Исидор Аронович Гибш
Алгебра
Пособие для учителей 9-11 классов
*** 1960 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 4 Глава I. Извлечение квадратного корня из чисел. Иррациональные числа § 1. Квадратный корень из числа — точный и приближенный с точностью до 1 1. Квадрат целого числа 2. Квадратный корень из числа 3. Приближенный квадратный корень с точностью до 1 4. Извлечение квадратного корня из целых чисел с помощью вычисления 5. Вывод правила (алгорифма) извлечения квадратного корня из целых чисел 6. Расположение вычислений 12 7. Другие примеры 13 8. Правило (алгорифм) извлечения квадратного корня из целого числа 15 9. Число цифр корня 16 10. Нахождение приближенного квадратного корня с недостатком с точностью до 1 из дробных чисел § 2. Приближенные квадратные корни с точностью до 1/n 1. Повышение степени точности — 2. Общий способ нахождения приближенных квадратных корней с точностью до 1/n 3. Нахождение приближенных квадратных корней из десятичных дробей с точностью до данного десятичного знака 19 4. Влияние на корень перенесения запятой в подкоренном числе 20 5. График зависимости у = Vх 6. Извлечение квадратного корня из чисел с помощью таблиц 24 § 3. Иррациональные числа 27 1. Двойные последовательности чисел 2. Понятие об иррациональном числе 38 3. Геометрическое изображение вещественного числа 41 4. Сравнение вещественных чисел 42 5. Действия над вещественными числами 43 Глава II. Степени и корни. Рациональные показатели степени § 1. Степени с целыми положительными показателями 50 1. Определение степени 2. Знак степени — 3. Основные свойства степени 50 4. Квадрат многочлена 51 5. Изменение степени 55 6. Графики зависимостей у=х2 и у=х3 для положительных значений основания х 56 7. Таблицы квадратов и кубов чисел 58 8. Нахождение промежуточных значений степеней х2 и х3 9. Графики зависимостей у=х2 и у=х3 § 2. Степени с нулевыми и отрицательными показателями 63 1. Общее понятие — 2. Действия над степенями с нулевым и отрицательными показателями 64 3. График зависимости у = х—1 65 4. Г рафик зависимости у = х—2 67 5. Таблица чисел, обратных данным числам 69 § 3. Корень n-й степени 71 1. Определение корня — 2. Арифметический корень n-й степени 72 3. Свойства арифметического корня 74 4. Алгебраический корень n-й степени 77 5. Вынесение множителя за знак корня и введение множителя под знак корня 79 6. Степень с дробным показателем 80 7. Основное свойство степени с дробным показателем 81 8. Действия над степенями с дробными показателями 82 9. Стецень с отрицательным дробным показателем 83 10. Действия над степенями с положительными и отрицательными дробными показателями 11. Изменение степени с дробным показателем 85 12. График зависимости у = m/xn § 4. Действия над радикалами 91 1. Общее понятие — 2. Приведение радикала к нормальному виду — 3. Приведение радикалов к общему показателю 92 4. Подобные радикалы — 5. Сложение и вычитание радикалов 93 6. Умножение радикалов 95 7. Деление радикалов 96 8. Возведение радикалов в степень 97 9. Извлечение корня из радикала — 10. Освобождение числителя или знаменателя дроби от радикалов 98 Глава III. Уравнения второй степени § 1. Решение уравнения второй степени 104 1. Общее понятие — 2. Формула для решения уравнения второй степени 3. Частный случай 109 4. Неполные уравнения второй степени 110 § 2. Соотношения между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами 116 1. Общий случай — 2. Частный случай 118 3. Приложения теорем 1 и 2 119 § 3. Трехчлен второй степени 138 1. Общее понятие — 2. Связь трехчлена второй степени с уравнением второй степени 3. Разложение трехчлена второй степени на множители 139 4. График зависимости у = х2 + рх + q 5. График зависимости у = ах2 + bx + c 6. Ход изменения параболы 151 § 4. Иррациональные уравнения 158 1. Общее понятие — 2. Постановка вопроса 3. Область допустимых значений неизвестной иррационального уравнения 159 4. Теорема о возведении обеих частей уравнения в квадрат 160 5. Решение иррациональных уравнений, содержащих один радикал второй степени 162 6. Решение и исследование параметрических (буквенных) иррациональных уравнений 166 7. Иррациональные уравнения, содержащие два радикала второй степени 8. Графическое решение и исследование иррациональных уравнений 168 9. Решение иррациональных уравнений способом введения вспомогательных неизвестных 172 10. Решение иррациональных уравнений комбинированием способов 173 11. Более сложные примеры 175 12. Иррациональные уравнения, содержащие радикалы третьей степени 177 § 5. Биквадратные уравнения 179 1. Общее понятие — 2. Решение биквадратного уравнения 180 3. Свойства корней биквадратного уравнения 182 4. Разложение биквадратного трехчлена на линейные множители 183 5. График зависимости у=х4 + px2 + q 6. Общий случай 186 7. Примеры 188 Глава IV. Функции и графики § 1. Функциональная зависимость 194 1. Понятие о функции — 2. Способы задания функции 195 § 2. Прямоугольная система координат 198 § 3. Геометрическое изображение функций 200 1. Прямая задача 2. Обратная задача 201 § 4. Прямая пропорциональная зависимость 203 1. Общее понятие — 2. График прямой пропорциональной зависимости 204 § 5. Линейная функция 208 1. Общее понятие — 2. График линейной функции — § 6. Квадратичная функция 213 1. Определение — 2. Ход изменения квадратичной функции 3. Скорость изменения квадратичной функции 219 4. Касательная к параболе 222 5. Графическое решение уравнений второй степени 223 § 7. Обратная пропорциональная зависимость 227 1. Общее понятие — 2. График функции у = a/x при а>0 3. График функции у = a/x при а<0 § 8. Дробная линейная функция 234 1. Определение — 2. Частные случаи — § 9. Степенная функция 238 Глава V. Системы уравнений второй степени § 1. Общее понятие 241 § 2. Система двух уравнений с двумя неизвестными 242 § 3. Система уравнений, содержащая одно уравнение второй степени и одно уравнение первой степени 246 § 4. Система уравнений, содержащая два уравнения второй степени 247 § 5. Системы уравнений, решаемые особыми приемами 249 1. Элементарные системы — 2. Графическое решение систем уразнений 259 Глава VI. Числовые последовательности § 1. Понятие о числовой последовательности 270 1. Определение последовательности — 2. Задание последовательности с помощью формулы 271 3. Общий член последовательности 272 4. Другие способы задания последовательности — § 2. Геометрическое представление последовательности 273 § 3. Виды последовательностей 276 1. Возрастающие и убывающие последовательности — 2. Последовательности, ограниченные сверху или снизу , 279 3. Ограниченные последовательности 281 § 4. Последовательности, имеющие предел 282 1. Равносильность двух соотношений 2. Понятие о пределе последовательности 283 § 5. Неограниченно возрастающие и неограниченно убывающие последовательности 288 Глава VII. Переменные и их пределы § 1. Переменная, областью изменения которой служит последовательность 292 1. Переменная хn 2. Виды переменных, областью изменения которых служат последовательности 296 3. Свойства переменных, областью изменения которых служат последовательности 297 4. Теоремы о бесконечно малых переменных 298 5. Теоремы о пределах переменных 304 6. Переменная аn 309 7. Переменная а 1/n 311 § 2. Непрерывно изменяющиеся переменные 313 1. Понятие о непрерывно изменяющейся переменной 2. Область изменения 315 3. Понятие о пределе непрерывно изменяющейся переменной 316 4. Теоремы о пределах непрерывно изменяющихся переменных 319 Глава VIII. Прогрессии § 1. Арифметическая прогрессия 322 1. Определение — 2. Формула для п-го члена арифметической прогрессии 323 3. Формула для суммы п последовательных членов арифметической прогрессии 328 4. Типы задач на арифметическую прогрессию 330 § 2. Геометрическая прогрессия 334 1. Определение — 2. Формула для n-го члена геометрической прогрессии. 336 3. Формула для суммы п последовательных членов геометрической прогрессии 340 4. Типы задач на геометрическую прогрессию 341 5. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 345 6. Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную 348 Глава IX. Показательная и логарифмическая функция § 1. Общие свойства степени 351 1. Понятие о степени с рациональным показателем 2. Свойства степени с рациональным показателем 3. Понятие о степени с иррациональным показателем 355 § 2. Показательная фунрцдя 357 1. Понятие о показательной функции 2. Свойства показательной функции 3. График показательной функции 362 § 3. Общие свойства логарифма 365 1. Понятие о логарифме — 2. Свойства логарифма при любом основании 367 § 4. Логарифмическая функция 369 1. Определение — 2. Свойства логарифмической функции — 3. График логарифмической функции 372 4. Связь между показательной и логарифмической функциями — § 5. Логарифмирование и потенцирование выражений 376 1. Логарифм произведения, частного, степени и корня 2. Логарифмирование выражений 378 3. Потенцирование выртжений 379 § 6. Десятичные логарифмы 380 1. Понятие р десятичном логарифме — 2. Десятичное логарифмы чисел вида 10n 382 3. Иррадирнальные логарифмы целых чисел 4. Иррадирнальные логарифмы десятичных дробей 384 5. Характеристика и мантисса 6. Десятичные логарифмы неправильных десятичных дробей 385 7. Десятичные логарифмы правильных десятичных дробей 8. Логарифмы, отличающиеся только характеристикой 386 § 7. Таблицы десятичных логарифмов 387 1 Виды таблиц — 2 Устройство и употребление таблиц I и II 3. Действия над логарифмами 389 4. Устройство и употребление пятизначных таблиц логарифмов 392 5. Интерполирование 395 Глава X. Функции и их исследование Обзор изученных функций и их графиков § 1. Общие сведения о функциях 402 1. Понятие о функции — 2. Общее обозначение функциональной зависимости 3. Область определения функции 404 4. Четные и нечетные функции 406 5. Периодические функции 40Э 6. Возрастающие и убывающие (монотоннее) функции 412 § 2. Свойства отдельных классов функций 416 1. Целая рациональная функция — 2. