DjVu

      Математика — язык науки 3
      Математика и реальный мир 21
      Великое противостояние 77
      От тайны к тайне 93

     
      ЕГИПЕТСКАЯ МАТЕМАТИКА
      Геометрические задачи возникали из практики строительства и земледелия.
      Египтяне умели вычислять объёмы ряда пространственных фигур, в частности призмы и пирамиды.
      Египтяне умели точно вычислять площади треугольников, прямоугольников и трапеций, а приближённо — площадь произвольного четырёхугольника. Некоторые практические задачи сводились к вычислению членов арифметической и геометрической прогрессий.
      Занимающаяся практическими вопросами математическая наука египтян созвучна с формой художественного творчества, пытающегося дать возможно более полное и совершенное изображение предметов. В рельефе и рисунках художник располагает всё, насколько возможно, в плоскости, так как это позволяет представить наибольшее количество точных данных для реального изображения.
     
      МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ДРЕВНИХ ГРЕКОВ
      Фалес Милетский (638/37—548/47 до н. э.) — один из основателей древнегреческой философии и науки. Его именем названа теорема (вошедшая в школьный курс математики) о пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла
      ...
      Эвдокс Книдский (ок. 406 — ок. 355 до н. э.) разработал так называемый метод исчерпывания, предвосхитивший учение о пределах. На рисунке представлен ход рассуждений этим методом, которые ведут к вычислению площади параболического сегмента (параболический сегмент исчерпывается треугольникам).
      Эратосфен Киренский (ок. 276—194 до н. э.) — изобретатель знаменитого способа «отсеивания» простых чисел из натурального ряда — «решета Эратосфена».
      Аполлоний Пергский (ок. 260—170 до н. э.) — создатель теории конических сечений, нашедшей применения лишь в XVI—XVII ст., когда Кеплер установил, что планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, а Галилей показал, что брошенный вверх камень летит в пустоте по параболе.
     
      ПИФАГОР И ЕГО ШКОЛА
      Важным открытием Пифагора была теорема о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
      Фундаментальным результатом Пифагора и его школы явилось открытие несоизмеримых отрезков. Оно послужило огромным стимулом теоретических исследований в различных отраслях математики, прежде всего в учении о числе.
      В школе Пифагора впервые было доказано, что вся плоскость вокруг точки может быть полностью покрыта лишь тремя видами правильных многоугольников: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками.
      Выдающиеся результаты получены пифагорейцами в теории чисел. Они ввели следующую классификацию натуральных чисел: треугольные, квадратные, пятиугольные, пирамидальные — суммы треугольных и других чисел; открыли множество интереснейших зависимостей.
     
      АРХИМЕД
      При решении задачи о чистоте сплава, из которого сделана корона сиракузского царя Гиерона, Архимеда осенила идея, что объём короны можно определить, взвешивая воду, вытекшую при погружении в сосуд.
      Полиспаст — один из многочисленных механизмов, изобретённых Архимедом. Трудно перечислить все технические применения замечательной улитки, или винта, Архимеда.
      Архимед был душой и мозгом обороны Сиракуз от римских захватчиков. Он построил вогнутые параболические зеркала и сжёг римские корабли. Известны крылатые слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю».
     
      АПОРИИ ЗЕНОНА ЭЛЕЙСКОГО. ДИХОТОМИЯ. АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА
      Движение само есть противоречие; уже простое механическое перемещение может осуществиться лишь в силу того, что тело в один и тот же момент времени находится в данном месте и одновременно — в другом...
      Ф. Энгельс
     
      О КРАСОТЕ МАТЕМАТИКИ
      Правильные многогранники — тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), икосаэдр и додекаэдр издавна привлекали человека красотой и совершенством.
      Природа также использует их в своих конструкциях. Например, существуют кристаллы, имеющие такую же форму.
      Математика — это величественное здание, созданное воображением человека для постижения Вселенной.
      ...В человеческом обществе, где геометрия занимает исключительное положение, как это наблюдается теперь, искусства и мысль не могут быть отделены от этого геометрического и математического феномена.
      Корбюзье
      Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.
      А. С. Пушкин
     
      О КРАСОТЕ МАТЕМАТИКИ
      ...Мы, несомненно, носим в себе ощущения математической красоты, гармонии чисел и формул, геометрической утончённости. Все эти ощущения поистине эстетичны, и они хорошо известны всем настоящим математикам.
      А. Пуанкаре
      Красота тесно связана с симметрией.
      Г. Вейль
      Нефроида (от греч. почка) — траектория фиксированной точки подвижной окружности радиуса г, которая катится без скольжения вне неподвижной окружности радиуса 2 г, или огибающая некоторого семейства окружностей. Кривая обладает интересными оптическими свойствами: в сочетании с совокупностью огибаемых окружностей воспринимается как прекрасный, причудливый узор.
      Геометрия есть прообраз красоты мира.
      И. Кеплер
      Явление симметрии, только отчасти захваченное математической мыслью, вошло в науку в связи с тем чувством красоты, которое проявилось в человечестве многие тысячи лет назад.
      В. И. Вернадский
     
      О КРАСОТЕ МАТЕМАТИКИ
      У истоков симметрии лежит математика; для того чтобы показать, как работает математическое мышление, вряд ли можно найти что-либо лучше, чем симметрия.
      Г. Вейль
      _ Если одна из двух равных окружностей будет катиться без скольжения по другой, то точка верхней окружности опишет кривую, называемую кардиоидой, или улиткой Паскаля. Уравнение её имеет вид:
      ...
      Выберем на данной окружности произвольную точку и проведём через неё семейство окружностей так, чтобы их центры лежали на данной окружности. Тогда огибающая этих окружностей также будет кардиоидой.
      Математика — один из видов искусства.
      Н. Винер
      Равенство, неравенство, повторение и симметрия... играют в искусстве, так же как и в математике, фундаментальную роль.
      В. Гейзенберг
      Поиски кривой, длина дуги которой пропорциональна радиусу-вектору, привели Декарта к открытию логарифмической спирали. Она напоминает спираль Архимеда, но расстояние между её витками возрастает по закону геометрической прогрессии.
      Геометр всегда будет являться художником, создающим окончательный образ построенного здания.
      Н. Е. Жуковский
      Ни одна другая наука не учит так ясно понимать гармонию природы, как математика...
      Я. Карус
      Логарифмическая спираль широко применяется в технике.
     
      ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ
      Контуры листьев и лепестки цветов многих растений с большой точностью описываются уравнениями в полярной декартовой прямоугольной системе координат.
      Листья на молодых стеблях растений располагаются по пространственной спирали. Расстояния между отдельными листьями характеризуются числами ряда Фибоначчи: I, 1, 2, 3, 5... (каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих).
      ...
      Закон Гей-Люссака раскрывает количественную зависимость объёма газа от температуры.
      С показательной функцией связан радиоактивный распад.
      В связи с задачей о спрямлении окружности (построении отрезка, длина которого равна длине этой окружности) Архимед построил особую спираль, определив её на языке механики как траекторию точки, совершающей равномерное и поступательное движение по лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего начала. Множество процессов микро- и мегамира описывается уравнением этой спирали.
     
      МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В ЖИВОЙ ПРИРОДЕ
      Сложна геометрия пчелиных сот.
      Пчелиный танец осуществляется по контуру некоторой геометрической фигуры.
      Паук создаёт свою паутину в форме логарифмической спирали.
     
      КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ГЕОГРАФИЯ
      С тех пор как в 1831 г. выдающийся немецкий математик Г. Ф. Гаусс (1777—1855) опубликовал своё геометрическое истолкование комплексных чисел, раскрылись их огромные прикладные возможности.
      В частности, в картографии широко применяются так называемые конформные (непрерывные и сохраняющие форму бесконечно малых фигур) отображения.
     
      ТОПОЛОГИЯ — ГЕОМЕТРИЯ XX СТОЛЕТИЯ
      В 1858 г. немецкий геометр и астроном Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868) открыл и описал поверхность, имеющую удивительные топологические свойства. Самое основное из них то, что она имеет только одну сторону (взяв в какой-то точке этой поверхности перпендикулярный к ней вектор и непрерывно ведя его вдоль замкнутого пути, мы придём к исходной точке с перпендикулярным вектором, противоположным начальному).
      Многие результаты топологии поражают своей неожиданностью. В частности, шар можно вывернуть на обратную сторону, не осуществляя при этом разрывов.
      Топология — область геометрии, которая исследует геометрические свойства поверхностей, не изменяющихся при взаимно однозначных и взаимно непрерывных,
      или, как их ещё называют, топологических преобразованиях. Поверхности называются топологически эквивалентными, если любую из них в результате указанных преобразований можно перевести в другую.
      Сфера, «сдутый мяч» и куб — топологически эквивалентны.
      А эти фигуры топологически не эквивалентны шару (не каждая замкнутая кривая на них ограничивает некоторую область).
      Иногда топологию называют геометрией резинки или резиновой плёнкой. При деформации резинка свободно растягивается и сжимается. При этом сохраняются существенные особенности линий и поверхностей. Топология, в определённом смысле, является передним краем науки. Она имеет много неразработанных проблем.
     
      ТОПОЛОГИЯ — ГЕОМЕТРИЯ XX СТОЛЕТИЯ
      Слева представлено топологическое (взаимно однозначное и взаимно непрерывное) преобразование, а справа не топологическое (две точки слились в одну).
      ГРАФЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
      Задача Эйлера о семи мостах (1736 г.) Послужила толчком к развитию теории графов.
      А В
      Графом называется любая совокупность точек и соединяющих их линий. Один и тот же граф можно изобразить по-разному:
      Граф называется полным, если каждые две его вершины соединены одним и только одним ребром.
      Какой из этих графов полный?
      Граф называется плоским, если его рёбра пересекаются только в его вершинах.
      Какой из этих графов плоский?
      Теория графов широко примени ется в физике, химии, биологии, со диологии, экономике, картографии.
      Можно ли побывать на всех улицах этого города, пройдя по каждому мосту лишь один раз?
      Может ли заяц побывать под каждым кустом один раз?
      МАТЕМАТИКА И АСТРОНОМИЯ
      Ньютон с помощью разработанных им математических методов доказал, что орбиты тел, движущихся около Солнца, могут быть любой кривой из семейства конических сечений.
      Точку можно рассматривать как 0-мерное пространство. В результате движения 0-мерной фигуры получаем 1-мерное пространство; 1-мерной фигуры — 2-мерное пространство (плоскость) ; ...3-мерной фигуры (куба) —4-мерное пространство (гиперкуб).
      Проектируя 3-мерный куб на плоскость, получаем 2-мерную фигуру — его проекцию.
      Такой вид имеет 3-мерная проекция (проекция в 3-мерное пространство) гиперкуба.
      Одна из возможных развёрток 3-мерного куба.
      Одна из возможных развёрток 4-мерного куба.
      Мы живём в 4-мерном пространстве-времени.
      Отклонение лучей света Солнцем.
      Луч света, проходящий вблизи поверхности Солнца, отклоняется от своего прямолинейного пути под влиянием кривизны пространства-времени в окрестности Солнца.
      Этот парадокс нельзя было объяснить средствами классической физики. Его причины помогла раскрыть общая теория относительности.
      Общая теория относительности Эйнштейна выражает тяготение через геометрию пространства-времени. Материя «указывает» пространству-времени, насколько оно должно быть искривлено, а искривлённое пространство-время указывает материи, как она должна себя в нём вести.
      Чёрная дыра — исключительно сильно искривлённая область пространства-времени.
      Мы — обитатели Метагалактики, расширяющейся, возможно, после сверхгигантского взрыва. Гигантские массы материи изгибают, искривляют пространство-время.
      Всякая информация о телах, падающих в чёрную дыру, теряется навсегда.
      Траектории теннисного мяча выглядят очень различающимися в пространстве.
      Игра в теннис (в пространстве-времени). Если рассматривать мировые линии в пространстве-времени, то они кажутся одинаковыми.
      Чтобы разобраться в пространственно-временном ходе игры в теннис, нужно построить пространственно-временные диаграммы.
      Всего по горизонтали мяч пролетает в обоих случаях по 10 м. По другой оси мы будет откладывать высоту мяча над поверхностью площадки. Пущенный свечой мяч поднимается на высоту 8 м, тогда как прямой удар посылает его лишь на несколько сантиметров выше сетки. По третьей оси мы будем откладывать время, которое займут полёты теннисного мяча. Летя свечой, мяч затрачивает на путь между двумя игроками много времени, тогда как на полёт при прямом ударе требуется гораздо больший промежуток.
      Оказывается, что в пространстве-времени эти мировые линии по сути одинаковы. Конечно, прямой удар приводит мяч к цели быстрее, чем полёт свечой. Поэтому мировая линия прямого полёта и в пространстве-времени короче, чем мировая линия свечи. Однако обе они — дуги одной окружности.
      Создание в середине XX века электронно-вычислительных машин (ЭВМ) можно в некотором смысле сопоставить с изобретением паровой машины или использованием электричества. Однако ЭВМ занимают в ряду этих величайших достижений человечества особое место: если обычные машины расширяли физические возможности людей, то ЭВМ существенно повысили их интеллектуальный потен циал. Вычислительные машины привели к появлению новых эффек тивных методов познания законов реального мира.
      На рисунках представлены выполненные с помощью ЭВМ гра фик траектории заряжённой частицы,'движущейся в электромагнитном поле, и модель деления атомного ядра.
     
      МАТЕМАТИКА И НАУЧНАЯ КАРТИНА МИРА
      КЛЕЙНЕР Г. М., КЛЕЙНЕР Л. М. Математика и научная картина мира,— К.: Рад. шк„ 1984.— 112 с. бо к. згоио экз.
      В книге в форме живой беседы анализируются связи математических понятий и теорий с объективной реальностью, раскрывается их роль в создании обоснованной научной картины мира, получившей множество практических подтверждений и обеспечившей важнейшие достижения научно-технического прогресса. Обсуждаются философские вопросы математики и некоторые фундаментальные проблемы научного атеизма. Раскрывается полная несостоятельность религиозных учений в познании окружающего мира.
      Предназначается учащимся 6—10 классов, широкому кругу читателей.
      Рукопись рецензировали: заведующий кафедрой математики Криворожского педагогического института, кандидат педагогических наук А. Л. Жохов, доцент кафедры геометрии Черкасского педагогического института В. Г. Коваленко, учителя математики В. А. Ясинский (г. Винница) и Я. Е. Гольдберг (г. Хмельницкий). Оформление и рисунки художника П. А. Крысаченко.
     
