DjVu

      Основное значение золотого сечения, его построение и исключительные свойства. Прогрессия золотого сечения. Золотое сечение высших порядков. Пропорциональный масштаб прогрессии золотого сечения. Пропорциональное деление линейное. Пропорциональное согласование прямоугольников. Пропорциональный масштаб прогрессии золотого сечения площадей. Пропорциональное согласование треугольников, кругов и спиралей. Пропорциональное согласование объемов куба, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара.
      Архитектурное сооружение только тогда представляет собой художественное произведение, когда оно является образным познанием действительности, когда его форма и идея отображают определенный социальный и культурный уровень страны и в то же время представляют собой единое сочетание, с учетом наибольшей их целесообразности, простоты и правдивости, а также с учетом требований конструкции и материалов.
      Одним из условий и средств художественности архитектурных сооружений является впечатление гармоничности и пропорциональности, которое должно отражаться в архитектурном памятнике и которое достигается правильным (нормированным) соотношением отдельных частей целого, между собой и к этому последнему в пределах стиля и общей идеи композиции.
      Установление правильных, созвучных отношений или пропорциональности между частями какого-нибудь целого заключается в том, чтобы определить, какое деление целого на большую и меньшую часть допустимо, какое деление целого дает такое отношение его частей между собой, при котором большая не казалась бы слишком большой, а меньшая чрезмерно малой, т. е. такое деление, при котором пропорциональное отношение между ними не было нарушено.
      Для этого необходимо знать закон, определяющий взаимно пропорциональное отношение двух неравных составных частей целого, неравенство которых уравновешивается однородным отношением их между собой и с целым.
      Исходя из того положения, что пропорциональность есть отношение двух неравных составных частей целого между собой и к этому последнему в наиболее совершенном их сочетании, закон пропорциональности может быть сформулирован следующим образом:
      Деление целого на неравные части в том случае пропорционально, когда отношение неравных частей целого между собой то же, что и отношение их к целому или когда оно составляет закономерное производное этих отношений.
      Математически формулировка этого тезиса в первой своей части следующая:
      Деление целого на неравные части пропорционально, когда меньшая часть целого так относится к большей, как эта последняя к целому и обратно — целое при пропорциональном его делении должно находиться в том же отношении к большей своей части, как большая к меньшей.
      Этому заданию удовлетворяют только два решения:
      1. Деление целого на такие две неравные части, из которых большая так относится к целому, как меньшая к большей.
      2. Деление целого на такие две неравные части, из которых больший отрезок настолько меньше целого, насколько меньший отрезок меньше большего.
      Обратимся к разбору каждого из этих двух, удовлетворяющих основному требованию пропорционального деления целого, решений.
      § 8. Закон золотого сечения
      Деление целого на такие две неравные части, из которых большая так относится к целому, как меньшая к большей, получается решением задачи, известной в математике под названием золотого сечения или деления данного отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, т. е. деление его на такие две части, чтобы большая из них была среднею пропорциональною между всем отрезком и меньшей его частью.
      Алгебраическое решение золотого сечения. Алгебраически задача решается следующим образом (таблица II, фигура 1).
      Если данный отрезок прямой АВ обозначим а, а большую его часть АО — х, то меньшая ВО составит а — л; и, согласно требованию задачи, мы будем иметь пропорцию (...)
     
      Таким образом деление по золотому сечению, один раз проделанное над основным целым, может быть продолжено до бесконечности, давая золотое сечение высших порядков — непрерывный ряд пропорций по золотому сечению, путем простого откладывания соответственно каждый раз минор на соответствующий майор.
      Точно так же, желая к первоначальному целому, деленному по золотому сечению, прибавить часть, которая находилась бы к нему в том же пропорциональном отношении, остается только отложить на продолжении целого его майор AG до точки К, причем полученный отрезок АК будет минор вновь полученного целого АВ-\-АК ВК, майор которого будет первоначальное целое АВ (таблица II, фигура 3).
      Таким путем достигается пропорциональная связь не только примитивных делений целого по золотому сечению, но более сложные сочетания пропорциональных между собой отношений целого и ряда отдельных его частей — золотое сечение, производное высших порядков.
