НА ГЛАВНУЮ (кнопка меню sheba.spb.ru)ТЕКСТЫ КНИГ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)АУДИОКНИГИ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)ПОЛИТ-ИНФО (кнопка меню sheba.spb.ru)СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ (кнопка меню sheba.spb.ru)ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ФОТО-ПИТЕР (кнопка меню sheba.spb.ru)НАСТРОИ СЫТИНА (кнопка меню sheba.spb.ru)РАДИОСПЕКТАКЛИ СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ВЫСЛАТЬ ПОЧТОЙ (кнопка меню sheba.spb.ru)

За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7—9 классов. Пичурин Л. Ф. — 1990 г.

Лев Фёдорович Пичурин

За страницами
учебника алгебры

Книга для учащихся 7—9 классов

*** 1990 ***


DjVu

<< ВЕРНУТЬСЯ К СПИСКУ

 

      СОДЕРЖАНИЕ
     
      Предисловие 3
      Чем мы занимаемся? 6
      Китаб аль-джебр валь-мукабала 17
      Любознательность математиков 24
      На новую ступень 29
      Из Азии в Европу 34
      Отец алгебры 40
      Глава для сообразительных 45
      Первые итоги 48
      Уравнения и графики 54
      Еще раз о Диофанте 63
      Формализм — это хорошо или плохо? 69
      Первое знакомство со вторым китом 75
      Натуральные числа 77
      Простые и составные числа 86
      О некоторых простых числах 90
      Зачем мы изучаем простые числа? 95
      Вспомним об обыкновенных дробях 99
      НОД Алгоритм Евклида НОК 101
      Иррациональные числа 104
      Как извлечь корень? 114
      Непрерывные дроби 120
      Золотое сечение 126
      Еще одна глава для сообразительных 131
      Переходим к третьему киту 134
      А как было у древних? 138
      Снова про обобщения 143
      Геометрическая арифметика 146
      Еще раз о квадратных уравнениях 150
      Необычное деление 153
      Прогрессио — движение вперед 158
      Поиск коэффициентов 167
      Коротко о радикалах 170
      Вновь в Азию и Египет 176
      «...возвращаться к грекам» 180
      Поворотный пункт в математике 189
      Наши школьные знакомые 191
      Иоганн Бернулли или школьный учебник? 201
      Чтение — вот лучшее учение 205
      Ответы, указания, решения 207
      Приложение 211

     

