Измерение отрезков

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
     
      Эта книжка принадлежит перу крупного математика и замечательного педагога Якова Семеновича Дубнова (1887—1957). Видный деятель на поприще математической науки, профессор Московского университета, воспитавший не одно поколение геометров, Яков Семенович Дубнов принадлежал к той (к сожалению, весьма немногочисленной) группе ученых, которых глубоко волнуют и практические вопросы школьного преподавания. Педагогическая деятельность в самом широком смысле этого слова — лекции и занятия со студентами, научно-популярные лекции для учащихся средней школы, устные и письменные выступления по вопросам преподавания математики в средней и высшей школе, написание книг, рассчитанных и на студентов, и на преподавателей средней школы, и на школьников,— все это занимало очень большое и важное место в жизни Я. С. Дубнова. И в последнее десятилетие жизни центром его педагогических устремлений была работа над книгой «Длина, площадь, объем», рассчитанной на учителей и студентов педагогических институтов.
      Я. С. Дубнов любил долго вынашивать свои замыслы, много раз возвращаясь к одной и той же мысли и тщательно шлифуя детали. Обнаруженная после его смерти машинописная рукопись первой главы книги «Длина, площадь, объем», составляющая основное содержание настоящей брошюры, датирована 1947 годом; по-видимому, еще более ранним является также сохранившийся текст этой главы, написанный от руки. Все последующие годы Я. С. Дубнов охотно возвращался к этой книге, снова и снова продумывая относящиеся сюда научные и методические вопросы. Следы работы над книгой, посвященной вопросам измерения величин, заметны в ряде последних выступлений
      Я. С. Дубнова. Они явственно проглядывают, например, в выборе тем докладов, прочитанных им перед учительской аудиторией на секции Средней школы Московского математического общества1); также и в выборе примеров для небольшой брошюры «Ошибки в геометрических доказательствах», впервые увидевшей свет в 1953 году, отражается интерес к методическим вопросам, связанным с этой темой.
      Книгу «Длина, площадь, объем» Я. С. Дубнов так и не успел закончить. В его бумагах удалось обнаружить кроме двух экземпляров первой главы лишь проспект всей книги, дающий представление об общем замысле (см. приложение в конце книги). Начал он также писать предисловие к книге, из которого, в частности, видна та роль, которую он отводил (единственно написанной!) первой главе.
      «Приступая к привлекательной для автора задаче — беседовать с настоящим или будущим педагогом о важных вопросах преподавания,— я поставил себе за правило: не «вещать» с неких научных или методических высот, а именно беседовать. Поэтому я не останавливался перед некоторыми длиннотами и отступлениями в сторону, если мне казалось, что они могут быть полезны для моего собеседника. Конечно, основной канвой служит тема, указанная в заглавии. Однако вокруг нее вырастает множество сопоставлений и аналогий, от рассмотрения которых я не считал нужным отказываться. Менее всего меня соблазняла перспектива прибавить ко многим превосходным изложениям предмета (вспомним хотя бы книгу А. Лебега «Об измерении величин») еще одно, пусть даже вполне корректное, но ограниченное узкими рамками темы.
      Мне пришлось отдать дань и формальному изложению — главным образом в §§ 3—5 гл. I. Так как эти страницы приходятся как раз на первую главу, то я прошу читателя не делать по ним заключения о характере всей книги. Тому, кто не имеет вкуса к подобного рода изложению, можно посоветовать при первом чтении ознакомиться с содержанием этих страниц лишь самым беглым образом, не опасаясь того, что это послужит препятствием к пониманию дальнейшего. То же относится к напечатанному мелким шрифтом.
      В качестве специфической особенности этой книги отмечу фундаментальную роль, отводимую методу Кавальери. Думаю, что этот метод недооценивается нашей школой ни с научной, ни с педагогической стороны...»
      Данная брошюра содержит лишь первую главу задуманного сочинения и, разумеется, не заменяет его.
      См., например, тезисы докладов «Величина и число» и «Метод параллельных сечений в теории площадей и объемов», прочитанных на секции Средней школы ММО в 1955 и в 1956 гг., сборник «Математическое просвещение», вып. 5, I960, стр. 212—214.