      Постепенное деление целого по золотому сечению дает прогрессию со знаменателем 0,618 . . . Постепенное деление целого по золотому сечению путем непрерывного откладывания минор на соответствующий майор дает геометрически убывающую прогрессию со знаменателем (...)
      Из разбора разных случаев деления отрезка на две части следует, что наименьшее количество различных отношений между отрезками получается при делении пополам и при делении по золотому сечению. (...)
      Наименьшее число разных отношений получается при примитивном делении на равные части, не решающем пропорционального деления, но дающем примитивно-ритмическое решение деления целого, как то: в колоннадах, аркадах, расстояниях ряда оконных проемов и т. д.
      Из делений на неравные части, самую большую и весьма резкую экономию разных отношений, доходящую до 90 и более процентов против деления на отрезки произвольных размеров, дает пропорциональное деление по золотому сечению.
      Отсюда и следует указанное выше свойство золотого сечения, заключающееся в том, что при пропорциональном делении на неравные части, при делении его по золотому сечению получается наименьшее возможное число равных отношений между этими частями и целым, что и дает наилегчайшее восприятие этих отношений.
      § 10. Итоги исключительных свойств золотого сечения
      Резюмируем вкратце все перечисленные выше выдающиеся свойства золотого сечения, выделяющие его из числа всех других возможных делений и ставящие его в этом отношении на первое место:
      1. Одно золотое сечение решает полностью задачу пропорционального деления целого на неравные части, заключающегося в достижении гармоничного между ними и с целым отношения путем деления целого на такие две неравные части, из которых меньшая часть так относилась бы к большей как эта последняя к целому, и обратно — целое к большей своей части как большая к меньшей.
      2. Одно золотое сечение из всех возможных делений целого дает постоянное отношение между целым и его частями; только в нем от основной величины, — от целого находятся в полной зависимости оба предыдущих члена, причем отношение их между собою и с целым не случайное, а постоянное отношение равное — 0,618... при всяком значении целого.
      3. При делении целого золотым сечением на майор и минор, этот последний в свою очередь является большим отрезком вновь разделенного по золотому сечению первичного майор.
      4. Деление по золотому сечению, один раз проделанное над основным целым, может быть продолжено путем откладывания каждый раз минор на майор и дает при этом непрерывный ряд золотых сечений производного порядка. Отношение же целого к любому члену производного его деления по золотому сечению равно соответствующей степени его майор.
      5. Следствием п. 4 является дополнительное свойство золотого сечения, по которому постепенное деление целого по золотому сечению (высших порядков) дает геометрически убывающую прогрессию со знаменателем 0,618... и каждый член этой прогрессии находится в отношении золотого сечения к его предыдущему и к его последующему члену.
      6. Майор основного отрезка есть минор нового целого, состоящего из первоначального целого, сложенного с его майор.
      7. На основании п. 5, прибавляя непрерывно к целому соответствующий ему майор, получаем геометрически возрастающую прогрессию с знаменателем 1,618...
      8. Сумма двух последовательных членов прогрессии золотого сечения равна предыдущему члену.
      9. Разница двух последовательных членов прогрессии золотого сечения равна последующему члену.
      10. Все перестановки отдельных членов, которые допускаются для всякой непрерывной геометрической пропорции, допустимы и для деления по золотому сечению.
      11. Каждые три непосредственно расположенные друг за другом отрезка относятся между собой как майор к минор.
      12. Деление по золотому сечению как первичное, так и высших порядков дает наименьшее возможное число разных отношений между отрезками целого, деленного на неравные части, и дает наилегчайшее восприятие этих отношений.
      13. Постоянное отношение деления по золотому сечению 0,618..., выраженное со сравнительно незначительной погрешностью в приближенных целых малых числах 8:5; 5:3; 3:2 отвечает численным величинам консонантных интервалов октавы — уменьшенной сексты, сексты и квинты.
      Деление целого на 8 и 5 частей дает отношение большего отрезка к целому, т. е. 8:13 0,6154.
      Деление целого на 5 и 3 части дает отношение большего отрезка к целому (т. е. 5:8) 0,625.
      Деление целого на 3 и 2 отрезка дает отношение большего отрезка к целому — 0,6.