      Предисловие
      13 — 15 лет — это время, когда уже пора всерьез задуматься над вопросом, который вы хорошо знаете еще по знаменитым строчкам В. В. Маяковского: «У меня растут года, будет и семнадцать. Где работать мне тогда, чем заниматься?» Конечно, поэт был прав, когда говорил: «все работы хороши, выбирай на вкус!» А каков ваш вкус? Что вас более всего привлекает? История? Химия? Литература? Математика? Может быть, еще что-то? Не торопитесь принимать окончательного решения, но думать о нем уже пора. И не только думать. Важно попробовать себя в разных направлениях, попытаться самому определить: «А что у меня будет получаться лучше, в чем я смогу проявить себя полнее, чем я буду по-настоящему полезен нашей стране, нашему обществу?» Скажем прямо — как бы хороши ни были советы ваших родителей, учителей, друзей, а решать-то придется самим. Но хорошее решение может быть принято только на основе знаний — нельзя говорить «буду летчиком, инженером, врачом, агрономом...», не зная, какие именно требования предъявляются к этой профессии, есть ли к ней способности.
      Особенно важно как можно раньше определить, сумеете ли вы серьезно заниматься математикой, есть ли у вас к ней способности. Это важно по многим причинам, главная из которых заключается в том, что математика используется в самых разнообразных профессиях — она нужна инженеру, военному, биологу, конструктору, программисту, можно твердо сказать, что она нужна всем. Но все-таки для одной специальности больше, для другой — меньше. Сумеете ли вы справиться с нею? Ведь не секрет, что математика — предмет непростой. Людей, совершенно не способных к математике, не бывает, но все же одним она дается немного, а иногда и намного легче, чем другим. А вам как? Ведь только вы сами и сможете ответить на этот вопрос. Но для этого надо испытать себя. И здесь математика имеет значительные преимущества перед другими предметами, так как испытать себя в ней можно очень рано. Наверное, только в музыке и в живописи человеку удается определить свои способности раньше, чем в математике. Не случайно многие открытия в математике были сделаны, да и сейчас делаются людьми, еще не достигшими тридцати, а иногда и двадцати лет.
      Испытать себя вам поможет эта книга.
      Конечно, как и всякая книга по математике, она нелегка — легких книг по математике вообще не бывает. Читайте ее не торопясь, следуя при этом нескольким советам.
      Во-первых, читайте книгу, как говорят, с карандашом в руках. Дело, конечно, не в карандаше, пусть это будет шариковая или еще какая-нибудь ручка, но суть нашего совета состоит в следующем. Все преобразования, доказательства теорем, выводы формул, вычисления, геометрические построения и т. д. обязательно проделайте самостоятельно, даже если в книге они описаны очень подробно. Более того, проделать их надо не менее двух раз — сначала как бы «списывая с книги», а потом — самостоятельно, не заглядывая ни в книгу, ни в свои записи.
      Во-вторых, все чертежи, схемы, графики нарисуйте сами. Особенно важно сделать это, если в книге написано что-нибудь вроде: «проведем перпендикуляр... продолжим отрезок АВ до пересечения с прямой XY» и т. д. В этом случае надо не перерисовывать рисунок из книги, а выполнить все построения постепенно. Это же относится и к помещенным в книге таблицам.
      В-третьих, не пропускайте трудных мест. Если такое место встречается, попробуйте разбить его на небольшие части, может быть, даже на отдельные предложения, разберитесь в каждом из них, в необходимых случаях вернитесь назад, к предыдущему абзацу. И только если уж дело никак не идет — обратитесь за помощью к учителю, но все же постарайтесь разобраться во всем самостоятельно.
