|
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ
НОВЫЙ ЗАДАЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
ДОПУЩЕНО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИЕЙ ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧЕНОГО СОВЕТА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКВА 1925 ЛЕНИНГРАД
ТИПОГРАФИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВА КОМИНТЕРНА, Ленинград Екатерингофский просп., 87.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие 3
Метрические меры 3
I. Прямая линия.
Измерение длины отрезков — Численный и линейный масштабы. — Сложение и вычитание отрезков. — Пересечение прямых.
Задачи №№ 1 — 22 9
Практические работы (ЖМ° 23 — 28) 12
Темы практических работ 13
II. Окружность.
Задачи №№ 29 — 48 14
Темы практических работ 16
III. Углы.
Вертикальное и горизонтальное направления. — Углы смежные и противоположные (вертикальные). — Прямой угол. — Углы по одну сторону прямой и вокруг общей вершины. — Градусное измерение углов. — Понятие о черчении графиков.
Задачи №№ 49 — 87 17
Практические работы (№№ 88 — 99).. 21
Темы практических работ 25
IV. Треугольник.
Стороны и периметр треугольника. — Три случая равенства треугольников. — Равенство прямоугольных треугольников. — Перпендикуляр из середины отрезка, как геометрическое место. — Бис сектриса угла, как геометрическое место.
Задачи 100 — 125 27
Темы практических работ 32
V. Углы при параллельных прямых.
Задачи №№ 126 — 138 33
Темы практических работ 34
VI. Углы треугольника.
Сумма углов треугольника — Прямоугольный треугольник с углом в 45°. — Прямоугольный треугольник с углом в 30°.
Задачи №№ 139-170 36
Темы практических работ .. 39
VII. Углы и диагонали многоугольника.
Задачи №№ 171 — 187 40
Темы практических работ. 41
VIII. Параллелограмм.
Свойства углов, сторон и диагоналей параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. — Свойства прямой, проведенной через середину стороны треугольника параллельно другой стороне. — Пересечение непараллельных прямых рядом равноотстоящих параллельных.
Задачи №№ 188 — 235 42
Темы практических работ 50
IX. Прямые и углы в круге.
Разыскание центра. — Хорды. — Касательные. — Вписанные углы. —
Углы между хордами, между секущими, между касательными, между хордой и касательной. — Вписанные и описанные фигуры. — Взаимное расположение окружностей. — Сопряжение прямых н дуг дугами.
Задачи 236 — 302 51
Темы практических работ 59
X. Длина окружности и дуги.
Длина окружности и дуги (задачи 303 — 362) 6
Бесконечный ремень. Зубчатые колеса 67
Задачи 363 — 378 69
Токарный станок 73
Задачи №№ 379 — 385 75
Угловая величина (угол зрения) 76
Задачи ЛЕМ 386 — 418 79
Темы практических оабот 84
XI. Площадь прямоугольника.
Задачи №№ 419 — 14 6 8
Практические работы (447 — 449) 89
Темы практических работ —
XII. Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции.
Задачи 450 — 467 91
Темы практических работ 96
XIII. Извлечение квадратного корня.
Способы извлечения 96
Задачи 468 — 481 99
XIV. Теорема Пифагора. Стороны правильных вписанных многоугольников.
Задачи №№ 482 — 552 101
Темы практических работ 110
XV. Площадь круга.
Задачи 553-606 111
Практические работы (607 — 611) 117
Темы практических работ 118
XVI. Подобие плоских фигур.
Подобие треугольников. — Отношение площадей подобных фигур. — Свойства перпендикуляра, опущенного из точки окружности на диаметр.
