой ясностью и облеклось в такие точные и строгие формы, что преподавателям математики остаётся только вести своих учеников по прямой и ровной дороге к совершенно точно намеченной цели. К нашему величайшему счастью, на самом деле это далеко не так. К счастью потому, что если бы это было верно, то это значило бы, что математические науки как учебный предмет умерли, что изучение их в школах имело бы своим основанием не сознание их огромного и непрерывно растущего значения для духовных и материальных успехов человечества, а только почтительное уважение к их прошлому. Математики знают, что на самом деле это совсем не т а к». Да, русские математики знают это, о чём можно судить по тем глубоким проблемам, которые ставились ими в методике геометрии.
     
      Преподавание основ высшей математики и тригонометрии в средней школе
      Основы высшей математики входили в программу русских гимназий по уставу 1804 г. Под давлением реакции в 1819 г. вводится «Уваровский план» и из курса гимназий исключаются начала дифференциального и интегрального исчисления. В 1844 г. исключается преподавание статистики, в 1845 г. ликвидируется преподавание основ начертательной и аналитической геометрии. Преподавание основ высшей математики восстанавливается в реальных училищах по новым программам 1906 г. Военное ведомство в 1911 г. вводит этот курс в кадетских корпусах. Некоторые частные средние учебные заведения (например, Преображенская новая школа в Петербурге) проявляют инициативу уже в 1908 — 1909 гг. и накапливают опыт преподавания основ высшей математики. Перед методикой встаёт совершенно новая задача освоения курса, который только что появился в учебном плане. 1911 — 1913 годы являются решающими в деле создания методики преподавания анализа бесконечно-малых и аналитической геометрии в средней школе.
      В 1912 г. М. Г. Попруженко печатает в «Педагогическом сборнике» большую работу «Материалы по методике анализа бесконечно-малых» (вышла и отдельным изданием). Этому же вопросу посвящена статья П. Самохвалова в «Педагогическом сборнике» за 1913 г.
      Вопросы преподавания анализа бесконечно малых и аналитической геометрии деятельно обсуждаются на съездах: I Все-
      российский съезд заслушивает 4 доклада1 и II съезд — один доклад.2
      Уже в отчётном докладе, представленном V Международному математическому конгрессу в Кембридже, К- А. Поссе сообщает, что имеются вполне благоприятные результаты работы над анализом бесконечно-малых в реальных училищах, но «эти результаты были бы ещё выше, если бы вместо изучения элементов аналитической геометрии и дифференциального исчисления, как самостоятельных курсов в старшем классе, дано было бы постепенное проникновение их в обучение алгебры и элементарной геометрии». Эта нота недовольства программами резко звучала в прениях на I Всероссийском съезде.
      «В учениках наших заметны признаки разочарования в математике», — говорит А. II. Шапошников. — Огромную потенциальную энергию скопило общество в форме полубессознательного преклонения перед идеалом этой великой науки. Огромные сред ства внушения использовали корифеи математики для тон же цели. А мы, предлагая по официальной указке молодому поколению науку в одностороннем освещении, рискуем разрушить плоды их вековых усилий» («Труды», т. I, стр. 118). Эта точка зрения разделялась всеми. М. Г. Попружеико совершенно справедливо выдвинул четыре требования к методике, которые он и проводит в своих «Материалах»: 1) общедоступность курса, 2) честность его (в смысле научной корректности), 3) краткость и 4) органическая связанность с общим курсом математики средней школы. Говоря об учебниках, автор отмечает, что немецкие учебники «часто построены совершенно антинаучно, содержат грубые ошибки и не чужды метафизики». В Англии существует тенденция «к популяризации и даже вульгаризации основ анализа бесконечно-малых».
      Одновременно с разработкой методики шла работа над учебниками. В этот период вышли книги: Д. Горячев «Основания аналитической геометрии», К. Пенножкевич «Основания анали-тческой геометрии», и но анализу бесконечно-малых учебники Горячева, Пениожкевича, Воинова и др.
      Таким образом, самая молодая отрасль методики математики показала пример энергичного движения вперёд. На знамени этого движения прежде всего стояла идейная сторона математики, желание подальше уйти от формализма, которым был насыщен курс математики в средней школе. Лозунг движения «Поменьше формул и побольше идей» систематически проводился в жизнь.
      Вопросы преподавания тригонометрии обсуждались с меньшим вниманием и интересом. На I Всероссийском съезде тригонометрия не была представлена, на II съезде ей был посвящён доклад Г. А. Грузинцева.
      Новый век выдвинул два основных вопроса: 1. Создание пропедевтического курса тригонометрии и 2. Иное, отличное от традиционного, изложение курса, свяванное с новым определением тригонометрических функций.
     