      Четвертый совет. Часто люди, неумело читающие -книги по математике, делают такую ошибку. Допустим, написано: «Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны». И вот ученик старательно учит это определение как стихи. А что такое параллелограмм — забыл. И какие отрезки называются сторонами — тоже толком не знает. И читает такой ученик какую-нибудь математическую книгу два раза, три раза, десять раз — а толку все равно нет. И не будет! Читая книгу по математике, обязательно надо повторять те определения и теоремы, которые упоминаются в тексте. Сказано «параллелограмм» — вспомни определение, вспомни свойства, начерти параллелограмм, а уж тогда двигайся дальше. Не жалейте на это времени — все равно в конечном итоге вы его сэкономите!
      Наконец, пятый совет. Изучать математику надо самостоятельно, но очень полезно читать и особенно обсуждать
      прочитанное в небольшом коллективе. Попытайтесь рассказать — подробно, с примерами, с доказательствами — то, о чем вы прочитали, вашему товарищу. Сумеете объяснить так, что он все поймет, — значит, и сами разобрались, не сумели — что-то еще не доделано, что-то еще не до конца понято.
      Книга наша — не приключенческая повесть. Не читайте сразу слишком много. Лучше всего за один раз одолевать не более 4 — 5 страниц, т. е. примерно одну главу книги. Упражнения для самостоятельного решения при первоначальном чтении можно пропустить, но прежде чем начинать изучение следующей главы, их все же надо выполнить.
      Книга называется «За страницами учебника алгебры». Значит, предполагается, что написанное на страницах учебника вы знаете хорошо. И все же, читая эту книгу, надо обязательно иметь под руками учебник алгебры. Не помешает, конечно, и учебник геометрии. Почаще заглядывайте в них!
      Вот, пожалуй, и все. Успехов вам в нелегком труде по овладению нашей замечательной наукой!
      Чем мы занимаемся!
      Итак, мы изучаем алгебру. И конечно, возникает вполне естественный вопрос: а что это такое? Ведь, например, все ясно с биологией: биос — жизнь, логос — учение, получилось ¦учение о жизни»; с географией тоже ясно: гео — земля, графо — пишу, ¦землеописание», геометрия — ¦землемерие».
      Само слово ¦аль-джебр», от которого произошло наше ¦алгебра», по-арабски означает ¦восстановление», но этот перевод пока ничего не объясняет. Ясно, что существует научное определение алгебры, существует и объяснение происхождения названия этой науки, но говорить об этом нам придется чуть позднее.
      Попробуем сначала ответить на другой вопрос: чем же занимается алгебра? Давайте просто полистаем учебник алгебры и какой-нибудь другой учебник, скажем, литературы. В чем бросающееся в глаза различие? В учебнике алгебры почти нет рисунков — их заменяют чертежи, мало сплошного текста, зато много цифр и еще больше букв, причем букв латинских. Почему они латинские — понятно. Если бы мы взяли буквы нашего алфавита, то могли бы перепутать обычный текст с текстом чисто математическим. Ну а если взять, например, китайские иероглифы или буквы арабского алфавита, то, наверное, путаницы бы тоже не было, но зато нам пришлось бы учить еще один алфавит специально для алгебры. А латинские же буквы мы знаем из уроков иностранного языка.
      Давайте разберемся, зачем алгебре понадобился дополнительный алфавит.
      С числами все было просто. Требовалось твердо запомнить правила действий (мы потом подробнее поговорим об этих правилах) и обязательно выучить две таблицы: таблицу сложения (табл. 1) и таблицу умножения (табл. 2).


      KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
     
      Приложение
      Некоторые события истории и культуры
      Важнейшие факты истории математики
      Третье тысячелетие до нашей эры
      Развитие рабовладельческого строя в Древнем Египте и Вавилонии. Время строительства пирамид.
      Египетские жрецы научились обозначать иероглифами числа до 100 000. В Вавилонии распространена клинописная шестидесятеричная система счисления.
      Второе тысячелетие до нашей эры
      Расцвет централизованных рабовладельческих государств Вавилонии (при Хаммурапи) и Древнего Египта. Возникновение первых древнегреческих государств.
      Египетские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений.
      Первое тысячелетие до нашей эры
      Сформировались полисы (города-государства) в Древней Греции.
      По преданию, древнегреческий поэт Гомер сложил «Илиаду» и «Одиссею».
      776 г. — в Древней Греции проведены первые Олимпийские игры.
      Ок. 754/753 г. — основание Рима.
      V в. — расцвет греческой драматургии, век Софокла, Еврипида, Аристофана.
      Рубеж VII — VI вв. — время творчества Фалеса Милетского — основателя Милетской школы натурфилософии.
      VI в. — век творчества Пифагора и его учеников.
      V в. — Гиппократ Хиосский, древнегреческий геометр, автор первого систематического сочинения по геометрии (не дошедшего до нас), продолжил исследования, начатые Пифагором.
      490 г. — Марафонская битва.
      447 — 438 гг. — под руководством архитекторов Иктина и Калликрата построен Парфенон — храм Афины Парфенос на Акрополе в Афинах, замечательный памятник древнегреческой классики. В создании убранства храма участвовал великий греческий скульптор Пракситель.
      Конец V в. — деятельность древнегреческого философа Сократа, одного из родоначальников диалектики как метода отыскания истины путем постановки наводящих вопросов.
      387 г. — в Афинах Платон основал Академию — древнегреческую философскую школу.
      IV в. — деятельность древнегреческого ученого и философа Аристотеля, воспитателя Александра Македонского.
      Середина IV в. — царствование Александра Македонского, основателя города Александрии.
      283 г. — закончено строительство маяка на острове Фарос в Александрии (Александрийский, или Фаросский, маяк) — одно из «семи чудес» древнего мира.
      218 — 201 гг. — Вторая Пуническая война.
      146 г. — Рим одержал победу над Карфагеном.
      Конец I в. — время творчества римских поэтов Вергилия и Овидия.
      49 г. — захват Юлием Цезарем власти в Риме.
      Ок. 300 г. — в «Началах» Евклида дано строгое построение геометрии.
      III в. — деятельность Архимеда, гениального древнегреческого ученого, автора трудов по математике и физике, талантливого изобретателя.
      Рубеж III и II вв. — Аполлоний Пергский, древнегреческий математик и астроном, написал 8 книг о конических сечениях.
      В конце II в. Гиппарх, древнегреческий астроном, создал таблицу хорд, открыл прецессию, ввел географические координаты.
      III в. до н. э. — I в. н. э. — изобретение китайскими математиками отрицательных чисел и способа решения систем уравнений, близкого к идее применения определителей.
      Пимерно I в. — Герон Александрийский своими трудами по механике и математике связал математику с практикой, дал способы измерения площадей (формула Герона),
      27 г. до н. э. — 14 г. н. э. — правление Октавиана.
      В 75 — 80 гг. в Риме построен Колизей.
      115 — 106 гг. — завоевательные войны римского императора Траяна.
      395 г. — разделение Римской империи на Восточную и Западную.
      В 415 г. в Александрии фанатики-христиане растерзали Ипатию — первую известную в истории женщину-математика, руководителя группы александрийских ученых.
      476 г. — падение Западной Римской империи.
      Ок. 500 г. — образование Франкского государства.
      800 г. — Карл Великий провозгласил себя императором.
      IX в. — образовалось древнерусское государство — Киевская Русь.
      1019 — 1054 гг. — княжение Ярослава Мудрого к Киеве.
      1096 — 1099 гг. — первый крестовый поход.
      В 1147 г. — первое летописное упоминание о Москве.
      извлечения квадратного корня из рациональных чисел, советы по нахождению объемов и решению задачи об извлечении кубического корня.
      Птолемей (ок. 90 — ок. 160) разработал математическую теорию движения планет вокруг неподвижной Земли.
      III в. — древнегреческий математик Диофант в основном своем труде «Арифметика» дал решение задач, приводящих к так называемым диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.