      Однако и в настоящем своем виде нижеследующие страницы представляют достаточно большой интерес. Вопросу об измерении длин отрезков в учебниках геометрии отводится обыкновенно довольно скромное место; однако этот вопрос является одним из самых принципиальных во всем курсе геометрии и уже здесь как в зародыше заложены весьма многие важные идеи, с которыми мы сталкиваемся во всех более сложных вопросах теории измерения геометрических величин (да и не только в этой теории!). И настоящая книжка может многому научить читателя; ограниченность ее темы и объема является даже определенным достоинством, поскольку все принципиальные моменты теории измерения величин даны здесь в достаточно обнаженном виде, не затушеваны никакими техническими трудностями.
      Дальнейшее развитие теории содержит много интересных фактов и изящных построений, однако лишь весьма немного новых идей. Для иллюстрации этого положения мы прибавили к книге статью «О площади многоугольника», содержащую теорию измерения площадей многоугольников и продолжающую намеченную в основном тексте линию изложения еще на один шаг; это дополнение занимает сравнительно небольшой объем и с идейной стороны содержит довольно мало нового, хотя первоначально может показаться, что решаемая в нем задача значительно превосходит по трудности задачу измерения длин отрезков. При написании дополнения редактор старался возможно ближе держаться принятого Я. С. Дубновым хода мысли; однако его изложение, в некоторых деталях соприкасающееся со сравнительно свежим построением теории объемов л-мерных многогранников, принадлежащим видному швейцарскому геометру Г. Хадвигеру *), вероятно, во многом отлично от того изложения этого вопроса, которое имел в виду дать Яков Семенович.
      Основной текст книги разбит на семь небольших параграфов. Они содержат весьма тщательное во всех деталях обсуждение принципиальных вопросов, связанных с содержанием книги, и глубокие замечания педагогического характера, связанные с преподаванием соответствующих тем как в средней, так и в высшей школе. Особо хочется
      *) Ср. Н. Н adwiger, Vorlesungen iiber Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1957.
      отметить большое внимание, уделенное Я. С. Дубновым вопросу о взаимоотношении дескриптивных и конструктивных определений, играющему в науке весьма важную роль. Несколько особняком стоит в книге напечатанный мелким шрифтом § 7, излагающий основные идеи так называемой «интегральной геометрии» — научного направления, созданного в 30-х годах нашего столетия известным немецким геометром В. Бляшке и его школой; ранее эта теория излагалась лишь в статьях и книгах, рассчитанных на специалистов, а между тем она представляет собой превосходную иллюстрацию плодотворности и даже некоторой научной актуальности изложенных в §§ 1—6 общих идей.
      Рукопись Я. С. Дубнова завершилась семью задачами (три из которых относились к «интегральной геометрии»), дающими читателю дополнительную возможность обдумать содержание книги. Желая сделать настоящую брошюру более законченной, мы значительно увеличили число задач, сопроводив «задачами и темами» каждый параграф книги. При этом в подборе задач мы стремились сохранить тот стиль, который имели задачи Я. С. Дубнова: это не просто упражнения, а именно темы, с идейной стороны весьма близкие к материалу соответствующего параграфа, но по содержанию иногда выходящие довольно значительно за его пределы. Зачастую в этих задачах указывается дополнительная литература, к которой может обратиться читатель, специально заинтересовавшийся рассматриваемым в задаче вопросом. Эта литература может оказаться полезной при разборе соответствующей темы на школьном или на студенческом математическом кружке.
      При редактировании книги мы старались оставить неприкосновенным весь принадлежащий Я. С. Дубнову текст: даже в тех случаях, когда редактор полагал, что он смог бы убедить автора в целесообразности того или иного изменения, в создавшейся ситуации он предпочитал оставить изложение неизменным. Почти не изменены также и литературные ссылки, относящиеся, естественно, лишь к книгам и статьям, увидевшим свет до 1947 года. Однако здесь хотелось бы указать читателю на вышедшую несколько позже первую часть «Курса элементарной геометрии» Д. И. Перепелкина (М.— Л., Гостехиздат, 1948), имеющую много точек соприкосновения с материалом
      настоящей книги 1). Можно еще отметить цикл статей на тему «Введение действительных чисел в средней и высшей школе», напечатанный в вып. 2 сборников «Математическое просвещение» (М., Гостехиздат, 1957); вопросам измерения геометрических величин будет уделено также много внимания в выходящем вскоре в свет IV томе «Энциклопедии элементарной математики».