      Новый центр методико-математической работы
      Наряду с Петербургом и Москвой в начале XX в. приобретает значение центра методической работы Киев. В обсуждении всех актуальных вопросов преподавания математики живое участие принимает Киевское физико-математическое общество, объединившее ряд видных педагогов-матсматиков (Н. Н. Володкевич, К-Ф. Лебединцев, М. Г. Попруженко, К. М Щербина,-А М. Аст-ряб и др.). Киевское издательство «Сотрудник» выпускает учебники и литературу для «новой» школы.
      Михаил Григорьевич Попруженко (1854 — 1916). Окончил .Михайловскую артиллерийскую академию и всю свою жизнь посвятил работе в главном управлении военно-учебных заведений. В 1898 г. назначен директором Киевского кадетского корпуса В 1911 г. был избран председателем первого Всероссийского съезда преподавателей в Москве. Принимал большое участие в журнале «Педагогический сборник». В 1912 г. опубликованы его «Материалы по методике анализа бесконечно-малых» 1
      Константин Моисеевич Щербина (1864 — 1946). Окончил Лу-бенскую гимназию и затем Киевский университет в 1888 г. Организатор Киевского учшельского института и директор его в 1909 г. Преподаватель методики математики на Киевских женских курсах и на курсах для подготовки преподавателей средней школы при учебном округе.
      С 1920 г. переехал в Одессу, где занял должность преподава теля математики на Одесских фребелевских курсах, в Одесском институте народного образования, в физико-химико-математиче-ском институте, в университете и других учебных заведениях. Изучал постановку преподавания математики в Австрии, Германии, Франции, Швейцарии.
      В 1908 г. вышла его книга, посвящённая вопросу преподавания математики в средней школе.1
      К. М. Щербина — один из специалистов по организации внеклассной работы по математике. В 1893 г. он выпускает книгу, которая является единственной по данному вопросу.2 Его работа «Клубные занятия в школе по математике»3 является одной из первых по методике кружковой работы. В 1924 г. он выпускает «Руководство для переподготовки преподавателей трудовых школ первой ступени по математике.4
      В журнале «Математика в школе» К. М. принадлежат содержательные обзоры программ. Под руководством К- М. Щербины воспитаны тысячи преподавателей математики советской школы.5
      Александр Матвеевич Астряб (род. в 1879 г.) — один из ныне здравствующих ветеранов Киевской методической школы. Окончив Лубенскую гимназию и потом в 1904 г. Киевский университет. С 1905 г. — преподаватель Киевского коммерческого училища Л. Н. Володкевнча. Проблема новой школы особенно интересовала А. М., он является одним из главных организаторов коммерческого училища нового типа («Первое общество преподавателей»). А. М. Астряб преподавал математику и методику математики на высших женских курсах, на Лубенских и Киевских высших педагогических курсах, слившихся потоп с педагогическим институтом. В настоящее время А. М Астряб — профессор Киевского педагогического института, заслуженный деятель науки УССР.
      За 45 лет научно-педагогической деятельности Л. М. Астряб опубликовал более 70 работ объёмом около 250 печатных листов.
      «Наглядная геометрия» — один нз первых учебников по пропедевтическому курсу — вышла в 1909 г. В 1916 г. выпущен «Задачник по наглядной геометрии». В 1947 г. А. М. Астряб вступил в ряды ВКП(б) и продолжает научпо-педагогическук деятельность.
     