      РАЗВИТИЕ НАУЧНОЙ КАРТИНЫ МИРА
      ...Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаётся пользоваться математикой.
      К. Маркс
      емля и Вселенная. Смысл этих слов и сегодня понятен каждому. Но слова эти существовали не всегда.
      На заре человеческой истории люди жили родами и племенами на обширных пространствах Европы, Азии, Африки. Они занимались коллективной охотой на крупного зверя, рыбной ловлей, собиранием лесных плодов и кореньев.
      Вопроса «что такое мир?» люди в то время просто не поняли бы. Их миром была та среда, в которой обитал данный род или племя, с её реками и лесами, пещерами и облаками...
      Недаром в ряде языков, в том числе и в древнерусском, слово «земля» некогда означало определённую географическую область или местожительство племени, народа.
      А Вселенная? У этого слова тоже когда-то было иное значение. Вслушайтесь: Вселенная, то есть заселённая, обжитая территория. Значит, и в этом случае у древнего человека речь шла не обо всём мире, а только о той его части, которая изучена и обжита человеком.
      Способность ставить вопрос о мире в целом появилась у людей сравнительно недавно — 7—8 тысяч лет назад. Из собирателя и охотника человек к этому времени стал земледельцем и ремесленником. Если вначале люди не выделяли себя из окружающей среды, считали, что их предками являются звери и птицы, растения, даже камни, то теперь, наоборот, человек стал сравнивать окружающую природу с самим собой, со своим внутренним миром. Он одушевил природу, стал верить, что существуют души деревьев и ручьёв, гор и морей, растений и животных.
      Сравнение явлений природы со свойствами и деятельностью человека имело далеко идущие последствия. Человек конечен, смертен. Он рождается и умирает.
      Он создаёт вещи, которых не было, и сам же их разрушает. Из бесформенного комка глины человек лепит сосуд. Из руды он выплавляет металл и придаёт ему форму — превращает в боевой топор или наконечник стрелы. Он обтёсывает камни и складывает из них жилище. Он бросает в землю зёрна, и получается колосящееся поле. Не является ли всё существующее вокруг нас результатом деятельности какого-то невидимого творца? Не этот ли творец однажды преобразовал бесформенное вещество природы и создал из него небо и землю, воду и воздух, растения и животных, наконец, самого человека?
      Так постепенно возникало представление о первоначальном мировом хаосе (беспорядке) и космосе (Вселенной). Слово «космос» у древних греков употреблялось как в значении «порядок», «строй», «красота», так и «Вселенная». Но вот вопрос: кто превратил хаос в космос? Кто же всё-таки создал мир? Ответ на него древние люди искали в фантастических представлениях о всемогущих богах, которые творят мир и управляют им.
      Чтобы понять упомянутые представления, надо выяснить, что было-действительно известно нашим далёким предкам о мире. Прежде всего каждодневный опыт учил людей, что известная им часть мира имеет вид плоскости, постепенно, возвышающейся к середине. Поэтому в большинстве древних космогоний Земля имеет вид выпуклого диска или горы. В любом направлении за известной частью мира находились страны малоизведанные. Но здравый смысл подсказывал, что поскольку люди живут в центре мира, на самой возвышенной его части (а это ведь казалось всем людям, где бы они ни обитали), мир не может распространяться во все стороны бесконечно, неизведанные земли должны где-то кончиться. У большинства народов существовало поэтому представление о Мировом океане, омывающем мир.
      Повседневные наблюдения говорили также, что Земля неподвижна и, кроме земного мира, не может быть ничего сущего. Небесная сфера или твердь, была при этом необходима, чтобы объяснить, откуда берётся вода, падающая с небес в виде дождя, града или росы, и почему она всё-таки не заливает Землю. Представление о небесной тверди хорошо'подкреплялось падением «небесных камней» — метеоритов.
      Изо дня в день, из года в год человек убеждался на опыте, что Солнце, Луна, планеты и звёзды движутся по небу, восходят на востоке и заходят на западе. Но если уж сложилось представление о небесной тверди, не было ничего проще, как прикрепить их к этой сфере и заставить двигаться вместе с ней. Для опровержения такого взгляда нужно было по крайней мере представить себе истинные размеры Земли и других небесных тел, их взаимные расстояния, понимать, что такое относительность движения и в чём состоит природа тяготения. Всё это было книгой за семью печатями для науки того времени.
      Астрономия — одна из самых древних наук. Ещё на заре человечества охотники искали дорогу к своему стойбищу, ориентируясь по звёздам. Большой толчок к изучению небесных явлений дал переход людей от собирательства и охоты к земледелию и скотоводству. Сроки перегона скота и получения приплода определялись прежде всего по фазам Луны. Сезоны в земледелии связывались с высотой Солнца над горизонтом, с годовыми изменениями положения звёзд на небе.
      Ф. Энгельс писал: «Необходимо изучить последовательное развитие отдельных отраслей естествознания.— Сперва астрономия, которая уже из-за времён года абсолютно необходима для пастушеских и земледельческих народов. Астрономия может развиваться только при помощи математики. Следовательно, приходилось заниматься и математикой.— Далее, на известной ступени развития земледелия и в известных странах (поднимание воды для орошения в Египте), а в особенности вместе с возникновением городов, крупных построек и развитием ремесла развивалась и механика. Вскоре она становится необходимой также для судоходства и военного дела.— Она тоже нуждается в помощи математики и таким образом способствует её развитию. Итак, уже с самого начала возникновение и развитие наук обусловлено производством» (Диалектика природы.— Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 500).
      Так повседневные производственные нужды людей оказались тесно связаны с расположением небесных светил. Но объяснить научно эту связь человек в ту пору был ещё не в силах. Поэтому он стал поклоняться Солнцу и Луне, планетам и звёздам как могущественным и прекрасным богам. Религия тесно переплелась с наблюдательной астрономией, возникли так называ-
      емые «астральные», то есть звёздные, культы. И так было во всех районах нашей планеты, где люди переходили к оседлому образу жизни.
      Историки древнего мира говорят, что уровень, достигнутый древней астрономией, был очень высок. Это верно. Но нельзя забывать, что астрономия была в ту пору чисто описательной наукой, бессильной что-либо противопоставить религиозным представлениям об устройстве мира. От неё была совершенно скрыта действительная природа изучаемых ею явлений. Древние астрономы, например, знали множество созвездий, могли рассчитать время захода и восхода Луны, Солнца, планет, наиболее крупных звёзд, предсказать солнечные, и лунные затмения и т. п. Но при этом они совершенно ничего не знали (и не могли знать) о том, что представляет собой Земля, планеты и звёзды, какое действительное положение занимают они во Вселенной.
      Поэтому размышления древних о природе небес строились преимущественно на домыслах, обрастали фантастическими, часто религиозными образами. И не случайно, что в древнем мире наблюдением неба занимались, как правило, жрецы, служители религиозного культа.
      Вселенная древних была очень маленькой и тесной. И это не удивительно: ведь люди, создавая свои представления о ней, не имели другого масштаба, кроме земного. Таким образом, древние представления о масштабах мира на деле показывают, как узок был мир практики в то время. У древних греков существовал миф о том, что, когда бог огня Вулкан уронил на Землю свою наковальню, она летела целых девять дней. Подсчёты, основанные на законах свободного падения тел, показывают, что небо древних греков находилось, если верить приведённой легенде, чуть дальше орбиты Луны,— там, где с нашей точки зрения. Вселенная только начинается.
      Именно древние греки сделали первые шаги к правильному пониманию мира. Они порвали с религиозными мифами и впервые попытались понять устройство и масштабы мира с позиций науки. Исходные данные для этого они получили из путешествий и наблюдений.
      Древнегреческий математик Пифагор (VI в. до н. э), много путешествовавший, первым высказал мысль о шарообразности Земли. Философ Аристотель (IV в. до н. э.) доказывал, что Земля — шар, ибо в южных стра-
      нах появляются новые созвездия, невидимые в северных, а чем дальше мы двигаемся к северу, тем всё больше появляется на.небосводе незаходящих звёзд. Он ссылался также на то, что во время лунных затмений тень от Земли имеет на лунном диске круглую форму. Спустя много столетий, во время кругосветного плавания Магеллана, это доказательство шарообразности Земли вернуло мужество его морякам, которые, находясь почти три месяца в водах Тихого океана, пришли в отчаяние, думая, что никогда уже не вернутся домой и не увидят суши.
      Постепенно идея о том, что Земля — шар, висящий в пространстве и ни на что не опирающийся, всё шире распространялась среди античных мыслителей. Архимед писал: «Аристарх Самосский... полагает, что неподвижные звёзды и Солнце не меняют своих мест в пространстве, что Земля движется по окружности вокруг Солнца, находящегося в её центре».
      Наконец, за 300 лет до нашей эры географ Эратосфен путём остроумного опыта пытался определить подлинные размеры земного шара. Заметив, что в день летнего солнцестояния в городе Сиене (теперь Асуан) Солнце стоит в зените и поэтому освещает дно самого глубокого колодца, он измерил угол падения солнечных лучей в тот же день в Александрии. Зная расстояние между этими городами, Эратосфен легко вычислил длину окружности земного шара. Его расчёты оказались близки к современным.
      Успехи древнегреческой науки в исследовании Земли и небес привели к попыткам объяснить мир из естественных причин.
      «Этот космос, один и тот же для всего существующего, не создал никакой бог и никакой человек,— но всегда он был, есть и будет вечно живым огнём, мерами загорающимся и мерами потухающим» (Гераклит).
      «Солнце и Луна и остальные светила не возникли сами по себе (вне мира), так что они лишь впоследствии были принимаемы миром, но они с самого начала стали образовываться и увеличиваться благодаря прибавлению и вращению некоторых мелких пород, или ветряных, или огнеобразных, или состоящих из того и другого: так ведь подсказывает чувственное восприятие. А величина Солнца, Луны и остальных светил с нашей точки зрения такая, какою кажется... Далее, правильность обращения небесных тел следует пони-
      мать так же, как и правильность некоторых явлений, случающихся у нас на Земле. Божественную природу никоим образом не должно привлекать для этого...» (Эпикур).
      Ещё в древнегреческой философии возникло течение, резко противопоставляющее небесное и земное. В то время, как великие материалисты древности Гераклит, Демокрит и Эпикур развенчивали веру в богов и отрицали божественность небесных светил, Платон, философ-идеалист, говорил, что астрономия изучает на небе идеальный мир, соответствующий достоинствам обитающих там богов. Платон учил, что все небесные светила прикреплены к хрустальным сферам и движение их равномерно и совершенно. Всё небесное, по учению Платона, вечно и неизменно. Это представление поддерживал и ученик Платона Аристотель. Он считал, что земной мир состоит из четырёх элементов — огня, воздуха, воды и земли. Но этот изменяющийся «подлунный» мир простирается только до Луны, за которой расположен мир совершенный и неизменный, где господствует пятый элемент — невесомый эфир. Латинское название пятого элемента — квинтэссенция — до сих пор сохраняется в нашем языке как символ чего-то самого главного в каждой вещи, явлении.
      Представления Платона и Аристотеля оказали сильное влияние на картину мира, созданную греческим астрономом Птолемеем во II веке до нашей эры. Птолемей пытался объяснить видимые движения по небосводу планет Солнечной системы — Венеры, Марса, Юпитера, Сатурна. Как теперь известно, путь этих светил на нашем небе приобретает сложный вид потому, что мы наблюдаем их, находясь в движении вокруг Солнца. Два движения складываются и дают сложную видимую кривую. Птолемей же считал, что Земля находится в центре мира и не может двигаться. Поэтому он придумал сложную схему, согласно которой Солнце оказывается на третьем месте от Земли, а все планеты движутся не только вокруг Земли, но ещё и по дополнительным орбитам (эпициклам), объясняющим видимые пути планет на небе.
      Система Птолемея легла в основу христианской космологии (космология, от греческих слов «космос» — мир, Вселенная и «логос» — учение, наука о Вселенной как едином целом). По учению христианской церкви, человек — царь природы. Ради него созданы Земля и Солнце, небеса и преисподняя. Но мир, окружающий нас,— мир временный, необходимый только для того, чтобы человек мог очиститься от лежащего на нём греха. После смерти праведник переходит в иной, лучший, 'скрытый от наших глаз «духовный» мир, а грешник попадает в подземный ад. Поэтому в центре мира находится жилище человека — Земля, за ней следуют сферы Солнца и планет, далее расположена сфера неподвижных звёзд, а дальше — перводвигатель, начало, управляемое богом и приводящее небесные сферы в движение.
      Христианская церковь господствовала в средневековом обществе, освящая феодальное угнетение и власть одних людей над другими. Систему земных отношений она перенесла на небеса. К каждой планетной сфере, по учению церкви, прикреплены разного рода «небесные силы»: серафимы, херувимы, архангелы; низший разряд небесного воинства — ангелы — отвечали за движение Луны.
      Так выглядели небеса на протяжении многих лет господства христианской веры. Христианская космология, как и древние системы мира, не соответствовала действительности, но она хорошо отвечала религиозному представлению о мире и предназначению в нём человека, а благодаря птолемеевским эпициклам долгое время удовлетворяла практическим потребностям и не очень сильно расходилась с наблюдениями.
      Наука не может опираться только на здравый смысл, ограничивающийся рамками повседневной обыденности. Она утверждает, что мир бесконечен в своих масштабах и то, что оказывается бесспорно правильным в окружающем человека земном шаре, неприменимо в мире мельчайших частиц материи — молекул и атомов или в мире бесконечно больших космических тел — звёзд и галактик. Наблюдение и опыт, научные эксперименты, в конечном счёте — общественная и производственная практика — вот единственно верные средства отличить истину от заблуждения, говорят учёные. Только эти средства могут подтвердить или опровергнуть смелые предположения человеческого разума.
      Постепенное развитие производства и торговли привело, однако, к тому, что старое мировоззрение было подорвано и его учение о человеке как центре мироздания оказалось несостоятельным. К XVI веку складываются все предпосылки для разрушения старого мировоззрения. «Рамки старого...,— писал Ф. Энгельс,— были разбиты; только теперь, собственно, была открыта земля и были заложены основы для позднейшей мировой торговли и для перехода ремесла в мануфактуру, которая, в свою очередь, послужила исходным пунктом для современной крупной промышленности. Духовная диктатура церкви была сломлена; германские народы в своём большинстве прямо сбросили её и приняли протестантизм, между тем как у романских народов стало всё более и более укореняться перешедшее от арабов и питавшееся новооткрытой греческой философией жизнерадостное свободомыслие, подготовившее материализм XVIII века» (Диалектика природы.— Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 346).
      Решающие шаги в создании нового взгляда на положение Земли во Вселенной сделал польский астроном Николай Коперник (1473—1543).
      После 30 лет упорнейшего труда, долгих размышлений и сложных математических расчётов он доказал, что Земля — только одна из планет, а все планеты обращаются вокруг Солнца.
      Понятно, какое потрясающее впечатление должна была произвести книга, в которой Коперник объяснял мир, не считаясь с религией и даже отвергая всякий авторитет церкви в делах науки. Ф. Энгельс высоко оценил подвиг Коперника: «Революционным актом, которым исследование природы заявило о своей независимости... было издание бессмертного творения, в котором Коперник бросил — хотя и робко и, так сказать, лишь на смертном одре — вызов церковному авторитету в вопросах природы. Отсюда начинает своё летоисчисление освобождение естествознания от теологии...» (Диалектика природы.— Маркс К., Э н-г е л ь с Ф. Соч., т. 20, с. 347).
      Деятели церкви не сразу поняли, какой удар по религии наносит научный труд Коперника, в котором он низвёл Землю до положения одной из планет. Прошло немного лет, и революционное значение новой книги проявилось в полной мере. Выдвинулись другие крупные учёные — продолжатели дела Коперника. Они развили и распространили идею бесконечности Вселенной, в которой Земля как бы песчинка, а миров — бесчисленное множество. С этого времени церковь начала ожесточённое преследование сторонников учения Ко--перника, которое подрывало самые осниьы религиозного мировоззрения и открывало широкий путь к материалистическому, подлинно научному познанию явлений природы.
      Коперник полагал, что Вселенная ограничена сферой неподвижных звёзд, которые расположены на невообразимо огромных, но всё-таки конечных расстояниях от нас и от Солнца. В учении Коперника утверждалась огромность Вселенной, но не бесконечность её.
      Особенно смело развил и углубил идею бесконечности Вселенной великий итальянский мыслитель Джордано Бруно (1548—1600). Бруно утверждал, что Вселенная бесконечна, что у неё не может быть никакого «центра». Огромное Солнце — всего только одна из звёзд. Каждая звезда — такое же Солнце. Этих солнц бесчисленное множество, они окружены планетами, на которых может быть жизнь. Бруно высказал догадки, что и Солнце, и звёзды вращаются вокруг своих осей, а в Солнечной системе, кроме известных уже планет, существуют и другие, пока ещё не открытые. Свои гениальные догадки Бруно не мог подтвердить результатами наблюдений. В его время не было телескопов. Однако многие предвидения Бруно потом подтвердились наукой.
      В 1592 г. служителям римской церкви удалось при помощи обмана и предательства схватить Бруно. Более семи лет они продержали его в тюремных застенках. Слишком велика была его слава, и церкви хотелось во что бы то ни стало заставить его отречься от своих взглядов. Бруно не сдался. Когда его приговорили к сожжению на костре, он произнёс слова, оставшиеся в веках: «Сжечь не значит опровергнуть».
      20 февраля 1600 г. Джордано Бруно был сожжён на одной из площадей Рима.
      Спустя десятилетие после гибели Бруно человечество получило в своё распоряжение телескопы, при помощи которых были сделаны открытия, подтвердившие и учение Коперника, и предположения Бруно. Первые, притом выдающиеся, астрономические открытия при помощи телескопа сделал соотечественник Бруно — итальянский учёный Галилео Галилей (1564—1642).
      Одновременно с Галилеем выдающиеся открытия в области строения Солнечной системы и движения тел в ней сделал немецкий учёный Иоганн Кеплер (1571 — 1630). Учение Коперника требовало математического уточнения. Вскоре после смерти Коперника астрономы составили на основе его системы мира новые таблицы движения планет. И хотя эти таблицы лучше согласовались с наблюдениями, чем прежние, составлявшиеся ещё по Птолемею, в них обнаружились расхождения с данными наблюдений. Необходимо было глубже исследовать и уточнить законы движения планет. Именно эту задачу и решил Кеплер. Он установил три закона движения тел в Солнечной системе.
      По первому и второму законам Кеплера каждая планета движется вокруг Солнца по эллипсу, а Солнце находится в одном из фокусов этого эллипса, причём скорость движения планеты изменяется вдоль её пути определённым образом (приближённо скорость движения планеты обратно пропорциональна её расстоянию до Солнца). В третьем законе Кеплера устанавливается уже точная связь между расстояниями планет от Солнца и временем их обращения: оказывается, что квадраты времени обращений планет относятся между собой как кубы их средних расстояний от Солнца.
      Книги Кеплера неоднократно запрещались и сжигались на кострах, а жизни его не раз угрожала опасность со стороны церкви и её приспешников. Однако прогресс науки остановить было невозможно.
      В своём ¦ великом труде Коперник объяснил, что Земля — одна из планет, обращающихся вокруг Солнца. Оставалось, однако, неизвестным, какая сила заставляет планеты совершать такие обращения, не падая на Солнце и не улетая от него.
      Ответить на этот вопрос пытались некоторые учёные второй половины XVII в. Но их попытки обнаружить силу, управляющую движением небесных тел, не увенчались успехом. Сделал это великий английский учёный Исаак Ньютон (1643—1727) спустя почти полтора столетия после выхода в свет труда Коперника и через три четверти века после открытий Кеплера и Галилея. Ньютон обогатил своими открытиями и математику, и физику, и астрономию.
      Однако самым замечательным из всех его открытий было открытие закона всемирного тяготения, управляющего движением небесных тел: каждые два материальных тела притягивают друг друга с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
      Математически этот закон выражается формулой
      ...
      где mt, m2 — массы тел, г — расстояние между ними; коэффициент пропорциональности G в этой формуле одинаков для всех материальных тел и называется постоянной тяготения.
      Мысль о том, что небесные тела и вообще все материальные тела взаимно притягиваются, возникла ещё до Ньютона. На Земле это притяжение проявляется прежде всего в существовании силы тяжести. Под действием этой силы все тела, если их ничем не поддерживать, падают вниз, точнее к центру Земли.
      Работы Коперника, Кеплера, Галилея показали, что Земля — обычное небесное тело, рядовая планета, движущаяся вместе с другими планетами вокруг Солнца. Значит, другие небесные тела могут обладать теми же свойствами, что и Земля, т. е. и на них может существовать сила тяжести. Если материальные тела вблизи Земли стремятся к её центру, то вблизи планет или Солнца они также будут стремится к центрам этих тел. Так считали Коперник, Кеплер и другие учёные того времени. Заслуга Ньютона состояла прежде всего в том, что он установил точную математическую зависимость сил притяжения от массы тел и от расстояния между ними и доказал, что именно эти силы управляют движением планет и спутников в нашей Солнечной системе.
      Закон всемирного тяготения допускает, как видим, очень простое математическое выражение. В силу малой величины диаметра небесных тел по сравнению с их расстояниями друг от друга, не нарушая достаточной точности расчётов, эти тела можно считать точками со сконцентрированными в них массами.
      Благодаря этому изучение поведения двух тел, находящихся в поле тяготения, не только целиком сводится к математике, но и с вычислительной стороны не представляет никаких трудностей.
      Итак, Ньютон, выражаясь современным языком, построил математическую модель движения планет и их взаимного расположения на небосводе, сформулировав обобщённые результаты опыта на языке математики.
      Математические модели (иногда их называют также формальными, логическими или логико-математическими) — это формулы или уравнения, выражающие закономерности поведения и строения объектов.
      Вы знакомы с математическими моделями, хотя, может быть, раньше и не встречали лого термина. Представьте себе, что нужно определить площадь комнаты или, если быть более точным, площадь пола комнаты. Для выполнения такого задания измеряют длину и ширину комнаты, а затем перемножают полученные числа. Эта элементарная процедура фактически означает следующее. Реальный объект — пол комнаты — заменяется абстрактной математической моделью — прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближённо принимается за искомую площадь пола.
      Таким образом, создание математической модели состоит в том, что мы рассматриваем не само явление во всей его сложности, а упрощаем его, выделяя из всего многообразия свойств лишь некоторые, по нашему представлению, наиболее существенные. Далее мы делаем предположения о действующих связях явления с окружающими предметами (если это необходимо) и чётко перечисляем все исходные предпосылки.
      В модели Солнечной системы, которую используют в небесной механике со времён Ньютона, эти предпосылки таковы: 1) планеты считаются материальными точками с массами, равными массам планет, 2) Солнце также считается материальной точкой с соответствующей массой, 3) между этими материальными точками действуют силы притяжения, вычисляемые по закону Ньютона.
      Создание математической модели — важный этап познания, поскольку, когда она уже создана, нам известно, из каких предпосылок мы выводим следствия. В ходе опытной проверки у нас появляется возможность исследовать соответствие каждой из предпосылок реальности.
      Примером ещё одной плодотворной математической модели является геометрия Евклида (III в. до н. э.), описывающая окружающее нас пространство. Реальным объектам в пространстве сопоставлены идеализированные понятия, отражающие только определённые свойства этих объектов. Геометрическая точка, не имеющая ни толщины, ни ширины,— приближённое описание и точки на бумаге, и кола, вбитого в землю для разметки поля, и всего земного шара в космическом пространстве.
      Геометрию Евклида как модель характеризуют такие исходные понятия, как точка, прямая, плоскость.
      Аксиомы наделяют эти понятия определёнными свойствами. Процесс доказательства теорем служит проверкой того, что содержащиеся в них утверждения не противоречат принятым определениям и аксиомам, т. е. не выходят за рамки данной модели.
      Геометрических точек, линий, поверхностей в природе не существует, но к ним привыкают настолько, что реальные понятия, связанные с наличием у природных объектов конечных размеров, менее привычны, чем абстрактные представления, лежащие в основе модели Евклида. И абсолютно выпадает из поля зрения тот факт, что основа геометрии Евклида — независимость окружающего нас пространства от происходящих в нём процессов и явлений — это лишь некоторое приближение к действительности.
      В обыденной жизни и во многих научных и технических приложениях даже странно подвергать сомнению представление о существовании такого незыблемого пространства. В действительности это не так, само пространство может изменяться под действием находящихся в нём тел, как грунт проминается под тяжестью стоящего на нём дома.
      И для геометрии Евклида как научной модели указанное выше ограничение является наиболее фундаментальным и общим.
      К концу XVII в. сложилась картина мира, управляемого геометрией Евклида и законами движения Ньютона.
      При этом два основоположных камня, на которых возводилось все здание, не имели ничего общего друг v другом. Бесконечное пространство никак не соотноси-.ось с наполнявшей его материей. По самой своей сущнсти это пространство безотносительно к чему бы то ни было внешнему оставалось всегда одинаковым и неподвижным — оно не изменилось бы даже, если бы вся материя неожиданно исчезла.
      Итак, в течение более двух тысяч лет все геометрические рассуждения основывались на условии справедливости пяти постулатов Евклида. Они формулируются так:
     
      1. Через две точки можно провести прямую и притом только одну.
      2. Прямую линию можно неограниченно продолжить в обе стороны.
      3. Из любой тчки, как из центра, можно описать окружность любого радиуса.
      4. Все прямые углы равны между собой.
      5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с днумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
     
      Если содержание первых четырёх постулатов ясно, то этого нельзя сказать о пятом. Многие математики отказывались считать его постулатом и пробовали это доказать, но все их попытки в этом отношении успехом не увенчались. Только в 1826 г. великий русский геометр Н. И. Лобачевский и, независимо от него, венгерский математик Янош Больяи (1833 г.) показали, что можно отказаться от утверждения пятого постулата и построить непротиворечивую геометрию. Так была создана неевклидова геометрия. При этом оказалось, что её можно использовать в качестве модели физического пространства гак же, как и евклидову.
      Парадоксальным казалось следующее обстоятельство: если сумма углов треугольника равна 180°, то как может оказаться, что одновременно она может быть менее 180°? Разъяснение этого парадокса может быть таким: в неевклидовой геометрии сумма углов треугольника может быть сколь угодно близка к 180°, если треугольник достаточно мал. Те треугольники, с которыми обычно имеют дело — малы, и поэтому сумма их углов может оказаться также достаточно близкой к 180° с учётом неустранимой в этом случае ошибки эксперимента.
      Открытие неевклидовой геометрии потребовало отказа от полной уверенности в «абсолютной истинности» евклидовой геометрии, от точки зрения на аксиомы как на истины, не требующие доказательства в силу своей очевидности. Оказалось, что аксиомы скорее являются гипотезами, и речь идёт о том, насколько построенные с их помощью модели соответствуют материальному миру. Это послужило стимулом к глубоким исследованиям в области оснований математики, к выяснению того, какими свойствами может и должна обладать система аксиом. В дальнейшем это привело к созданию аксиоматического метода, ставшего теперь одним из ведущих методов познания
      не только в математике, но и в иных математизируемых дисциплинах (математической экономике, математической лингвистике' и т. д.). Систематическое применение аксиоматического метода позволило выявить связи межДу областями математики, казавшимися очень далёкими друг от друга, найти пути преодоления тенденции к расщеплению математики на почти независимые области и укрепить тем самым единство математической науки.
      Позже, в начале второй половины XIX века, была выдвинута идея многомерного пространства. В 1854 г. немецкий математик Б. Риман сформулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых одномерных ' объектов или явлений. Риман указал, что отказ от пятого постулата влечёт за собой сомнение и в истинности утверждений хотя бы некоторых из первых четырёх постулатов Евклида. ,Он утверждал, что опыт не может доказать бесконечность прямой линии, а доказывает лишь то, что, следуя по ней в любом направлении, мы не сможем достичь её конца. Иначе говоря, у прямой линии нет предельной точки.
      Исследования Римана показали неограниченное разнообразие геометрических пространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами для вычисления расстояний и т. д. Стали изучаться пространства и с комплексными координатами, а также пространства, элементами которых являются не точки, прямые, окружности, сферы и даже функции и последовательности (функциональные пространства).
      Следует отметить, что восхождение от чувственно оязаемого реального пространства к абстрактным математическим пространствам не означало отхода математики от отображения окружающего нас мира.
      Рассуждая подобным образом, Б. Риман исследовал возможные пространства, основываясь на достоверных фактах о физическом пространстве.
      Неевклидова, в частности риманова геометрия явилась предпосылкой для создания новсГго учения о взаимоотношении пространства и времени — теории относительности Эйнштейна (1879—1955). Сегодняшняя модель окружающего нас пространства — это четырёхмерное пространство — время, где четвёртое измерение (время) неразрывно связано с тремя измерениями пространства. В ней нет уже той незыблемости,
      которая характеризует пространство евклидовой геометрии. Вблизи больших масс (Солнце, звёзды) пространство искривляется: объекты и процессы в пространстве влияют на его геометрию.
      Четырёхмерное пространство — время — это эффективная модель, которую широко используют, например, при решении вопросов о строении и развитии Вселенной.
      Итак, мы видим, что, по образному выражению известного венгерского математика А. Реньи (1921 — 1970), «...законы природы можно сформулировать только на математическом языке, то есть представить их в виде соотношений между выражениями, в которые входят различные физические величины, каждая из которых характеризуется определёнными числовыми значениями».
      Что же такое математика и каков предмет её исследований?
      Как возникают математические понятия?
      Каково отношение математики к действительности?
      Каким образом математическое абстрагирование естественнонаучной или инженерной проблемы позволяет проникнуть в суть явлений глубже и точней, чем непосредственное наблюдение и экспериментальное изучение?
      Об этом повествует следующая глава.
     
      УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ В РЕАЛЬНОМ МИРЕ. НАУЧНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ И СВОЙСТВ ПРОСТРАНСТВА. СВОЕОБРАЗИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИЗУЧЕНИЯ ОКРУЖАЮШЕЕО МИРА.
      Математика, постепенно удаляясь от пространств, доступных чувственному восприятию, и возвышаясь до пространства геометрического, не удаляется... от истинных отношений между вещами. Она скорее приближается к ним.
      В. И. Ленин
      равильное представление о любой науке не складывается из отдельных, касающихся её сведений, даже если они довольно обширны. Нужно ещё иметь верный взгляд на науку в целом, понимать её сущность. Цель этой главы состоит в том, чтобы дать общее представление о сущности математики.
      Слово «математика» греческого происхождения. Буквально означает «знание», «наука».
      Даже при довольно поверхностном знакомстве с математикой легко заметить характерные её черты: это, во-первых, отвлечённость, во-вторых, логическая строгость и как бы непреложность выводов и, наконец, чрезвычайная широта применений.
      Отвлечённость проявляется уже в простом счёте. Мы оперируем отвлечёнными числами, не заботясь о том, чтобы связывать их каждый раз с конкретными предметами.
      Понятие о геометрической фигуре является результатом отвлечения от всех свойств реальных предметов, кроме пространственной формы и размеров.
      Понятие о целом числе и о геометрической фигуре — это лишь одни из первоначальных её понятий. За ними следует едва обозримое множество других, возвышающихся до таких абстракций, как комплексные числа, функции, интегралы, дифференциалы, n-мерные и даже бесконечномерные пространства. Абстракции эти как будто громоздятся одна на другую, удаляясь в такую отвлечённость, где, кажется, теряется уже всякая связь с жизнью.
      На самом деле это, конечно, не так. И хотя, скажем, понятие мерного пространства действительно очень абстрактно, оно тем не менее имеет вполне реально содержание, понять которое вовсе не так трудно. В этой книге будет, в частности, подчёркнут и пояснён реальный смысл абстрактных математических понятий, и читатель убедится, что все они связаны с жизнью и по своему происхождению, и в приложениях.
      Впрочем, абстракция — не исключительная принадлежность математики: она свойственна всякой науке, да и всему человеческому мышлению вообще. Поэтому отвлечённость математических понятий не исчерпывает ещё особенностей математики. Математика в отношении своих абстракций отличается ещё тем, что она, во-первых, оставляет в них прежде всего количественные отношения и пространственные формы, отвлекаясь от всего остального. Во-вторых, математические абстракции возникают, через ряд ступеней; они идут в отвлечении гораздо дальше, чем абстракции, обычные в естественных науках. Эти два момента мы дальше подробно выясним на примерах основных понятий математики: числа и фигуры. Наконец,— и это бросается в глаза,— математика сама по себе вообще почти целиком вращается в кругу абстрактных понятий и их связей. Если естествоиспытатель для доказательства своих утверждений постоянно обращается к опыту, то математик доказывает теоремы только рассуждениями и выкладками.
      Конечно, математики для открытия своих теорем и методов постоянно пользуются моделями, физическими аналогиями, обращаются к множеству отдельных, совершенно конкретных примеров и т. п. Всё это служит реальным источником теории для нахождения её теорем, но каждая теорема окончательно входит в математику только тогда, когда она строго доказана логическим рассуждением. Если бы геометр, докладывая о новой открытой им теореме, стал демонстрировать её на моделях и этим ограничился, никто из математиков не признал бы теорему доказанной. Требование доказать теорему хорошо известно из школьного курса геометрии, и оно проходит через всю математику. Мы
      могли бы измерять углы у оснований тысячи равнобедренных треугольников с огромной точностью, но это не дало бы нам математического доказательства теоремы о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Математика требует вывести этот результат из основных понятий геометрии. (При строгом изложении свойства основных понятий точно формулируют в аксиомах.)
      Сами математические выводы отличаются большой логической строгостью.
      Математическое рассуждение проводится, с такой скрупулёзностью, которая делает его бесспорным и убедительным для каждого, кто только его поймёт. Эта скрупулёзность и убедительность математических доказательств хорошо известна уже из курса средней школы. Да и сами математические истины представляются совершенно бесспорными. Недаром говорят: «доказать как дважды два четыре». Здесь математическое соотношение 2x2 = 4 берётся именно как образец неопровержимости и бесспорности.
      Однако строгость математики не абсолютна: она развивается; принципы математики не застыли раз навсегда, а движутся и тоже могут служить и служат предметом научных споров.
      В конечном счёте источник жизненности математики заключается в том, что её понятия и выводы при всей своей отвлечённости исходят, как мы убедимся, из действительности и находят широкие применения в других науках, в технике, во всей жизненной практике; это — самое главное для понимания математики.
      Исключительная широта применений математики представляет тоже одну из характерных её особенностей.
      Во-первых, мы постоянно, чуть ли не ежечасно, на производстве, в быту, в общественной жизни пользуемся наиболее распространёнными понятиями и выводами математики, вовсе не задумываясь об этом. Так, мы применяем арифметику, считая дни или расходы, а подсчитывая площадь квартиры, используем выводы геометрии. Выводы эти, конечно, очень простые, но полезно вспомнить, что когда-то в древности они были одним из высших достижений зарождавшейся тогда математики.
      Во-вторых, вся современная техника была бы невозможна без математики. Без более или менее сложных
      расчётов не обходится, пожалуй, ни одно техническое усовершенствование; в развитии же новых областей техники математика играет очень важную роль.
      Наконец, почти все науки более или менее существенно пользуются математикой. Точные науки — механика, астрономия, физика, а также в большой мере и химия — обычно выражают свои законы формулами и развивают свои теории, широко используя математический аппарат. Без математики прогресс этих наук был бы просто невозможен. Поэтому как раз потребности механики, астрономии и физики всегда оказывали прямое, решающее воздействие на развитие математики.
      Приведём несколько примеров особенно блестящих применений математики в точных науках и технике.
      Одна из самых далёких планет Солнечной системы Нептун была открыта в 1846 г. на основании математических расчётов. Анализируя неправильности в движении планеты Уран, астрономы Адамс и Леверье пришли к выводу, что неправильности эти вызваны притяжением другой планеты. Леверье на основании законов механики и закона тяготения вычислил, где эта планета должна находиться, и наблюдатель, которому он об этом сообщил, увидел её в телескоп там, где указал Леверье. Это открытие было не только триумфом механики и астрономии, особенно системы Коперника, но также триумфом математического расчёта.
      Другой, не менее убедительный пример представляет открытие электромагнитных волн. Английский физик Максвелл (1831 —1879), обобщая установленные опытами законы электромагнитных явлений, выразил эти законы в виде уравнений. Из уравнений он чисто математически вывел, что могут существовать электромагнитные волны и что они должны распространяться со скоростью света. Опираясь на это, он предложил электромагнитную теорию света, которая затем была всесторонне развита и обоснована. Но, кроме того, вывод Максвелла толкнул на поиски электромагнитных волн чисто электрического происхождения, например испускаемых при колебательном разряде. Такие волны были действительно открыты Герцем. А вскоре А. С. Попов нашёл средства возбуждения, передачи и приёма электромагнитных колебаний, вывел их в область широких применений и положил -тем самым начало всей радиотехнике. В открытии радио, ставшего общим до-
      стоянием, сыграли большую роль также результаты чисто математического вывода.
      Так от наблюдений,— каковы, например, наблюдения отклонений магнитной стрелки электрическим током,— наука идёт к обобщению, к теории явлений, к формулировке законов и их математическому выражению. Из этих законов рождаются новые выводы, и, наконец, теория воплощается в практике, которая в свою очередь даёт теории новые мощные импульсы к развитию.
      Особенно замечательно, что даже самые абстрактные построения математики, возникшие внутри неё самой, уже без непосредственных толчков со стороны естествознания или техники, находят тем не менее плодотворные применения. Например, мнимые числа появились на свет в алгебре, и долгое время их реальный смысл оставался непонятным, на что указывает само их название. Однако после того, как в начале прошлого столетия им было дано геометрическое толкование, мнимые числа вполне укрепились в математике, и возникла обширная теория функций комплексной переменной (т. е. переменной вида х-\-у /— 1 ). Эта
      теория, так сказать, «мнимых» функций от «мнимых» переменных оказалась вовсе не мнимым, а очень реальным средством решения вопросов техники. Так, основная теорема Н. Е. Жуковского о подъёмной силе крыла самолёта доказывается как раз средствами этой теории. Та же теория оказывается полезной, например, при решении задач о просачивании воды под плотинами,— задач, значение которых очевидно в период строительства крупных гидроэлектростанций.
      Другой, не менее блестящий пример представляет неевклидова геометрия. Она возникла на почве тысячелетних, тянувшихся со времён Евклида попыток доказать постулат (аксиому) о параллельных, т. е. из задачи, имевшей чисто математический интерес. Н. И. Лобачевский, создавший эту новую геометрию, сам осторожно называл её «воображаемой», так как не мог указать её реального значения, хотя и был уверен в том, что такое значение её найдётся. Выводы его геометрии казались большинству не то что «воображаемыми», но даже невообразимыми и нелепыми. Тем не менее идеи Лобачевского положили начало новому развитию геометрии, созданию теорий разных неевклидовых пространств; потом эти идеи послужили одной из основ
      общей теории относительности, причём математическим аппаратом этой теории служит одна из форм неевклидовой геометрии четырёхмерного пространства. Так, казавшиеся по меньшей мере непонятными абстрактные построения математики оказались мощным средством развития одной из важнейших физических теорий. Точно так же в современной теории атомных явлений, в так называемой квантовой механике, существенно используются многие чрезвычайно абстрактные математические понятия и теории, как, например, понятие бесконечномерного пространства и др.
      Итак, мы подчеркнули, что математика имеет широчайшее применение в повседневной практике, в технике, в науке, причём в точных науках и больших проблемах техники находят также применения теории, выросшие внутри самой математики. Такова одна из характерных особенностей математики наряду с её отвлечённостью, строгостью и убедительностью её выводов.
      Обратив внимание на все эти особенности математики, мы, конечно, не выяснили её сущности, а указали, скорее, её внешние признаки.Задача состоит в том, чтобы объяснить эти особенности. Для этого нужно ответить, по крайней мере, на следующие вопросы:
      Что отражают абстрактные математические понятия? Каков, иными словами, предмет математики?
      Почему отвлечённые математические выводы представляются столь убедительными, а первоначальные понятия столь очевидными? В чём, иными словами, основание метода математики?
      Почему при всей своей отвлечённости математика находит широчайшее применение, а не оказывается праздной игрой в абстракции? Иными словами: откуда практическое значение математики?
      Наконец, какие силы двигают развитие математики, позволяя ей соединять абстрактность и широту применений? Иными словами: в чём содержание процесса развития математики?
      Ответив на эти вопросы, мы получим общее представление о предмете математики, об основаниях её метода, о её значении и развитии, т. е. поймём её сущность.
      Идеалисты и метафизики не только путаются в решении этих коренных вопросов, но доходят до полного извращения математики, выворачивая её в буквальном
      смысле наизнанку. Так, видя крайнюю отвлечённость и убедительность математических выводов, идеалисты воображают, что математика происходит из чистого мышления.
      В действительности математика не даёт никаких оснований для идеализма и метафизики; как раз наоборот: рассматриваемая объективно во всех её связях и развитии, она даёт ещё одно блестящее подтверждение диалектического материализма и каждым своим шагом опровергает идеализм и метафизику. Мы убедимся в этом, когда попытаемся даже в самых общих чертах ответить на поставленные выше вопросы о сущности математики. Мы убедимся также, что ответ на эти вопросы уже заключается в положениях, установленных классиками марксизма как относительно математики, так и относительно природы науки и познания вообще.
      Понятие о числе (мы говорим пока только о целых положительных числах), такое для нас привычное, вырабатывалось очень медленно.
      Для того чтобы выяснить хотя бы в основных чертах историю формирования понятия числа, приходится пользоваться косвенными данными, а именно данными этнографии; изучением живых языков, которые сохранили в грамматических особенностях числительных ценные сведения о прошлом. На этом пути также мы сталкиваемся с трудностями, поскольку , завоевания и безжалостное вытеснение туземцев привело к почти полному уничтожению ряда племён, а то и целых народов в Южной и Северной Америке, Африке, Австралии. К тому же христианские миссионеры нередко были виновниками уничтожения ценнейших памятников культуры прошлого народов, обращаемых в христианство. В результате из памяти человечества вычёркивались полностью страницы истории. То немногое, что удалось собрать путешественникам на протяжении XVI— XIX вв., представляет неоценимое значение для истории науки и даёт базу для восстановления процесса образования понятия числа.
      Прежде всего выяснилось, что многие племена не могли вести счёт и не имели наименований для чисел. Они заменяли счёт описанием свойств отдельных предметов. Так, по свидетельству известного полярного исследователя Уильяма Парри (1790—1855), эскимосы в то время не могли правильно сосчитать число своих
      детей, если их было больше трёх. Однако они сразу замечали отсутствие кого-нибудь из них, так же, как могли перечислить каждого, отмечая их отличительные особенности. Точно так же, имея большое число ездовых собак, они не могли назвать их числа, но зато были в состоянии описать каждую из них: собака, родившаяся в голодный год; собака чёрная с белым пятном и т. д.
      О вымершем теперь полностью (в результате политики испанских колонизаторов) племени абипонов сохранились рассказы путешественников о том, что в их языке существовали специальные слова только для чисел один, два и три. Но тем не менее, когда абипон, собравшись на охоту, замечал, что нет хотя бы одной из его многочисленных охотничьих собак, он немедленно принимался её разыскивать.
      На этом этапе развития народов, число воспринимается не само по себе, а наряду с другими свойствами, характеризующими качественные особенности каждого из предметов, подлежащих перечислению.
      Счёт предметов и сопоставление численности нескольких групп предметов представляли огромный труд. В сочинениях ряда исследователей первобытной культуры разбросаны сведения, подтверждающие мнение, что операция счета для первобытных племён представляла тяжёлую задачу, от которой они быстро уставали.
      Умение считать на первых стадиях формирования искусства счёта не связано жёстко с наличием специальных обозначений для цифр. Образование числительных и тем более цифровых знаков — это уже достаточно высокая стадия развития. Специальные слова для обозначения числительных были выработаны много позднее того, как появились определённые наименования для обозначения численностей групп определённых предметов. Филологи отмечают, что у некоторых африканских народов существуют различные слова для обозначения трёх коров, трёх воинов, трёх хижин и т. д. Также у некоторых племён Канады было отмечено, что числительного «три» у них не существовало, а для обозначения трёх предметов имелись различные наименования: «тхе» — три вещи, «тхане» — три лица,
      «тхат» — три раза, «тханоэн» — в трёх местах и т. д. У аборигенов Флориды были слова «на-куа» для обозначения десяти яиц, «на-банара» для обозначения десяти корзин с продовольствием, но слова «на» для обозначения числительного десять у них не было.
      Разумеется, счёт с помощью определённых предметов неизбежно приводит к появлению наименований, тесно связанных с орудием счёта. Понятно, что в качестве таких орудий счёта, помогавших перечислению вещей и запоминанию результата, выбирались предметы, особенно близкие человеку. Как правило, это были части его тела, пальцы рук и ног, сами руки и ноги. Так, у жителей Торресова пролива исследователи заметили," что посредством пальцевого счёта могли выразить довольно большие числа. То, что при первобытном перечислении предметов зачастую использовались пальцы, сыграло большую роль в развитии счёта на пальцах. До XVIII в. счёт на пальцах имел широкое распространение в странах Западной Европы и в России. Итак, число воспринималось вначале непосредственно, как неотъемлемое свойство совокупности предметов, которое, однако, ещё явно не выделялось.
      На более высокой ступени число уже указывается как свойство совокупности предметов, но ещё не отделяется от неё как «отвлечённое число», как число вообще, не связанное с конкретными предметами.
      Число предметов есть свойство некоторой их совокупности, число же, как таковое, иными словами «отвлечённое число», есть это свойство, отвлечённое от конкретных совокупностей и мыслимое уже само по себе, подобно «черноте», «твёрдости» и т. п. Как чернота есть общее свойство предметов цвета угля, так число «пять» есть общее свойство всех совокупностей, содержащих столько же предметов, сколько пальцев на руке.
      При этом сама равночисленность устанавливается простым сравнением: беря предмет из совокупности, мы загибаем один палец и так пересчитываем их по пальцам. Вообще сопоставлением предметов двух совокупностей можно, вовсе не пользуясь числами, установить, одинаковое ли в них число предметов. Так, гости, рассаживаясь за столом и ничего не считая, легко поправляют хозяйку, если она забыла один прибор: один гость остался без прибора. Таким образом, можно дать следующее определение числа: каждое отдельное число есть свойство совокупностей предметов, общее для всех совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному, и различное для таких совокупностей, в которых такое сопоставление невозможно.
      Для того чтобы обнаружить и ясно выделить это общее свойство, т. е. для того, чтобы образовать поня-
      тие о том или ином числе и дать ему название «шесть», «десять» и т. д., нужно было сравнить между собой немало совокупностей предметов. Люди считали на протяжении долгих поколений, миллионы раз повторяя одни и те же операции, и так на практике обнаруживали числа и отношения между ними.
      Числовой ряд возник не сразу.
      История его формирования весьма длительна, и запас употребительных чисел увеличивался лишь постепенно. Людям долгое время даже не приходила в голову мысль о неограниченности числового ряда. Только уже в сформировавшихся и далеко продвинувшихся на пути прогресса цивилизациях стали появляться идеи неограниченности множества целых чисел. Это можно найти в сказаниях о Гильгомеше — герое легенд Двуречья; в рассказах о Будде и др. Позднее — в Древней Греции — эта идея была развита Архимедом (287—212 г. до н. э.) в его сочинении «Псаммит» — исчисление песчинок. Он показал, что, вопреки мнению многих, ряд чисел может быть продолжен как угодно далеко и что можно перечислить не только песчинки на берегу моря, но даже указать, сколько песчинок поместится в шаре, радиус которого, как говорил Архимед, равен расстоянию от Солнца до неподвижных звёзд. Архимед сконструировал в этом произведении приём, который позволял строить и словесно обозначать как угодно большие числа. Однако эта идея, хорошо разработанная Архимедом, ещё долгие годы не становилась всеобщим достоянием. Потребовалось не столько время, сколько существенное изменение общественных потребностей для появления настоятельной необходимости оперирования со сколь угодно большими числами, чтобы идея неограниченности числового ряда стала доступна подавляющему большинству и вошла в начальную школу. Сочинение Архимеда «Псаммит» имело прежде всего философское значение. Математики того времени уже владели идеей неограниченности числового ряда и получили относительно него фундаментальные результаты. Евклид доказал бесконечность множества простых чисел, Эратосфен указал алгоритм выделения простых чисел (решето Эратосфена).
      В математических рукописях Древней Руси изобретение арифметики приписывали или «остропаримого разума древним философам», или «древнеэллинскому
      мудрецу Пифагору». В Древней Греции изобретение целого числа легенды приписывают Прометею. Об этом замечательно сказано в трагедии Эсхила «Прометей прикованный»:
      ...О бедствиях послушайте людей.
      Они как дети были глупые.
      Я наделил их мыслью и сознанием...
      Для них я выдумал науку чисел, из наук важнейшую...
      Все легенды очень красивы. Мы знаем, какой долгий и трудный путь прошло человечество, прежде чем овладело понятием числа и превратило его в одно из основных орудий прогресса.
      Мы показали лишь часть пути развития числа. Кроме целых положительных чисел, практика заставила ввести также отрицательные числа, нуль, затем дроби, мнимые и комплексные числа. Далее на базе полей действительных и комплексных чисел были построены новые образования — группы, кольца. Этот процесс никогда не завершится, так как для развития науки и практики нужны новые математические образования, новые понятия.
      Задачи, связанные с измерением, разделом имущества и продуктов, привели к необходимости рассмотрения, наряду с целыми положительными числами, также дробных и отрицательных чисел. Но их введение и освоение потребовало длительного времени, и только после того, как оно пройдено, когда остались позади многочисленные трудности в выработке правил деления чисел и действий с дробями, появились возможности формального построения соответствующей теории. Человечеству потребовались тысячелетия, прежде чем удалось сформулировать абстрактное определение дробного числа, чтобы действиям с дробями обучались школьники. Это великое завоевание человечества. Ведь ещё в XVIII в. в гимназиях даже не добирались до действий с дробями. Люди разными путями пытались выбраться из трудного положения, в которое они попадали, когда приходилось оперировать с дробями. Недаром в немецком языке сохранилось выражение «попасть в дроби», употребляемое в тех случаях, когда хотят подчеркнуть, что кто-то попал в безвыходное положение. В одной арабской рукописи XII в. следующим хитроумным способом решена простая арифметическая задача, лишь бы не иметь дела с дро-
      бями: «Разделить поровну между одиннадцатью лицами 100 фунтов (хлеба, зерна, муки и т. д.)». Автор решения предлагает следующий способ: каждое лицо должно получить по 9 фунтов; оставшийся фунт следует поменять на яйца, которых при таком обмене будет получена 91 штука. Оставшиеся после деления 3 яйца автор предлагает или поменять на соль, или же отдать за уруды тому, кто делил.
      Сказанное убедительно показывает, что на всех этапах развития математического понятия числа практика играла решающую роль. Правда, в понятие практики входят при этом различные представления: практика перечисления, практика раздела имущества и измерения длин. Введение иррациональных чисел связано на первых порах с вычислением длины диагонали квадрата по его стороне. Практика решения квадратных уравнений привела человечество к мнимым и комплексным числам.
      Мы можем перейти к рассмотрению любого математического понятия и всюду столкнёмся с той же самой ситуацией: их введение связано всегда с решением той или иной проблемы, выдвинутой или общественной практикой, или развитием науки.
      История зарождения геометрии по существу сходна с историей зарождения арифметики. Первые геометрические понятия и сведения также восходят к временам доисторическим и также возникли в процессе практической деятельности.
      Из самой природы заимствовал человек геометрические формы. Круг и серп луны, гладь озера, прямизна луча и стройного дерева существовали задолго до человека и предстояли перед ним постоянно. Конечно, достаточно прямые линии, а тем более треугольники и квадраты, наш глаз встретит в самой природе редко. Ясно, что человек вырабатывал представление об этих фигурах прежде всего потому, что активно воспринимал природу и, следуя своим практическим потребностям, изготовлял предметы всё более правильной формы. Люди строили свои жилища, обтёсывали камни, отгораживали участки земли, натягивали тётины на свои луки, лепили глиняную посуду, совершенствовали её и соответственно создавали понятие, что сосуд получается круглый, что натянутая тетива — прямая. Короче, форму сначала придавали материалу, а потом уже осознавали её как то, что придаётся материалу и что
      может рассматриваться само по себе в отвлечении от материала.
      Осознавая форму т^л, человек мог совершенствовать свои изделия и ещё отчётливее выделять само понятие формы. Так, практическая деятельность служила основой для выработки отвлечённых понятий геометрии. Нужно было сделать тысячи предметов с прямыми краями, натянуть тысячи нитей, провести на земле массу прямых линий, чтобы получить ясное представление о прямой линии вообще, как о том общем, что есть во всех этих частных случаях. Теперь мы окружены предметами с прямыми краями, сделанными людьми, сами учимся проводить прямые, и только поэтому у нас с детства складывается ясное представление о прямой.
      Точно так же понятие о геометрических величинах — о длине, площади и объёме — возникло из практической деятельности. Люди измеряли длины, определяли расстояния, оценивали на глаз площади и объёмы для своих практических целей. Постепенно здесь были обнаружены простейшие общие законы, первые геометрические зависимости, например площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Земледельцу полезно было знать такую зависимость, чтобы оценивать площадь посева, а следовательно, и предполагаемый урожай.
      Так из практической деятельности и жизненных задач зарождалась геометрия. Развитие её шло в направлении накопления новых фактов и уяснения их связи друг с другом. Эти связи превращались постепенно в логические выводы одних положений геометрии из других. Таким путём, во-первых, вырабатывалось само понятие о геометрической теореме и её доказательстве, а во-вторых, выяснились те основные положения, из которых другие уже могут быть выведены, т. е. выяснялись аксиомы геометрии.
      Так постепенно геометрия превращалась в математическую теорию.
      Известно, что её систематическое изложение появилось в Греции уже в V в. до н. э., но оно до нас не дошло, очевидно, потому, что всех их вытеснили «Начала» Евклида. В этом произведении геометрия была пред- ^ ставлена в виде такой стройной системы, что ничего принципиально нового к её основам не смогли добавить до Н. И. Лобачевского, т. е. в течение более двух тысяч
