И. Б. Абельсон
Рождение логарифмов
*** 1948 ***
|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Лестница «на сколько» 5 1. Арифметическая прогрессия 5 2. Египет и Вавилон 11 3. Сумма квадратов и кубов. Вычисление суммыкубов 16 4. Сумма квадратов (задача Архимеда) 22 Глава II. «На сколько»и «во сколько» 29 1. Отношение двухколичеств 29 2. Комбинированиеотношений 35 3. Случай равных отношений 50 4. Гипербола и одно из её важнейших свойств 52 5. Три средних 60 Глава III. Лестница «во сколько» 69 1. Геометрическая прогрессия 69 2. Сумма членов геометрической прогрессии 81 Глава IV. Арифметический треугольник Паскаля 97 1. Формула сочетаний 99 2. Таблица Тартальи 104 3. Формула для любого числа таблицы Тартальи (перцый способ) 110 4. Диагонали таблицы и формула Паскаля (второй способ) 117 5. Решение задачи о суммах 127 Глава V. Что такое логарифм? 132 1. Таблица Бюрги 132 2. Гигантский труд (таблица Непера) 142 3. Идея Непера 151 4. Число Непера 168 5. Логарифм как площадь 184 Глава VI. Ключ Меркатора 193 1. «Неделимые» Кавальери 193 2. Площадь «под» параболой 198 3. Меркатор находит ключ 207 4. Принцип устройства счётной линейки 219 5. Чему равно число 225 |
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ФPAГMEHT УЧЕБНИКА (...) состоящих из шаров; но их можно получить и иначе. Верхнее число каждого столбца равно единице. Второе число получается путём сложения этой единицы с числом предыдущего столбца, стоящим во второй строке; третье число каждого столбца получается путём сложения второго числа того же столбца с третьим числом предыдущего столбца и т. д. Хотя уже нельзя строить геометрические фигуры из шаров, числа которых давали бы числа следующего, четвёртого, столбца, однако, подмеченное нами правило даёт возможность построить эти числа: пишем в первом ряду четвёртого столбца 1; к нему прибавляем 4 (второе число третьего столбца), получаем 5 (второе число четвёртого столбца) и т. д. Вот фигурные числа четвёртого порядка: 1, 5, 15, 35, 70, 126, ... Ничто не мешает из полученных чисел образовать числа пятого порядка и т. д. В пятом столбце получим ряд чисел: 21, 56, 126, 252, 792, 1287, о которых шла речь в начале параграфа. С левой стороны таблицы добавляется ещё один вертикальный столбец, состоящий из одних единиц; •числа этого столбца (единицы) называют фигурными числами нулевого порядка. В результате получим таблицу, данную на стр. 109. Так построенная таблица фигурных чисел впервые встречается в большом сочинении по арифметике Тартальи (1500—1557). Однако систематическое изложение свойств чисел различных порядков было дано лишь в сочинении «Об арифметическом треугольнике» Паскаля (1623—1662). Укажем теперь на основное свойство полученной таблицы. Из самого способа её составления вытекает следующее: если взять, например, первые 10 чисел второго порядка, то их сумма равна одному десятому числу третьего порядка. Чтобы это показать, заметим, что в третьем столбце второе число 4 равно сумме 1+3; третье число 10 равно 4+6 или же 1 + 3 + 6 четвёртое число 20 равно 10+10 или же 1 + 3 + 6+10, т. е. четвёртое число третьего столбца равно сумме первых четырёх чисел второго столбца; пятое число третьего столбца 35 равно 20+15 или же 1 + 3 + 6 + + 10+15, т. е. сумме первых 5 чисел второго столбца, и так далее. Поэтому и десятое число третьего порядка равно сумме первых 10 чисел второго порядка. Таким же образом можно показать, что, например, сумма первых 8 чисел третьего порядка равна одному восьмому числу четвёртого порядка. Общее правило таково: сумма первых п фигурных чисел какого-либо порядка равна одному n-му числу следующего порядка. Введём следующие обозначения. Число, стоящее на т-й строке и в столбце с нумером ft, обозначим через F*; например, 8-е фигурное число второго порядка будет обозначаться через FJ; 10-е число третьего порядка FJ0 и т. д. Тот факт, что сумма первых шести