      Первая половина IX в. — среднеазиатский ученый аль-Хорезми создает основополагающие трактаты по арифметике и алгебре.
      *тис нашей ары
      Деятельность среднеазиатского ученого-энциклопедиста Бируни (973 — 1050).
      Рубеж XI — XII вв. — творчество Омара Хайяма, среднеазиатского поэта и математика (изложил решения уравнений до третьей степени включительно).
      XII в. — создаются первые европейские университеты.
      1204 г. — крестоносцы овладели Константинополем.
      1219 — 1221 гг. — нашествие в Среднюю Азию и Закавказье орд Чингисхана.
      1237 — 1240 гг. — нашествие орд Батыя на Русь.
      1242 г. — русские войска во главе с Александром Невским на льду Чудского озера разгромили крестоносцев.
      1265 г. — в Англии впервые созван парламент.
      1380 г. — Куликовская битва.
      1381 г. — восстание Уота Тайлера.
      1337 — 1453 гг. — Столетняя война между Францией и Англией.
      1410 г. — Грюнвальдская битва.
      1415 г. — сожжен Ян Гус, национальный герой чешского народа.
      1431 г. — обвинена в ереси и сожжена на костре Жанна д»Арк — народная героиня Франции.
      1445 г. — Иоганн Гутенберг выпустил первую печатную книгу.
      1492 г. — открытие Америки Христофором Колумбом.
      1452 — 1519 гг. — жизнь и творчество великого итальянского ученого и художника Леонардо да Винчи.
      Начало XIII в. — Леонардо Пизанский (Фибоначчи) издал «Книгу об абаке», где первым в Европе систематически изложил достижения арабской математики.
      1368 г. — французский математик, физик, экономист Никола Орем изложил учение о степени с дробными показателями.
      1484 г. — французский математик Никола Шюке в рукописном трактате «Наука о числах» ввел в употребление отрицательные и нулевые показатели степеней.
      Конец XV в. — Лука Пачоли, итальянский математик, изложил правила арифметических действий, решения некоторых алгебраических уравнений, их приложения к геометрии, теорию геометрических пропорций.
      Улугбек (1394 — 1449) — среднеазиатский государственный деятель и ученый, построил обсерваторию, изложил теоретические основы астрономии, составил с большой точностью каталог положений 1018 звезд.
      1516 г. — вышла в свет «Утопия» Томаса Мора, английского гуманиста.
      1519 — 1522 гг. — первое кругосветное путешествие экспедиции Фернана Магеллана.
      1524 — 1526 гг. — Крестьянская война в Германии.
      50-е годы XVI в. — реформы Ивана IV.
      1543 г. — опубликовано сочинение создателя гелиоцентрической системы мира Николая Коперника «Об обращении небесных сфер».
      1566 — 1609 гг. — Нидерландская буржуазная революция.
      1572 г. — в ночь на 24 августа в Париже католики устроили массовую резню гугенотов (варфоломеевская ночь).
      1581 г. — Ермак начал поход в Сибирь.
      1562 — 1635 гг. — жизнь и творчество испанского драматурга Лопе де Вега.
      1600 г. — обвинен в ереси и сожжен инквизицией в Риме Джордано Бруно.
      1601 г. — Вильям Шекспир написал трагедию «Гамлет».
      1602 г. — итальянский философ Томмазо Кампанелла закончил кни-
      1545 г. — Джероламо Кардано нашел формулу решения неполного кубического уравнения.
      1585 г. — немецкий художник Альбрехт Дюрер закончил «Четыре книги о пропорциях человека», произведение и об искусстве, и о математике.
      1585 г. — нидерландский ученый и инженер Симон Стевин впервые в Европе ввел в употребление десятичные дроби.
      1591 г. — французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений.
      1605 г. — Иоганн Кеплер в трактате «Новая астрономия» сформули-
      гу ¦Город солнца», в которой разработал программу всеобщего социального преобразования на основе общности имущества (коммунистическая утопия).
      1605 — 1615 гг. — вышел в свет роман Мигеля Сервантеса «Хитроумный идальго Дон Кихот Ламанчский».
      1606 — 1607 гг. — восстание под предводительством И. И. Болотникова.
      1612 г. — освобождение Москвы народным ополчением К. Минина и Д. Пожарского.
      Галилео Галилей (1564 — 1642) активно защищает гелиоцентрическую систему мира, борется против схоластики.
      1648 г. — Вестфальский мир завершил Тридцатилетнюю войну (1618 — 1648).
      1648 г. — экспедиция С. И. Дежнёва, открывшая пролив между Азией и Америкой (Берингов пролив).
      XVII в. — буржуазная революция в Англии.
      1606 — 1669 гг. — жизнь и творчество голландского живописца Рембрандта.
      1670 — 1671 гг. — крестьянская война под предводительством С. Т. Разина.
      1622 — 1673 гг. — жизнь и творчество французского драматурга Жана Батиста Мольера.
      1675 г. — основана Гринвичская астрономическая обсерватория.
      1687 г. — в Москве основано первое высшее общеобразовательное учебное заведение — Славяно-греко-латинская академия.