      14. Производное деление целого по золотому сечению. Золотое сечение высших порядков дает приближенное значение остальных консонантных звуков октавы (см. далее таблицу деления прямой по золотому сечению и по отношениям, отвечающим интервалам октавы).
      Значение среднеарифметического пропорционального деления целого. Как выше было указано, основному тезису пропорционального деления целого, кроме золотого сечения, отвечает деление его на две неравные части, из которых больший отрезок настолько меньше целого, насколько меньший отрезок меньше большего.
      Это деление сводится к определению среднеарифметической пропорциональной между целым и меньшим отрезком.
      Алгебраически задача решается так: если данный отрезок обозначим а и большую часть х, то меньшая выразится а — х и, согласно заданию, мы имеем пропорцию: (...)
      выражению удовлетворяет единственное решение: целое 3, больший отрезок 2 и меньший 1, т. е. Ъа 2а-\- а, откуда 3 — 2 2 — 1.
      Таким образом как среднегеометрическое, так и среднеарифметическое деление дают два един-
      ственных случая деления целого на части, пропорциональные между собой и с целым и в смысле этой исключительной согласованности оба решения одинаково равноценны. Однако в то время, как в первом из них дальнейшее деление целого на более мелкие пропорциональные между собой и с целым части может быть продолжено простым откладыванием постепенно минор на соответствующий ему майор, создавая этим систему пропорциональной связи между делениями целого „высших порядков", по золотому сечению, схема деления по среднеарифметической пропорциональной обрывается на первом же делении целого. Вместе с тем среднеарифметическое пропорциональное деление значительно уступает золотому сечению в легкости восприятия отношений отрезков деленного целого.
      В общем итоге приходится признать исключительно выдающееся свойство золотого сечения, которое не достигается ни среднеарифметическими пропорциональными, ни тем более другими делениями целого.
     
      § 11. Пропорциональный масштаб золотого сечения
      Графически для деления целого на пропорциональные части, отвечающие последовательному делению его по золотому сечению, может служить пропорциональный масштаб. Для этой цели отрезок АВ известным построением разделен на майор и на минор (таблица II, фигура 4). Далее на том же отрезке АВ от точки Л до Я откладываем минор этого отрезка, равный ОВ и продолжаем таким же путем постепенно откладывать последовательно меньшие отрезки или минор на соответствующие им большие отрезки. АН — составляющий минор АВ и следовательно равный ВО откладываем на AG от точки А. (...)
      Все точки на отрезке АВ, а именно: А, В, G, Н, I, К и т. д., полученные указанными выше делениями, соединяем прямыми с произвольно выбранной точкой Е на прямой ЕАи перпендикулярной к АВ, и продолжаем их до пересечения с прямой AtBv В таком случае всякий перпендикуляр, восстановленный из любой точки, лежащей на прямой ЕА, и доведенный до пересечения с прямой ЕВ, в свою очередь делится на пропорциональные части, подобные делению прямой АВ, т. е. на части, отвечающие отношениям: М1, М2, М3, М4, Мъ и т. д. основного целого и этим путем получается пропорциональный масштаб для деления по схеме золотого сечения всех прямых, равных этим перпендикулярам, т. е. прямых, не превышающих своим размером отрезка А^. Наличие такого масштаба значительно облегчает практическую работу по установлению правильности принятых отношений проверяемого архитектурного целого.
      Установленные пропорциональным масштабом данные, ввиду возможных неточностей чертежа, следует вслед затем проверять арифметически путем умножения основного исходного размера на соответствующую численную величину, отвечающую установленному по пропорциональному масштабу члену прогрессии золотого сечения.
      В приведенной ниже таблице показаны численные величины, отвечающие отношениям отдельных членов геометрической убывающей и возрастающей прогрессии к основной исходной единице.
      Таблица численных величин, отвечающих членам геометрической прогрессии золотого сечения
      1. Численные величины убывающей прогрессии с знаменателем М1, с точностью до 10 и трех знаков, т. е. с точностью до 0,00С0000001 и до 0,001. Последняя в большинстве случаев дает практически достаточно точные решения. (...)