чисел второго порядка равна шестому числу третьего порядка, в этих обозначениях запишется так: Таким образом можно записать, что сумма первых восьми чисел третьего порядка равна восьмому числу четвёртого порядка: Можно записать и общую формулу такого «автоматического» сложения: Если бы мы имели в своём распоряжении весьма большую таблицу, то могли бы сразу находить суммы такого рода; например, сумму первых 300 чисел третьего порядка; сумму первых 450 чисел четвёртого порядка и т. д. Но оказывается, можно производить такое суммирование сразу, не имея огромных таблиц. Можно, например, быстро найти сумму первых 300 слагаемых третьего порядка без таблицы. Для этого, согласно изложенному, достаточно знать только фигурное число F. Но как его узнать? Ответ на этот вопрос даёт формула другого математика Пьера Ферма (1G01 —1665). Эта формула впервые встречается в письме, которое Ферма писал своему приятелю в 1636 г., т. е. более трёхсот лет назад. Фигурное число согласно формуле Ферма, равно К выводу формулы Ферма мы и перейдём. Формула для любого числа таблицы Тартальи (первый способ). Решим предварительно такую задачу. Требуется сложить сумму Для нахождения суммы можно применить следующий весьма удобный приём. Сперва умножим все слагаемые на 4. Получим: Такое увеличение всех слагаемых влечёт за собой и увеличение всей суммы в 4 раза; поэтому результат нового суммирования придётся пбтом разделить на 4. Новую сумму будем вычислять постепенно: сперва найдём сумму первых двух слагаемых; к полученному добавим третье слагаемое, затем добавим четвёртое и т. д. Складываем первые два слагаемых: Следует отметить, что все слагаемые состоят из трёх множителей, а сумма содержит четыре множителя; кроме того, появляется множитель: Таким же способом может быть решена задача нахождения суммы слагаемых такого вида: В данном случае придётся все слагаемые предварительно умножить на 5. Решение может быть проведено в точности' так же, как в предыдущем случае; в результате получится: |л(л+ 1)(л + 2)(л + 3)(л + 4). Вернёмся теперь к таблице Тартальи (в дальнейшем будем её называть таблицей Паскаля; такое название более употребительно). В первом столбце таблицы находятся числа 1, 2, 3, 4, ... Хотя мы знаем формулу для суммы чисел этого ряда, но можем её получить и только что указанным приёмом. Для этого надо предварительно умножить числа ряда на 2. Получим: Именно эту формулу сообщал Ферма в письме другу в 1636 г. Дадим теперь геометрическую иллюстрацию к изложенному способу суммирования произведений последовательных чисел натурального ряда. Пусть требуется сложить числа первого порядка, т. е. числа 1 + 2 + 3 + 4 + 54-... ...+п. Эти числа можно представить прямоугольниками, длина которых равна 1 см, 2 см, 3 см, ..., п см, а ширина 1 см. Площади (черт. 38) прямоугольников будут равны тем же фигурным числам первого порядка: 1*1 кв. см = 1 кв. см, 2-1 кв. см = 2 кв. см, 31 кв.см = *=3 кв.см, 4-1 кв.см —А кв.см. Условимся повсюду указывать сперва длину, затем ширину. Согласно вышеизложенному способу удвоим ширину всех этих прямоугольников, т. е. сделаем её равной 2 см. Теперь приступаем к последовательному сложению их площадей (черт. 38). Сумму площадей первых двух прямоугольников получим, приставив второй из них справа к первому; получится прямоугольник площадью в 2 х 3 кв. см; эту площадь обозначим через S,. К полученному прямоугольнику приставляем снизу третий прямоугольник; в результате получится новый прямоугольник площадью в 3x4 кв.см; обозначим его величину через S,. К по лученной фигуре приставляем справа четвёртый прямоугольник, предварительно опрокинув его так, чтобы основанием служила сторона, равная 2 см. В результате получим прямоугольную фигуру размером 5x4 кв. см; эту величину обозначим через Такой процесс последовательного прикладывания справа и снизу новых прямоугольников можно продолжать как угодно далеко. |