      1700 — 1721 гг. — война России со Швецией за выход в Балтийское море (Северная война).
      ровал первые два закона движения планет, а в 1619 г. в трактате «Гармония Мира» — третий закон движения планет.
      1636 — 1637 гг. — в работах французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта одновременно созданы основы метода координат.
      Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 — 1716) — немецкий философ, математик, физик, изобретатель, юрист, историк, языковед, разработал дифференциальное и интегральное исчисления, сделал ряд важных открытий в комбинаторике, алгебре, геометрии.
      Исаак Ньютон (1643 — 1727) — английский физик и математик, создал теоретические основы механики и астрономии, открыл закон всемирного тяготения, разработал (наряду с Г. Лейбницем) дифференциальное и интегральное исчисления.
      Христиан Гюйгенс (1629 — 1695) — нидерландский механик, физик, математик, создал волновую теорию света, опубликовал работы об определении длины дуг окружности, эллипса, гиперболы, разработал теорию цепных дробей.
      Иоганн Бернулли (1667 — 1748) — дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений.
      1703 г. — основан Санкт-Петербург.
      1711 — 1765 гг. — годы жизни М. В. Ломоносова.
      1725 г. — открытие Академии наук и художеств в России.
      1755 г. — основание Московского университета.
      1773 — 1775 гг. — крестьянская война под предводительством Е. И. Пугачева.
      1776 г. — образование Соединенных Штатов Америки.
      1789 г. — восставшие парижане взяли Бастилию, началась Великая Французская революция.
      1790 г. — А. Н. Радищев (1749 — 1802) написал «Путешествие из Петербурга в Москву».
      1812 г. — Отечественная война России с Францией.
      1823 г. — А. С. Пушкин начинает работу над «Евгением Онегиным».
      1825 г. — восстание декабристов.
      1831 г. — открытие М. Фарадеем (1791 — 1867) электромагнитной индукции.
      1848 г. — выход в свет первого издания «Манифеста коммунистической партии» К. Маркса и Ф. Энгельса.
      Леонард Эйлер (1707 — 1783) — крупнейший математик XVIII в., его исследования относятся практически ко всем областям математики и механики.
      Жозеф Луи Лагранж (1736 — 1813) — французский математик и механик, разработал основные понятия вариационного исчисления.
      П. Руффини (1765 — 1822) — итальянский математик, дал доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени.
      К. Гаусс (1777 — 1855) — немецкий математик, работал в области высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии.
      1826 г. — Николай Иванович Лобачевский (1792 — 1856) в Казани сообщил об открытии им новой геометрии.
      Нильс Хендрик Абель (1802 — 1829) — занимается теорией интерполирования функций, теорией функциональных уравнений и теорией чисел.
      Труды французского математика Эвариста Галуа (1811 — 1832) по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры.
      П. Л. Чебышев (1821 — 1894) — русский математик и механик, занимался исследованиями теории приближения функций многочленами в интегральном исчислении, теории чисел, теории вероятностей.
      1848 — 1849 гг. — революции в Европе.
      1854 — 1855 гг. — героическая
      оборона Севастополя во время Крымской войны.
      1861 г. — отмена крепостного права в России.
      1869 г. — открытие Д. И. Менделеевым (1834 — 1907) периодического закона химических элементов.
      18 марта — 28 мая 1871 г. — Парижская Коммуна.
      1895 г. — создание В. И. Лениным Петербургского «Союза борьбы за освобождение рабочего класса».
      Р. Дедекинд (1831 — 1916) — создал ряд общих концепций, лежащих в основе современной алгебры.
      Джузеппе Пеано (1858 — 1932) — построил аксиоматику натуральных чисел (1891).
      1898 г. — Пьер Кюри и Мария Склодовская-Кюри, французские физики, начинают заниматься изучением радиоактивности.
     
      Наверное, не все имена и не все факты, перечисленные выше, вам известны. Не беда. Беритесь за справочники, словари, энциклопедии, ищите, читайте, познавайте!

 

 

 

НА ГЛАВНУЮ (кнопка меню sheba.spb.ru)ТЕКСТЫ КНИГ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)АУДИОКНИГИ БК (кнопка меню sheba.spb.ru)ПОЛИТ-ИНФО (кнопка меню sheba.spb.ru)СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ (кнопка меню sheba.spb.ru)ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ФОТО-ПИТЕР (кнопка меню sheba.spb.ru)НАСТРОИ СЫТИНА (кнопка меню sheba.spb.ru)РАДИОСПЕКТАКЛИ СССР (кнопка меню sheba.spb.ru)ВЫСЛАТЬ ПОЧТОЙ (кнопка меню sheba.spb.ru)

 

Яндекс.Метрика
Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru