Зенон Иванович Боревич
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ
*** 1970 ***
|
ФPAГMEHT КНИГИ (...) Рассчитана книга главным образом на лиц, начинающих изучение высшей алгебры и еще не владеющих абстрактными алгебраическими понятиями. В силу этого изложение материала проведено на конкретной основе и имеет целью подготовить читателя к естественному восприятию абстрактных понятий при изучении им линейной алгебры в дальнейшем. В частности, теория систем линейных уравнений изложена без привлечения понятия многомерного векторного пространства.
В книге приведен лишь самый необходимый минимум упражнений, которых начинающему читателю, конечно, недостаточно. Имеется в виду, что читатель использует соответствующие разделы многократно изданных и легко доступных задачников: Д. К. Фаддеев и И. С. Сомин-ский «Сборник задач по высшей алгебре» и И. В. Проскуряков «Сборник задач по линейной алгебре». Автор выражает глубокуюблагодарность и признательность члену-корреспонденту Академии наук СССР профессору Дмитрию Константиновичу Фаддееву, в постоянном общении с которым писалась эта книга. 3. Боревич ...Квадратная таблица п2 чисел, расположенных в п строчках и п столбцах, будет называться нами матрицей п-го порядка. Чтобы подметить общее правило составления определителей матриц п-го порядка, присмотримся внимательнее к определителям 2-го и 3-го порядков. Отвлекаясь пока от знака, поставим вопрос: чем характеризуются произведения, входящие в состав определителя? Прежде всего мы замечаем, что число сомножителей в каждом произведении равно порядку матрицы. Далее, если мы обратимся к какому-нибудь конкретному произведению, то увидим, что в нем сомножители взяты по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца. Так обстоит дело для определителей 2-го и 3-го порядков, и в этом мы убеждаемся, анализируя определения первого параграфа. Естественно предположить, что мы получим разумное определение определителя матриц п-го порядка, если в его основу положим эту подмеченную закономерность. Условимся сначала об одном весьма удобном способе обозначения элементов матрицы. Место каждого элемента в матрице вполне определяется указанием номера строчки и номера столбца, в которых находится наш элемент. Чтобы в обозначении элемента отразить его местонахождение в матрице, уславливаются все элементы матрицы обозначать одной буквой, но снабжать ее двумя индексами, из которых один обозначает номер строчки, а второй — номер столбца. Обычно эти индексы пишут справа внизу, причем сначала ставят номер строчки, а рядом — номер столбца. Например, Oj j (или Ом, читается: а — два-пять) есть элемент матрицы, расположенный во второй строчке и в пятом столбце; элемент aik расположен в г-й строчке и k-u. столбце. (Конечно, вместо а можно взять любую другую букву.) Воспользовавшись введенной системой обозначений, матрицу п-го порядка запишем теперь в виде Выясним, сколько можно составить различных произведений из элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца. Заметим, что под различными мы понимаем произведения, составленные разными способами, так что разные в нашем смысле произведения могут случайно оказаться равными по своим значениям. Пусть Р — некоторое такое произведение. Множитель из первой строчки, входящий в Р, имеет вид aw где а— номер столбца, т. е. 1 а п. Множитель из второй строчки имеет вид ar_, и т. д. Наконец, множитель из п-й строчки имеет вид аПт, 1 ш п. С другой стороны, все сомножители в этом произведении взяты по одному из каждого столбца, а значит, все вторые индексы а, 3,..., ш различны (если бы, например, а=3, то это означало бы, что а,и а2(3 принадлежат одному столбцу). Но в таком случае они образуют перестановку (ар ... ш) из чисел 1, 2,...,«. С произведением Р связывается, таким образом, некоторая вполне определенная перестановка: (ар ... ш). Наоборот, если взять какую-нибудь произвольную перестановку (ар ... w) из чисел 1, 2,..., п и по ней составить произведение (2)-, то это произведение, очевидно, будет иметь множители по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца. Из этих рас-суждений следует, что число интересующих нас произведений, из которых будет строиться определитель матрицы (1), равно числу всех перестановок из чисел 1, 2,..., п, т. е. равно п\. Дадим теперь следующее предварительное определение. Определение. Определителем матрицы А п-го порядка называется сумма всех п\ произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца-, при этом каждое произведение снабжено знаком плюс или минус по некоторому правилу. Предполагая, что А есть матрица 4-го порядка, рассмотрим несколько примеров. 1. Произведения аиа&аи и апа.