Нормы матриц и их приложения. DjVu

Генрих Рувимович Белицкий
Юрий Ильич Любич

НОРМЫ МАТРИЦ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

* 1984 *

DjVu

ФPAГMEHT КНИГИ (...) Конечномерные аспекты линейного функционального анализа детально освещены в 17.. Все упоминаемые нами факты из общего функционального анализа содержатся, например, в 54.
Формула (1.1.17) принадлежит P. J1. Добрушину 20, но впоследствии она несколько раз переоткрывалась, в частности в 42. Вытекающая из нее оценка (1.1.18) влечет соответствующую оценку спектрального радиуса р (А \ Н), принадлежащую Е. Хопфу 62.
Подробное изложение конечномерной спектральной теории имеется в любом учебнике по линейной алгебре или теории матриц (см., например, 15, 14).
Теорему Фекете можно найти в 50. Теоремы 1.3.2 и 1.3.3 установлены в 37 в качестве основы эффективного метода вычисления спектрального радиуса. Теории однопараметрических полугрупп в банаховом пространстве и ее связям с задачей Коши посвящена обширная литература (см. 60, 40, 32).
Дополнение к гл. 1 написано на основе заметки 39. Формула (1.Д.4) восходит к А. Тьюрингу в качестве определения для этого случая. Вообще, нормы матриц широко используются в современной вычислительной математике (см. 57, 21).
Теория итерационных процессов и их приложения к вычислительной математике изложены в 49. Формула (2.1.3) получена в 46 (в отличие от известной оценки 1т 1’т)- Там же установлена и формула (2.1.8). Условие (2.1.9) в качестве достаточного нашел Г. Кестен 63, получивший его довольно сложным путем (первое упрощение предложено в 42). Дальнейшему развитию этой темы (на базе метода крайних точек) посвящены работы 28, 29. Квадратичные отображения и их итерации играют важную роль в математической генетике (см. 42, 46). Пример отображения с шах р (Т (х)) 1, не являющегося сжатием ни в какой норме, предложил М. Ю. Любич. Эргодическая теорема 2.1.6 является прототипом обширной серии теорем такого рода, входящих в современную эргодическую теорию (см. 59, 27).
Теория устойчивости обычно строится для дифференциальных уравнений (см., например, 11), однако ее можно (и полезно) развивать параллельно для дискретных динамичен ских систем, порождаемых отображениями. Условие р (Т (0)) 1 необходимо для асимптотической устойчивости в комплексно-аналитической ситуации 45.
Класс диссипативных операторов в банаховом пространстве введен в 67, консервативные операторы — в 66, 3835. Теорема 2.3.3 (в банаховом пространстве) принадлежит В. Э. Кацнельсону 24 (несколько позже ее получили другие авторы, например А. Синклер 76). Глубокий анализ операторного смысла неравенства С. Н. Бернштейна и родственных ему неравенств выполнил Е. А. Горин 18. Классическое доказательство этого неравенства имеется в
В § 4 изложена работа 41 (ср. 30), где, в частности, установлена теорема об отщеплении граничного спектра. Ядро Сушкевича первоначально появилось в основоположной статье 78, посвященной конечным полугруппам, однако этот объект имеется в любой компактной полугруппе (см. 64. где ядро Сушкевича использовано для отщепления граничного спектра в слабо компактной операторной ситуации). Теорема 2.4.7 приводит к так называемой гипотезе Мазура (см. 56). Упомянутое в конце § 4 продвижение в «проблеме 1» осуществил В. Н. Калюжный 22, 23.
Понятие критического показателя ввели И. Маржик и В. Итак 68, получившие теорему 2.8.5 методом, хотя и аналогичным изложенному в § 8, но иным (и, как нам представляется, более сложным). В 71 В. Итак установил теорему 2.6.2. Состояние, в котором проблема критического показателя находилась в 1965 г., освещено в обзорах 70, 71. Общую теорему 2.6.1 и ее следствия 2.6.1 — 2.6.3 получили В. М. Кир-жнер и М. И. Табачников 26.
С основными понятиями теории графов можно ознакомиться по книге 12. Субгармонические функции на графах введены в 48, где для них установлен принцип максимума (не только на конечных, но и на некотором классе бесконечных графов, что оказалось полезным для приложений (см.55\ Понятие граничной вершины графа эквивалентно известному из теории марковских цепей понятию существенного состояния.
Блочные разложения систематически употребляются в теории неотрицательных матриц (см. 14), откуда, по существу, заимствованы теорема 2.7.3 и ее следствия. Теорию неотрицательных матриц в целом развили в начале века О. Перрон и Г. Фробениус. Аппарат графов в этих вопросах появился
85 Наши определения отличаются от общепринятых множителем I.
(хотя и в несколько завуалированной форме) в работах 51,52.
§ 8 написан на базе статей 48, 47. ГрафВиландта соответствует матрице, указанной этим автором в 79. В этой работе» по-видимому, впервые появилась (без доказательства) теорема 2.9.1 вместо довольно грубой оценки Wn 2п2 — 2п, указанной Г. Фробе1и/сом. Излагаемое нами доказательство принадлежит И. Седлачеку 73. В 61 имеется ряд вариаций на эту тему.
М. Г. Крейн и М. А. Рутман 31 обобщили теорию Перрона — Фробениуса на операторы, неотрицательные относительно заданного конуса (в банаховом пространстве).
Теория конечных марковских цепей излагается практически во всех руководствах по теории вероятностей (см., например, 58) и в специальных монографиях (например, 53, 25). Однако простой подход, излагаемый в § 10, был предложен лишь недавно 42. Асимптотику In М (п) получил И. В. Островский (см. 36). Оценкам числа состояния конечного автомата, синтезируемого по заданному описанию функционирования, посвящены работы 36, 34, 19. Исходным пунктом для них явилась оценка Виландта. Теорема 2.10.4 связана с понятием энтропии топологической марковской цепи (см. 13).
В § 11 изложено содержание работы 44. Общий вид стохастических проекторов найден в 43 (ср. 65) в связи с одной проблемой математической генетики.
К главе 3. В § 1 использованы работы 3, 6. Заключительная часть параграфа является конечномерной адаптацией гельфандовской теории банаховых алгебр (см. 16, 54).
Характеризацию операторных норм как минимальных элементов в 9? (теорема 3.2.2) нашел Ю. И. Любич в работе 35, на основе которой написан § 2. В частности, в 35 впервые построен пример неоператорной кольцевой нормы, сохраняющей единицу (см. следствие 3.2.6). Несколько позже указанную характеризацию операторных норм получил Д. Стоер 77. Работа 35 явилась отправным пунктом исследований Г. Р. Белицкого 2—10. Работы 5, 4, 9 с некоторыми дополнениями изложены соответственно в § 3, 4, 5. Интерполяционная теорема 3.3.3 является конечномерным аналогом одного из централы штатов теории интерполяции линейных
Основы общей теории кросс-норм заложил Р. Шаттен 74. Ортогонально-инвариантные нормы изучал фон Нейман 69. Теорема 3.6.2 принадлежит Р. Шаттену 75.
К главе 4. В § 1 изложена работа 2. Основная теорема 4.4.1 об автоморфизмах структуры порядка на множестве кольцевых норм установлена в 7 (подробное изложение дано в 8).