      ЛИТЕРАТУРА
      1. Н. А. Константинов, Очерки по истории средней школы, 1947.
      2. К. М. Щербина, Математика в русской средней школе, Киев 1908.
      3. Материалы по коммерческому образованию, вып. I, 1901 и вып. П, 1902.
      4. Третий съезд русских деятелей но техническому и профессиональному образованию в России. 1903 — 1904.
      5. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики, тт. I н II, 1913.
      6. Доклады, читанные на II Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве, 1915.
      7. Материалы по реформе средней школы. Примерные программы и объяснительные записки, изданные по распоряжению г. министра народного просвещения, 1915.
      8. М. Г. Попружеико, Материалы по методике анализа бесконечномалых, 1912.
     
      ЗАКЛЮЧЕНИЕ
     
      Методика математики в России развивалась в мрачной обстановке самодержавно-полицейского режима и общей экономической отсталости страны.
      Как наука, непосредственно связанная с работой школы, подчинённая мелочной опеке самого реакционного из ведомств — министерства народного просвещения, она с особенной силой подвергалась влияниям политической обстановки. Государственные деятели старой России, реакционеры типа М. Л. Магницкого. Рунича, Д. Толстого, Каткова, Победоносцева не верили в творческие силы русского народа, прививали представление о его культурной и духовной неполноценности. Не только изделия, но и идеи с иностранной маркой считались первосортными. Особенно доброкачественным считалось всё, что шло от немцев, государ-ственный строй которых признавался строго проверенным.
      Но... «чем ночь темней, тем ярче звёзды». В педагогическую пауку Россия внесла вклад мирового значения в лице К. Д. Ушин-ского. В создании методики начального курса арифметики Рос--сия шла впереди своих западноевропейских соседей. Трудами П С. Гурьева, А. И. Гольденберга, В. А. Латышева, С. И. Шохор-Троцкого и других педагогов, связанных с творчеством К. Д. Ушинского, была создана передовая русская школа методики арифметики. С. Е. Гурьев, А. Н. Острогорский, В. А. Латышев заложили основы прогрессивной методики геометрии. А. Н. Страннолюбский, В. П. Ермаков,
      В. П. Шереметевский, М. Г. Попруженко, К- Ф. Лебединцсв выделяются как пионеры в деле построения основ методики алгебры и начал анализа.
      Вклад русского народа в методику математики является неоспоримым и представляет большую ценность.
      Иностранная учебная литература в XIX в. была вытеснена из школы. Выдающиеся русские педагоги-математики с большим талантом подходили к критике иностранных источников, причём наступление велось против той базы идеалистической философии, ла которой основывались эти источники.
      Прогрессивные идеи и Методы преподавания перерабатывались и соответствии с условиями развития русской школы.
      XIX век и начало XX в. заложили фундамент методики математики в России. Большая творческая работа в этом направлении страдала, однако, и существенными недостатками. В создании методики tic принимали участия массы рядовых учителей, почти не был использован опыт лучших учителей, недостаточны были наблюдения над живой работой школы, отсутствовала экспериментальная основа, почти не подчёркивалась идейная сторона математики.
      Формирование здания научной методики математики переходит в новый период жизни страны, когда советский строй разрушил оковы, связывавшие творческую мощь народов России, когда люди науки, «понимая силу и значение установившихся в науке традиций и умело используя их в интересах пауки, всё же не хотят быть рабами этих традиций» (Стали и).
      С 1917 г. начинается новый, советский период методики математики, творческие, возможности которого несравнимы с предшествующим периодом.