Задачи №№ 612 — 667 119
Темы практических работ 131
XVII. Вычисление поверхности и объема тел.
Извлечение кубичного корня 132
Прямой параллелепипед, прямая призма, пирамида (№№ 668 — 707). —
Цилицдр (№№ 708 — 756) 138
Конус №№ 757 — 764) 144
Шар (№№ 765 — 802) 146
Отношение площадей и объемов подобных тел (№№ 803 — 828) 150
Ответы 154
Таблица квадратных и кубичных корней из чисел от 1 до 1000 107
Предметный указатель 169
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Геометрические задачи редко возникают на практике в той отвлеченной форме, в какой они обычно предлагаются задачниками. В реальной жизни, в технике, в науке геометрическая сторона задачи большею частью заслоняется, затушевывается посторонними элементами, из которых ее необходимо выделить, прежде чем приступить к решению. Нередко уже одно такое обнажение геометрической основы реального задания почти равносильно его разрешению, нотому что приводит запутанный вопрос к ясной математической схеме. Но умение отыскивать в конкретной задаче ее геометрическую основу, переводить реальный вопрос на язык геометрии, требует особого навыка; и, конечно, он не может быть приобретен упражнением исключительно на готовых схемах, обычно предлагаемых задачниками. Отсюда та геометрическая беспомощность, которая наблюдается у большинства изучавших геометрию, когда они сталкиваются с геометрическими задачами в жизненной практике: они не знают, как применить в конкретном случае свои вполне достаточные геометрические познания, а зачастую даже и не подозревают, что подлежащий разрешению вопрос есть задача геометрическая. Между тем, едва ли можно оспаривать, что умение прилагать свои математические иознания на практике, за пределами тетради и классной доски, есть один из существенных элементов математического развития и должно воспитываться школой. Каков бы ни был выбор теоретического материала для школьного курса геометрии, как бы ни распределялся он по концентрам, каким бы методом нн доводился до сознания учащихся, — необходимо чтобы они умели прилагать приобретенные теоретические познания
к разрешению реальных задач. Это может быть достигнуто лишь систематическим упражнением в решении задач с реальным содержанием, приближающихся по своей форме к тем, какие возникают в действительной жизнн. Отсюда — необходимость пополнить существующие сборники геометрических задач подбором упражнений особого рода, преследующих указанную цель.
Такого рода реальные задачи и преобладают в настоящем сборнике. В этом задачнике, преимущественно во вторых двух третях его, составитель стремился собрать возможно больше примеров разнообразного применения геометрии в технике, естествознании, мироведении и обиходной жизни, преследуя попутно цель наглядно убедить в широкой и плодотворной приложимости даже весьма скромных геометрических познаний. О том, откуда почерпался материал для задач, можпо судить по имеющемуся в книге предметному указателю. Многие задачи по внешнему выражению совсем не походят на привычный тип геометрических упражнений. Такие, например, задачи, как 324-я: «Почему передняя ось телегн больше стирается, нежели задняя?» илн 828-я: Два полных самовара, большой и малый, одинаковой формы, нагреты одинаково. Какой остынет скорее?», — могут с первого взгляда показаться попавшими в геометрический задачник по недоразумению. Однако, это по существу задачи геометрические, только не переведенные на условный язык математических схем, а взятые непосредственно в той форме, в какой они возникают в реальной жизни.
Элементарные технические задачи сборника никаких специальных познаний от учащегося не требуют. Числовой материал их сообразован с соответствующими «Урочными положениями». От намеренного подбора чисел, облегчающего выкладки, составитель во многих случаях воздерживался, так как искусственный подбор противоречит основной цели сборника — подготовит.» к решению задач в реальных условиях.