литература

1. Ахиезер Я. Я. Лекции по теории аппроксимации.— М.: Наука, 1965.— 480 с.
2. Белицкий Г. Р. О цепях матричных норм.— Докл. АН СССР, 1963, 151 № 1, с. 9—10.
3. Белицкий Г. Р. О продолжении матричных норм.— Теория функций, функцион. анализ и их приложения, 1964, вып. 1, с. 88—92.
4. Белицкий Г. Р. О нормах матриц, являющихся максимумами систем операторных норм.— Успехи мат. наук, 1965, 20, № 5, с. 181—185.
5. Белицкий Г. Р. Об операторных минорантах матричной нормы.— Теория функций, функцион. анализ и их приложения, 1966, вып. 2, с. И— 20.
6. Белицкий Г. Р. О продолжении норм, заданных на подкольце матричного кольца.— Там же, вып. 3, с. 3—6.
7. Белицкий Г. Р. Об автоморфизмах структуры порядка на множестве матричных норм.— Докл. АН СССР, 1966, 166, № 3, с. 511—513.
8. Белицкий Г. Р. Описание автоморфизмов структуры порядка на множестве норм матриц.— Мат. сб., 1967, 73, № 4, с. 449—473.
9. Белицкий Г. Р. О нормах матриц.— Сиб. мат. журн., 1967, 8, № 5, с. 1035—1050.
10. Белицкий Г. Р. О некоторых классах матричных норм.— Там же, № 6, с. 1214—1221.
11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.— М. : Изд-во иностр. лит., 1954.— 215 с.
12. Берж К. Теория графов и ее применения.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962.—319 с.
13. Боуэн Р. Методы символической динамики.— М.: Мир, 1979.— 244 с.
14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М. : Наука, 1967.— 575 с.
15. Гелъфанд Я. М. Лекции по линейной алгебре.— М. : Наука, 1966.— 230 с.
16. Гельфанд Я. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца.— М. : Физматгиз, 1960.— 316 с.
17. Глазман И. М., Любич Ю. Я. Конечномерный линейный анализ.— М.: Наука, 1966.— 280 с.
18. Горин Е. А. Неравенства Бернштейна с точки зрения теории операторов.— Вестн. Харьк. ун-та. Прикл. математика и механика, 1980, вып. 45, с. 77—105.
19. Гринберг В. С. Некоторые новые оценки в теории конечных автоматов.— Докл. АН СССР, 1966, 166, № 5, с. 1066—1068.
20. Добрушин Р. Л. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова.— Теория вероятностей и ее применения, 1956, 1, № 1, с. 12—89.
21. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре.— М.: Наука, 1975.— 320 с.
22. Калюжный В. Я. Коммутативные группы изометрий пространства Мин-ковского.— Сиб. мат. журн., 1974, 15, № 5, с. 1138—1142,
23. Калюжный В. Н. Квазиконечные группы изометрий пространства Минковского.— Теория функций, функцион. анализ и их приложения, 1978, вып. 29, с. 41—49.
24. Кацнельсон В. Э. У консервативного оператора норма равна спектральному радиусу.— Мат. исслед., 1970, 5, № 3, с. 186—189.
25. Кемени Д., Снелл Д. Конечные цепи Маркова.—М. : Наука, 1970.— 272 с.
26. Киржнер В. М., Табачников М. И. О критических показателях норм в n-мерном пространстве.—Сиб. мат. журн., 1971, 12, № 3, с. 672— 675.
27. Корнфельд И. П., Синай #. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория.— М. : Наука, 1980.— 384 с.
28. Крапивин А. А., Любич Ю. И. Оценки липшицевых констант для полиномиальных операторов в симплексе.— Докл. АН СССР, 1977, 234, № 3, с. 528—531.
29. Крапивин А. А., Любич Ю. И. Оценки липшицевых констант для полиномиальных операторов в симплексе.—М., 1977.—39 с.—Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 1143-77 Деп.
30. Красносельский М. А Об одном спектральном свойстве линейных вполне непрерывных операторов в пространстве непрерывных функций.— Пробл. мат. анализа сложных систем, 1968, вып. 2, с. 68—71.