      лет, а все школьные учебники во всём мире представляли и представляют собой не что иное, как популярную переработку Евклида. Едва ли много найдётся в мире таких долговечных книг, как «Начала» Евклида,— это совершенное творение человеческого гения. Конечно, математика ушла вперёд, и наше понимание оснований геометрии стало гораздо глубже, и всё же «Начала» Евклида были и во многом остаются образцом книги по чистой математике. В них, подводя итог предыдущего развития, Евклид представил современную ему математику как самостоятельную теоретическую науку, т. е. так, как в конце концов понимают её и теперь.
      История зарождения геометрии даёт основания для тех же выводов, что история зарождения арифметики. Мы видим, что геометрия возникла из практики и что её превращению в математическую теорию предшествовал очень долгий период.
      Геометрия оперирует с «геометрическими телами» и фигурами, изучает их отношения и взаимное расположение. Но геометрическое тело есть не что иное, как слепок с реального тела, рассматриваемого с точки зрения его пространственной формы (в том числе размеров), в отвлечении от прочих свойств, будь то плотность, цвет, вес и т. д. Геометрическая фигура есть ещё более общее понятие, в ней можно отвлекаться и от пространственного протяжения. Так, поверхность имеет только два измерения, линия — одно, а точка вовсе не имеет измерений. Точка есть отвлечённое понятие о конце линии, о месте, уточнённом до предела, так что в нём уже нет частей. (Так, кстати, определял эти понятия и Евклид.)
      Таким образом, геометрия имеет своим предметом пространственные формы и отношения реальных тел, отвлечённые от всех прочих свойств, иными словами, взятые в «чистом виде». Именно этот уровень отвлечённости отличает геометрию от других наук, изучающих также пространственные формы и отношения тел. В астрономии, например, изучают взаимное расположение тел, но именно небесных тел, в геодезии — форму Земли, в кристаллографии — формы кристаллов и т. д. Во всех этих случаях изучают форму и расположение конкретных тел в зависимости от их других свойств.
      Отвлечение обусловливает умозрительный метод геометрии; с прямыми без всякой ширины, с «чистыми формами» уже нельзя ставить опыты. Остаётся только
      рассуждать, получая одни выводы из других. Поэтому геометрическая теорема должна доказываться рассуждением, иначе она не будет принадлежать геометрии, не будет относиться именно к «чистым формам».
      Очевидность самих исходных понятий геометрии, приёмы рассуждений, убедительность её выводов имеют то же происхождение, что и в арифметике. Свойства геометрических понятий, как и сами понятия, абстрагированы человеком из окружающей природы. Люди много раз проводили прямые линии, прежде чем смогли создать аксиому, что через всякие две точки можно провести прямую; миллиарды раз перемещали и прикладывали друг к другу разные предметы, прежде чем смогли обобщить это в представлении о наложении геометрических фигур, и, тем более, применить это представление для доказательства теорем (как это делается в известных теоремах о равенстве треугольников).
      Наконец, общность геометрии. Объём шара равен 4 Q
      — kR независимо от того, идёт ли речь о шарообразном сосуде, о стальном шаре, о планете, о капле и т. д. Геометрия смогла выделить общее во всех телах, потому что всякое реальное тело имеет более или менее определённую форму, размеры, положение относительно других тел. Не удивительно поэтому, что она применяется так же широко, как арифметика. Рабочий, измеряющий размеры детали или читающий чертёж, артиллерист, определяющий расстояние до цели, колхозник, измеряющий площадь посева, строитель, оценивающий объём земляных работ,— все они пользуются геометрией. Штурман, астроном, геодезист, инженер, физик нуждаются в очень тонких её выводах.
      До сих пор мы рассматривали арифметику и геометрию отдельно друг от друга. Их взаимная связь ускользнула от нашего внимания. А между тем эта связь имеет исключительно большое значение. Взаимное проникновение теорий движет математику вперёд, раскрывает богатство отражённых этими теориями связей действительности.
      Арифметика и геометрия не только применяются одна к другой, но служат при этом истоками дальнейших общих идей, методов и теорий. В конечном счёте арифметика и геометрия — это два корня, из которых росла математика. Их взаимодействие восходит к тем временам, когда они сами только зарождались. Уже
      простое измерение длины есть соединение геометрии и арифметики. Измеряя длину предмета, мы откладываем на нём некоторую -единицу длины и считаем, сколько раз это можно сделать; первая операция (откладывание) — геометрическая, вторая (счёт) — арифметическая. И всё же со времён древнегреческой математики между арифметикой и геометрией существовал значительный разрыв. Впервые полностью воплотил в жизнь идею их единства замечательный французский математик и философ Рене Декарт (1596—1650), введя в математику одно из фундаментальных её понятий — понятие переменной и создав аналитическую геометрию. Значение его работ Ф. Энгельс охарактеризовал следующим образом: «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем». (Диалектика природы.— Маркс К., Энгельс Ф. Соч., 2-е изд., т. 20, с. 573).
      Декарт считал, что в основе познания лежит сравнение между собой предметов одинакового рода, их измерение, а главная роль «человеческого искусства» состоит в установлении равенств между искомыми и данными вещами. При этом отношение между вещами выражалось через отношение их мер, т. е. благодаря новой точке зрения, через действительные числа. Тем самым, зависимости между величинами стали выражаться как зависимости между числами. По сути дела, это была неявно выраженная идея числовой функции числового аргумента, одной из плодотворнейших математических моделей.
      Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.
      С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям
      зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами «больше на», «меньше на», «больше во столько-то раз». Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трёх быков — на 18 овец; если из одного ведра глины изготовляли 4 горшка, то из двух вёдер глины можно было сделать 8 горшков, а из трёх вёдер — 12 горшков. Такие расчёты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.
      В те времена редко приходилось сталкиваться с более сложными зависимостями. Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам) армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, необходимое для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому переходили правила решения задач, и чем лучше писец справлялся с ними, тем большим почётом он пользовался.
      Вот, например, послание, направленное египетским писцом своему менее образованному коллеге:
      «Я хочу объяснить тебе, что это. такое, когда ты говоришь: «Я писец, дающий приказы армии». Ты приходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для солдат и говоришь: «Сосчитай мне это». Ты оставляешь свою работу, и на мои плечи сваливается задача — учить тебя, как её надо выполнить. Я ставлю тебя в тупик, когда приношу тебе повеление от твоего господина, тебе — его царскому писцу... мудрому писцу, поставленному во главе этого войска. Должно сделать насыпь для подъёма в 730 локтей длины и 55 локтей ширины. Она состоит из 120 отдельных ящиков и покрывается перекладинами и тростником. На верхнем конце она имеет высоту в 60 локтей, а в середине 30 локтей; уклон её — дважды по 15 локтей, а настил — 5 локтей. Спрашивают у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все они надеются на тебя и говорят: «Ты искусный писец, мой друг, сосчитай это для нас поскорей. Смотри, имя твоё славится. Сколько же надо для этого кирпичей?»
      Чтобы решить такую зрдачу, надо было знать, как
      зависят объёмы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские задачи показывают, что в то время умели даже вычислять объём пирамиды.
      Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций
      ...
      Пользуясь такими таблицами, вавилоняне могли решать и обратные задачи — по заданному объёму куба находить длину его стороны, т. е. извлекать кубические корни. Они умели даже решать уравнения вида
      ...
      Были у вавилонян и таблицы функций
      двух переменных, например таблицы сложения и умножения. Пользуясь различными таблицами, они могли вычислять и длину гипотенузы по длинам катетов,
      т. е. находить значения функции
      ...
      Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был ещё очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.
      В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и Вавилоне. Появились профессиональные учёные, которые изучали саму математическую науку, занимались строгим логическим выводом одних утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие матемаГики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких условиях данная задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т. д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.
      Но всё же древнегреческие математики не создали общего понятия функции. Возможно, здесь оказало влияние то, что к практическим приложениям математики они относились свысока. Одна из дошедших до
      нас легенд гласит, что когда какой-то человек попросил Евклида обучить его геометрии и задал вопрос: «А какую практическую пользу я получу, выучив все эти теоремы?», тот сказал, обращаясь к своему рабу: «Дай ему обол (мелкую греческую монету), бедняжка пришёл искать пользу».
      Вопросами практической математики в Греции больше занимались астрономы. Они придумали, например, долготу и широту, с помощью которых определяли положение звёзд на небосводе. Астрономам приходилось решать сферические треугольники. Это послужило началом сферической тригонометрии, которая, как ни странно, была создана раньше, чем плоская. Чтобы решать тригонометрические задачи, пришлось составить таблицы зависимости между длиной хорды и величиной стягиваемой ею дуги. По сути дела, это уже были таблицы функции у — sin х (длина хорды, стягивающей дугу 2х, равна 2/?sinx).
      Когда византийский император Юстиниан в 529 году запретил под страхом смертной казни математические исследования (он видел в них наследие языческой науки, противостоявшей христианской религии), центр научных исследований переместился в арабские страны. Арабские учёные ввели новые тригонометрические функции и усовершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем. Работая с тригонометрическими таблицами, они прибегали к интерполяции, т. е. к «чтению между строк таблицы». Чаще всего применяли линейную интерполяцию, считая, что между двумя известными значениями функция меняется линейно. Но живший в XI веке хорезмиец аль-Бируни разработал более точный способ интерполяции, основанный на замене данной функции квадратичной. Он применил свой способ только к таблицам синусов и тангенсов, но в одном месте указал, что этот способ «применим ко всем таблицам». Здесь впервые встречается мысль о «всех таблицах», т. е. о всевозможных зависимостях между величинами.
      Исследование общих зависимостей началось в XIV веке. Средневековая наука была схоластической. Для доказательства своей правоты учёные прибегали не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Платона или к ссылкам на библейские сказания. При таком характере «научных дискуссий» не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но
      среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь).
      Французский учёный Николай Оресм (1323—1382) стал изображать интенсивности длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им «линией интенсивностей» или «линией верхнего края». Современный читатель сразу узнает в ней график соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал даже «плоскостные» и «телесные» качества, т. е. функции, зависящие от двух или трёх переменных.
      Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: равномерные (т. е. с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (для которых скорость изменения интенсивности постоянна и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также указал характерные свойства графиков таких качеств.
      В работах Оресма встречаются понятия мгновенной скорости и ускорения. Оресму удалось даже с помощью геометрических соображений найти путь, проходимый телом при равноускоренном движении. Разумеется, точного определения мгновенной скорости и ускорения он не давал, но понимал, что путь при равноускоренном движении можно геометрически изобразить площадью треугольника.
      Идеи Оресма намного обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной алгебры в то время не существовало. Лишь после того, как в течение XVI века была постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг в развитии понятий функции.
      На протяжении XVI и XVII веков в естествознании произошла революция, приведшая к глубочайшим изменениям не только в технике, но и в мировоззрении людей. После того как Коперник создал гелиоцентрическую систему, «остановив Солнце и сдвинув Землю», нельзя уже было верить, что Земля — центр мироздания, а библейские сказания непогрешимы. Казалось,
      что мир сорвался со своих опор, что разрываются прочнейшие связи.
      Астрономия, которая до этого в основном обслуживала астрологию (лженауку, пытавшуюся предсказывать судьбы людей и государств по положению планет и звёзд), стала чуть не каждый день приносить новые сведения о мире — люди узнали о спутниках Юпитера, фазах Венеры, пятнах на Солнце и т. д. Инженеры придумывали новые машины, усовершенствовали часы, мореплаватели возвращались из дальних странствий и рассказывали о новых континентах и таинственных странах, которые они открыли во время путешествий.
      Всё это привело к изменению мировоззрения людей — они стали смотреть на мир не как на поле приложения божественной воли, а как на механизм, управляемый своими законами. И основной задачей науки стало открытие этих законов, описание их в терминах математики. Перед математикой возникли новые задачи, недоступные для существовавшей тогда науки, имевшей дело лишь с постоянными, неподвижными объектами. Нужны были новые математические методы и модели, которые позволили бы описывать мир, полный движения и перемен.
      Одним из первых задумался над такими задачами основатель динамики Галилео Галилей. Он размышлял о том, как меняется скорость падающего тела, как движется точка на ободе колеса, как качается маятник. Но решить такие задачи ему удалось лишь в простейших случаях. Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие, как мы уже упоминали, было введено в науку Рене Декартом.
      При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операциям над величинами соответствовали операции над буквами. Теперь уже для преобразования одной зависимости в другую не надо было писать громоздких пропорций, изучать подобные треугольники и преобразовывать геометрические фигуры. Достаточно было по твёрдо установленным правилам делать алгебраические преобразования, причём все эти преобразования производились в общем виде.
      Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы
      наглядно изображать уравнения, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат. Как уже говорилось, ещё греческие астрономы задавали положение звёзд на небесной сфере долготой и широтой. Но лишь Декарт начал геометрически изображать не только пары чисел, а и уравнения, связывающие два числа. Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик — Пьер Ферма (1601 —1665). Он был советником тулузского парламентёра и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных результатов в теории чисел и в других областях математики.
      После работ Декарта и Ферма возникла аналитическая геометрия — новая ветвь математики, в которой линии изучались не геометрическими методами, а путём исследования их уравнений.
      К началу XVII века математики знали такие кривые линии, как эллипс, гиперболу, параболу и т. д. Однако в то время ещё не было общего метода изучения линий, и потому исследование каждой кривой превращалось в сложную научную работу.
      Открытия Декарта и Ферма дали в руки математиков метод для получения и изучения новых кривых — надо было написать уравнение кривой и делать выводы, исследуя это уравнение. Сам Декарт в 1638 году придумал новую кривую, уравнение которой имеет вид ...
      Её сейчас называют декартовым листом. Любопытно, что хотя Декарт применял уже в своей алгебре не только отрицательные, но даже мнимые числа, он не рассматривал отрицательных значений координат. Первоначально декартов лист считали симметричным относительно осей координат, т. е. изображали линию .... Окончательно форма кривой была установлена лишь через полстолетия X. Гюйгенсом (1629—1695) и Иоганном Бернулли (1667—1748).
      Декартов лист, эллипс, гипербола, парабола являются алгебраическими кривыми. Так называют кривые, уравнение которых имеет вид Р (х, г/)=0, где Р (х, у) — многочлен от х и у. Но уже Галилей и Декарт изучали циклоиду — кривую, описываемую точкой обода колеса, катящегося без скольжения по прямой дороге (или, говоря математически, траекторию точки окружности,
      катящейся без скольжения по прямой линии). Эта кривая состоит из бесконечного числа арок, каждая из которых соответствует полному обороту колеса. Можно доказать, что уравнение одной арки циклоиды имеет
      вид: ....
      Так как в это уравнение входит обратная тригонометрическая функция, циклоида не является алгебраической кривой.
      К неалгебраическим кривым нельзя было применять алгебраические методы, разработанные Декартом. Поэтому их назвали трансцендентными кривыми (от латинского «трансценденс» — выходящий за пределы). Некоторые трансцендентные кривые были известны ещё древнегреческим математикам. Например, в связи с задачей о спрямлении окружности (построение отрезка, длина которого равна длине этой окружности) Архимед построил особую спираль, определив её на языке механики как траекторию точки, совершающей равномерное и поступательное движение по лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего начала.
      Другие кривые кинематического происхождения приходилось рассматривать астрономам. Как известно, Птолемей, пытаясь объяснить движение планет по небу, придумал сложную систему мироздания. Он считал, что в центре Вселенной находится Земля, а планеты равномерно вращаются по окружностям, центры которых, в свою очередь, равномерно вращаются вокруг Земли. Если начертить эти траектории, то появятся возвратные движения и петли, которые и хотел объяснить Птолемей. Следует отметить, что при более точном изучении выявились расхождения между теорией Птолемея и наблюдениями, а потому пришлось вводить третьи окружности, а там и четвёртые. В результате получилось нагромождение окружностей, в котором невозможно было разобраться. Король Альфонс X, которому попытались объяснить систему Птолемея, сказал: «Жаль, что меня не было, когда бог творил мир: я посоветовал бы ему сделать мироздание проще». Столь непочтительное заявление чуть не стоило ему короны — его обвинили в богохульстве.
      Но не только «небесные» причины заставляли математиков изучать различные кривые. Со многими кривыми приходилось иметь дело и в связи с вполне земными
      заботами. Картографы интересовались формой меридианов и параллелей при различном выборе проекции земного шара на плоскость, мореплаватели — линией, по которой корабль пересекает все меридианы под одним и тем же углом, инженеры — очертаниями зубчатых колёс, кулачковых механизмов и других деталей машин, а также винтовыми кривыми и поверхностями и т. д.
      Например, архимедова спираль позволяет преобразовать равномерное вращательное движение в равномерное возвратно-поступательное.
      После того как были открыты логарифмы, стали изучать свойства графиков логарифмической и показательной зависимостей. Задачи механики требовали отыскания формы провисшего каната (так называемой цепной линии).
      В течение XVII столетия было открыто больше кривых, чем за всю предшествующую историю математики, и понадобились общие понятия, которые позволили бы единым образом трактовать и изучать как алгебраические, так и трансцендентные кривые, как тригонометрические, так и логарифмические зависимости. Выработка этих общих понятий, а именно понятий производной, интеграла и бесконечного ряда, ознаменовала новый этап математики — открытие дифференциального и интегрального исчислений.
      После того как в науку вошли переменные величины и функции, были изучены траектории движущихся точек, расцвела вычислительная математика и была создана буквенная алгебра, внимание учёных обратилось к изучению соответствий между величинами. С помощью координат удалось изобразить эти соответствия графически. Математика стала языком естествознания, причём в формулировке законов природы использовали не только алгебраические, но и тригонометрические функции.
      Отметим, что в начале XX века на базе теории функций возникла новая ветвь математики — функциональный анализ. В нём изучают множества, состоящие из функций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства, имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе простран-
      ства могут быть бесконечномерными. Это не мешает специалистам по функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический язык.
      Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной^ наукой, он находит многочисленные приложения в вычислительной математике, физике, экономике, позволяя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный американский математик Р. Курант (1888—1972) писал:
      «Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации, устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разрежённая атмосфера которых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает решающее испытание — приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли поставленные цели...»
      А А. Лебег (1875—1941) говорил:
      «Те люди, которым мы обязаны отвлечённой научной мыслью, могли, занимаясь абстрактными вещами, делать тем не менее полезное дело, именно потому, что они имели особенно обострённое чувство действительности».
      Наряду с понятиями переменной и функции, решающую роль в развитии математики и усилении её познавательной мощи сыграла идея бесконечности. Её зарождение теряется в глубине веков.
      Данные лингвистики показывают, что сначала люди умели считать лишь до двух. Потом запас чисел расширился до шести: даже в XIX в. были обнаружены племена, считавшие так: «один, два, два-один, два-два, два-два-один, два-два-два», а обо всём, что содержало более шести элементов, они говорили «много». И сейчас в пословицах и поговорках число 7 заменяет слово «много» («Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь, один раз отрежь», «Один с сошкой, семеро с ложкой» и т. д.). Потом наибольшим стало число 40, затем эта граница отодвинулась до 100, далее — до 1000. Но даже этих чисел не хватало для того, чтобы пересчитать звёзды на небе, песчинки на берегу моря, листья в лесу. Глядя ввысь, люди думали о неисчислимом множестве звёзд, о бездонном небе. Эти чувства выражены в стихах М. В. Ломоносова:
      Открылась бездна, звёзд полна;
      Звёздам числа нет, бездне — дна.
      Изобретение позиционных систем счисления дало возможность называть очень большие числа. Например, в одной из вавилонских таблиц приводятся все делители числа 608+ 10 • 607 = 195 955 200 ООО ООО. В индийских книгах исчисляется- количество «атомов», содержащееся в 3200 длинах лука (оно равно 108 470 495 616 000), а в одной из них рассказывается о сражении, в котором приняло участие 1023 обезьян. Авторов этих сказаний не смущало, что такого количества обезьян не вместила бы вся Солнечная система, они радовались, что могут оперировать громадными числами.
      Работая с громадными числами, люди пришли к мысли, что нет самого большого числа, что за каждым числом идёт следующее, а ряд натуральных чисел бесконечен. Сейчас эта идея кажется простой даже школьникам IV класса, но когда-то она была важным завоеванием теоретического мышления. Она позволила поставить вопрос о безграничности пространства. Что находится за сферой неподвижных звёзд? Есть ли граница Вселенной? Размышляя над этим, древнегреческие философы пришли к представлению о мире, не имеющем границ. «Где бы ни стал воин, он сможет протянуть своё копьё ещё дальше», учил живший в VI в. до н. э. философ Анаксимандр. Теперь мы знаем, что это рассуждение доказывает лишь неограниченность, но не бесконечность пространства.
      Ещё раньше люди пришли к идее вечности, бесконечности мира во времени. Она выражена в следующей восточной притче:
      «Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз в столетие прилетает птичка и точит свой клюв о гору. Когда она сточит всю гору, пройдёт первое мгновение вечности.»
      Так возникла модель мира, бесконечного во всех направлениях и вечного во времени.
      Освоившись с идеей бесконечности, мыслители стали думать и о бесконечно малых величинах, получающихся при безграничном делении предметов на части. Повседневный опыт учил, что хлеб, яблоко, кувшин вина можно разделить между участниками трапезы. В случае необходимости каждую из получившихся частей можно было дальше делить на ещё более мелкие части. Но есть ли граница этому делению? Ответить на этот вопрос, опираясь только на опыт, было невозможно.
      Здесь речь шла уже о настолько мелких частях, что их нельзя было разглядеть самому зоркому из людей. Поэтому вопрос о пределе делимости вещей перешёл из сферы опыта- в сферу умозрительных рассуждений.
      Возникли две основные школы, одна из которых учила, что безграничное деление возможно, а вторая пришла к выводу, что существуют наименьшие частицы вещества — атомы, которые дальше уже не делятся (атом и значит по-гречески «неделимый»). Но атомисты и их противники расходились лишь во взглядах на природу материи. В том, что пространство безгранично делимо, не сомневались даже самые завзятые сторонники. атомизма.
      В середине V в. до н. э. выяснилось, что предположение о безграничной делимости пространства при неосторожном обращении ведёт к парадоксальным следствиям. Философ Зенон Элейский, пользуясь этим предположением, доказывал, что ... в мире не существует движения. Ведь, говорил он, летящая стрела, прежде чем попасть в цель, должна пролететь половину пути, а до этого одну четверть пути, ещё ранее — одну восьмую пути и т. д. А так как пространство безгранично делимо, то процесс деления пополам никогда не кончится, стрела никогда не полетит и останется неподвижной (апория «Стрела»).
      В апории «Дихотомия» (деление пополам) утверждается, что тело, которое движется, никогда не достигнет конца пути, так как сначала оно должно достигнуть средины, затем средины половины и т. д., т. е. если длина пути равна 1, то тело сначала должно пройти.... Итак, оно не только никогда не достигнет конца пути, но и вообще не сдвинется с места.
      Наиболее популярная апория «Ахиллес и черепаха» должна была убедить в том, что если движение всё же началось, то никогда не закончится. Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале пути она находится на некотором расстоянии от него. В самом деле, пусть их разделяет расстояние а и скорость Ахиллеса в k раз превышает скорость черепахи. За время, в течение которого Ахиллес пробежит расстояние о, черепаха продвинется вперёд на пока Ахиллес пробежит, черепаха продвинется на и т. д.
      Каким же образом Ахиллес сможет догнать черепаху? Ему необходимо преодолеть бесконечную последовательность отрезков за конечный отрезок времени. Итак, погоня никогда не закончится.