пааа не входят в определитель матрицы А, так как число сомножителей в них не равно порядку матрицы. 2. Произведение ацапашаи также не входит в определитель, так как два сомножителя, ап и а., принадлежат одному и тому же (второму) столбцу. 3. Произведения аиОффц и ОзЛзйцЯза содержат множители по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца — следовательно, они входят в состав определителя. Чтобы приведенное выше определение сделать полным, надо еще сформулировать правило для знака, с которым берется то или иное произведение. Рассмотрим опять определители 2-го и 3-го порядков, применив новую систему обозначений элементов с помощью двойных индексов Во всех произведениях мы выписали сомножители в порядке следования строчек (первые индексы расположены в натуральном порядке). Присмотримся к перестановкам, которые образуют номера столбцов в этих произведениях. В определителе 2-го порядка в первом произведении (которое берется со знаком плюс) номера столбцов образуют натуральное расположение, во втором же произведении (которое берется со знаком минус) они образуют перестановку (21), в которой расположение номеров 1 и 2 противоположно их натуральному расположению. В определителе 3-го порядка номера столбцов в произведениях, которые берутся со знаком плюс, образуют перестановки а в трех остальных произведениях — перестановки В пяти перестановках (3) и (4) (кроме первой) взаимное расположение некоторых пар номеров противоположно их расположению в перестановке (1 2 3). Такое явление называют инверсией (или беспорядком). Определение. Пусть имеется перестановка (я j3...u) чисел 1, 2, ..., п. Мы говорим, что два числа, входящих в эту перестановку, образуют инверсию, если большее число из нашей пары предшествует В первой сумме Р пробегает все п произведений элементов матрицы Л, взятых по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца. Во второй сумме суммирование ведется по всем л перестановкам (а 3 ...to) из чисел 1, 2, ..., л. В обоих случаях знак перед каждым произведением определяется согласно сформулированному выше правилу. Вычисление определителя матрицы л-го порядка, основанное на одном лишь определении, представляет собой весьма трудоемкий процесс, так как число слагаемых, из которых составляется определитель, очень быстро растет с увеличением п (для определителя 4-го порядка имеем 24 слагаемых, для 5-го порядка — 120 слагаемых и т. д.). В дальнейшем нами будут указаны быстро приводящие к цели методы для вычисления определителей, основанные на свойствах последних. Однако в некоторых простейших случаях можно все же найти значение определителя, пользуясь только определением. Пусть, например, какая-нибудь строчка матрицы (или столбец) состоит сплошь из пулей. Так как в любое произведение, входящее в состав определителя, входит сомножитель из каждой строчки, в том числе и из строчки, состоящей из нулей, то все эти произведения будут равны нулю, а значит, их сумма также равна нулю. Таким образом, если все элементы какой-нибудь строчки (или столбца) матрицы п-го порядка равны нулю, то ее определитель равен нулю. Отметим еще один важный частный случай. Пусть в матрице А (см. (1)) все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, т. е. пусть Дга = 0, если только a i. В этом случае те произведения (входящие в состав определителя | А |), которые содержат в качестве сомножителей хоть один элемент, расположенный выше главной диагонали, будут равны нулю. Выкинем все эти заведомо равные нулю произведения, содержащие множители В формулировке правила для знака, с которым то или иное произведение входит в состав определителя п-го порядка, существенную роль играет понятие перестановки. Естественно поэтому, что при доказательстве свойств определителей нам придется использовать некоторые сведения из теории перестановок. Изложению этих сведений мы и посвятим настоящий параграф. Напомним, что перестановкой из п предметов (не обязательно чисел) называется расположение этих предметов в некотором определенном порядке. Если мы переставляемые предметы занумеруем натуральными числами 1, 2, ..., л (т. е. к каждому предмету привяжем номер), то произвольная перестановка предметов будет однозначно определяться перестановкой их номеров. (Например, для перестановки (Х3Х1Х4Х2) предметов Хь X, Х3, Х4 соответствующей перестановкой номеров будет (3 1 4 2).) В силу этого мы можем ограничиться рассмотрением перестановок чисел 1, 2 п. Пусть дана произвольная перестановка (а ... ш) чисел 1, 2, , п. Если мы в этой перестановке поменяем местами два числа, то в результате получим новую перестановку тех же чисел. Например, после перемены местами чисел 4 и 5 в перестановке (2 5 3 4 1) мы получим перестановку (2 4 3 5 1). |