31. Крейн М. Г., Рутман М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха.— Успехи мат. наук, 1948, 3, № 1, с. 3—95.
32. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.— М. : Наука, 1967.— 464 с.
33. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.— М. : Наука, 1973.— 400 с.
34. Лившиц Э. М., Любич Ю. И. Оценки веса регулярного события над однобуквенным алфавитом.— Сиб. мат. журн., 1965,6, №1, с. 122—126.
35. Любич Ю. И. Об операторных нормах матриц.— Успехи мат. наук, 1963, 18, № 4, с. 162—164.
36. Любич Ю. И. Оценки для оптимальной детерминизации недетерминированных автономных автоматов.— Сиб. мат. журн., 1964, 5, №2, с. 337—355.
37. Любич Ю. И. Алгоритм для вычисления спектрального радиуса произвольной матрицы.— Укр. мат. журн., 1965, 17, № 3, с. 128—135.
38. Любич Ю. И. Консервативные операторы.— Успехи мат. наук, 1965, 20, № 5, с. 221—225.
39. Любич Ю. И. Обусловленность в общих вычислительных задачах.— Докл. АН СССР, 1966, 171, № 4, с. 791—793.
40. Любич Ю. И. Классическое и локальное преобразование Лапласа в абстрактной задаче Коши.— Успехи мат. наук, 1966, 21, № 3, с. 3—51.
41. Любич Ю. И. О граничном спектре сжатий в пространствах Минковского.— Сиб. мат. журн., 1970, 11, № 2, с. 358—369.
42. Любич Ю. И. Итерации квадратичных отображений.— В кн.: Математическая экономика и функциональный анализ.— М. : Наука, 1974, с. 100—138.
43. Любич Ю. И. Линейные бернштейновские популяции.— Теория функций, функцион. анализ и их приложения, 1975, вып. 22, с. 107—111.
44. Любич Ю. И. Общий вид неотрицательных проекторов в IRn.— Там же,1979, вып. 31, с. 84—86.
45. Любич Ю. И. Замечание об устойчивости комплексных динамических систем.— Изв. вузов. Математика, 1983, № 10, с. 49—50.
46. Любич Ю. И. Математические структуры в популяционной генетике.— Киев : Наук, думка, 1983.— 296 с.
47. Любин Ю. И., Табачников М. И. Об одной теореме Маржика — Пта-ка.—Сиб. мат. журн., 1969, 10, № 2, с. 470—473.
48. Любин Ю. И., Табачников М. И. Субгармонические функции на ориентированном графе.— Там же, № 3, с. 600—613.
49. Ортега Д., Рейнболдт Б. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.— М. : Мир, 1975. — 558 с.
50. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа.— М. : Наука, 1973.—. 4.1.391с.
51. Птак В. Об одной комбинаторной теореме и ее применении к неотрицательным матрицам.— Чехосл. мат. журн., 1958, 8, № 4, с. 487 —495.
52. Птак В., Седлачек И. Об индексе импримитивности неотрицательных матриц.— Там же, с. 496—501.
53. Романовский В. И. Дискретные цепи Маркова.— М.: Гостехиздат, 1953.— 321 с.
54. Рудин У. Функциональный анализ.— М. : Мир, 1975.— 443 с.
55. Табачников М. И. О теоремах единственности для бесконечных систем линейных уравнений.— Докл. АН СССР, 1973, 200, № 1, с. 40—43.
56. У лам С. Нерешенные математические задачи.— М. : Наука, 1964.— 168 с.
57. Фаддеев Д. К-, Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.— М. ; Л.: Физматгиз, 1963.— 734 с.
58. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : В 2-х т.— М. : Мир, 1964.—Т. 1. 498 с.
59. Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории.— М.: Изд-во иностр. лит., 1959.— 147 с.
60. Хилле д., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962.— 829 с.

Генрих Рувимович Белицкий Юрий Ильич Любич