      Апории Зенона показали, что представления о бесконечности, господствовавшие в тогдашней математике, были весьма наивны. В частности, в его рассуждениях впервые было выяснено, что отрезок можно разбить на бесконечное множество отрезков, каждый из которых имеет конечную длину. До него отрезок всегда разбивали лишь на равные части, а тогда при увеличении числа частей их размеры безгранично уменьшались. Философское значение апорий (апория — непре одолимое противоречие при разрешении проблемы) Зенона состояло в том, что они вскрывали действительную противоречивость движения, пространства и времени. И сейчас в теоретической физике возникают затруднения, чем-то напоминающие противоречия Зенона. Только у Зенона бесконечным было число частей, которые должна пролететь стрела, а у современных физиков бесконечна энергия взаимодействия электрона с порождаемым им электромагнитным полем. И может быть, причины затруднений Зенона и современных физиков чем-то родственны — в обоих случаях речь идёт о возможности применять к микромиру понятия, возникшие при изучении больших объектов, о строении пространства в малом.
      Впечатление, произведённое апориями Зенона, можно сравнить лишь с переворотом в мышлении физиков, вызванным появлением теории относительности. После Зенона нельзя уже было обращаться с бесконечностью с той восхитительной небрежностью, которая была характерна для его предшественников. Рассуждения, в которые входило слово «бесконечность», оказались обесцененными.
      Одну из попыток спасти положение предпринял крупнейший атомист древности Демокрит. Он создал теорию, в которой пытался доказать, что не только физические тела состоят из атомов, но и пространство делимо лишь до определённых пределов, после чего идут уже части пространства, не имеющие ни формы, ни размеров. Если бы Демокриту удалась его попытка, современная математика могла бы принять совсем иной вид — она была бы не математикой непрерывного, а математикой дискретного. Но теория Демокрита не
      смогла объяснить несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю. Ведь если бы отрезки состояли из конечного числа неделимых частей, то достаточно было бы подсчитать число этих неделимых в диагонали квадрата и его стороне, чтобы выразить отношение их длин в виде дроби. Кроме того, Демокриту не удалось объяснить, равны ли между собой сечения пирамиды. Если они равны, то пирамида не может сужаться к вершине, а если не равны, то пирамида должна иметь ступенчатую форму (ведь, по Демокриту, при последовательном делении высоты пирамиды пополам в конце концов получаются неделимые далее слои). Не исключено, что сам Демокрит сомневался в реальном существовании пирамид, шаров и других геометрических тел, а считал их абстракцией, т. е. представлял их в виде ступенчатых тел со столь малыми ступеньками, что они неразличимы для человеческих чувств. К сожалению, труды Демокрита не дошли до нашего времени, и мы знаем о них лишь по цитатам, сделанным другими философами.
      Когда стало ясно, что идеи Демокрита не удаётся логически обосновать, философы стали искать иные пути, чтобы опровергнуть рассуждения Зенона. Аристотель ввёл различие между актуальной и потенциальной бесконечностями. Отвечая на вопрос «Существует ли бесконечное?», он говорил: «Бесконечность не существует актуально, как бесконечное тело или величина, воспринимаемые чувствами... Бесконечное существует потенциально, бесконечное есть движение...»
      Таким образом, Аристотель допускал бесконечный процесс деления пополам, но не допускал возможности деления отрезка на бесконечное множество частей. Ученики Аристотеля считали ненаучным представление, что величины состоят из бесконечного множества бесконечно малых частей. Они говорили: «Наука истинна лишь постольку, поскольку она не основана на предположении, что непрерывное состоит из неделимого».
      Пришлось и математикам изгнать неделимые из своей науки. Вместе с неделимыми из математики была изгнана и бесконечность. На любые рассуждения, в которых использовалось понятие бесконечности, был наложен запрет. Да и движением, и вообще физическими методами рассуждений старались пользоваться поменьше — после Зенона понятие движения считалось хотя и очевидным, но логически ненадёжным.
      Демокрит, используя свои атомистические представления, вычислил объём пирамиды. После осуждения его идей надо было искать новые пути вывода этой формулы, разрабатывать процедуру вычисления геометрических величин, в которой не говорилось бы ни о бесконечно малых, ни о неделимых. Такую процедуру создал в IV веке до н. э. греческий математик Евдокс. Он разработал метод исчерпывания (иначе истощения), позволявший переходить от утверждений о площадях и объёмах многоугольников и призм к соответствующим утверждениям о площадях и объёмах более сложных фигур. Например, чтобы доказать, что площади двух кругов относятся как квадраты длин их диаметров, Евдокс сначала доказывал соответствующее утверждение для вписанных в эти круги правильных многоугольников. Современный математик после этого совершил бы предельный переход, но для греков этот путь был закрыт, и потому Евдокс шёл обходным путём. Он предполагал противное, например, что отношение площадей кругов больше отношения квадратов диаметров. После этого он вписывал в эти круги правильные многоугольники с настолько большим (но всё же конечным!) числом сторон, что их площади очень мало отличались от площадей кругов.
      А тогда оказывалось, что, с одной стороны, отношение площадей этих многоугольников равно отношению квадратов диаметров (это было известно и до доказательства), а с другой стороны, оно больше этого отношения (поскольку этим свойством обладает отношение площадей кругов, а площади многоугольников почти не отличаются от площадей кругов). Разумеется, у Евдокса это доказательство излагалось гораздо строже и подробнее, сопровождалось леммами и следствиями и... становилось таким громоздким, что даже человеку, знающему суть дела, было нелегко в нём разобраться. Поскольку предположение, что отношение площадей кругов больше отношения квадратов диаметров, приводило к противоречию, а предположение, что оно меньше отношения квадратов диаметров, опровергалось такими же рассуждениями, оставалось одно — считать доказанным, что эти два отношения равны.
      Методом Евдокса с успехом воспользовался Архимед при выводе формул объёма пирамиды, шара, площади параболического сегмента (фигуры,ограниченной
      дугой параболы и стягивающей её хордой), сектора, спирали и т. д. Однако учёным последующих поколений было непонятно, как Архимед открыл эти формулы, так как метод исчерпывания позволял отбрасывать ложное, но не отыскивать истинное.
      Разгадка пришла лишь через два тысячелетия, уже после того, как было построено интегральное исчисление, позволившее без труда решать ещё более сложные задачи. В 1906 году в библиотеке одного из иерусалимских монастырей был обнаружен написанный на пергаменте богословский трактат. Так как в средние века пергамент был очень дорог, то монахи обычно брали древние книги, стирали или смывали с них языческий текст и писали какое-нибудь житие вымышленного ими великомученика. Однако, если монах был не слишком прилежен, то смытую рукопись, хоть и с трудом, можно было прочесть. Когда опубликовали часть смытого текста, датский историк математики Гейберг сразу понял, что монах погубил рукопись с трудами Архимеда. Ценой больших усилий текст удалось восстановить. Оказалось, что большую часть работ Архимеда учёные уже знали. Но бдна была неведомой — письмо Эратосфену, в котором Архимед раскрывал свои методы и учил не только доказывать^ но и получать новые результаты.
      И тут выяснилось, что Архимед получал свои результаты «незаконными» методами Демокрита, пользуясь неделимыми частями фигур. Он разлагал цилиндры, конусы и шары на «неделимые» тонкие кружочки, доказывал нужное ему утверждение для одного такого кружочка, отмечал, что этот вывод верен для всех кружочков, и в заключение произносил совершенно запрещённую правоверными математиками того времени фразу: «Так как всё тело сложено из таких кружков и целиком заполнено ими, то утверждение верно для всего тела». К этому надо добавить, что Архимед не боялся использовать и соображения о равновесии рычагов, переносить кружочки из одного места в другое и т. д. Впрочем, читатель знает, что работы Архимеда относились не только к чистой математике, но и к механике, оптике, гидростатике, что именно он установил законы плавающих тел, а потому его любовь к основанным на механике рассуждениям совсем неудивительна.
      В течение почти двух тысячелетий, прошедших после
      споров Зенона и Демокрита, Платона и Аристотеля, об атомистическом учении вспоминали мало. Лишь римский поэт-философ Лукреций Кар в поэме «О природе вещей» снова проповедовал это, казалось бы забытое, учение. В Западной же Европе учёные-схоласты повторяли вслед за Аристотелем и его учениками, что вещество безгранично делимо, а уж о пространстве и времени и говорить нечего — их безграничная делимость казалась очевидной. Укреплению этой точки зрения способствовало то, что в известных тогдашним учёным математических сочинениях Евклида и Архимеда господствовал метод исчерпывания, основанный на безграничной делимости геометрических фигур.
      Одним из первых поднял голос в защиту атомизма Джордано Бруно, который писал: «Причиной и основанием всех ошибок как в физике, так и в математике является допущение непрерывности и бесконечного деления». Если схоласты учили, что Вселенная ограничена, ц пространство безгранично делимо, то Бруно принимал неограниченность пространства и предел делимости. А так как Бруно не только опровергал мнения Аристотеля, но и проповедовал противоречившее библейским сказаниям учение Коперника, то инквизиция не преминула расправиться с богохульником. Впрочем, от римской инквизиции недалеко ушёл парижский парламент. В 1624 году в Париже были арестованы учёные, выдвинувшие тезис об атомном строении материи, и издано постановление парламента, предписывавшее предавать смертной казни всех, кто выступит с полемикой против старых и общепризнанных авторов.
      Но на большинство учёных эти грозные предписания уже не действовали. Авторитет схоластической науки безнадёжно упал, так как схоласты не могли ответить на насущные вопросы практики. А эти вопросы множились с каждым днём, и никто из практиков не хотел ждать, пока полученные математиками результаты будут доказаны со всей строгостью — ответ требовался как можно скорее. Быстро же получать решения задач можно было, лишь применяя осуждённые официальной наукой и церковью понятия о неделимых и бесконечно малых.
      Первая работа, в которой эти понятия были использованы для вычисления объёмов тел, обязана своим появлением запросам практики, хотя и носившим несколько необычный характер. В 1613 году Иоганн Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней он купил несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён, увидев, что продавец определял вместимость бочки, измеряя лишь расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Но такое измерение совсем не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача: какие измерения надо произвести, чтобы с достаточной точностью определить объём бочки?
      Задача осложнялась тем, что форма бочек не подходила ни под один из случаев, изученных древними геометрами — они не были ни шарами, ни параболическими сегментами, ни эллипсоидами. Решая эту задачу, Кеплер сначала нашёл объёмы тел, образуемых при вращении круговых сегментов вокруг хорды (в зависимости от того, какой из двух сегментов вращается вокруг хорды, он назвал эти тела яблоком и лимоном). Далее он нашёл объём кольца, или, как теперь говорят, тора. Но бочка не была похожа ни на одно из этих тел, и Кеплеру пришлось перейти к телам, получаемым при вращении сегментов конических сечений — эллипса, параболы и гиперболы. Он дал этим телам весьма причудливые названия — айва, приземистая дыня, груша, оливка, слива и даже турецкая чалма.
      Но ещё причудливее с точки зрения правоверного геометра были методы, которыми он получал свои результаты. Чтобы найти, например, объём тора, он разрезал его на бесконечно тонкие слои плоскостями, проходящими через ось вращения. Эти слои были с внутренней стороны уже. чем с внешней, а потому Кеплер брал их толшину посредине. Умножив её на площадь вращавшегося круга, он вычислил объём одного слоя. Теперь оставалось сложить объёмы всех слоёв, чтобы получить объём тора. При этом Кеплер заменил сумму бесконечно малых хорд длиной окружности. В другом случае Кеплер разрезал сложную геометрическую фигуру на бесконечно тонкие слои, переложил их в ином порядке и получил цилиндрическое копыто — часть прямого кругового цилиндра, отсекаемую от него плоскостью, проходящей через диаметр основания. А.уж с вычислением объёма этого копыта он сумел справиться.
      В тех случаях, когда и такие изощрённые методы не давали ответа, Кеплер прибегал к рассуждениям по аналогии, численным расчётам и т. д. Не удивительно, что математики, усвоившие лишь букву, а не дух методов Архимеда, обрушились на Кеплера. Но первый шаг был сделан — учёные увидели, что инфинитези-мальные методы (от латинского «инфинитум» — бесконечность), т. е. использование таких понятий, как «бесконечно тонкий слой», «неделимая часть» и т. д., могут быть полезны.
      Сам Кеплер использовал их в астрономических исследованиях. Как известно, во втором законе Кеплера речь идёт о площади эллиптического сектора. Но формулы для вычисления таких площадей математика древних не давала, и Кеплеру пришлось разрабатывать новые пути. Так. вместо площади сектора Кеплер говорил о «сумме всех радиус-векторов». Он рассматривал каждый радиус-вектор как бесконечно тонкий сектор и суммировал площади бесконечного множества таких секторов.
      Ко второй половине XVII века много задач было решено с помощью таких методов. Были найдены объёмы и площади многих фигур, проведены касательные к некоторым кривым и найдены длины этих кривых. Математики заметили, что в некоторых случаях удаётся свести вычисление объёмов и длин к вычислению площадей, а английский математик Исаак Барроу (1630— 1677) доказал, что вычисление площадей и проведение касательных связаны друг с другом примерно так, как сложение с вычитанием или умножение с делением, т. е. что эти две задачи обратны друг другу.
      Однако, несмотря на обилие накопленного материала, он не был упорядочен — каждая задача решалась своим способом.
      Все эти разнообразные методы не укладывались в единое исчисление, которое можно выполнять по определённым правилам и которому можно научить любого человека. Чтобы разработать такое исчисление, надо было вскрыть то общее, что лежало за калейдоскопом решённых задач, создать на этой основе стройную систему понятий и потом выработать алгоритмы — правила, по которым можно вычислять. Это было одновременно и почти независимо друг от друга сделано английским физиком и математиком Исааком Ньютоном и немецким философом и математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646—1716).
      Ньютон в течение своей долгой жизни занимался самыми разными областями науки: оптикой и акустикой,
      механикой и химией, математикой и астрономией. Но по преимуществу он был физиком. Математика была для него лишь орудием решения физических задач, а астрономия — грандиозной космической лабораторией, в которой проверялись его физические идеи. К сожалению, до нас не дошли открытия Ньютона в области акустики и химии, которым он отдал много сил — пожар, случившийся в его доме, уничтожил многие неопубликованные рукописи Ньютона, а потом он уже не возвращался к этим исследованиям.
      Научные исследования Ньютона продолжались несколько десятилетий, но большую часть этого времени он лишь разрабатывал идеи, к которым пришёл в течение двух лет (1665—1667 годы), когда после окончания Кембриджского университета жил на родной ферме, спасаясь от эпидемии чумы, унёсшей многие десятки тысяч жизней.
      Одной из наиболее жгучих физических проблем того времени было объяснение движения планет. Ещё Кеплер сформулировал основные законы этого движения, выразив в виде трёх положений результаты многолетних наблюдений своих предшественников. Но сами законы Кеплера не были основаны на каких-либо физических принципах; они напоминали в этом отношении постулаты Бора, описывающие движение электронов в атоме. И как для объяснения постулатов Бора понадобилось создать квантовую механику, так после работ Кеплера оказалось необходимо создать науку о движении тел под действием заданных сил и найти силы, управляющие движением планет. В первую очередь, надо было понять, какая же сила отклоняет планеты от прямолинейного и равномерного движения.
      Хорошо известен рассказ о том, как Ньютон размышлял над этими вопросами, отдыхая в саду, и был неожиданно возвращён к реальной действительности яблоком, упавшим на него с дерева. Почему яблоко всегда падает отвесно, подумал он про себя, почему не в сторону, а всегда к центру Земли? Должна существовать притягательная сила в материи, сосредоточенная в центре Земли. Если материя так тянет другую материю, то должна существовать пропорциональность её количеству. Поэтому яблоко притягивает Землю так же, как Земля яблоко. Должна, следовательно, существовать сила, подобная той, которую мы называем тяжестью, простирающаяся Но всей Вселенной.
      К мысли, что движение планет вызывается такой силой, приходили и другие учёные, например современник Ньютона Роберт Гук (1635—1703). Высказывалась и догадка, что эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между тяготеющими массами (к ней было несложно прийти, представив себе притягивающую силу как нечто истекающее из Солнца и распространяющееся во все стороны). Но никому до Ньютона не удавалось с помощью такой гипотезы объяснить все особенности движения планет.
      Чтобы решить эту проблему, молодому учёному пришлось создать новый математический аппарат. Из законов свободного падения он вывел, что постоянная сила придаёт движущейся точке постоянное ускорение. Отсюда был сделан вывод о пропорциональности ускорения и силы, действующей на движущуюся точку. Поэтому по заданным силам можно найти ускорение точки в каждый момент времени. Задача состояла в том, чтобы по нему найти сначала скорость, а потом и положение точки в каждый момент времени.
      Ньютон сразу обобщил эту задачу. И скорость, и координаты точки лишь частные случаи переменных величин. Поэтому Ньютон рассмотрел произвольные величины, меняющиеся с течением времени, которые назвал флюэнтами (от латинского «флюэре» — течь). В каждый момент времени существовала мгновенная скорость изменения флюэнты, которую он назвал флюксией. Общая задача была сформулирована им так:
      1) из данного отношения между флюэнтами вывести соотношение между их флюксиями;
      2) из данного отношения между флюксиями найти отношение между флюэнтами.
      Иными словами, надо было, зная, как одна переменная величина зависит от другой, найти соотношение между мгновенными скоростями их изменения и, обратно, из заданного соотношения между скоростями вывести соотношение между величинами. Ньютон нашёл общие методы решения этих задач. С их помощью он сумел установить, что движение планет может вызываться лишь силой тяготения, обратно пропорциональной квадрату расстояния от Солнца до планеты. Он показал, что при определённых условиях тело, находящееся под действием такой силы, может двигаться не только по эллипсу, но и по параболе или гиперболе.
      Впоследствии оказалось, что некоторые кометы действительно движутся по таким кривым и потому, появившись однажды, навсегда исчезают. Через два с половиной столетия теория Ньютона была применена к движению электронов в атоме и в первом приближении дала правильное описание этого движения. Лишь более глубокий анализ вопроса заставил учёных принять во внимание квантовые эффекты.
      Впечатление, произведённое достижениями Ньютона на современников, было исключительно велико. Новая механика была изложена в его книге «Математические основы натуральной философии», вышедшей лишь через два десятилетия после того, как он сделал свои открытия. Но и в этой книге Ньютон не раскрыл своих методов, а передоказал все результаты с помощью классических методов геометрии древних греков.
      Тому были две причины. Во-первых, далеко не все учёные были склонны принять новое исчисление. Многие, познакомившиеся с ним по письмам Ньютона, предпочитали не пользоваться новыми методами. Во-вторых, и это самое главное, методы, которыми он получил свои результаты, не удовлетворяли самого Ньютона; чтобы объяснить, что такое флюксия, что такое мгновенная скорость, ему приходилось говорить о скорости в момент зарождения величины, об исчислении нулей и других довольно туманных вещах. Совсем просто найти среднюю скорость — надо разделить пройденный путь на время. А при вычислении мгновенной скорости и промежуток времени, и путь равны нулю, и надо делить нуль на нуль. В поисках строгого изложения Ньютон начал разрабатывать понятие предела, но и здесь был вынужден использовать наглядные представления, от которых так хотелось освободиться.
      В то время как Ньютон пришёл к новому исчислению, отправляясь от физических задач, Лейбниц ставил перед собой более широкие проблемы — он хотел создать универсальный логико-математический метод познания, а науку о бесконечном рассматривал лишь в качестве первого образца такого метода. В этом он был продолжателем дела Декарта, пытавшегося найти общий ключ для решения загадок материального мира путём объединения алгебры и геометрии. Но, как мы уже говорили, алгебраические методы Декарта были неприменимы к трансцендентным функциям. Оказалось необходимым создать науку о бесконечном, без чего
      было невозможно методически развивать и науку о конечном.
      Целью Лейбница, по его словам, было не только создание науки о числе и пространственном порядке, но и построении «исчисления более важного, нежели исчисление арифметики и геометрии, и зависящего от анализа идей. Это была бы всеобщая характеристика, создание которой представляется мне одним из наиболее важных дел, какие только можно было бы предпринять». Стремясь создать такую науку, Лейбниц пытался построить своеобразные алгоритмы, предвосхищая идеи математической логики, занимался комбинаторными проблемами, намечал пути развития общей алгебры.
      Состояние науки того времени не позволило Лейбницу осуществить свои замыслы в полном виде. Как писал позднее знаменитый немецкий философ Иммануил Кант, «знаменитый Лейбниц обладал многими действительными знаниями, которыми он обогатил науки, но ещё более грандиозны были его замыслы, выполнения которых мир тщетно от него ждал». Руководствуясь своими общими идеями, он придумал особое исчисление для бесконечно малых величин, которое позволяло легко и единообразно получать результаты, стоившие его предшественникам больших усилий. И эти, и новые результаты, касавшиеся самых разнообразных функций и кривых, получались по чётко определённым правилам. Как писал сам Лейбниц, «причина преимуществ этого нового исчисления заключается в том, что оно разгружает воображение в проблемах, которые Декарт исключил из своей геометрии под тем предлогом, что они чаще всего приводят к механике, в действительности же потому, что они не подходили к его исчислению».
      Важной заслугой Лейбница в деле развития новых математических идей была разработка продуманной системы названий и обозначений. Отсутствие подходящей символики тормозит развитие науки, мешает учёным выразить свои идеи. Поэтому выбор системы символов, а иногда и отдельных символов имеет огромное значение. Удачно выбранная символика как бы берёт на свои плечи большую часть умственного труда учёного, облегчает творческий процесс. А иногда символика приводит к результатам, необъяснимым с точки зрения существующих понятий, и оказывается, что понятия нужно обобщить так, чтобы с их помощью
      можно было объяснить и эти, кажущиеся лишь «формальными» результаты. Сам Лейбниц отмечал роль символики в процессе творчества. «Следует заботиться,— писал он,— о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это большею частью бывает, когда обозначения коротко выражают и как бы отображают интимнейшую сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли...» Обозначения Лейбница в дифференциальном и интегральном исчислениях оказались настолько продуманными и удачными, настолько соответствовали сути дела, что и теперь они используются без существенных изменений.
      Несмотря на все успехи, достигнутые при создании нового исчисления и применении его к различным практическим задачам, у многих математиков оставалось чувство неудовлетворённости — слишком ненадёжен был фундамент, на котором основывались все эти достижения. Неясны были даже основные понятия дифференциала и интеграла. Если дифференциал бесконечно мал, но отличен от нуля, то можно ли отбрасывать произведение двух дифференциалов? Что такое сумма бесконечного числа бесконечно малых? Если они равны нулю, то и сумма равна нулю, а если отличны от нуля, то сумма должна равняться бесконечности. Да и что такое, в конце концов, сами бесконечно малые? Можно ли рассматривать их как очень малые постоянные, например как песчинку по сравнению с земным шаром или частицу «магнитной жидкости» по сравнению с песчинкой (тогда думали, что магнетизм связан с какой-то жидкостью, состоящей из мельчайших частиц, которые могут проходить через поры веществ)?
      На все эти вопросы основатели исчисления давали туманные ответы, а их последователи успокаивали своих учеников, говоря: «Работайте, и вера к вам придёт». И действительно, применение новых методов всегда давало правильные результаты. Но критики не унимались. Они говорили, что дифференциал — это тень величины, а дифференциал от дифференциала — тень от тени. Например, епископ Беркли, философ-идеалист, обращаясь к неверующему астроному Галлею, насмешливо писал, что те, кто верит в исчисление бесконечно малых, спокойно могут поверить и евангельским сказаниям.
      Лишь в начале XIX в. французскому математику О. Коши (1789—1857) удалось рассеять мистический
      туман, который окутывал исчисление бесконечно малых. Он положил в основу не туманное понятие бесконечно
      малого дифференциала, а отношение двух дифференциалов, т. е. производную от функции f(x). Это отношение, по сути дела, рассматривал ещё Лейбниц, толкуя его геометрически, как угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс). Но Коши дал для производной определение, не опираясь на геометрию, а используя лишь понятие предела. Точно так же он определил интеграл, не пользуясь суммированием бесконечного числа бесконечно малых величин. Да и основное понятие бесконечно малой величины было лишено им ореола таинственности — оказалось, что это просто величина, предел которой равен нулю.
      Таким образом, под уже выстроенное здание анализа бесконечно малых был подведён прочный фундамент. Заметим, что это не единственный случай, когда в математике сначала строят стены, а фундамент закладывают потом. К- Маркс говорил: «В отличие от других архитекторов, наука не только рисует воздушные замки, но и возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем заложить его фундамент» (К критике политической экономии.— Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 13, с. 43).
      Например, в конце XIX в. английский электротехник Хевисайд (1850—1925) построил так называемое операционное исчисление, в котором обращался с операцией дифференцирования как с обычным символом буквенной алгебры, позволяя себе делить на выражения, содержащие этот символ. Математики, воспитанные в строгих правилах, возмущались такой бесцеремонностью. Но Хевисайд получал правильные результаты, а критикам отвечал, что не собирается отказываться от вкусного обеда лишь потому, что не знаком со всеми тайнами пищеварения. Много лет спустя под операционное исчисление Хевисайда была подведена прочная база.
      Теперь мы можем, опираясь на всё изложенное, перейти к общим выводам о сущности математики.
      Сущность математики была выражена Энгельсом в одном из разделов «Анти-Дюринга», и мы приведём здесь этот замечательный отрывок.