     
      ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
     
      Агапов Д. В. 120, 121, 122. Ададуров В. Е.. 11. 14, 15, 20. Александр 1. 23, 80.
      Александров И. 94.
      Аль-Баттанн 114.
      Андреев Н. А. 126.
      Аничков Д. С. 15, 16, 20. Аполлоний 56.
      Аржеников К. П. 59, 62 — 65, 136. Архимед 56, 79.
      Астряб 91, 110, 138, 141, 142. Афанасьев П. О. 59.
      Баранов П. А. 120, 121, 122.
      Барсов 20.
      Барсуков А. Н. 100, 113 Безу 76
      Беетц 29, 53, 60.
      Белинский В. Г. 36, 42 Белль 29.
      Беллюстин В. К- 59, 62. 63. 65, 138. Бем Д. 138.
      Бернулли Д. 8, 11.
      Бернулли И. 8, 11.
      Бернулли Н. 8, II Бернулли Ц. 8 Бертран И. 97, 113.
      Беспамятных Н. 113.
      Бетяев Я. Д. 5.
      Бецкой И. И. 18.
      Билибин Н. 113, 119, 126.
      Блюм 87.
      Бобынии В. В. 21, 22, 79, 83, 93, 125, 130, 131.
      Богданов-Бельский 58.
      Боголепов Н. П. 126, 128.
      Богомолов С. А. 137.
      Богородицкий А. 94 Божерянов М. 96.
      Борель Э 56, 111. 120
      Борн 136.
      Борышкевнч 77. 91 Прашман Н. Д. 40.
      Бриль А. 8.
      Бугаев Н. В. 124.
      Буняковский В. Я. 26, 123.
      Буреннн К- 94, 103, 104, П2, 118.
      Б урле 120.
      Буссе Ф. И. 29, 30, 33, 3-1 64 , 84, 85, 94.
      Бутлеров А. М. 36.
      Бычков Ф. 112.
      Вальземан 135.
      Вальцов Н. К. 113.
      Васецкий Г. С. 7.
      Вейдлер И. 14 — 16.
      Веребрюсов А. 113, 118.
      Верещагин И. 53, 54.
      Вессель Н. X. 86, 87.
      Вишневский Г. 59, 61, 62, 64, 65. Владимирский-Буданов 7.
      Влакк 14.
      Войтяховский 14.
      Воинов А. 118, 140.
      Воленс В. 51, 52.
      Волков А. А. 138.
      Волковский Д. Л 53, 54, 55, 60, 135, 136.
      Володкевич Н. Н. 130, 141.
      Вольф X. 14 16.
      Воронец А. М. 126.
      Воронов А. 21, 22.
      Вулих 3. 89, 90, 91, 94. Вышнеградскнй Н. 34, 86
      Галанин Д Д. 13, 22. 41. 130, 133, 134, 137.
      Ганелин 111. И. 7, 24.
      Гаркави Е 113
      Гарниш В. 85, 86.
      Гатлих 55.
      Гвнн С. 9.
      Гебель В. Я. 126.
      Гейлер П. К. 87.
      Гербарт 42, 85.
      Герман Я. 8.
      Герцен Л. И. 35, 36, 42.
      Глаголев А. Н. 94, 108, 110 138. Глаголева Л. В. 134.
      Глазырин А. 113.
      Глюк 7.
      Гнеденко Б. В. 22.
      Голант Е. Я. 7, 24.
      Голицын А Н. 25, 80 Головин М. Е. II, 15, 17. 20. 21, 22, 75, 84, 115, 121, 122.
      Гончаров Д. С. 142.
      Гольдбах X. 8.
      Гольденберг А. И 45 51 62, 65, 66.
      87, J36, 144.
      Горячев Д. 140.
      Грацианская Л. ИЗ.
      Грубе 29, 31, 45, 48 — 51, 53, 61 65, 66, 71. 85. 101, 135.
      Грузинцев Г. А. 141.
      Гуревич Я. 125
      Гурьев П. С. 30 — 34. 41, 42, 45, 47, 59 — 62, 64, 66, 144.
