Гаррет Биркгофф
МАТЕМАТИКА И ПСИХОЛОГИЯ
*** 1977 ***
|
ФPAГMEHT КНИГИ (...) 21.3. Континуум-гипотеза. Наконец, Кантор попал в тупик. Хотя он полагал, что между н0 и с нет ни одного бесконечного кардинального числа, — иначе говоря, что с есть второе наименьшее бесконечное кардинальное число — он никогда не мог это доказать. Вейерштрасс и Гильберт, хотя и очень глубокие и строгие аналитики, верили оба, что доказали эту догадку*, так называемую континуум-гипотезу. Недавно Поль Коэн [15] доказал чисто интуитивными математическими методами, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках существующей формальной логики.
Как могли Вейерштрасс и Гильберт так сильно обмануться? Подобно этому, как мог великий логик Фреге работать годами над основаниями логики лишь для того, чтобы, наконец, узнать от Рассела о противоречивости своих методов (см. [23, с. 127], где описан парадокс Рассела)? По моему мнению, эти примеры просто иллюстрируют опасность опоры исключительно на чистую дедуктивную логику. Все это, конечно, не уменьшает важности строгого построения анализа. Безусловно, надо стараться проверять интуицию логикой; Адамар соглашается [21, с. 102, рус. пер. с. 96 — 97], что зрительная интуиция и здравый смысл подвержены ошибкам. Я лишь подчеркиваю опасность делать анализ исключительно логическим. В этом духе Вейль [23, с. 483] заметил, что, быть может, «только жалкая часть» классического анализа допускает строгое доказательство с осмысленным содержанием. Подобным образом Уайтхед и Рассел признаются, что даже в их шедевре «доказательства более ранних предложений даются без пропуска какого-либо шага, но по мере продвижения работы доказательства постепенно сокращаются». При этом для построения R им понадобилось три толстых тома, написанных в весьма сжатой символике. Рассмотрение этих фактов убедило меня, что одна лишь формальная логика недостаточна для математического анализа и хотя некоторые его формальные аспекты поддаются механизации и многие его существеннейшие понятия являются зрительными. Как писал фон-Нейман [41, с. 27, рус. пер. с. 47]: ... Анализ обладает наиболее развитым математическим аппаратом и является наиболее разработанной областью математики. Таким образом, формальная логика в силу самого существа своего подхода отрезана от наиболее разработанных частей математики... Как дальнейший косвенный довод в мою пользу, я хочу обратить ваше внимание на существование двух неклассических (еретических?) современных версий анализа, по меньшей мере столь же логических и непротиворечивых каждая, как классический анализ Римана, Вейерштрасса и Пуанкаре. Это, соответственно, конструктивный анализ и нестандартный анализ. Первый ведет свое начало от логического интуиционизма Л. Э. И. Броуэра (отважного противника Гильбертова формализма); он крайне сдержан, даже жеманен в том, что разрешает. Второй следует либеральной традиции Лейбница и Кантора и крайне снисходителен по отношению ко внутреннее непротиворечивым моделями реальности. В полное нарушение Вейерштрассова пуризма, он свободно говорит о «бесконечно малом» и «бесконечно большом», без всяких е и 6. Чтобы посмотреть, как может дробиться анализ, руководимый только дедуктивной логикой, рекомендую вам две превосходные классические книги, описывающие эти версии*. * Е. Bishop. Constructive Analysis. New York, John Wiley, 1967; A. Robinson. Nonstandard Analysis. Amsterdam, North-Holland, 1966. В предыдущей книге Робинсона о нестандартной алгебре он защищает «возможно более свободный и непредубежденный взгляд». 22. Прикладная математика. Хотя вычислительные машины сделали пока немного для художественного конструирования или чистой математики, они уже свыше десяти лет служат необходимыми орудиями прикладной математики. Дело, по-видимому, в том, что критерии оптимизации промышленного конструирования носят объективный характер: получить максимальное количество обыкновенно значит добиться и минимальной стоимости! Это обстоятельство сделало вычислительные машины (искусно программируемые численными аналитиками) незаменимыми при оптимальном конструировании ядерных реакторов, размещении нефтяных скважин и выводе спутников на орбиту. Я не вижу в этом ничего удивительного. Что меня удивляет, так это позиция некоторых специалистов по вычислительной технике, которые, имея чрезмерно упрощенное понятие о человеческом мозге, пытаются умалить эти достижения. Такие чистые «специалисты» подобны тем чистым математикам, которые, будучи всего лишь прикладными логиками, настойчиво умаляют значение прикладной математики и с радостью уморили бы ее до смерти. Лично я в области вычислительной техники считаю более неотложной задачей попытаться улучшить условия человеческой жизни, чем пытаться моделировать человеческий мозг. Как бы увлекательны ни были такие попытки моделирования с точки зрения чистой психологии, с реалистической точки зрения они еще очень слабы. Даже математический мозг человека как я старался убедить вас, далеко не сводится к логической машине. В