      Своё изложение сущности математики Энгельс начинает с критических замечаний по поводу вздорных взглядов Дюринга, в частности по поводу ложного мнения, будто математика занимается творениями «чистого разума» независимо от опыта, Энгельс писал: «Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой всё, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счёту, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определённую форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путём мы получаем точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума, а именно — до мнимых величин. Точно так же выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их рациональную взаимную связь. Прежде чем прийти к мысли выводить форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, нужно было исследовать некоторое количество реальных прямо-
      угольников и цилиндров, хотя бы и в очень несовершенных формах. Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики. Но, как и во всех других областях мышления,законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так было с обществом и государством, так, а не иначе, чистая математика применяется ... к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей,— и как раз только поэтому и может вообще применяться» (М арке К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 37—38).
      Таким образом, Энгельс подчёркивает, что математика отражает действительность, что возникла она из практических нужд людей и возникновение её первых понятий и положений было результатом долгого, опирающегося на опыт исторического развития. А возможность абстрактного рассмотрения предмета математики имеет объективное основание в самом этом предмете. Те общие, не зависящие от качественных особенностей или конкретного содержания, формы, отношения, взаимосвязи и законы, которые отражаются в математике, существуют объективно, независимо от нашего сознания. Только существование числа как объективного свойства совокупности предметов, независимость взаимоотношений между числами от качественных особенностей предметов, богатство этих взаимоотношений сделали возможной арифметику. Там, где нет таких форм и отношений, безразличных к содержанию, невозможно и математическое рассмотрение.
      Указанная основная особенность математики определяет другие характерные её особенности. Это— специфический «язык формул», широта приложений, отвлечённый от опыта характер математических выводов, их логическая неизбежность и убедительность. Этот умозрительный,.характер математики является весьма существенной её особенностью, и мы рассмотрим эту особенность подробнее.
      Если мы отвлекли, скажем, понятие числа от его конкретных оснований и рассматриваем целые числа вообще, вне всякого отношения к тем или иным сово-
      купностям предметов, то само собой ясно, что мы не можем производить опытов над такими отвлечёнными объектами.
      Оставаясь на этом уровне абстракции и не возвращаясь к конкретным предметам, можно получать новые выводы о числах только путём рассуждения, исходя из самого понятия о числе. То же относится, конечно, ко всем другим математическим выводам. Оставаясь в пределах чистой геометрии, т. е. рассматривая геометрические фигуры в полном отвлечении от всякого качественного, конкретного содержания, мы не можем получить новых выводов иначе как рассуждением, исходя из самого понятия о той или иной фигуре, из самых основных понятий, или аксиом геометрии. Так, свойства круга выводят из понятия о нём как геометрическом месте точек, равноудалённых от данной точки, вовсе не думая уже о проверке каждой теоремы на опыте.
      Стало быть, отвлечённый характер математики уже предопределяет тот факт, что математические теоремы доказываются только рассуждением, исходя из самих понятий, аксиом и ранее доказанных теорем.
      Можно сказать, что в математике исследуют количественные отношения, имея в виду лишь то, что содержится в самом их определении. Соответственно математические выводы получают рассуждением, исходя из определений. Конечно, было бы неправильно понимать эти слова слишком буквально и предполагать, что достаточно строгие определения математических понятий действительно формулировались раньше, чем создавалась соответствующая математическая теория; на самом деле сами понятия уточнялись вместе с развитием теории, в результате её развития. Глубокий анализ понятия о целом числе, так же как точная формулировка аксиом геометрии, были даны не в древности, а к концу XIX в. Тем более неверно думать, будто есть какое-то абсолютно точно определённое математическое понятие. Всякое понятие, как бы ни казалось оно точно определённым, всё-таки подвижно, оно развивается и уточняется с развитием науки. Это вполне доказано развитием математики в отношении всех её понятий и это только лишний раз подтверждает основное положение диалектики о том, что нет на свете ничего такого, что было бы совершенно неподвижно и никак не развивалось бы. Поэтому и в отношении математи-
      ческих понятий можно говорить, во-первых, только о достаточной, но никак не совершенной их определённости, а во-вторых, нужно иметь в виду, что точность и яркость их определения, глубина их анализа развиваются с развитием математики.
      Именно эта определённость математических понятий вместе с общезначимостью самой логики оказываются причиной характерной для математики внутренней убедительности и логической необходимости её выводов. Неизбежность умозрительных выводов математики даёт повод к ошибочному представлению, будто математика имеет основание в чистом мышлении, будто она априорна, а не исходит из опыта, будто она не отражает действительности. К такого рода взглядам пришёл, например, немецкий философ Иммануил Кант. Это глубоко ошибочное идеалистическое представление происходит, в частности, от того, что математику рассматривают не в её реальном возникновении и развитии, а в готовом виде. Но такой подход несостоятелен уже по той причине, что не соответствует фактическому положению дел. То, что математика не априорна, а возникла из опыта — это твёрдо установленный факт. Кстати, о фактическом возникновении геометрии писал ещё Эвдем Родосский: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путём чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».
      Не только самые понятия математики, но и её выводы, её методы отражают действительность. Это важное обстоятельство как раз и вскрывает Энгельс, когда пишет, что «выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их рациональную взаимную связь». Математические выводы и доказательства возникли как отражение реальных связей, которые люди исследовали на опыте. Сложение чисел отражает реальное соединение нескольких совокупностей предметов в одну. Известное доказательство теоремы о равенстве треугольников, в котором говорят
      о их наложении, несомненно, имеет своим источником операцию фактического прикладывания предметов друг к другу, которая постоянно производится при сравнении их размеров. Вычисление объёмов интегрированием отражает в абстрактной форме реальную возможность складывать тела из тонких слоёв или резать их на такие слои. Более сложные математические доказательства есть результат дальнейшего развития, исходящего из таких материальных оснований.
      Полное отвлечение предмета математики от всякой конкретности и основанный на этом умозрительный характер математических выводов влекут за собой другую важную особенность математики: в математике исследуют не только такие количественные отношения и пространственные формы, которые непосредственно абстрагируются из действительности, но и такие отношения и формы, которые определяются внутри самой математики на основе уже сложившихся математических понятий и теорий. Именно на эту особенность математики обращает внимание Энгельс, когда, указав на возникновение понятий точки, линии, постоянной и переменной величины, говорит: «... и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума, а именно — до мнимых величин».
      Историческим фактом является то, что мнимые числа не были взяты из действительности в том же смысле, как, скажем, целые числа. Они появились первоначально внутри самой математики, из необходимого развития алгебры, как корни уравнений вида х2=—а (где а>0). И хотя постепенно с ними начали оперировать довольно свободно, их реальный смысл оставался долго неясным, почему за ними и закрепилось название «мнимых». Потом было открыто их геометрическое истолкование и они нашли многочисленные важные применения. Точно так же геометрия Лобачевского возникла как продукт творчества этого великого учёного; он не видел ещё её реального значения и назвал её потому «воображаемой геометрией». Но она была не свободной игрой ума, а неизбежным выводом из основных понятий геометрии, и Лобачевский рассматривал её как возможную теорию пространственных форм и отношений. Поэтому «свободное творчество и воображение», о которых говорит Энгельс, нельзя понимать как простой произвол мысли. Свобод-
      ное творчество в науке — это осознанная логическая необходимость, определяющаяся исходными, взятыми из опыта понятиями и положениями.
      На новом этапе развития математики, начало которому положило как раз построение геометрии Лобачевского и точной теории мнимых чисел, возникли и постоянно возникают новые понятия и теории, создаваемые на основе уже сложившихся понятий и теорий без того, чтобы заимствовать их непосредственно из действительности. Математика определяет и исследует возможные формы действительности, что как раз и составляет одну из решающих особенностей этого этапа её развития.
      Правильное понимание этой особенности даёт теория познания диалектического материализма. Ленин писал: «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов...» (Ленин В. И. Философские тетради.— Поли. собр. соч., т. 29,с. 163—164).
      Метафизический материализм также считает познание, в частности математику, отражением природы. Однако метафизический материализм не понимает сложности этого отражения, не понимает того, что оно идёт через ряд абстракций, путём формирования новых понятий, построения теорий на основе уже сложившихся понятий и теорий, путём рассмотрения не только данного в опыте, но и возможного. Между тем такой переход от данного к возможному обнаруживается уже в образовании таких понятий, как любое целое число или бесконечная прямая, потому что в опыте не даны ни сколь угодно большие числа, ни бесконечные прямые. Но когда понятие числа выкристаллизовалось, то из самого этого понятия, из самого закона образования последовательных чисел путём прибавления единицы выявилась возможность бесконечного продолжения числового ряда. Совершенно так же из проведения прямых выявилась возможность неограниченного продолжения прямой, выраженная во втором постулате Евклида: «Каждую прямую можно неограниченно продолжить». Дальнейший процесс абстракции привёл к понятиям о всём натуральном ряде чисел и о всей бесконечной прямой.
      На последнем этапе развития математики качественно новым явилось построение теорий, идущих через
      ряд абстракций, и формирование понятий. Но, восходя по этим ступеням абстракции, математика вовсе не отрывается от действительности. Новое вырастает в ней на основе отражения действительности, вследствие логики самого её предмета, и именно в силу этого возвращается к действительности в применениях к проблемам физики и техники. Так было с мнимыми числами.
      То же верно в отношении других математических теорий, как бы ни были они абстрактны.
      Характерный пример представляют теории различных многомерных пространств. Они складывались как обобщения евклидовой геометрии, в соединении с развитием алгебры и анализа, под влиянием механики и физики. Сочетание этих идей привело Римана к построению общей теории, которая была развита дальше другими математиками, нашла ряд важных приложений и, наконец, послужила готовым математическим аппаратом для построения Эйнштейном общей теории относительности, точнее теории тяготения. Абстрактные геометрические теории нашли такие блестящие приложения не случайно, не вследствие «предустановленной гармонии природы и разума», а вследствие того, что сами они выросли на почве геометрии, возникшей непосредственно из опыта, и в своём возникновении связывались их творцами с задачей исследования реального пространства. Риман, в частности, прямо предвидел связь теории с теорией тяготения.
      Так в развитии математики осуществляется закон движения познания, сформулированный В. И. Лениным: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит — если оно правильное...— о г истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом все научные (правильные, серьёзные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности (Ленин В. И. Философские тетради.— Поли, собр. соч., т. 29, с. 152).
      Из сказанного ясно, что совершенно ложным является идеалистический взгляд, будто математические теории представляют собой только условные схемы, предназначенные для описания данных опыта «упорядочения потока ощущений» на основе «принципа экономии мышления».
      Энгельс отмечает (см. цитату на с. 63), что положения математики, абстрагированные от реального мира, как бы противопоставляются ему и применяются к его изучению, как некоторые готовые схемы. Мы, действительно, постоянно пользуемся, например, счётом, применяя его в готовом виде. Тем более это верно в отношении теорий, возникающих на более высоких ступенях абстракции. В качестве примера уже упоминалось, что риманова геометрия послужила готовой математической схемой для теории тяготения. Но Энгельс объясняет, что возможность такого применения математики к исследованию реального мира основана на том, что она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм и связей и собственно только потому может вообще применяться. Тот факт, что многие теории создаются внутри самой математики, ничего здесь не меняет. Возникая как теории возможных форм действительности, они вовсе не условны, потому что возникают необходимо, вследствие самой логики предмета и именно поэтому находят реальные применения. Так или иначе математические теории отражают действительность и различие состоит лишь в том, что это отражение в одних случаях более непосредственно, тогда как в других идёт через ряд абстракций, образование понятий и т. д.
      Последний этап в развитии математики характерен не только более высокими ступенями абстракции, но характерен ещё существенным расширением её предмета, выходящего за рамки первоначального понимания количественных отношений и пространственных форм.
      Фигуры в многомерных или бесконечномерных пространствах — это, конечно, не пространственные формы в обычном смысле, как их понимаем мы все, когда имеем в виду обычное реальное пространство, а не абстрактные пространства математики. Эти пространства имеют реальный смысл и отражают в отвлечённом виде определённые формы действительности, но эти формы только сходны с пространственными; поэтому в отношении к обычному реальному пространству их можно назвать «пространственно подобными». Говоря о многомерном пространстве и фигурах в нём, мы тем самым придаём понятию пространства новое содержание, так что необ-
      ходимо ясно различать обобщённое абстрактное понятие пространства в математике, с одной стороны, и понятие пространства в его исходном смысле универсальной формы существования материи, с другой.
      Другим примером выхода предмета математики за пределы пространственных форм и количественных отношений в первоначальном смысле этих слов может служить возникновение в конце прошлого века новой дисциплины — математической логики, достигшей теперь широкого развития. Предметом её рассмотрения является строение математических выводов, иными словами, она изучает, какие предположения можно выводить из данных посылок данными средствами. Она исследует свой предмет, как это свойственно именно математике, в полном отвлечении от содержания и потому заменяет предложения формулами. Отношения между посылками и заключением, аксиомами и теоремами, конечно, не сводятся к пространственным формам или в обычном смысле к количественным отношениям, скажем к отношениям объёмов понятий.
      В качестве другого примера укажем на теорию групп, которую можно понимать как учение о симметрии в самом общем виде. Однако изменение симметрии кристалла, скажем, при переходе серы из ромбической формы в призматическую, есть коренное качественное изменение состояния вещества. Таким образом, теория групп есть учение о таких величинах или о таких определённостях предметов, изменение которых сопровождается коренным изменением самих предметов.
      Итак, расширение предмета математики ведёт к существенному расширению самого понятия количественных отношений и пространственных форм. Каковы же в таком случае характерные обшие черты этого расширяющегося предмета математики?
      Если отвечать на этот вопрос не перечислением, а постараться найти, общее и характерное, что есть в предмете математики при всём его разнообразии, то ответ мы находим у Энгельса. Достаточно принять во внимание не только его указание на предмет математики, но также и на способ рассмотрения этого предмета: полное отвлечение форм и отношений от содержания. Этот абстрактный характер математики даёт одновременно также определение её предмета.
      Предмет математики составляют те формы и отношения действительности, которые объективно обладают
      такой степенью безразличия к содержанию, что могут быть от него полностью отвлечены и определены в общем виде с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы служить основанием для чисто логического развития теории. Если такие отношения и формы, называть количественными и пространственными в общем смысле слова, то можно коротко сказать, что математика имеет своим предметом количественные отношения и пространственные формы, взятые в их чистом виде.
      Абстракция, как уже отмечалось, отнюдь не является привилегией математики. Однако другие науки интересуются прежде всего соответствием своих абстрактных схем какому-либо вполне определённому кругу явлений и включают как одну из важнейших задач исследование границ применимости к данному кругу явлений уже сложившейся системы понятий и соответствующей смены применяемой системы абстракций. Математика, напротив, исследуя общие свойства в полном отвлечении от конкретных явлений, рассматривает сами эти системы абстракций в их отвлечённой общности, вне границ их применимости к отдельным конкретным явлениям. Можно сказать, что для математики характерно абсолютизирование абстракций.
      Именно указанное объективное безразличие к содержанию исследуемых в математике форм определяет основные особенности математики: её умозрительный характер, логическую необходимость и непреложность её выводов, возникновение внутри всё новых понятий и теорий. Этим же безразличием к содержанию обусловлены особенности приложений математики. Когда мы смогли перевести практическую задачу на язык математики, мы одновременно смогли отвлечься от второстепенных конкретных особенностей задачи, и, пользуясь общими формулами и выводами, получить определённый результат. Отвлечённость математики составляет, таким образом, её силу, и эта отвлечённость практически необходима.
      Возвращаясь теперь к суждению Энгельса о математике мы видим, какая глубина и богатство содержания, какие возможности развития заключаются в этом суждении. Не будучи сам математиком, он дал столь глубокий анализ основ этой науки не только потому, что был гениальным мыслителем, но, самое главное, потому, что владел, диалектическим материализмом и руковод-
      ствовался им в задаче выяснения сущности математики. Не удивительно поэтому, что никто до Энгельса не мог дать столь глубокого и верного решения этого вопроса. Самые крупные математики не могли решить его в таком объёме. Точно так же в дальнейшем Ленин в работе «Материализм и эмпириокритицизм» дал такой анализ проблем физики, который превосходит всё, сделанное в этой области.
      Это доказывает ещё раз силу диалектического метода, доказывает, что для овладения наукой недостаточно знаний её отдельных положений, недостаточно даже быть творческим работником в этой науке — для этого нужно ещё владеть верным общим методом, владеть диалектическим материализмом. Без этого выводы науки либо будут казаться бесформенной грудой, либо представляться в искажённом виде; вместо верного понимания науки получится ложное, метафизичекое, идеалистическое представление о ней. Так, например, многие математики, не владеющие диалектическим материализмом, либо вовсе не ориентируются в общих вопросах своей науки, либо трактуют их совершенно неверно. Любопытно, например, отметить, что два известных американских геометра Веблен и Уайтхед в своей книге «Основания дифференциальной геометрии» пытаются подойти к определению того, что такое геометрия, и приходят к выводу, что такого определения дать нельзя, кроме разве следующего: «геометрия есть то, что называют геометрией специалисты».
      Математика не есть создание какой-либо одной исторической эпохи, какого-либо одного народа; она есть продукт ряда эпох, продукт работы многих поколений. Её первые понятия и положения возникли, как мы видели, в глубокой древности и уже более двух тысяч лет назад были приведены в стройную систему. Несмотря на все преобразования математики, её понятия и выводы сохраняются, переходя из одной эпохи к другой, как, например, правила арифметики или теорема Пифагора. Новые теории включают в себя предшествующие достижения, уточняя, дополняя и обобщая их.
      В то же время развитие математики не только не сводится к простому накоплению новых теорем, но включает существенные, качественные изменения. Соответственно, развитие математики разделяется на ряд периодов, переходы между которыми как раз и обозначены такими коренными изменениями в самом предмете или структуре этой науки.
      Математика включает в свою сферу всё новые области количественных отношений действительности. В то же время важнейшим предметом математики были и остаются пространственные формы и количественные отношения в простом, наиболее непосредственном смысле этих слов, и математическое осмысление новых связей и отношений неминуемо происходит на основе и в связи с уже сложившейся системой количественных и пространственных научных представлений.
      Наконец, накопление результатов внутри самой математики необходимо влечёт как восхождение к новым ступеням абстракции, к новым обобщающим понятиям, так и углубление в анализ основ и первоначальных понятий.
      Как дуб в своём могучем росте утолщает старые ветви новыми слоями, выбрасывает новые вётви, тянется вверх и углубляется корнями вниз, так и математика в своём развитии накапливает новый материал в уже сложившихся своих областях, образует новые направления, восходит к новым вершинам абстракции и углубляется в своих основах.
      Общественная практика играет определяющую роль в развитии математики в трёх отношениях. Она ставит перед математикой новые проблемы, стимулирует её развитие в том или ином направлении и даёт критерий истинности её выводов. Это чрезвычайно ясно видно на примере возникновения анализа. Во-первых, именно развитие механики и техники выдвинуло проблему изучения зависимостей переменных величин в их общем виде. Архимед, подойдя вплотную к дифференциальному и интегральному исчислению, оставался в рамках задач статики, тогда как в новое время именно исследование движения породило понятия переменной и функции и побудило к оформлению анализа. Ньютон не мог развить механику, не развивая соответствующего математического метода. Во-вторых, именно потребности общественного производства побуждали к постановке и решению всех этих проблем. Ни в античном, ни в средневековом обществе этих стимулов ещё не было. Наконец, весьма характерно, что математический анализ в своём возникновении находил обоснование своих выводов именно в приложениях. Только поэтому он и смог развиваться без тех строгих определений его основных понятий (переменная, функция, предел), которые были даны позже. Истинность анализа устанавливалась применениями в механике, физике и технике. Сказанное относится ко всем периодам развития математики.
      Начиная с XVII в. наиболее непосредственное влияние на её развитие оказывают вместе с механикой теоретическая физика и проблемы новой техники. Механика сплошной среды, а потом теория поля (теплопроводность, электричество, магнетизм, поле тяготения) направляют развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных. Разработка молекулярной теории и вообще статистической физики, начиная с конца прошлого века, служила важным стимулом развития теории вероятностей, особенно теории случайных процессов. Теория относительности сыграла решающую роль в развитии римановой геометрии с её аналитическими методами и обобщениями.
      В настоящее время развитие новых математических теорий, как функциональный анализ и др., стимулируется проблемами квантовой механики и электродинамики, задачами вычислительной техники, статистическими вопросами физики и техники и т. д. и т. п. Физика и техника не только ставят перед математикой новые задачи, наталкивают её на новые предметы исследования, но также пробуждают развитие нужных для них разделов математики, которые складывались первоначально в большей мере внутри неё самой, как это было с римановой геометрией. Короче, для интенсивного развития науки нужно, чтобы она. не только подошла к решению новых задач, но чтобы необходимость их решения обусловливалась потребностями развития общества. В математике в последнее время возникает много теорий, но только те из них получают развитие и прочно входят в науку, которые нашли свои применения в естествознании и технике либо сыграли роль важных обобщений тех теорий, которые имеют такие приложения. Вместе с тем другие теории остаются без движения, как, например, некоторые рафинированные геометрические теории, не нашедшие существенных применений.
      Истинность математических выводов находит своё последнее основание не в общих определениях и аксиомах, не в формальной строгости доказательств, а в реальных приложениях, т. е. в конечном счёте в практике.
      По содержанию развитие математики определяется её предметом, но побуждается оно в основном и в конечном счёте потребностями производства.
      Конечно, мы не должны забывать, при этом, что речь идёт лишь об основной закономерности и что связь математики с производством, вообще говоря, является сложной. Из того, что говорилось выше, ясно, что было бы наивным пытаться обосновать появление каждой данной математической теории непосредственным «производственным заказом».
      Математика всегда испытывала самое существенное влияние не только общественного производства, но всех общественных условий в целом. Её блестящий прогресс в эпоху возвышения Древней Греции, эпоху Возрождения в Италии, в эпоху буржуазных революций в Европе,— всё это убедительно демонстрирует неразрывную связь прогресса математики с- общим техническим, политическим прогрессом общества.
      Это также ярко видно на примере развития математики в России. Становление самостоятельной русской математической школы, идущей от Лобачевского, Остроградского и Чебышева, нельзя отделить от прогресса русского общества в целом. Время Лобачевского — это время Пушкина, Глинки, декабристов, т. е. расцвет математики был одним из элементов этого общего подъёма.
      Тем более убедительно влияние общественного развития в период после Великой Октябрьской социалистической революции, когда исследования фундаментального значения появились друг за другом с поразительной быстротой во многих направлениях: в теории множеств, топологии, теории чисел, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, алгебре, геометрии.
      Наконец, математика всегда испытывала и испытывает на себе заметное влияние идеологии. Как и во всякой науке, объективное содержание математики воспринимается и толкуется математиками и философами в рамках той или иной идеологии. Короче, объективное содержание науки всегда укладывается в те или иные идеологические формы; единство и борьба объективного содержания и идеологических форм в математике, как и во всякой науке, играют далеко не- последнюю роль в её развитии.
     
      ВЕКА НЕУТИХАЮЩЕЙ БОРЬБЫ. МАТЕМАТИКА ОПРОВЕРГАЕТ РЕЛИ' ГИОЗНЫЕ ДОГМЫ.
      Математика... проникла в самое сердце теологической системы и ... вдребезги разбивала все её устои, которые с такой фантастической настойчивостью и последовательностью воздвигались в течение ряда веков.
      В. А. Стеклов
      орьба науки и религии, разума и догмы началась, как было показано на страницах этой книги, уже в глубокой древности, когда изображённая в Библии картина мира пришла в противоречие со сведениями, постепенно накопленными естествознанием. С ка>кдым новым крупным открытием наук о природе делалась всё более ясной фантастичность библейских мифов о сотворении мира и человека.
      Испытал гонения и преследования видный древнегреческий астроном и математик Аристарх Самосский (ок. 310—230 до н. э.). Жрецы требовали над ним суда за то, что он «сдвинул с места центр Вселенной», переместив его с Земли на Солнце. Спасаясь от преследования жрецов, обвиняемый в безбожии, учёный был вынужден оставить Афины. Гелиоцентризм Аристарха был необыкновенно смелым для своего времени. Наперекор общепринятым взглядам, он считал, что Солнце неподвижно и находится в центре Вселенной, а Земля вращается вокруг него, что звёзды также неподвижны и размещены на сфере огромного радиуса.
      Следует отметить, что полисный общественный уклад Греции и республиканский строй в Риме в определённой степени способствовали развитию атеистических идей, хотя критика религии и тогда требовала огромного мужества.
      Положение в корне изменилось, когда на смену языческой религии пришло христианство. Христиане, по образному выражению В. И. Ленина, достигнув положения государственной религии, «забыли» о «наивности» первичного христианства с его демократично-
      революционным духом. Выдающийся советский математик В..А. Стеклов дал выразительную картину распространения христианства и верно отметил его роль для европейской культуры: <<В это время надви-
      гается на Европу одно из величайших бедствий, скоро погрузившее её в непроглядный мрак невежества и застоя, я разумею христианство, и именно христианство, воспринятое варварами, нахлынувшими на древний классический Рим и раздавившими эту переросшую себя громаду.
      Век разума сменяется веком непробудного умственного сна, продолжавшегося почти без перерыва полторы тысячи лет. В истории человечества не найти более грандиозного и ужасающего по своим проявлениям бедствия, чем это.
      Невежество с удивительной ловкостью использовало учение Христа, чтобы под его прикрытием загубить всякое проявление живого духа, сковать всю Европу, казалось, цепями беспросветного мрака».
      В математике церковники видели наследие языческой науки, которая противостояла христианству. Метод поиска истины в математике обусловливал ненависть к ней всех представителей религии. Французский материалист Поль Гольбах (1723—1789) смелый борец против религии, писал в книге «Разоблачённое христианство»: «В своё время папа Григорий Святой наказывал уничтожить языческие книги. На заре христианства Св. Павел повелел принести книги и сжечь их на его глазах; с того времени церковь всегда прибегала к этому методу. Основатели христианства должны были под страхом мук учиться грамоте. Католическая церковь поступила очень разумно, изъяв святое писание из рук народа... Для церковников было счастливым время, когда грамотными были только монахи...».
      Начались погромы, и в пламени пожаров от рук озверелых толп христиан погибали выдающиеся памятники искусства, библиотеки. Трагической стала судьба научного центра всего эллинистического мира Мусейона (дома муз) в г. Александрии и его жемчужины — Александрийской библиотеки. В I ст. до н. э. в ней хранилось 700 ООО свитков. В библиотеке работали учёные, переводчики, поэты. Значительную часть библиотеки сожгли ещё в 47 г. до н. э. легионеры Юлия Цезаря. Однако фатальную роль в судьбе библиотеки сыграла
      христианская церковь. В 391 году толпы христианских монахов разрушили храм египетского бога Сераписа, памятники искусства и рукописи, которые хранились в нём. А в 415 г. по приказу патриарха Кирилла они сожгли и Александрийскую библиотеку. Одного из главных вдохновителей этого преступления архиепископа Феофила православная церковь славит и теперь. То, что всё же уцелело после разгрома христианских фанатиков, уничтожили мусульмане. История сохранила приказ восточного завоевателя об уничтожении в 640 г. остатков знаменитой Александрийской библиотеки: «Если эти книги дополняют Коран,— сказал деспот,— то они лишние, так как там уже всё сказано. Если эти книги противоречат Корану, они опасны. В том и другом случае книги подлежат уничтожению».
      Александрия была не единственным научным центром эллинистического мира. В Афинах продолжала работать школа, основанная Платоном ещё в 387 г. до н. э. в саду героя Академа и названа Академией. В 529 году по требованию церковников римский император Юстиниан приказал закрыть Академию, как оплот язычества. Потом издал ряд жестоких законов против всех, кто занимается математикой. Их приравнивали к ворам и убийцам, наиболее неугодным богу людям. Математические книги приказано было сжигать. Византийскому императору Льву Исаврянину (VIII ст.) и этого показалось мало. Он приказал сжигать не только греческие книги, но и тех, кто их читал.
      О том, как церковники ненавидели и преследовали науку, в том числе и математику, свидетельствуют их собственные высказывания. Христианский святой Августин Аврелий (354—430) провозглашал: «Геометрию следовало бы запретить во всех христианских странах, так как она приучает разум логически мыслить», утверждая, что «математика отворачивает от бога», и предупреждал верующих: «Хороший христианин должен остерегаться математиков... Нам угрожает реальная опасность, что математики заключили договор с сатаной, чтоб затемнить разум и заключить человека в западню ада».
      Русское православное духовенство в рукописных поучениях предостерегало: «Богомерзостен перед Богом всякий, кто любит геометрию... люби простоту больше мудрости, не взыскуй того, что выше тебя, а какое тебе дано от Бога учение, то и держи».
      Насколько тяжело было прогрессивной мысли ломать устои церковников, свидетельствует трагедия учёного монаха Герберта (ок. 940—1003), который, находясь на вершине церковной иерархии — будучи папой римским, потерпел жестокое поражение при попытке ввести индийскую десятичную систему исчисления и основанную на ней арифметику.
      Всеми методами церковь пыталась отторгнуть человеческую мысль от книги, а книгу от человеческой мысли. На церковных соборах в Туре (1163 г.) и в Париже (1231 г.) чтение книг по физике провозглашалось грехом. Выдающийся отечественный биолог — дарвинист академик К. А. Тимирязев (1843—1920) с гневом писал: «Костёр задушил голос Бруно, исторг отречение Галилея, вынудил малодушие Декарта. А что он боролся против книги, не доказывает ли этот факт, что ещё долго после того, как палач перестал бросать на костёр мыслителя, он продолжал бросать в огонь его оружие — книгу. Но победила книга».
      Европа содрогалась от ужасов: людей сжигали, колесовали, четвертовали, закапывали живыми в землю, замуровывали в стены храмов. За 50 лет с 1550 г. по 1600 г. только в Италии было сожжено 78 учёных вместе с их трудами.
      Для преследования неугодных церкви людей в XIII в. создали специальную организацию — инквизицию (от лат. inquisitio — расследование).
      А. И. Герцен писал о деятельности инквизиторов: «Когда люди не были так разборчивы, как теперь, и были полны наивной веры, они без малейшего раздумья водили на казнь во имя всякой идеи и во имя всякого убеждения. За что погибли тысячи еретиков? За то, что одни уверяли, что 2x2 три, а другие твёрдо знали, что 2x2 пять, и жарили за это целыми стадами честных испанцев, немцев, голландцев, и неумытые судьи, возвращаясь домой, говорили: «Что делать: справедливость выше всего... и кротко засыпали с чистой совестью на мягких подушках, забывая запах подожжённого мяса».
      Почти 300 лет инквизиция свирепствовала в большинстве стран Западной Европы.
      Говоря о развитии естествознания в эпоху Возрождения Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге» отмечал: «Вместе с великими итальянцами, от которых ведёт своё лето-исчисление новая философия, оно дало своих мучени-
      ков для костров и темниц инквизиции. И характерно, что протестанты перещеголяли католиков в преследовании свободного изучения природы. Кальвин сжёг Сервета, когда тот вплотную подошёл к открытию кровообращения, и при этом заставил жарить его живым два часа; инквизиция по крайней мере удовольствовалась тем, что просто сожгла Джордано Бруно» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 347).
      Русское духовенство также не останавливалось перед расправой с еритиками. В 1675 г. боярина Арта-мона Матвеева обвинили в колдовстве, объявили чернокнижником и выслали в Пустоозерский монастырь. Вся вина его заключалась в том, что у него обнаружили свод врачебных советов, в котором «написаны многие статьи цифирью», т. е. в тексте были арабские цифры.
      Кровавыми страницами отмечена также история ислама — одной из наиболее распространённых религий.
      Отношение мусульманского духовенства к математике чётко сформулировал один из теоретиков средневекового ислама аль-Газали (1059—1111). Он понимал безнадёжность отбрасывания науки, в том числе и математики. Одновременно богослов констатирует, что «мало существует людей, занимающихся математикой и не становящихся при этом вероотступниками и не скидывающих с голов своих узд благочестия». Он даже поясняет, почему математика разрушает религиозное мировоззрение и приводит к вероотступничеству: «Всякий, изучающий математику, приходит в такой восторг от точности охватываемых ею наук и ясности их доказательств, что о философах у него начинает складываться благоприятное мнение. Он начинает думать, что все их науки обладают тем же чётким и строго аргументированным характером, как и эта наука, а затем, если окажется, что он уже слышал людские разговоры об их неверии и безбожии и об их пренебрежительном отношении к шариату, такой человек сам становится богоотступником».
      И аль-Газали рекомендует ограничить математику узкоспециальными исследованиями, а главное разорвать её связи с философией и тем самым лишить её мировоззренческой функции. Тогда она не будет опасной для религии: «Необходимо постоянно держать под уздой каждого, кто занимается указанными науками. Хотя эти науки и не связанные с религиозными предметами, всё же будучи основополагающими принципами всех их знаний, они являются для такого человека источником всех тех бед и злосчастий, коим подвержены и сами математики».
      Математики не приняли удобной для ортодоксального ислама программы действий. Они смело делали мировоззренческие выводы из наблюдаемых связей между явлениями природы, раскрывали огромное значение математических методов в познании законов природы. Тяжёлыми, опасными путями шли к истине математики средневекового Востока. Биографии ал-Хорезми (787—бл. 850), ал-Бируни (973—1048), О. Хайяма (1048—1131), ал-Каши (ум. 1413), М. Улугбека (1394—1449)—всё это героические страницы борьбы за истинные знания об окружающем человека мире. Ценой страданий, а часто и жизни сподвижники науки разрывали цепи религиозных преград, вели-человечество к всё новым победам в познании тайн природы.
      Многие события, связанные с борьбой разума против догмы были кратко и выразительно освещены в письме советских астрономов главе католической церкви папе Пию XI, опубликованном в 1930 г. Вот несколько выдержек из него:
      «Мы нижеподписавшиеся профессора и руководители научных астрономических учреждений Советского Союза, обращаемся к Вам с настоящим письмом...
      ...Мы считаем нужным высказать мысль, что за истёкшие несколько столетий, приблизительно со времени Галилео Галилея, астрономия не имела смелости, а папскому престолу не представлялось случая высказать свои соображения о значении и роли церкви в развитии астрономии.
      Поэтому мы попросили бы Вас не рассматривать наш вопрос как праздный, если даже мы вынуждены будем углубиться далеко в историю. После папы Урбана VIII, который был на престоле с 1623 до 1644 г., сменилось 23 или 25 христовых наместников, а сейчас таковым являетесь Вы. Никто из них не дал разъяснения по некоторым вопросам, всегда казавшимся тёмным пятном в истории...
      В 1592 г. некий служитель христовой церкви, бенедиктинский монах Джордано Бруно был заключён в... свинцовую, тюрьму в целях пресечения пропаганды учения о движении Земли.
      Через 8 лет, т. е. в 1600 г., Бруно был отлучён от церкви и приговорён к наказанию «по возможности милосердно и без пролития крови», что в переводе с языка святейшей инквизиции означало сожжение живым на костре. Как известно, эта мера была осуществлена немедленно.
      В том же 1592 г. тосканский правитель Медичи, опасаясь гнева духовенства и папы, принял меры к изгнанию Галилея из Пизы, которому пришлось без копейки денег уехать в Падую. Однако борьба духовенства с Галилеем не окончилась. В 1615 г. папа Павел V в священном совете официально признал за ересь учение о движении Земли... В сентябре 1632 г. состоялось окончательное постановление инквизиции о предании Галилея суду. 13 февраля 1633 г. Галилей, удручённый летами и болезнью, с опасностью для жизни предпринял путешествие в Рим. 23 июля того же года в церкви Санта Мария-Спра-Миневра у него вырвали отречение...
      После смерти Галилея, проведшего остаток жизни в заключении, инквизиция потребовала для сожжения все письма и рукописи великого учёного.
      ...Николай Коперник, скончавшийся в 1543 г. написал сочинение «Об обращениях небесных сфер», которое в течение многих лет задерживалось с выходом в свет из-за боязни за последствия. Эта книга появилась лишь тогда, когда 70-летний Коперник лежал на смертном одре... Здесь уместно будет напомнить Вам, что это великое сочинение было изъято из индекса запрещённых книг лишь в 1831 г., т. е. в то время, когда ни запрещение, ни разрешение учения о движении Земли было уже не. во власти церкви и не имело ровнс^никакого значения ни для кого.
      В 1597 г. астроном Тихо Браге вынужден был покинуть отечество, будучи объявлен еретиком и безбожником. «Всякая земля — отечество для сильного, а небо есть везде». Так писал Браге ландграфу Гессенкскому.
      В 1598 г. Кеплер, открывший законы движения планетной системы, вынужден был бежать из Штирии в Венгрию, ввиду того, что ревностный католик Ферди-нандо объявил генералиссимусом своих войск св. Деву и дал обет искоренить всякую ересь. Кеплеру не помогло даже то, что перед этим он выступил защитником реформы календаря папы Григория, вызывая этим против себя недовольство народа, говорившего: «Мы считаем папу за рыкающего льва; лучше оставаться в разногласии с Солнцем, чем в согласии с папой...».
      Эти немногочисленные факты, на которые мы просим Вас обратить внимание, приводятся лишь в качестве иллюстрации того антагонизма, который издавна существовал между церковью и наукой. С тех пор многое изменилось...
      Если св. Климент VIII некогда посылал на костёр основателей нашей науки, то Вы, папа Пий XI, никого из её представителей послать на костёр не можете, хотя взгляды наши — насквозь — «еретические». Теперь папская церковь ополчается против «постыдных материалистических заблуждений» потому, что прямо нападать на науку в наш век — предприятие бесполезное, и ни для кого теперь не является тайной, что наука не может не быть материалистической...»
      Приведём в заключение перечень важнейших событий, отражающих длительный период идеологической борьбы, которая не закончилась и в наши дни.
      411 г. до н. э.
      Обвинрн в безбожии и изгнан из Афин древнегреческий' философ Протагор, выразивший сомнение в существовании богов. Его произведение «О богах» сожжено на городской площади.
      391 г.
      Христианскими фанатиками уничтожаются почти все остатки сгоревшего ещё в 47 г. до н. э. богатейшего собрания рукописных книг древности (около 700 тыс. свитков) в Александрии. Окончательно библиотека была уничтожена фанатиками-мусульманами в 640 г.
      415 г.
      Толпа фанатиков-христиан растерзала талантливую женщину — математика Гипатию Александрийскую.
      1000—1002 гг.
      Преследование мусульманским духовенством уче-ного-естествоиспытателя, математика и философа Ибн Сины (Авиценны), который в своих произведениях высказывал свободолюбивые мысли.
      Сочинения Ибн Сины по приказу халифа Мостан-джира публично сожжены на площади Багдада.
      1163 г.
      Издание буллы папы Александра III о запрещении «изучения физики или законов природы».
      1195—1198 гг.
      Преследование мусульманским духовенством великого арабского учёного Ибн Рушда (Аверроэса). Ему принадлежит теория «двойственной истины», сыгравшая большую роль в освобождении науки от власти религиозного гнёта. Эта теория утверждала независимость философии от религии, что давало возможность философам обосновывать концепции, принципиально несовместимые с религиозными догмами. Эта теория была официально осуждена в 1907 г. папой Пием X в «Сил-лабусе» (перечне) еретических учений, приложенном к очередной его энциклике.
      1449 г.
      Убийство великого узбекского астронома и математика М. Улугбека в результате заговора мусульманского духовенства. Одновременно была разрушена созданная им в Самарканде крупнейшая в то время обсерватория, остатки которой были впервые обнаружены только в 1908 г. При этом обнаружилось, что в обсерватории был установлен мраморный секстант диаметром в 40,21 м.
      1553 г.
      В Швейцарии по приказанию одного из «отцов» протестантской церкви Кальвина был сожжён на костре выдающийся испанский учёный Сервет, открывший малый круг кровообращения.
      1559 г.
      Издание верховным руководством католической церкви первого списка («индекса») запрещённых книг. Эти «индексы» затем регулярно переиздавались и дополнялись. Сочинения Джордано Бруно были вычеркнуты из них только в 1948 г.
      На острове Занте в Средиземном море умирает крупнейший анатом эпохи Возрождения А. Везалий. За анатомирование трупов, которое было осуждено церковью как святотатство в конце XIII в. папой Бонифацием VIII, Везалий был приговорён к паломничеству в Ерусалим.
      1566 г.
      Разгром по наущению церковников первой русской типографии Ивана Фёдорова и Петра Мстиславца в Москве.
      1600 г.
      На Площади цветов в Риме сожжён на костре великий итальянский мыслитель Джордано Бруно.
      1619 г.
      В Тулузе сожжён на костре итальянский философ Д. Ч. Ванини, отрицавший бессмертие души, творение мира из ничего и божественность Иисуса.
      1633 г.
      Осуждение инквизицией Галилео Галилея за ряд астрономических и философских сочинений, но главным образом за пропаганду и разработку гелиоцентрической системы Коперника. 22 июня 1633 г. Галилей был вынужден публично отречься от своих «заблуждений». «Я, Галилео Галилей,— зачитал он заранее заготовленный текст отречения,— сын покойного Винченцо из Флоренции, преклонив колена перед Вашими высоко-преосвещенствами и генеральными инквизиторами, имея перед очами святое Евангелие, которого касаюсь собственными руками, клянусь, что всегда верил и ныне верю и... впредь буду верить во всё, что считает истинным, проповедует и чему учит святая католическая и апостольская римская церковь...» Публичным отречением Галилей спас жизнь, но не свободу: до самой смерти он оставался под строгим надзором церкви.
      1633 г.
      Р. Декарт, вынужденный эмигрировать из Франции в Голландию, узнав о том, что Галилей привлечён к
      суду инквизиции, приостанавливает подготовку к изданию своего труда «Мир», в котором признавался факт вращения Земли. Этот трактат увидел свет уже после смерти Декарта, в 1664 г.
      1642 г.
      Запрещение в Утрехтском университете учения Декарта (картезианства): в глазах церковников Декарт был еретиком, поскольку он признавал своих собратьев-учёных «господами и хозяевами природы». В 1647 г. преподавание картезианства было запрещено и в Лейденском университете.
      1656 г.
      Амстердамские раввины предают анафеме философа Б. Спинозу. «Да будет он проклят и днём и ночью, да будет проклят, когда ложится и встаёт; да будет проклят и при выходе и при входе! — говорилось в тексте «Великого отлучения».— Предупреждаем вас, что никто не должен говорить с ним ни устно, ни письменно, не оказывать ему какие-либо услуги, не проживать с ним под одной крышей, не стоять от него ближе, чем на четыре локтя, не читать ничего, им оставленного или написанного!».
      1714 г.
      Посмертное отлучение инквизицией от церкви за подрыв религиозных догм английского естествоиспытателя У. Гарвея, открывшего в 1628 г. систему кровообращения.
      1740 г.
      Уничтожение по требованию синода тиража переведённой А. Кантемиром книги Б. Фонтенеля «О множественности миров». В 1600 г. учение о множественности миров послужило главным основанием для казни Джордано Бруно.
      1749—1753 гг.
      Травля парижскими богословами выдающегося учёного-натуралиста Ж- Бюффона за его взгляды о естественном происхождении живых существ. Вынужденное отречение Бюффона от «крамольных идей».
      Молодой бакалавр теологии аббат де Прада защищает в Сорбонне докторскую диссертацию. Но вскоре выясняется, что в одобренной учёными мужами работе содержалось десять утверждений, являющихся «лживыми, необдуманными, вредными для католических богословов... ошибочными, богохульными, материалистическими, опасными для общества и для общественного спокойствия» и т. д. Десятая его «ересь» гласила: «Рассуждения отцов церкви могут подвергаться логической проверке». Де Прада был лишён степени и обвинён в связях с авторами «Энциклопедии». 11 февраля 1762 г. был выдан ордер на его арест. Неудачливый докторант был вынужден бежать из Франции.
      1751 — 1772 гг.
      Преследования церковниками авторов и издателей крупнейшего памятника французского Просвещения — «Энциклопедии, или Толкового словаря наук, искусств и ремёсел». Лишение учёных степеней, заточение некоторых из них в Бастилию, запрещение отдельных томов.
      1756 г.
      Синод обратился к императрице Елизавете Петровне с докладом о запрещении Петербургской Академии наук печатать произведения, противные вере и нравственности. Члены Синода просили запретить издание работ, подобных книге Б. Фонтенеля «О множественности миров».
      1757 г.
      Требование Синода заточить в монастырь М. В. Ломоносова за антиклерикальные высказывания. В 1759 г. Ломоносов тем не менее предлагает внести в устав академического университета следующий пункт: «Духовенству к учениям, правду физическую шля пользы и просвещения показующим, не привязываться, а особливо не ругать наук в проповедях».
      1769 г.
      Сожжение в Москве на Лобном месте книги профессора Московского университета Д. С. Аничкова за
      содержащиеся в ней высказывания о происхождении религии.
      1791 г.
      В день годовщины взятия Бастилии, которую выдающийся английский химик Дж. Пристли отмечал со своими друзьями, спровоцированная церковниками толпа уничтожила его лабораторию, библиотеку и сожгла его рукописи.
      1798 г.
      Травля английского врача Э. Дженнера за открытие вакцинации (метода противооспенных прививок), которое расценивалось как «нечестивое деяние».
      1828 г.
      Утверждение царём Николаем I «Устава о цензуре и печати», запрещающего публикацию произведений, содержащих «что-либо клонящееся к поколебанию учения православной церкви». Этот устав действовал до 1917 г. и служил основанием для запрещения печатания работ Ч. Дарвина, Э. Геккеля, И. Мечникова, И. Сеченова.
      1860 г.
      Епископ Оксфордский публично осуждает книгу Ч. Дарвина «Происхождение видов» за содержащееся в ней указание о естественном происхождении человека.
      1863 г.
      Запрещение министром внутренних дел напечатать в журнале «Современник» работу И. М. Сеченова «Попытка ввести физиологические основы в психические процессы», поскольку её содержание было «направлено к отрицанию нравственных основ общества, к потрясению догмата о бессмертии души и вообще религиозных начал».
      1901 г.
      Святейший синод принимает решение об отлучении от церкви «лжеучителя» графа Льва Толстого, который проповедует «ниспровержение всех догматов православной церкви и самой сущности веры христианской».
      Запрещение цензурой книги И. И. Мечникова «Этюды о природе человека» за подрыв веры в загробную жизнь.
      1925 г.
      «Обезьяний процесс» — суд в Дейтоне (США) над преподавателем Джоном Скопсом, посмевшим излагать основы эволюционного процесса.
      1961 г.
      Травля и угроза отлучения от церкви итальянского учёного Даниэля Петруччи за «богопротивные опыты» по изучению формирования живого организма в искусственных условиях.
      1965 г.
      Второй Ватиканский собор принял постановление, обращённое к «мыслителям и учёным», в котором, в частности, говорилось: «Сегодня со всей ясностью проявилась возможность глубокой связи между подлинной наукой и подлинной верой, которые — как вера, так и наука — служат единой цели». В соответствии с этим тезисом многие современные теологи признают за наукой право изучать материальный мир с оговоркой, что наряду с ним существует и другой, высший мир — мир сверхъестественного, занимающий в человеческом бытие главенствующее положение.
      История доказала беспомощность врагов прогресса поставить науку, в том числе и математику, на службу силам реакции и мракобесия. В тяжёлых битвах с открытыми и замаскированными врагами научного прогресса, математика с честью выполнила и продолжает выполнять великую историческую миссию в раскрытии тайн природы, в создании могучей техники и, что не менее важно, в формировании научного мировоззрения.
     