      Гурьев С. Е. 12, 14. 75 — 80, 82, 89.
      Давидов А. Ю. 83, 89, 90, 93, 94, 96, 10-4, 108, 112, 124.
      Даламбер 75, 78.
      Дарвин Ч. 42.
      Диофант 56.
      Дистервег 29, 33, 84 , 86, 89 Дмитриев А. 34.
      Добролюбов Н. А. 36, 38, 42. Долгова А. 136.
      Долгушин П. А. 137.
      Евклид 14, 17. 22, 56, 74, 75, 78, 80, 81, 89.
      Гвгушевскнй В. А 33, 34 , 44, 45, 46 48, 49, 51, 52, 61, 87, 93, 101, 102, 111, 113.
      Егоров Ф. И. 55, 59, 62, 64, 89. 94. 126.
      Екатерина II 18, 19.
      Ермаков В. П 55, 101-106, 113. 124, 125, 144.
      Жекулина Л. В. 109.
      Житков С. В. 65.
      Жуковский II. Е. 126.
      Завадский II. 127.
      Зернов Н. Е. 26 Зилов 109.
      Игнатьев П. II. 109, 131, 132. Извольский 11. А. 137. Иноходцев П. Б. 11, 16 Ипатов В. 96.
      Исаснков В. 126.
      Исаков Н. В. 87.
      Кавальерн Б. 77, 78.
      Кавун И. II 68, 73.
      Каган В. Ф. 56, 81, 83, 111, 125. 131. Карнеев 3. Я. 25, 80, 123.
      Карно Лазарь 77.
      Канг И. 28. 81, 90.
      Кантор М. 56.
      Кардан 95 Кассо 128, 129, 131.
      Катков 144.
      Кауфман 47, 129.
      Каховский 63.
      Кестнер 56.
      Кирпичннкова Е. А. 109.
      Киселёв А. П 83, 94, 104, 108, 112, 113, 124.
      Клейн 107.
      Клеро 74.
      Клингер 27.
      Книллинг 41, 53.
      Ковалевская С. В. 40, 99.
      Коменскин А. 133.
      Кондратьев В. А. 131.
      Константинов Н А. 128, 133, 113. Кописвскнй И 14.
      Коркин А. II 40 Корф 60, 61.
      - Косинский At. О. 77, 86, 91, 93, 91. Котельников С. К И, 12, 15, 16, 20, 76.
      Коялович Б. М. 130, 131.
      Кравченко 89.
      Крамаренко Ь. К- 130, ПО Крафт Г. В. 17.
      Крогиуе В. А. 130.
      Крюзи 27.
      Кулибнн 47.
      Кулншср А. Р. 138.
      Купершгейн В. М. 65.
      Куттфер 29.
      Курганов Н. Г. II — 12, 16, 17. Курилко Г1. 119, 122.
      Кутюра Л. 90.
      Кэйли 108.
      Лай В. А. 29. 53, 60, 65, 135. 136. Ланкастер 29.
      Ламе-Флери 85 Лаплас 11. 56.
      Ларионов Н. 43.
      Лахтин 129.
      Латышев В. А. 41 — 47, 51, 53, 57.
      59 — 60, 64, 66, 89, 91 — 94, 144. Лебединцев К. Ф. 108 — 110, 136, 138. 141, 144.
      Леве 89.
      Левитус Д М. 108 — 110, 138 Лежандр 74, 75, 78, 89.
      Лезан 133.
      Лексин Н Г. 111. 113, 134, 138. Ленин В. И. 3. 35, 36, 42.
      Леонтьев К. 39 Лермантов В. В. 130 Литтров 85.
      Лнтцман В. 27.
      Лобачевский Н. И 26, 81 — 83, 96 — 98, 113, 123. 124.
      Лодж 133.
      Ломоносов М. В. 6, 7, II, 13 Лоренц Г. 108.
      Лубенец Т. 65.
      Людвиг Э. 15.
      Магницкий Л. Ф. 6. 9 — И, 16. Магницкий М. Л. 25. 80, 123, 144. Мазинг К- К. 54, 56, 89, 90,. 91, 126. Максимов А. А. 36, 81. 83.
