Уравнения и неравенства

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Решить уравнение, решить неравенство... С этим сортом задач мы сталкиваемся очень часто. Пишем подряд какие-то формулы, радуемся, когда они становятся проще и проще, наконец, видим желанное равенство, например х=100, и объявляем, что уравнение решено. Это напоминает прополку грядки человеком, которому не сказали, что на ней должно расти.
      Цель этой книжки — помочь научиться пропалывать грядку так, чтобы все нужное оставить, а все лишнее — выдернуть. Сначала мы познакомимся со всеми растениями, которые будут расти на нашей грядке, научимся их быстро узнавать, классифицировать, удобно обозначать. Этому посвящена довольно длинная вводная глава. Затем мы попробуем точно сформулировать, чего же мы добиваемся, что мы понимаем под словами «решить уравнение», «решить неравенство» и т. п., обдумаем смысл тех операций, тех преобразований, которые мы используем для достижения цели.
      Все это вместе довольно легко, потому что сложной теории здесь нет, большая часть книжки состоит просто из примеров. С другой стороны, хотя заниматься мы будем самыми привычными вещами, иногда привычки придется ломать и создавать новые.
      Круг рассмотренных вопросов намеренно ограничен: разбираются почти исключительно алгебраические уравнения и неравенства, совсем мало места отведено интересным и важным задачам, касающимся доказательства неравенств, которые, как мы надеемся, будут включены в одну из книжек этой серии.
      Книжка носит ярко выраженный «технический» характер. В ней много задач, требующих только хорошего владения школьным материалом, близких к конкурсным задачам при поступлении в институт. Примеры, показываемые в тексте, требуют внимательного разбора с карандашом в руке.
      Книга рассчитана на школьников 9—10 классов, учителей и лиц, самостоятельно занимающихся математикой.
      Я глубоко благодарен Н. Б. Васильеву, Д. А. Владимирову, В. Л. Гутенмахеру, Ю. И. Ионину, Д. К. Фаддееву, прочитавшим рукопись и много сделавшим для ее улучшения.
     
      ВВЕДЕНИЕ
     
      § 1. Числа
      В этой книге мы всюду имеем дело с вещественными числами. Мы не будем здесь давать определение того, что такое вещественное число. Вместо этого просто перечислим те свойства чисел, которыми мы пользуемся.
      Что же мы обычно делаем с числами?
      Прежде всего, мы совершаем арифметические действия — сложение и умножение, с помощью которых мы можем из двух чисел получить третье — их сумму или произведение.
      Эти действия обладают рядом свойств. Основными свойствами сложения являются следующие: (…)
      Число 0 по отношению к действиям умножения и деления является исключительным. Произведение любого числа на нуль равно нулю. Деление же на нуль не имеет смысла (не определено).
      Важным свойством умножения является следующее: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.
      Множество всех вещественных чисел удобно представлять себе как множество всех точек некоторой прямой, называемой в таком случае координатной прямой или числовой осью. Соответствие между числами и точками числовой оси при обучении математике не менее существенно, чем, например, соответствие между буквами и звуками при обучении чтению. Оно лежит в основе языка, на котором излагаются целые главы математики. Этот язык настолько привычен, что мы часто вместо слова «число» говорим «точка» и наоборот. Поэтому, например, мы не будем старательно различать координатную прямую (числовую ось) и числовую прямую, т. е. само множество вещественных чисел 6.
      Напомним, что для того, чтобы каждая точка оси была изображением некоторого числа, одних рациональных чисел оказывается недостаточно. Для того чтобы сплошь заполнить числами всю прямую, к множеству рациональных чисел присоединяют новые, иррациональные числа. Вместе все эти числа, рациональные и иррациональные, носят название вещественных или действительных чисел.
      В этом «полном» множестве вещественных чисел уже можно определять такие операции, как извлечение корня, возведение в произвольную степень, взятие логарифма (правда, все эти операции безоговорочно выполнимы только для положительных чисел), и другие. Остановимся коротко на операции извлечения корня, необходимой при решении алгебраических уравнений.
      (…)
      Кроме операций над числами нам приходится рассматривать отношения между ними — отношение равенства (совпадают они между собой или нет) и отношение порядка, или, как мы будем часто говорить, отношение «больше — меньше». (…)
      Отношение порядка между числами очень наглядно представляется геометрически. Если положительное направление оси выбрано слева направо, то точка, соответствующая большему числу, расположена правее. Свойства отношения «больше — меньше» будут изучены подробно в главе II.
      А пока займемся тем, что введем обозначения для некоторых множеств на прямой. Эти обозначения будут несколько отличаться от принятых в настоящее время в школьных учебниках. Однако именно они применяются в большей части современной математической литературы, и учащимся полезно с ними познакомиться.
      (…)
     
      КРАТКИЕ ИТОГИ
     
      Основные понятия
      1. Числовое равенство (числовое неравенство) — это высказывание вида (…)
      2. У равнение (условное неравенство) — это переменное высказывание вида (…)
      3. Область определения уравнения (неравенства) — множество значений аргумента, при которых определены все функции, входящие в уравнение (неравенство).
      4. Решение, или корень, уравнения (неравенства) — значение аргумента, при подстановке которого получается верное равенство (верное числовое неравенство).
      5. Решить уравнение (неравенство) — найти множество его решений.
      6. Уравнения (неравенства) равносильны — это значит, что множества их решений совпадают.
     
      Советы
      1. Процесс решения уравнения состоит обычно в получении цепочки следствий — уравнений, множества решений которых содержат множества решений предыдущих. Получив в качестве следствия уравнение, множество решений которого нам известно, можно либо сделать проверку, либо проследить за равносильностью переходов. Так же решают и системы уравнений.
      2. При решении неравенств и доказательстве тождеств нужно пользоваться равносильными переходами.
      3. Переход с помощью некоторой операции от одного неравенства (уравнения) к другому заведомо является равносильным, если для этой операции имеется «обратная». Например, можно обе части умножить на положительную функцию, прибавить к ним любую функцию, применить некоторую монотонно возрастающую функцию.
      4. Решение следует начинать с того, что выписать все ограничения на область определения.
      5. Преобразуя одну часть уравнения (неравенства) или переходя от одного уравнения (неравенства) к другому, нужно обязательно следить за тем, чтобы выполняемые операции имели смысл при всех значениях переменных из области определения.
      6. Иногда полезно рассмотреть несколько «случаев»: разбить области определения на несколько множеств, на каждом из которых удобно совершить переход к более простому уравнению (неравенству).
      7. Если нужно найти множество точек, удовлетворяющих одновременно нескольким условиям, записываемым уравнениями, неравенствами и т. п. (решить систему),то надо взять пересечение множеств точек, удовлетворяющих отдельным условиям.
      Если нужно найти множество точек, удовлетворяющих хотя бы одному из нескольких условий (рассмотреть несколько возможных случаев), то надо взять объединение множеств точек, удовлетворяющих отдельным условиям.
      8. Очень часто, особенно при решении неравенств и при необходимости перебирать много частных случаев, помогают графические иллюстрации.
      9. При решении уравнений и неравенств с параметром надо в ответе перечислить решения при всех значениях параметра.
      10. Несколько советов по поводу решения задач на составление уравнений (с параметрами): не забудьте выписать все условия и ограничения; получив ответ, проверьте, все ли слагаемые в сумме имеют одинаковую размерность (нельзя, например, складывать длину и скорость); проверьте ответ в каком-либо простом частном случае; подставьте простое численное значение параметра и посмотрите, правдоподобный ли получился результат.