      НАУКА-СИЛА, ПРЕОБРАЗУЮЩАЯ МИР
      Человек не может охватить отразить отобразить природы всей, полностью...
      он может лишь вечно приближаться к этому, создавая абстракции, понятия, законы, научную картину мира...
      В И. Ленин
      еловек — творческое суще-ство. Смысл его бытия в том, чтобы непрерывно творить новое. Но для этого он должен столь же непрестанно познавать мир, открывать новые законы природы.
      «Знание есть сила» — это положение, провозглашённое Френсисом Бэконом (1561 —1626), одним из родоначальников науки нового времени, оказалось поразительно пророческим. За три с лишним века, которые прошли с того времени, человечество благодаря знаниям, науке достигло поразительных успехов. Наука приобрела огромное, ни с чем не сравнимое влияние на общество, коренным образом преобразовав условия его жизни.
      Знание действительно оказалось силой, и притом весьма могущественной.
      Но что такое научное знание и в силу каких особенностей оно способно оказывать столь мощное воздействие на жизнь людей?
      Чтобы ответить на этот, далеко не простой вопрос, сопоставим науку с так называемым обыденным знанием.
      Обыденное — его иногда называют также стихийноэмпирическим — это такое знание, которым люди руководствуются в своём повседневном житейском обиходе. Это знание, хотя и не раскрывает глубинную сущность вещей, вполне достаточно для того, чтобы разумно решать вопросы, с которыми люди сталкиваются в своей повседневной жизни.
      Однако возможности обыденного, стихийно-эмпирического знания при решении научных вопросов оказываются довольно ограниченными. Ф. Энгельс писал, что «...здравый человеческий рассудок, весьма почтенный спутник в четырёх стенах своего домашнего обихода, переживает самые удивительные приключения, лишь только он отважится выйти на широкий простор исследования» (Анти-Дюринг.— Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 21).
      Поэтому .многие положения науки, оцениваемые с точки зрения обыденного знания, представляются необычными, диковинными, парадоксальными. Особенно наглядно это может быть проиллюстрировано примером из современной физики. Сегодня, пишет по этому поводу американский учёный Дж. Орир в своей книге «Популярная физика», мы сомневаемся даже в том, что 2 + 2 = 4 в применении к физическим явлениям (в чём нет сомнения у «здравого рассудка»). Например, если частица движется относительно некоторой инерциаль-ной системы отсчёта со скоростью 20 млрд. см/с, а сама эта система отсчёта движется по тому же направлению со скоростью 20 млрд. см/с относительно другой инер-циальной системы отсчёта, то скорость частицы относительно второй системы отсчёта равна не 40, а только 27,3млрд.Здесь действует правило сложения скоростей, которое с точки зрения «здравого смысла» может показаться странным: результирующая скорость всегда будет меньше простой арифметической суммы её составляющих. Если скорость мала по сравнению со скоростью света, то этот эффект всё равно существует, хотя он и очень мал (потому мы и пренебрегаем им в повседневной практике, пользуясь обычным арифметическим правилом: 2 + 2 = 4).
      Следовател то, что представляется естественным и понятным с точки зрения обыденного знания, оказывается совершенно иным с более глубокой, научной точки зрения, а обыденное знание оказывается недостаточным, а иногда даже и ложным.
      И тем не менее ссе же не следует относиться к обыденному знанию чересчур пренебрежительно. Нельзя забывать, что с его помощью добывается немало надёжных сведений об окружающем'мире и что оно не отгорожено непроходимой пропастью от знания научного. Более того, само научное знание выросло из повседневных наблюдений, из обыденного знания и поначалу не выходило за его пределы. На первых ступенях развития науки, когда ещё не были разработаны специальные научные методы исследования, учёные опирались в своих представлениях на результаты непосредственных наблюдений.
      Лишь с дальнейшим развитием знания была раскрыта несостоятельность этих ранних представлений и они были заменены взглядами, основанными на более глубоком изучении природы. Например, геоцентрическая система мира древнегреческого астронома Клавдия Птолемея, опиравшаяся на многочисленные астрономические наблюдения, сделанные его предшественниками (египетскими, вавилонскими и особенно греческими астрономами), в большой степени соответствовала непосредственным чувственным образам, которые может составить любой неискушённый наблюдатель. Эта система, хотя и удовлетворяла в течение ряда столетий многим практическим потребностям, оказалась непригодной, когда повысились требования к точности календаря и составлению навигационных карт.
      Система Птолемея явно не соответствовала новым астрономическим данным, накопленным учёными. Как известно, это привело к тому, что она была заменена — не без длительного и упорного сопротивления со стороны церковников и в результате ряда драматических коллизий — гелиоцентрической системой Николая Коперника. Новая астрономическая система принципиально отличалась от геоцентрической. Она давала научное объяснение всем наблюдавшимся явлениям и позволила сделать немало важных предсказаний, хотя и противоречила обыденным представлениям, основанным на непосредственном восприятии. Истина лежала глубже, и она не усматривалас простым созерцанием.
      Очень удачно изобразил эту нтуадик» А. С. Пушкин в одном из своих поразительно ярких и глубоких философских стихотворений:
      Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
      Другой смолчал и стал пред ним ходить,
      Сильнее бы не мог он возпазкггь;
      Хвалили всё ответ замысловатый.
      Но, господа, забавный случай сей Другой иа память мне приводит:
      Ведь каждый день пред нами солнце ходит.
      Однако ж прав упрямый Галилей.
      Да, действительно прав оказался Галилей, защищавший и развивавший систему Коперника, а не его противники — церковники, отстаивавшие библейские каноны и находившуюся в согласиии с ними идею геоцентризма.
      Итак, следовательно, знание, основанное на непосредственных чувственных восприятиях, охватывает лишь сферу видимого, внешнего (сферу явлений) и не раскрывает в объектах внутренние существенные стороны и связи, которые определяют характер их поведения и развития. Получение обыденных знаний не носит систематического, организованного характера, основанного на применении определённой методики.
      Научное исследование является целенаправленным. Его результаты выступают в виде системы понятий, законов, научных теорий. Говоря коротко, коренное отличие науки от обыденного (стихийно-эмпирического) знания состоит в том, что она носит систематический, последовательный характер, т. е. представляет собой знание, организованное в строгую систему, опирающуюся на научный метод. Такими научными системами являются, в частности, геометрия Евклида, классическая механика Ньютона, теория относительности Эйнштейна.
      Важнейшими элементами, из которых строится научная система — наряду с фактами и понятиями,— являются научные законы. Благодаря познанию законов наука смогла перейти от описания явлений, собирания и систематизации фактов — этим она главным образом и занималась в XVII—XVIII вв.— к их объяснению и предсказанию новых законов и новых явлений. Что же такое научный закон и в чём его отличие от объективного закона природы?
      В самой общей форме на этот вопрос можно ответить так. Законы науки являются отражением законов природы. Они открываются и формулируются учёными и, следовательно, представляют собой наши знания о законах природы.
      Научные законы не выдумываются произвольно, не создаются учёными по их усмотрению или прихоти, хотя выдумка, фантазия изобретение играют в их создании немалую роль. Научные законы открываются. Это значит, что законы, которые действуют в природе, будучи обнаружены исследователем, истолковываются им и затем выражаются и формулируются с помощью
      определённого языка, которым мы пользуемся в своей обыденной жизни, или искусственного, например математического, языка специальных обозначений. •
      Законы науки, таким образом, представляют собой как бы перевод объективных закономерностей природы па человеческий язык, или, иными словами, они являются моделями (преимущественно математическими) щконов природы. Возьмём, к примеру, закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном:
      ...
      Его математическая формула представляет собой типичный пример научного закона. Она выражает существенную необходимую связь, состоящую в том, что псе тела в мире притягиваются друг к другу с силой, ьоторая зависит от самих этих тел и расстояний между ними. В этом и состоит объективное содержание закона. Его субъективная форма — это его словесная или математическая формулировка, выражающая связь между понятиями (сила, масса, расстояние), в которых наше сознание отражает объективные свойства вещей. Буквально то же можно сказать о любом другом научном шконе (законе Бойля—Мариотта, законе Кулона, законе Ома и т. д.).
      Но поскольку научные законы — это не сами существенные связи, а лишь их отражение в нашем сознании, то правомерен вопрос: адекватны ли научные ыконы соответствующим объективным законам?
      Действительно, раскрыть содержание того или иного обьективного закона и сформировать соответствующий ему научный закон вовсе не просто. Ибо законы не лежат на поверхности и не могут быть обнаружены непосредственным наблюдением. Не случайно, например, Кеплер затратил на открытие законов движения планет всю свою сознательную жизнь; то же можно сказать о Фарадее и Максвелле, открывших и сформулировавших законы электромагнетизма, об Эйнштейне, Фудившемся многие годы над созданием теории относительности, и многих других учёных.
      Природа, таким образом, не легко расстаётся со своими тайнами и учёным приходится затрачивать немалые усилия, чтобы их открыть. И это открытие обычно происходило не сразу, не до конца, а в форме неполного, приближённого, относительного знания. Лишь в дальнейшем, на каждой последующей ступени развития
      науки, смысл и' содержание объективного закона раскрывается всё глубже и полнее, а формулировка соответствующего научного закона постепенно уточняется и становится всё более адекватной отражаемому им объективному закону.
      Это неполное соответствие между научным и объективным законами обусловлено прежде всего сложной структурой самой действительности. Существенные связи являются внутренними, глубокими и потому не могут быть постигнуты непосредственно. Кроме того, на каждой данной ступени развития науки познания, способы проникновения человеческого ума в сложную структуру реальности ограниченны, несовершенны. Но того, что не смогло постигнуть одно поколение людей в данную эпоху, постигнут последующие поколения на новых этапах научного развития. Постепенно несоответствие между научными законами и соответствующими законами природы становится всё меньшим, а адекватность этих законов всё более возрастает.
      Проиллюстрируем это на примере закона всемирного тяготения.
      Как известно, открытие этого закона Ньютоном было одним из величайших триумфов познания, выдающимся подвигом человеческого гения. Закон Ньютона хорошо соответствовал результатам наблюдений. И тем не менее некоторых фактов он объяснить не Мог. Не объяснял этот закон, в частности, смещения перигелия Меркурия (точки его орбиты, ближайшей к Солнцу).
      Смысл этого явления состоял в следующем. Как известно, согласно первому закону Кеплера, планеты должны иметь эллиптические орбиты. Фактически же их перемещение происходит по более сложным кривым, так как движение планет возмущается влиянием соседних небесных тел. Для Меркурия, в частности, это возмущение проявляется особенно значительно в смещении его перигелия примерно на 540" за столетие (по отношению к неподвижным звёздам). Если учесть влияние всех видимых известных планет, то для этого смещения получится величина порядка 500" за столетие. Различие в 40" за столетие между предсказанием, сделанным на основе закона тяготения Ньютона, и астрономическими наблюдениями казалось учёным необъяснимым, пока, наконец, его не объяснил А. Эйнштейн на основе разработанной им новой теории тяготения, вытекающей из общей теории относительности.
      Нет сомнения, однако, что и эта теория — не окончательное слово науки. Её дальнейший прогресс, дальнейшее усовершенствование научных, прежде всего математических, методов с неизбежностью приведёт учёных к более совершенному, более полному познанию всемирного тяготения, к появлению более совершенной теории гравитации, описываемой, соответственно, более совершенной математической моделью.
      Особенно важная роль в процессах создания научных законов и их систем — научных теорий принадлежит, как мы видим, методу математического моделирования. Именно с помощью этого метода производится определённая схематизация действительности, без которой не может быть осуществлено построение научной теории или закона.
      Модель выступает как упрощённая ситуация того фрагмента изучаемой действительности, в котором выполняются принципы данной теории. Другими словами, математическая модель является промежуточным звеном между теорией и изучаемой реальностью. Она даёт возможность перебросить мост от первой ко второй, позволяет наметить в основных чертах пути применения научной теории на практике и одновременно указывает способы её экспериментальной проверки.
      Возьмём в качестве примера такой теории систему аксиом евклидовой геометрии. Как известно, эта система представляет собой совокупность суждений относительно таких объектов, как точки, прямые и плоскости. Но в реальном мире таких объектов не существует.
      Поэтому геометрию нельзя рассматривать как теорию, непосредственно описывающую действительность. Теоремы евклидовой геометрии строго выполняются лишь в отношении упомянутых выше идеализированных объектов. Эти идеализированные объекты (точки, прямые, плоскости) и отношения между ними (принадлежность, порядок, конгруэнтность, параллельность) и представляют собой теоретическую или идеальную модель евклидовой геометрии (теоретической системы), в которой выполняются все её аксиомы. Между этой моделью евклидовой геометрии и определённой частью трёхмерного объективного мира имеется соответствие. Следовательно, соответствие существует не между самой системой евклидовой геометрии, а между её идеализированной моделью и объективным миром. В этом как раз и состоит смысл высказанного утверждения, что
      модель выступает в качестве промежуточного звена между теорией (в данном случае системой аксиом и теорем евклидовой геометрии) и реальностью.
      Рассматривая этот пример в своей книге «Эволюция физики», А. Эйнштейн и Л. Инфельд пишут: «Смысл этого в том, что все логически доказанные положения евклидовой геометрии могут быть также подтверждены действительным экспериментом. С помощью твёрдых тел или световых лучей мы можем построить объекты, соответствующие идеализированным объектам евклидовой геометрии. Ребро линейки или световой луч соответствует прямой. Сумма углов треугольника, построенного из тонких жердей, равна 180°. Отношения радиусов двух концентрических окружностей, построенных из тонкой упругой проволоки, равно отношению длин окружностей. Истолкованная таким образом евклидова геометрия становится главой физики, хотя и очень простой её главой».
      Таким образом, интерпретированные с помощью геометрической модели утверждения евклидовой геометрии становятся физически содержательными, т. е. утверждениями о пространственных свойствах определённой части реального физического мира. Именно благодаря этому геометрические системы (в том числе и неевклидовы) могут подвергаться экспериментальной и практической проверке путём соответствующих измерений.
      Итак, мы убедились, что открытие (построение) научного закона — это крайне сложный творческий процесс. Учёный — такой же творец нового, как поэт, композитор, ваятель. Без воображения, фантазии, без настоящего дерзания не может быть творческих исканий, необходимых для построения как эмпирических, так и теоретических законов.
      Эмпирические законы выводятся из наблюдений и экспериментов. Однако и здесь необходима предварительная идея, догадка, гипотеза, построение моделей. История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные гипотезы и построенные на их базе математические модели явлений. Вспомним хотя бы гипотезу строения Солнечной системы Коперника. Не менее выразительным примером является модель строения атома, предложенная Резерфордом. Эта модель исходила из гипотезы, что атом построен 'примерно так же, как и Солнечная система: вокруг ядра атома вращаются электроны. Сама модель оказалась неудовлетворительной, и дальнейшее развитие науки её отвергло. Но она повлекла за собой исследования, приведшие к современной атомной физике и к первым шагам на пути покорения таящейся в недрах атома энергии. В наиболее простых случаях учёный при отыскании эмпирических законов прибегает к методу проб и ошибок (как это делал, например, Кеплер при поиске законов движения планет Солнечной системы).
      При поиске законов теоретическим методом учёный тоже отталкивается от фактов. Далее идёт догадка, гипотеза, предположение о том, каким может быть и каким должен быть этот закон. После этого начинается сложная работа по построению ряда теоретических абстракций. На основе этих абстракций строится математическая модель — формула научного закона. Вначале закон выступает как гипотетическое построение, которое лишь позднее, будучи апробировано опытом, практикой, превращается в достоверное положение науки. Однако движение мысли на этом не прекращается. С усовершенствованием техники научного эксперимента и появлением новых фактических данных, научные законы дополняются и обобщаются.
      Интересно отметить также ещё одно важное свойство научных понятий, законов и теорий — их информативную ёмкость: они как бы сокращают множество фактов, с которыми пришлось бы оперировать, и, следовательно, делают наши рассуждения о них проще, экономнее, изящнее. В силу этого необходимым условием адекватности научного закона закону природы становится его простота. Вот почему проблеме простоты научных законов (теорий) и соответствующих математических моделей всегда уделяли и уделяют большое внимание. Идея простоты проходит красной нитью через всю историю естествознания. Эта идея играла руководящую роль в исследованиях Галилея, Ньютона, Лапласа, Планка, Максвелла, Эйнштейна и многих других учёных. В самом деле, разве не являются поразительно простыми (и поразительно изящными, красивыми) закон тяготения Ньютона —
      ...
      соотношение Эйнштейна между массой и энергией —
      ...
      соотношение Планка между энергией и частотой кванта —
      ...
      и многие другие законы науки.
      Отметим, что философы и естествоиспытатели XVII—XVIII вв. обосновывали необходимость научной простоты ссылкой на простоту самой природы. Так, Галилей говорил, что «природа не делает многим то, что может сделать нескольким».
      Ньютон видел основание правила простоты в том, что «природа сама проста и не роскошествует излишними причинами вещей». В таком же духе понимали простоту Декарт, Лейбниц, Максвелл и многие другие учёные и мыслители.
      Такой подход долгое время казался оправданным, однако самой природе присущи не только простота, но и сложность, она не только экономна, но и расточительна. Поэтому речь должна идти не о простоте действительности, а о простоте выражения знаний об этой действительности. Простым должно быть отражение законов природы в нашем сознании. И научная теория тем более совершенна, чем большее число фактов она объясняет при минимуме исходных посылок, причём более простой следует считать общую теорию. Будучи более общей на данном этапе научного развития, такая теория даёт возможность истолковать большее число эмпирических фактов и содержит при этом меньшее число исходных посылок по сравнению с любой частной теорией, с необходимостью вводящей всякого рода дополнительные допущения, значительно усложняющие её практическое применение. Так, геоцентрическая система Птолемея при включении в неё ряда дополнительных положений могла бы объяснить движение планет ничуть не хуже системы Коперника. Однако преимущество и, следовательно, простота последней состоит в том, что для согласования с наблюдаемыми фактами она ограничилась меньшим (в сравнении с системой Птолемея) числом исходных допущений. Теория Коперника, таким образом, оказывается с этой точки зрения более простой (более совершенной и более изящной), а теория Птолемея — более сложной.
      Сказанное, однако, не означает, что математический аппарат более «простой» теории является в то же время простым сам по себе. Это отнюдь не так.
      Возьмём, к примеру, арифметическую задачу, которая решается путём очень трудоёмких вычислений и запутанных рассуждений. Арифметический путь, который ведёт к решению задачи, сложен. Но та же задача может быть решена алгебраическим способом, путём составления соответствующего уравнения, решение которого для человека, знакомого с алгеброй, не составляет большого труда. Аппарат алгебраической теории сложнее арифметического, однако решение задачи с помощью этого более сложного теоретического аппарата значительно проще. Простота здесь достигается через сложность.
      Или другой пример. Общеизвестно, что таблицы логарифмов значительно облегчают сложные математические вычисления. Те же вычисления потребовали бы колоссального труда, если бы производились на основе выполнения арифметических действий.
      Но теория логарифмов, конечно, сложнее арифметики. И здесь простота достигается через сложность. Более общая теория, обладающая минимумом знакомых средств (и, следовательно, информативно более ёмкая), даёт возможность решать с помощью своего более сложного математического аппарата большее количество задач и объяснить большее количество фактов, причём решать более простым путём, нежели эти же задачи решает менее общая частная теория.
      Разъясняя смысл, вкладываемый в понятие сложной простоты, Эйнштейн в книге «Физика и реальность» писал, что «теория производит тем большее впечатление, чем проще её предпосылки, чем разнообразнее предметы, которые она связывает, и чем шире область её применения». Но широта предпосылок теории и той предметной области, которую она истолковывает, отнюдь не означает, что эту теорию просто и легко применять. Парадоксальность «сложной простоты» в том как раз и состоит, что более простая (и более общая) теория обладает более сложным и более громоздким математическим аппаратом. Простое в одном отношении оказывается сложным в другом. «Чем проще и фундаментальнее становятся наши допущения,— пишет Эйнштейн в книге «Физика и реальность»,— тем сложнее математическое орудие нашего рассуждения, тем длиннее, тоньше и сложнее становится путь от теории к фактам. Современная физика проще, чем старая, но именно поэтому она кажется более трудной и запутайной». «Всё очень сложно,— говорит современный американский физик Р. Фейнман в книге «Характер физических законов».— Простота достигается через сложность». Эту мысль Фейнман удачно разъяснил на примере закона всемирного тяготения Ньютона: «Поразительнее всего, что закон тяготения прост. Его легко сформулировать так, чтобы не оставалось никаких лазеек для двусмысленности и для иного толкования... Он прост по форме. Я не говорю, что он действует просто: движение разных планет, их взаимные влияния могут быть очень запутанными, и определить, как движется каждая звезда в шаровом скоплении, не в наших силах. Он действует сложно, но его коренная идея проста. Это роднит все наши законы. Сами по себе они оказываются простыми, хотя в природе действуют сложным образом». К этому надо добавить, что более общий, более сложный и более абстрактный закон (или теория) всегда оказывается информационно более ёмким, нежели закон (теория) более простой и частный, так как ёмкость знания тем больше, чем в меньшем количестве знаковых средств (например, математических символов) удаётся его выразить.
      Заметим также, что всякая более общая теория, удовлетворяющая критерию «сложной простоты», является в то же время и более изящной, удовлетворяющей эстетическому чувству учёного, которое играет отнюдь не последнюю роль в научных изысканиях. В этом смысле теория Коперника красивее теории Птолемея, теория относительности Эйнштейна красивее теории Ньютона и т. д. Не говоря уже о красоте и изяществе уравнений Максвелла, по поводу которых Г. Герц в работе «Об отношении между светом и электричеством» в порыве восторга написал такую.вдохновенную фразу: «Изучая эту чудесную теорию, нельзя не почувствовать, что её математическим формулам присуща самостоятельная жизнь и собственное сознание, что они умнее нас, умнее даже своего создателя, что они дают нам больше, чем в них было заложено вначале».
      Не случайно в современной литературе много говорится о том, что в числе побудительных мотивов, движущих учёными в их творчестве, значительную роль играет стремление к красоте и изяществу. Не оставляет сомнения, что, например, для Птолемея, Коперника, Кеплера, Эйнштейна красота и гармония математических зависимостей служили не только эвристическими
      средствами познания, но и сильнейшими источниками творческого вдохновения.
      Из сказанного выше следует, что если на объяснение тех или иных материальных явлений и процессов претендует несколько математических моделей, то следует выбрать из них наиболее простую, т. е. такую, которая, опираясь на минимальное число исходных допущений, способна объяснить более широкий круг явлений, нежели какая-либо другая. Ибо «большая степень обобщения и большая простота,— как удачно заметил современный английский математик и педагог У. Сойер в книге «Прелюдия к математике»,— неотделимы друг от друга...». Более общие модели, будучи в то же время и более простыми, позволяют не только объяснить огромную массу эмпирического материала, относящегося к определеннойпредметной области материального мира, но и выразить её при этом предельно экономно, компактно, сжато.
      В этом смысле теория относительности, например, как более общая, является в то же время и более простой, нежели классическая механика, ибо даёт возможность без всяких дополнительных допущений объяснить такие явления, которые классическая физика без таких допущений не объясняет.
      Совершенно очевидно также, что потенциально более общая математическая модель является в то же время и информативно более ёмкой, несущей в малом объёме знаковых средств наибольшее количество информации.
      Итак, метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, т. е. анализу математических моделей, занимает ведущее место среди других методов исследования и неотделим от общего процесса изучения человечеством явлений окружающего мира.
      Отметим, что расширение области применения математики в научном познании является общей закономерностью развития. Эта закономерность существовала и проявлялась всегда, в течение всей истории человеческой цивилизации.
      Подлинный смысл взаимосвязей математики с другими областями науки, связей, ведущих к взаимному обогащению их содержания, раскрыл В. И. Ленин, когда отметил, что каждый крупный успех естествознания означает вместе с тем приближение к таким
      однородным и простым элементам материи, законы движения которых допускают математическую обработку (Материализм и эмпириокритицизм.— Поли. собр. соч., т. 18, с. 326), т. е., что он порождает новые продвижения по пути математизации знания.
      И всё же само понятие «математизация науки, научного знания» возникло лишь в наши дни как отражение процесса расширяющегося использования математических методов и моделей.
      Структура математики особенно изменилась за последние 20—30 лет. Появились и получили существенное развитие многие новые области: большая группа дисциплин, объединяемых математической кибернетикой, многочисленные разделы, вычислительной математики и математического обеспечения быстродействующих вычислительных устройств, исследование операций, теория оптимального управления и др. Повысилась роль математической логики. В теории алгебраических и дифференциальных уравнений приближённые методы решения заняли гораздо большее, чем прежде, место.
      Главной причиной столь глубоких, коренных изменений в составе и содержании математики явилось проникновение математических методов исследования в другие области научного знания. Это проникновение в последние несколько десятилетий сделалось, особенно широким и стремительным. При этом речь идёт не о простых вычислительных или измерительных операциях, сопровождающих практически любое научное исследование, но о сравнительно сложном математическом аппарате, нередко создаваемом в процессе этого проникновения.
      Ряд областей приложения математики за этот весьма краткий исторический период настолько разросся, что образовал самостоятельные научные дисциплины. К математической физике, сформировавшейся в первой половине XIX в., присоединились: математическая биология, математическая экономика, математическая лингвистика и многие другие. Возможности решения научных и научно-практических задач в результате приложения математических методов неизменно возрастали. Возрастал и поток требований к самой математике.
      Таким образом, процесс математизации научного знания неотделим от общего процесса научно-технической революции, является его органической частью.
      Термин «научно-техническая революция» обозначает огромную область изменений в развитии материального производства, техники, науки, и социальных отношений в современном человеческом обществе. Истоки научно-технической революции лежат в качественном скачке, в познании и использовании законов природы. Этот скачок настолько значителен, что создаёт все предпосылки для превращения науки в производительную силу общества. Реализация этого превращения производит переворот в системе производительных сил и реорганизует систему производственных отношений.
      Современное материальное производство сделалось очень сложным, основу техники во всевозрастающей степени начинают составлять автоматические устройства. Машинное производство, при котором рабочий непосредственно участвует в технологическом процессе, выполняет некоторые операции, уступает место производству автоматизированному. Народное хозяйство в целом и такие, например, области техники, как космонавтика, ракетная техника, средства защиты от внезапного нападения, в том числе ядерного, предъявляют исключительно высокие требования в части надёжности и точности функционирования как технических устройств, так и операторов.
      При достаточно высоком уровне автоматизации системы автоматических устройств снабжаются счетнорешающими, контролирующими и управляющими устройствами. Процессы, определяющие коренные изменения производительных сил, происходят на основе достижений науки и, в частности, математики. Без серьёзных математических усилий и достижений обойтись оказалось невозможно. Дальшейший прогресс техники, организация связи, управляющих функций в общественной жизни ставят настолько сложные задачи, что их решение стало возможным в сильной (в ряде случаев решающей) степени зависеть от возможности их математизировать.
      Итак, основной причиной математизации знания являются процессы и запросы материального производства. Внутри науки (в плане, наиболее близком к математике) эти требования отражаются в том, что науке приходится перерабатывать большой и всевозрастающий объём информации. Поиск самого эффективного способа обработки и осмысливания экспериментально добываемой и наблюдаемой информации производится
      на основе разработки общих понятий, складывающихся в абстрактные системы, логические построения. Последние и служат исходным материалом для создания математических моделей.
      В заключение отметим, что характеристика сущности математизации знаний не может быть полной без учёта социального аспекта этой проблемы. Дело в том, что техническая перестройка материального производства, составляющая основу научно-технического прогресса, изменяет место человека в этом производстве и его общественную роль. По существу, роль человека может быть резко повышена, поскольку автоматизация освобождает его от исполнения механической, однообразной работы. К тому же превращение науки в производительную силу воплощается не только в технических усовершенствованиях, но и в более высоком уровне научной и технической подготовленности (в том числе математической) самих рабочих.
      Ход научно-технической революции и математизация знаний в капиталистических странах испытывают неблагоприятное влияние антагонистических общественных отношений. При социализме прогресс техники и науки, осуществляемый при органическом соединении достижений научно-технической революции с преимуществами социалистической системы общественных отношений, является основным путём и средством создания материально-технической базы коммунизма. Математизации знаний принадлежит в этом немалая роль.
      В Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981—1985 годы и на период до 1990 года указывается, что следует сосредоточить усилия на решении следующих важнейших проблем, посвящённых развитию науки и ускорению технического прогресса:
      «развитие математической теории, повышение её эффективности в прикладных целях;
      повышение качества, надёжности, экономичности и производительности, уменьшение шума и вибрации машин, оборудования и других изделий машиностроения, снижение их материалоёмкости и энергопотребления;
      совершенствование вычислительной техники, её элементной базы и математической обеспечения, средств и систем сбора, передачи и обработки информации...».
      Таким образом, первоочередные задачи, поставленные перед математиками, имеют важное значение для развития народного хозяйства нашей страны. Творческие усилия математиков, наряду с разработкой теоретических проблем, должны быть сосредоточены на решении ключевых народнохозяйственных задач, на открытиях, способных внести действительно революционные преобразования в производство.