      Макшеев 3. А 131.
      Малинии А. Ф. 89, 94. 103, 104 111, 118, 122. 124.
      Маракуев II. Н. 113.
      Маргулне А. ИЗ.
      Марков А. А. 56.
      Мартынов Д. 65. 85.
      Матковский П. 113.
      Медынский Е. Н. 4 . 7. 19, 22, 23, 24, 36, 37.
      Мейер Д. 8.
      Меморскин .М. 20.
      Мерчинский 89.
      Мечников И. И. 36.
      Мефодиев И. 43.
      Милюков 19.
      Милютин Д. А. 87.
      Михайлов 125.
      Михельсон М. 131.
      Млодзеевскнй Б. К. 124, 126.131,139. Монтюкла 56.
      Мор духа й-Болтовскнн Д. Д 79, 131. Мрочек В. 59. 60, 119. 122. 134.
      Мур 133.
      Муравьев II. 16.
      Муральт И. 27.
      Нагаева В. М. 83. 97.
      Найдёнов В. II!
      Некрасов П. А 56. 124, 130, 140 Никитин В. 17, 115.
      Николаи 25.
      Николай 1. 25. 26, 115, 123.
      Ньютон 56, 96.
      Ободовскнй А. 34.
      Оболенская 67.
      Овчинников А. 55.
      Онпорс Л. 51.
      Орелкин П. 43.
      Осиповский Т. Ф. 26, 79, 80, 82, 123,
      124.
      Осгрогорский А. Н. 60, 87 — 90. 94 (Петроградский М. В 26. 27. 82, 83. 87, 89, 94, 115, 116, 122. 123, 124.
      Паульсон И. 36, 46, 48. 86. Пениожкевич К. 140.
      Перевощиков Д. М. 26.
      Перри 133.
      Песталоцци Г. 27, 28, 30, 31, 50. 85. 135.
      Пётр I, 5, 6, 7. 8, 14 Пплеико А. 125.
      Пиотровский Б. Б. 130.
      Пирогов Н. И. 36. 37, 86.
      Писарев Д. И. 36.
      Питискус 114.
      Пифагор 138.
      Пнцкер 90.
      Пнин И. П. 24.
      Победоносцев 144.
      Ползунов 47.
      Поляков П. 89, 103.
      Попов А. 47.
      Попов II. 130.
      Попруженко М. Г. 130, 131, 139, 140, . 141, 143, 144.
      Посошков И. Т. 6.
      ГГоссе К. А. 130. 131, 132. 140. Пржевальский Е. 89. 103, 108. 112, 118.
      Прокопович Феофан 6.
      Прудников В. Е. 103. 1
      Птолемей К. 114.
      Пугачев 19.
      Пушкин А. С. 7.
      Пчелко А. С. 65.
      Радищев А. Н. 19. 36.
      Рахилевич М. К. 6.
      Рачинский С. А. 58.
      Рсгиомонтанус 114.
      Редкии В. Г. 36.
      Рождественский С. В. 7. 22.
      Ройтман Д. В. 120, 121. 122. 127,138. Румовскнй С. Я 11, 12, 15, 16, 20, 115.
      Рунич Д П. 25, 80, 123, 144 Руссо Ж. Ж. 133.
      Рыбаков С. 43.
      Рыбкин Н 117, 122. 126
      Сабншш Е. Ф. 87.
      Самохвалов Г1. 140.
      Сатаров И. 17.
      Свентицкая М. X. 109.
      Севастьянов П. 122.
      Сент-Илер К. К- 36.
      Семёнов 33.
      Сербов 13.
      Сердобинский 106.
      Серре 117.
      Сеченов И М. 36. 42.
      Симашко Ф. И. 89, 116, 118, 121, 122,
      125.
      Симон М. 8, 90.
      Сипакевнч В. 68, 73.
      Сиидсев А. 43.
      Сннцов Д. М. 130, 131, 140.
      Соколов В. 113.
      Соллертшгскнй II. 121.
      Сомов Г. 111.
      Сонни Н. Я. 40, 130.
