|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Геометрические задачи на плоскости
Глава 2. Построения на плоскости
Глава 3. Геометрические задачи в пространстве
Глава 4. Геометрические задачи на проекционном чертеже
Глава 5. Геометрические места
Глава 6. Свойства чисел. Делимость
Глава 7. Алгебраические преобразования
Глава 8. Делимость многочленов. Теорема Безу. Целые уравнения
Глава 9. Алгебраические уравнения и системы
Глава 10. Алгебраические неравенства
Глава 11. Логарифмические и показательные уравнения и системы
Глава 12. Тригонометрические преобразования
Глава 13. Тригонометрические уравнения и системы
Глава 14. Тригонометрические неравенства
Глава 15. Трансцендентные неравенства
Глава 16. Трансцендентные уравнения
Глава 17. Комплексные числа
Глава 18. Задачи на составление уравнений
Глава 19. Последовательности и прогрессии
Глава 20. Суммирование
Глава 21. Соединения и бином
Глава 22. Обратные тригонометрические функции
Глава 23. Область определения. Периодичность
Глава 24. Наибольшие и наименьшие значения
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние два года было издано почти одновременно несколько новых пособий и задачников, предназначенных для углубленного изучения элементарной математики. Появление в таких условиях еще одной книги подобного плана должно быть оправдано. С такого оправдания и будет Начато предисловие.
Нередко книги по элементарной математике написаны либо с целью провести юного читателя за руку через все возникающие на его пути преграды, либо с позиций того преподавателя плавания, который руководствуется принципом—барахтайся, пока не научишься. Авторы далеки от мысли критиковать те или иные конкретные пособия и задачники только потому, что они принадлежат к первой или второй группе. Здесь осуществлена лишь попытка предложить некую третью альтернативу, основанную на убеждении, что преподавание математики в средней школе выполнит свое назначение тблько в том случае, если, помимо необходимого объема информации и технических навыков, поможет своему воспитаннику овладеть культурой математических рассуждений, т. е. научит его самостоятельно пользоваться известными ему методами. Авторы надеялись приблизиться к достижению поставленной перед собой цели, создав полу-программированный задачник, в котором обычную форму: условия задачи — решение удалось бы видоизменить с тем, чтобы обеспечить максимальную самостоятельность читателя. Так появилась идея снабдить каждую задачу одним или двумя (а в исключительных случаях и тремя) указаниями. Эти указания собраны отдельно и предшествуют решениям, причем каждое третье указание помещено непосредственно после второго и отделено от него пробелом. Если к задаче дано только первое указание, то в конце его стоит знак
Вначале предполагалось сделать указания и решения единым целым с тем, чтобы в решениях не повторялись соображения, уже отраженные в указаниях. Однако интересы преподавателей средней школы, которым также адресована эта книга, заставили нас сделать решения достаточно самостоятельными для квалифицированного читателя.
При написании указаний авторы стремились помочь читателю адаптироваться к условиям конкретной задачи и прийти к ее решению естественным путем. Таким образом, цель указаний—продемонстрировать на примерах, как нужно приступать к решению задач, как максимально использовать условие задачи и эффективный аппарат аналогий.
Если в задачнике содержится более тысячи задач, то читателю предстоит осуществить разумное планирование своих усилий с тем, чтобы отобрать из этой массы задач те, решение которых необходимо. Мы приняли эту заботу почти полностью на себя, избегая включать в задачник однотипные задачи и ограничив количество задач числом пятьсот, т. е. тем количеством, которое читатель в состоянии решить в течение года самостоятельных занятий. Основу задачника составили варианты письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов Москвы.
В задачник, как это видно из его названия, включены в основном задачи повышенной трудности. Это определяет и пути его использования. Нам представляется, что он будет полезен при организации в школе факультативных занятий математикой, а также для самостоятельной подготовки к вступительным экзаменам в вузы с повышенными требованиями по математике.
Некоторые главы задачника снабжены теоретическими введениями. Это сделано в тех случаях, когда изложение соответствующих разделов в школьном курсе либо отсутствует, либо не удовлетворяет авторов. Наиболее подробные введения предпосланы главам «Алгебраические уравнения и системы» и «Алгебраические неравенства».
Следует предостеречь читателя от пользования теоретическими введениями как справочным материалом, так как отдельные определения не соответствуют подобным определениям в стабильных учебниках. Каждое такое введение нужно либо прочесть от начала до конца, либо не читать вовсе. Правда, тот, кто выберет второе, будет испытывать дополнительные трудности при разборе задач.
В задачнике есть разделы, которые исключены в настоящее время из программы средней школы: обратные тригонометрические функции, комбинаторика. По мнению авторов исчезновение этих тем из школьного курса существенно обеднило математический опыт выпускников. Их изучение на факультативных занятиях смогло бы отчасти устранить.образовавшийся пробел.
Некоторые главы задачника посвящены сравнительно новым темам, проникшим на конкурсные экзамены в последние годы.
Авторы считают своим приятным долгом искренне поблагодарить тех, кто помогал им в работе советами и дружеской критикой. Это в первую очередь Н. X. Розов и А. 3. Рыбкин, внимательно прочитавшие рукопись и сделавшие ряд конструктивных замечаний по ее улучшению, А. Волынский и И. Ильина, предложившие более рациональное решение нескольких задач, и, наконец, редактор книги А. Д. Бершадский, который интерпретировал свои обязанности более широко, чем это обычно принято, и прорешал все задачи, обнаружив ошибки в ответах и нерациональность в решениях.
Мы будем признательны всем, кто найдет время, чтобы высказать нам свое критическое отношение к этой книге.
Авторы
Глава 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
1.1. Вокруг правильного треугольника ABC описана окружность О радиуса R. Окружность Ох касается двух сторон АВ и ВС треугольника и окружности О. Найти расстояние от центра окружности Ох до вершины А.
1.2. Высота равнобедренного треугольника с углом а при основании больше радиуса вписанного в него круга на т. Определить основание треугольника и радиус описанной окружности.
1.3. Доказать, что радиус окружности, делящей пополам стороны треугольника, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника. 0
1.4. В треугольнике соединены основания биссектрис. Найти отношение площади данного треугольника к площади образовавшегося треугольника, если стороны данного треугольника относятся как p:q:l.
1.5. Даны внутренние углы А, В, С треугольника ЛВС. Пусть окружность касается сторон ВС, АС и АВ треугольника соответственно в точках Ах, Вх, Сх. Найти отношение площади треугольника АХВХСХ к площади треугольника ABC.
1.6. Дан треугольник ABC, углы В и С которого относятся, как 1:3, а биссектриса угла А делит площадь треугольника в отношении 2:1. Найти углы треугольника.
1.7. Вычислить длину I биссектрисы внешнего угла А треугольника, если даны его стороны b и с и угол А между ними (6=?с).
1.8. В треугольнике площади S с острым углом а при вершине А биссектриса угла Авр раз меньше радиуса описанного и в q раз больше радиуса вписанного круга. Найти сторону треугольника, лежащую против угла А.
1.9. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN. Пусть О—точка их пересечения. Известно, что АО относится к ОМ, как j/" 3 к единице, а ВО к ON—как единица к У~3 — 1. Найти углы треугольника.
1.10. Внутри угла а взята точка М. Ее проекции Р и Q на стороны угла удалены от вершины О угла на расстояния 0Р=Р и OQ = q. Найти расстояния МР и MQ от точки М до сторон угла.
1.11. В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 см и 2]/2 см, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найти площадь треугольника.
1.12. В треугольнике ЛВС разность углов В и С равна л/2. Определить угол С, если известно, что сумма сторон b и с равна /г, а высота, опущенная из вершины А, равна h.
1.13. В треугольнике ЛВС имеется точка О такая, что углы ABO, ВСО и САО равны а. Выразить ctga через пло-у щадь треугольника и его стороны.
1.14. В треугольнике ABC дана разность ф углов Ay. В (ф = Л—В 0). Известно, что высота, опущенная из С на АВ, равна ВС—АС. Найти углы треугольника.
1.15. Даны длины высот AA1 — ha и ВВг — къ треугольника ABC и длина CD — 1 биссектрисы угла С. Найти угол С.
1.16. В треугольник с основанием а и противоположным углом а вписана окружность. Через центр этой окружности и концы основания треугольника проведена вторая окружность. Найти ее радиус.
1.17. Доказать, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.
1.18. В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен г, сторона ВС больше г в k раз, а высота, опущенная на эту сторону, больше г в 4 раза. Найти" полупериметр р, tgy и стороны b и с.
1.19. Углы С, А, В треугольника ABC образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Пусть О—центр окружности, вписанной в треугольник ABC, К—центр вне-вписанной окружности, касающейся стороны AC, L—центр вневписанной окружности, касающейся стороны ВС. Доказать, что треугольники ABC и OKL подобны.
1.20. В треугольнике ABC углы А, В и С образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.
1.21. Доказать, что если Р, Q, R—соответственно точки пересечения каждой из сторон ВС, СА, АВ (или их продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то (теорема Менелая).
|