В связи с такой тенденцией сборника, некоторые отделы в нем разработаны подробнее общепринятого масштаба. Это прежде всего относится к главе X — «Длина окружности»: здесь, помимо задач обычного типа, имеются особые параграфы и соответствующие упражнения, относящиеся к расчету ременной и зубчатой передачи и к работе токарного станка, как примеры технического применения геометрических знаний, — а также задачи на вычисление угла зрения или угловой величины предметов, в виду исключительно важного общеобразовательного значения этих понятий. Больше обычного уделено внимания отношению поверхностей и объемов подобных тел, — роду задач, весьма часто возникающих на практике н разрешаемых в обиходной жнзни неправильно. — Составитель, однако, вовсе не предлагает пользующимся книгой проделывать нодряд все ее упражнения. Едва ли найдется такой состав учащихся, которому были бы знакомы все отделы техники и общего знания, затрагиваемые в задачах сборника. Разнообразный подбор предлагается именно для того, чтобы преподаватель мог черпать из него упражнения, относящиеся к знакомым учащимся предметам, пропуская остальные *).
Имея в виду, что прохождение геометрии нередко опережает изучение алгебры, составитель стремился сделать настоящий задачник,, пригодным, между прочим, и для таких учащихся, которые либо вовсе не изучали еще алгебры, либо знакомы лишь с ее начальными основаниями. Однако, сборник на-ряду с этим пригоден, конечно, и для более сведущих учащихся.
Так как настоящий сборник имеет, между прочим, в виду учащихся, незнакомых с алгеброй, то для извлечения квадратного корня в пем указан «способ деления» (иначе называемый забвению. Кроме того, приложены таблицы квадратных (и кубических) корней для чисел от 1 до 1000 и объяснен способ пользования ими.
*) Подробнее о задачах с реальным содержанием при преподавании геометрии — см. книгу «Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений». Госуд. Издательство.
«способом двух средних») — старинный Геронов прием, достаточно быстро ведущий к цели и незаслуженно преданный
Для ускорения выкладок рекомендуется при решении многих задач пользоваться приемами приближенных вычислений с числами, близкими к единице, по следующим формулам (в которых а — небольшая дробь):
Формулы эти обосновываются в «Задачнике» геометрически и, для прочного усвоения, иллюстрируются числовыми упражнениями.
Кроме задач в собственном смысле слова, в сборник включены упражнения,имеющие характер практических работ (черчение графиков и т. п.). Такие упражнения выделены особо в конце отделов. Их дополняют «Темы практических работ — параграфы, содержащие краткий перечень тем, разработка которых предоставляется преподавателю в зависимости от условий и обстановки занятий. — Ради оживления интереса к занятиям, среди прочих упражнений рассеяно несколько десятков задач исторических — из истории математики, — литературных *), а также задач, любопытных по сюжету или неожиданных по результату.
*) Таких задач немного: из «Короля Лира» (407), «Скупого Рыцаря» (764), «Путешествия Гулливера» (824 и 825) и из рассказа Л. Толстого «Много ли человеку земли нужно?» (597).
Само собою разумеется, что наряду с задачами реального характера следует проделывать упражнения и формальные. Число подобных задач в настоящем сборнике невелико лишь потому, что составитель считал излишним увеличивать объем книги за счет материала, уже представленного во многих сбор-пиках задач по геометрии. (По той же причине мало включалось и задач на построение). Упражнения настоящего сборника предназначаются лишь как пополнение обычного материала, а не взамен его.
Ограниченность технических и общенаучных знаний, которые задачник подобного типа в праве предполагать у учащегося, до крайности затрудняла выбор материала для упражнений. При таких условиях и при почти полной новизне работы, едва ли удалось избежать увлечений и промахов. Они могли бы быть исправлены в последующих изданиях лишь при участии преподавателей, имевших случай пользоваться настоящей книгой. Все указания на этот счет будут приняты составителем с признательностью *).
*) Адрес для корреспонденции: Ленинград, Плуталова 2, кв. 12. Якову Исидоровичу Перельману.
Первое издание этой книги, вышедшее в начале декабря 1922 г., было значительно пополнено во втором издании (сентябрь
1923 г.). В третьем издании (август 1924 г.) проведена была лишь новая нумерация задач и чертежей. Настоящее, четвертое издание перепечатывается с предшествовавшего почти без изменений.
Я. П.
Апрель 1925.
|