      Сонне 89. -Сперанский 27.
      Спир В 133.
      Сталин И. В. 5, 129, 145.
      Степанов С. 47.
      Стоюиин 67.
      Страннолюбский А. Н. 93, 98 — 102, 111, 113, 116, 125, 127.
      Страхов Е. 43.
      Струве Р. 138.
      Суворов П. 17, 115.
      Сухомлинов 109.
      Таганцева 67.
      Такэ А. 14.
      Тамамшева Н. А. 130.
      Танк 41, 53.
      Татищев В. 11. 6.
      Теннер Д. Э. 130.
      Тиме Г. 119.
      Тихомиров Т. И., моек, педагог 87. Тихомиров Д. И., директор нар.
      учил. 61.
      Толстой Д. 39, 58, 116, 129. 144. Толстой Л. Н. 38, 45, 51, 57. Томнлии Н А. 130, 134.
      Торопов К. 113, 117, 118, 122. ГрейтЛсйн П. 86.
      Тюрк 29, 30.
      Уваров С. С. 24, 25.
      Ушинский К. Д. 28, 34, 36 — 41 57 — 59, 86, 105, 144.
      Фальке 89.
      Фин-дер-Флит 91.
      Фархварсон Э. 9, 14. 17.
      Филиппович Ф. В. 60, 130, 134, 139. Флёров В. А. 59.
      Фохт К. В. 130, 131.
      Франк М. Л. 130.
      Фридман В. Г. 135, (37, 138.
      Фуассн 85.
      Фусс II. И. 11, 13, 15, 17, 81, 82, 115, 122.
      Хмыров Д. 113.
      Чеботарёв II. Г. 98.
      Чебышев П. Л. 102 — 104, 118. Чернышёв В. 41.
      Чернышевский Н. Г. 36, 38, 42. Чистяков И. И. 130.
      Чиханов Б. 113.
      Чичагов П. В. 76.
      Чпчигип В. Г. 4.
      Чумиков 86.
      Шапошников А. II 102, 140. Шапошников Н. А. 108, 113, 116. Шатилов 51.
      Шатуновский С О. 117.
      Шварц 128. 129.
      Шельбах 86.
      Шемянов Н. II. 78, 83. Шереметевский В. П 106 — 108, 113, 144.
      Шидловский В. 119.
      Шифф В. 119, 122.
      Шишков, адмирал, 25.
      Шмид И. 29, 30.
      Шмулевнч П. 121, 122. Шохор-Троцкий С. И. 54 , 55, 66 — 73, 91, 106, 124, 136, 144.
      Штеккель Н. 56.
      Щербина К. М. 127, 141, 142, 143.
      Эвальд Г. 48, 49.
      Эйлер Л. 8, 11 — 17, 20, 114, 115. Эйлер — сын 12.
      Эри Ф. 135, 137.
      Юдин И. 16.
      Юревич Г. ИЗ.
      Юшкевич А. П. 4, 21, 22, 79, 83. 108, 114.
      Янжул Е. 134.
      Яикович-де-Мирнево 19

|||||||||||||||||||||||||||||||||
Распознавание текста книги с изображений (OCR) — творческая студия БК-МТГК.

 

 

 

НА ГЛАВНУЮ (кнопка меню sheba.spb.ru)ТЕКСТЫ КНИГ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)АУДИОКНИГИ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)ПОЛИТ-ИНФО (кнопка меню sheba.spb.ru)СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ (кнопка меню sheba.spb.ru)ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ФОТО-ПИТЕР (кнопка меню sheba.spb.ru)НАСТРОИ СЫТИНА (кнопка меню sheba.spb.ru)РАДИОСПЕКТАКЛИ СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ВЫСЛАТЬ ПОЧТОЙ (кнопка меню sheba.spb.ru)

 

Яндекс.Метрика
Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru