DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
     
      На русском языке имеется целыб ряд оригинальных и переводных сборников*), преследующих в общем ту же цель, что и настоящая книга: оживить школьную математику введением в неё интересных задач, занимательных упражнений, любопытных теоретических и практических сведений. Знакомым с этой литературой хорошо известно, что большинство подобных книг усердно черпают свой материал из одного и того же ограниченного фонда, накопленного столетиями; отсюда — близкое сходство этих сочинений, разрабатывающих, с различной детальностью, почти одни и те же темы. Но традиционный инвентарь математических развлечений достаточно уже исчерпан в нашей литературе. Новые книги этого рода должны привлекать новые сюжеты.
     
      *) Среди них известный сборник Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки* (из трёх его книг 2-я и 3-я составлены при участии автора предлагаемого сборника) почти исчерпывает весь «классический* материал арифметических развлечений.
     
      «Занимательная арифметика» представляет в большей своей части попытку предложить ряд новых, ещё не разрабатывавшихся сюжетов арифметических развлечений. Подыскание новых тем в столь многосторонне обследованной области — дело нелёгкое: составитель не может здесь пользоваться коллективным трудом длинного ряда известных и безызвестных собирателей, а предоставлен лишь собственным силам. Поэтому к «Занимательной арифметике», как к первому опыту обновления традиционного материала подобных сборников, не должна прилагаться слишком строгая мерка.
      Другая особенность предлагаемого сборника та, что эн ограничивается материалом чисто арифметическим, стремясь возможно теснее примкнуть к различным отделам школьной арифметики. Развлечения, хотя бы и занимательные, но не затрагивающие ни одного из её отделов, не нашли себе места в книге.
      Наконец, заботясь о том, чтобы сборник читался легко, не требуя чрезмерного напряжения, составитель избегал трудных, запутанных вопросов и включал только такой материал, который вполне посилен для большинства читателей. Превращать приятную игру ума в утомительное занятие, чересчур серьёзное для развлечения и слишком бесплодное для серьёзной работы — значило бы извращать цель и смысл подобного рода литературы.
      Хотя книга имеет в виду читателей, знакомых лишь с элементами арифметики, в ней найдутся страницы, небезынтересные, быть может, и для более сведущих. Усердная просьба к таким читателям — не отказать сообщить автору о замеченных ими недостатках книги*). За прежде сделанные указания автор приносит своим корреспондентам глубокую признательность.
      Я. П.
      *) Адрес для корреспонденции: Ленинград, Стремянная ул.. 4. Кооперативное Издательство «Время». Якову Исидоровичу Перельману.
     
     
      Глава I
     
      СТАРОЕ И НОВОЕ О ЦИФРАХ И НУМЕРАЦИИ
      ТАИНСТВЕННЫЕ ЗНАКИ
     
      Задача № 1.
      В первые дни русской революции, в марте 1917 года, жители Ленинграда (тогда — Петрограда) были немало озадачены и даже встревожены таинственными знаками, появившимися, неизвестно как, у дверей многих квартир. Молва приписывала этим знакам разнообразные начертания. Те знаки, которые мне пришлось видеть, имели форму восклицательных знаков, чередующихся с крестами, какие ставились раньше возле фамилий умерших По общему убеждению, они ничего хорошего означать не могли и вселяли страх в растерянных граждан.
      По городу пошли зловещие слухи. Заговорили о грабительских шайках, помечающих квартиры своих будущих
      жертв. «Комиссар города Петрограда», успокаивая население, утверждал, что «таинственные знаки, которые чьей-то невидимой рукой делаются на дверях мирных обывателей в виде крестов, букв, фигур, как выяснилось по произведённому дознанию, делаются провокаторами и германскими шпионами»; он приглашал жителей все эти знаки стирать и уничтожать, «а в случае обнаружения лиц, занимающихся этой работой, задерживать и направлять по назначению».
      Таинственные восклицательные знаки и зловещие кресты появились также у дверей моей квартиры и квартир моих соседей. Некоторый опыт в распутывании за мысловатых задач помог мне, однако, разгадать нехитрый и нисколько не страшный секрет этой тайнописи.
      Решение.
      Своим «открытием» я поспешил поделиться с согражданами, поместив в газете следующую заметку*):
      *) Вечерний выпуск газеты «Биржевые Ведомости» от 16 марта 1917 г.
      «Таинственные знаки».
      «В связи с таинственными знаками, появившимися на стенах многих петроградских домов, небесполезно разъяснить смысл одной категории подобных знаков, которые, несмотря на зловещее начертание, имеют самое невинное происхождение. Я говорю о знаках такого типа:
     
      «Подобные знаки замечены во многих домах на чёрных лестницах у дверей квартир. Обычно знаки этого типа имеются у всех дверей данного дома, при чем в пределах одного дома двух одинаковых знаков не наблюдается. Их мрачное начертание естественно внушает тревогу жильцам. Между тем, смысл их, вполне невинный, легко раскрывается, если сопоставить их с номерами соответствующих квартир. Так, например, приведённые выше знаки найдены мною у дверей квартир № 12, № 25 и № 33:
     
      «Нетрудно догадаться, что кресты означают десятки, а палочки — единицы; так оказалось во всех без исключения случаях, которые мне приходилось наблюдать. Своеобразная нумерация эта, очевидно, принадлежит дворникам-китайцам*), не понимающим наших цифр. Появились эти знаки, надо думать, ещё до революции, но только сейчас обратили на себя внимание встревоженных граждан».
      *) Их было много тогда в Ленинграде. Позднее я узнал, что китайский иероглиф для ю имеет как раз указанную форму креста (китайцы не употребляют наших «арабских» цифр).
      Таинственные знаки такого же очертания, но только не с прямыми, а с косыми крестами были обнаружены и в таких домах, где дворниками служили пришедшие из деревень русские крестьяне. Здесь уже нетрудно было выяснить истинных авторов тайнописи, вовсе и не подозревавших, что их безыскусственные обозначения №-ров квартир только теперь были замечены и вызвали такой переполох.
     
      СТАРИННАЯ НАРОДНАЯ НУМЕРАЦИЯ
      Откуда взяли ленинградские дворники этот простой способ обозначения чисел: кресты — десятки, палочки — единицы? Конечно, не придумали этих знаков в городе, а привезли их из родных деревень. Нумерация эта давно уже в широком употреблении и понятна каждому, даже неграмотному крестьянину в самом глухом углу - нашего Союза. Восходит она, без сомнения, к глубокой древности и употребительна не только у нас. Не говоря уже о родстве с китайскими обозначениями, бросается в глаза и сходство этой упрощённой нумерации с римской: и в римских цифрах палочки означают единицы, косые кресты — десятки.
      Любопытно, что народная нумерация эта некогда была даже у нас узаконена: по такой именно системе, только более развитой, должны были вестись сборщиками податей записи в податной тетради. «Сборщик, — читаем мы в старом Своде Законов, — принимая от кого-либо из домохозяев вносимые к нему деньги, должен сам, или через писаря, записать в податной тетради против имени того домохозяина, которого числа сколько получено денег, выставляя количество принятой суммы цифрами и знаками. Знаки сии для сведения всех и каждого ввести повсеместно одинаковые, а именно:
      десять рублей означать знаком .. квадрат;
      рубль круг;
      десять копеек X косой крест;
      копейка I палка;
      четверть — прочерк.
      Например, двадцать восемь рублей пятьдесять семь копеек три четверти:
      ( )
      В другом месте того же тома «Свода Законов» находим ещё раз упоминание об обязательном употреблении
      народных числовых обозначений. Приводятся особые знаки для тысяч рублей — в виде шестиконечной звезды с крестом в ней, и для ста рублей — в виде колеса с 8 спицами- Но обозначения для рубля и десяти копеек здесь устанавливаются иные, чем в предыдущем законе.
      Вот текст закона об этих так наз. «ясачных знаках»:
      «Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесён будет ясак, кроме изложения словами, было показываемо особыми знаками число внесённых рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счётом сего числа могли быть уверены в справедливости показания ‘). Употребляемые в квитанции знаки означают:
      (звезда) - тысяча руб.,
      (колесо) - сто рублей,
      квадрат - десять рублей,
      X крест - один рубль,
      IIIIIIIIII - десять коп.,
      I - 1 копейку.
      «Дабы не можно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями. Например:
      1232 р. 24 к. изображают так: (см. рис.).
      Как видите, употребляемые нами арабские и римские цифры — не единственный способ обозначения чисел. Это показывает, что описываемые знаки были в широком употреблении среди населения.
      В старину применялись у нас, да и ещё теперь по деревням применяются другие системы письменного счисления, отдалённо сходные с римскими и совсем не сходные с арабскими цифрами.
      Но и это ещё не все способы изображения чисел, употребляющиеся в наши дни: многие торговцы, например, имеют свои секретные знаки для числовых обозначений, — так наз. торговые «меты». О них побеседуем сейчас подробнее.
     
     
      СЕКРЕТНЫЕ ТОРГОВЫЕ МЕТЫ
     
      На вещах, купленных у офеней или в частных магазинах, особенно провинциальных — вы, вероятно, замечали иногда непонятные буквенные обозначения вроде
      а её в уо.
      Это не что иное, как цена вещи без запроса, которую торговец для памяти обозначает на товаре, но так, однако, чтобы её не мог разгадать покупатель. Бросив взгляд на эти буквы, торговец сразу проникает в их скрытый смысл и, сделав надбавку, называет покупателю цену с запросом.
      Такая система обозначения весьма проста, — если только знать «ключ» к ней. Торговец выбирал какое-нибудь слово, составленное из 10 различных букв; чаще всего останавливали выбор на словах: трудолюбие, правосудие, ярославец, миролюбец, Миралюбов. Первая буква слова означает — 1, вторая — 2, третья — 3 и т. д.; десятою буквою обозначается нуль. Помощью этих условных букв-цифр торговец и обозначает на товарах их цену, храня в строгом секрете «ключ» к своей системе обозначения.
      Если, например, выбрано слово:
      правосудие
      1234567890
      то цена 4 р. 75 к. будет обозначена так:
      в уо
      Знак «пое“ означает 1 р. 50 к. (150), псе — 1 рубль (100) и т. п.
      Иногда цена на товаре бывает написана в виде дроби; например, на одной из купленных мною книг имеется обозначение
      ое/тро.
      Это значит, при ключе «трудолюбие», что надо запросить 1 р. 25 коп., себе же книга стоила 50 коп.
      Секрет своей меты торговцы строго берегут. Но если купить в одном и том же магазине несколько вещей, то, сопоставляя названную торговцем цену с соответствующими обозначениями, нетрудно догадаться о значении букв. Особенно легко разгадывать меты дешёвых товаров, где запрашивают немного, так что первые цифры уплаченных сумм отвечают начальным буквам обозначения. Разгадав же несколько букв, легко доискаться значения остальных. При некоторой проницательности может быть разгадан «ключ» любой меты.
      Допустим, например, что вы купили несколько вещей и заплатили за первую 25, за вторую — 22, за третью — 28 копеек. В уголках этих предметов вы находите такие обозначения
      ро, рр, рд.
      Ясно, что буква р означает 2. Отгадав, по другим товарам, ещё одну букву, — например, с — 6, вы уже догадаетесь, что ключ — правосудие. Число подходящих слов, надо заметить, ограничено, и выбор не бывает черезчур затруднительным.
     
     
      АРИФМЕТИКА ЗА ЗАВТРАКОМ
     
      После сказанного легко сообразить, что числа можно изображать не только помощью цифр, но и помощью любых иных знаков или даже предметов — карандашей, перьев, линеек, резинок и т. п.; надо только условиться приписывать каждому предмету значение какой-нибудь определённой цифры. Можно даже, ради курьёза, помощью таких цифр-предметов изображать действия над числами — складывать, вычитать, умножать, делить. Вот, например, ряд действий над числами, обозначенный предметами сервировки стола (см. рис.). Вилка, ложка, нож, кувшинчик, чайник, тарелка — все это знаки, каждый из которых заменяет определённую цифру.
     
      Задача № 2.
      Глядя на эту группу ножей, вилок, посуды и т. п., попробуйте угадать: какие именно числа здесь обозначены? С первого взгляда такая задача кажется очень трудной: приходится разгадывать настоящие иероглифы, как сделал некогда француз Шамполион. Но ваша задача гораздо легче: вы ведь знаете, что числа здесь, хотя обозначены вилками, ножами, ложками и т. п., написаны по десятичной системе счисления, т.-е. вам известно, что тарелка, стоящая на втором месте (считая справа), есть цифра десятков, что предмет направо от неё — цифра единиц, а по левую сторону — цифра сотен.
      Кроме того, вы знаете, что расположение всех этих предметов имеет определённый смысл, который вытекает из сущности арифметических действий, производимых над обозначенными ими числами. Всё это может значительно предложенной задачи
      облегчить вам решение.