      Статуя Дорифора. Примером пропорционального по золотому сечению деления в таблице III (фигура 6) приведены основные пропорциональные отношения общепризнанной знаменитой статуи Дорифора Поликлета, установившего на ней, по преданию, первый греческий канон человеческой фигуры по греческой схеме пропорциональности, основанной на других принципах, не на схеме золотого сечения; тем не менее, интуитивно достигнутая связь с золотым сечением несомненна. В самом деле: а) первый раздел целой фигуры или полной ее высоты М° на майор и минор на М1 и М2 проходит через пупок, отвечающий в костяке человека разделу поддерживающих и поддерживаемых его частей; б) второй раздел верхней поддерживаемой части туловища и головы проходит через шею, естественное деление этих последних, и т. д. (таблица I, фигура 5). Подробно деление по золотому сечению на ряде греческих статуй развито Цейзингом, в упомянутом выше его труде.
      Параллельно с приведенным делением по золотому сечению намечено деление этой же статуи на 8 равных частей, по всему вероятию отвечающим греческому канону, на который и указывает Витрувий.
      На этом же чертеже, на фоне фигуры Дорифора показан фасад дворца Пикколомини в Сиене Бернарда Росселини, основные членения которого в значительной степени соответствуют вышеуказанным членениям как человеческой фигуры, так и делениям по золотому сечению.
      Пример соответствия с золотым сечением правильного десятиугольника и пятиугольника. В качестве другого интересного примера линейного деления по золотому сечению приведена геометрическая фигура — правильный вписанный в круг десятиугольник и правильный звездчатый десятиугольник (таблица III, фигура 7).
      Сторона вписанного правильного десятиугольника составляет майор — больший отрезок радиуса круга; сторона правильного звездчатого десятиугольника минор — меньший его отрезок, а десять прямых, образующих вписанный правильный звездчатый десятиугольник, дают в своих пересечениях ряды пропорциональных делений по золотому сечению.
      Так, любая из них, например АВ в точках пересечения D и Е разделена по золотому сечению на: (...)
      Полученный во внутренних пересечениях прямых, образующих звездчатый десятиугольник, новый десятиугольник со стороной DE, равной меньшему отрезку — минор радиуса М2, в своих вершинах D, Е и т. д. делит радиус круга по золотому сечению на больший и меньший отрезок, а вписанный в него вновь правильный звездчатый десятиугольник дает в свою очередь такие же пропорциональные деления в пересечениях образующих его прямых, как и первый, вписанный в основной круг десятиугольник, причем сторона его будет равной Мг и т. д.
      Такая же непрерывная связь пропорциональных отношений по золотому сечению получается во всех пересечениях, образующих правильный звездчатый пятиугольник, в пентаграмме. В ней стороны правильного пятиугольника составляют майор, а стороны звездчатого пятиугольника минор образующих звездчатый пятиугольник прямых.
      Пример пропорционального деления базы колонны римско-коринфского ордера. Наконец третьим примером линейного деления приведено деление по вертикали римско-коринфской базы с показанием постепенного деления ее высоты по золотому сечению — сперва на основные, а затем и на второстепенные части (таблица III, фшура 8). Пропорциональное согласование площадей прямоугольников
      Разбор в предыдущем изложении вопроса решения деления прямой по пропорциональной схеме золотого сечения, олнако не разрешает еще полностью установления пропорциональности архитектурного целого. В архитектурном памятнике мы имеем дело столько же с делением прямой на пропорциональные части по вертикали и по горизонтали, сколько с взаимоотношениями площадей и объемов.
      Для удовлетворения изложенных при разборе пропорционального деления прямой условий для получения наиболее совершенного сочетания двух площадей между собой, для деления площади на такие неравные площади, чтобы их отношение между собой было то же, что и отношение их к целому, необходимо решить задачу деления основной площади на две неравные площади, из
      которых большая во столько раз менее основной площади, во сколько меньшая менее большей.
      Математическое решение этой задачи находится в зависимости от самой конфигурации площади, которая в архитектурном памятнике чаще всего представляет собой прямоугольник.
      Пропорциональное согласование прямоугольника и квадрата. Для прямоугольников задача решается следующим образом. Задавшись сторонами основного прямоугольника а и Ь, определяем стороны искомого прямоугольника х и у из формулы: (...)
      Разобранные здесь случаи согласования архитектурного целого, состоящего из суммы составных частей, представляют собой лишь единичные примеры неограниченного количества возможных в этом направлении комбинаций.