согласии с замечанием фон-Неймана. о «рождении математических идей из опыта» я сказал бы, что математика обретает глубину, когда люди пытаются применить дискретные методы счета и логики к геометрии. Это привело к открытию Пифагором существования иррациональных чисел и позже к фундаментальному понятию дедекиндо-вых сечений. Это также обогатило теорию чисел, придав более глубокое содержание понятию «диофантова уравнения». Теория чисел была революционизирована еще раз, когда Гаусс и его современники нашли наглядное представление алгебраических чисел на комплексной плоскости. Теория функций Римана также была обязана своим происхождением геометрической и даже физической интуиции *. * Зоммерфельд в своем «Электричестве» вспоминает, vro Вейерштрасс нашел идеи Римана непонятными, тогда как более интуитивный Гельмгольц схватил их сразу. Этот пример иллюстрирует зависимость анализа не только от нашего зрительного воображения, но и от нашей физической интуиции относительно явлений тепла, света, электричества и магнетизма. Как сказал Фурье: «Глубокое изучение природы — вот самый обильный источник математических открытий». В прошлом физическая интуиция оказывалась гораздо надежнее, чем формальная математика, когда требовалось узнать, какие задачи о дифференциальных уравнениях в ча» стных производных хорошо поставлены *. Кроме того, физическая интуиция была источником таких фундаментальных математических понятий, как устойчивость, векторное поле, функция Грина, ортогональное разложение, собственные функции, характеристика и зона зависимости. Наконец, если физическая интуиция была источником многих глубочайших идей чистой математики, насколько важнее она для прикладной, постоянно сталкивающейся с новыми проблемами жизни, безмерной глубины и сложности. Как хочешь пробуй укротить их логикой — что-то всегда ускользнет. В механике жидкостей, например, хорошо известно, что убедительные логические аргументы часто бывали обманчивыми и вели к парадоксам **, решение которых подвергло бы суровому испытанию искусство не одного софиста! Может случиться, что со временем физическая интуиция станет играть меньшую роль как в чистой, так и в прикладной математике. Но это будет лишь потому, что мы живем в век, когда приложения математики выходят за границы физики и техники и начинают проникать в химию, биологию, экономику и административные науки. Я предсказываю, что исследование этих предметов, стимулируемое показаниями всех наших чувств, внешних и внутренних, а не только нашим чувством логики, приведет к новым и важным математическим понятиям. * См. J. Hadamard. Lectures on Cauchy’s Problem. New Haven, Yale University Press, 1922. ** Cm. G. Birkhoff. Hydrodynamics: A Study in Logic, Fact, and Similitude. 2nd. ed. Princeton, Princeton University Press, I960 (рус. пер.: Г. Биркгоф. Гидродинамика. Методы, факты, подобие. М., ИЛ, 1963), 22.1. Симбиоз человека и машины. Рассмотренные выше данные кажутся несовместимыми с идеей, что роботообразные «думающие машины» заменят со временем людей, даже в чистой математике. Вместо этого мы можем предвидеть все более растущий симбиоз человека и машины, в котором каждый партнер выполняет задачи, наиболее для него подходящие. Определить, какие это задачи, будет нелегко. Быть может, здесь пригодится данный Пойя совет [42], что математическое «изобретение и обучение следовало бы изучить ... методами экспериментальной психологии». Только руководствуясь глубоким и благожелательным пониманием психологии человеческих математиков, так же как и особенностей цифровых вычислительных машин, мы достигнем эффективного взаимодействия человека и машины в решении проблем завтрашней чистой и прикладной математики. Итак, я полагаю, что вычислительные машины станут ценным орудием исследования и что они окажут помощь в понимании психологических процессов человеческого обучения, доказательства теорем, игры и перевода с одного языка на другой. Но думаю также, что усилия заменить человеческое мышление статически или динамически программируемыми вычислениями будут ограничены областями, где имеется ясная экономическая и социальная отдача. Это может свести роль чистых специалистов по вычислительным машинам к роли техников, оптимизирующих взнос машин в общую работу. Чтобы сделать симбиоз человека и машины подлинно эффективным, наше общество будет нуждаться в прикладных математиках, которые как численные аналитики следили бы за приближениями, производимыми при моделировании континуумов, и, что еще важнее, соотносили бы выход вычислительных машин с решаемыми на них научными и техническими задачами. Думаю, что эта потребность открывает перед ОППМ одну из величайших его возможностей — поддержать и стимулировать профессиональное развитие таких прикладных математиков, способных к глубокому общению с другими учеными и инженерами и знакомыми с мощью и ограничениями цифровых машин. Люди, обладающие этими способностями, призваны стать вождями завтрашнего математического мира, но их будет крайне трудно найти и развить. |