      И. М. Яглом
      г) Известно, как высоко оценивал эту книгу сам Я. С. Дубнов (см. его рецензию «Две новые книги по геометрии для педвузов», журнал «Математика в школе», № 6, стр. 43—49, 1949),— и в первую очередь за тщательность в изложении вопросов измерения величин. Можно отметить, что вторую часть той же книги, в которой вопросы измерения поверхностей и объемов в значительной степени обойдены, Я. С. Дубнов именно по этой причине считал менее удавшейся автору.
     
      ВВЕДЕНИЕ
     
      Геометрия как наука далеко ушла от тех задач, которые дали ей это древнее название. Не только «измерение земли» стало достоянием узкоспециальной дисциплины — геодезии, но в ходе развития науки, идущей от Евклида, выросли такие ее ветви, как проективная и аффинная геометрии, как топология, где вообще ничего не измеряют, где нет речи ни о длинах, ни о площадях, ни об объемах, ни о градусной или радианной мере угла (а топологии чужды, на фимер, даже понятия прямой или окружности). Однако эти более новые направления не отразились на содержании школьного курса геометрии. В тех редких случаях, когда там встречаются предложения характера чисто проективного (например, «через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом единственную») или аффинного (например, «три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей каждую медиану в отношении 2:1»), у нас нет педагогически оправданного повода обращать внимание учеников на особую природу этих предложений.
      Таким образом, в школе геометрия остается и по содержанию, и по изложению измерительной, или, как говорят, метрической. Поэтому преподаватель должен с особой тщательностью изучить научную теорию измерения, чтобы быть в состоянии разрешить основную методическую задачу: найти равнодействующую между требованиями науки и интеллектуальными ресурсами ученика.
      Нередко в школе пытаются дать общую формулировку, охватывающую отдельные задачи измерения. Говорят: измерить какую-либо величину (расстояние, промежуток времени, вес и т. п,)— значит сравнить ее с какой-либо определенной величиной того же рода (расстояние с расстоянием, вес с весом), которую при этом называют единицей измерения. Здесь ненужным образом усложняют дело привлечением расплывчатого понятия «величина» (являются ли величинами доброта, храбрость, для которых ведь имеют смысл понятия «больше», «меньше»? комплексные числа, к которым эти понятия не применяются?); не лучше ли формулировать задачу измерения для каждого отдельного случая (в геометрии — для отрезков прямолинейных и криволинейных, углов, фигур плоских и неплоских, тел), отмечая общие для этих вопросов черты и оставляя обобщение до значительно более поздней ступени?
      Но самое слабое место приведенного выше определения (скорее, описания) заключается в неопределенности слова «сравнить». Сравнение может преследовать самые разнообразные цели: например, если сравниваются два расстояния, то возникает ряд вопросов — какое из них больше? насколько больше? и т. п. Только одному из таких вопросов, который в простейшем случае формулируется словами «во сколько раз больше?», соответствует задача измерения. Но так как дело не ограничивается этим простейшим случаем, когда результат измерения может быть выражен целым числом, то упомянутой формулировкой нельзя удовлетвориться даже в начальном преподавании.
      Более ста лет тому назад наш великий соотечественник Н. И. Лобачевский начал свои «Геометрические исследования» *) словами (часть цитаты выделена нами):
      «В геометрии я нашел некоторые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука... до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий...».
      *) Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий, Изд. АН СССР, 1945.
      Как известно, Лобачевский избрал делом своей жизни заполнение «пробела в теории параллельных» и вошел в науку как творец «неевклидовой» геометрии. Однако он пристально размышлял и над вопросами измерения, как о том свидетельствует его «Геометрия» *).
      В этом раннем сочинении Лобачевский опережает свой век, обнаруживая понимание той роли, какую позже стал играть предельный переход в вопросах измерения кривых линий, неплоских фигур и некоторых тел. Конечно, построение исчерпывающей теории в то время было невозможно, этого не позволяло состояние основ анализа и, прежде всего, учения о вещественном (действительном) числе.
      В наше время научное обоснование теории измерения — пройденный этап, но отражение этой теории в школьном преподавании остается еще сложной методической проблемой. На преодоление возникающих здесь трудностей и направлены последующие страницы.
      *) Под этим названием была издана в 1909 г., т. е. более чем через полвека после смерти Лобачевского, рукопись (считавшаяся долгое время утерянной) составленного им в 1823 г. краткого пособия по элементарной геометрии. В настоящее время эта рукопись воспроизведена в «Полном собрании сочинений Н. И. Лобачевского», т. 2, Гостехи’дат, 1949.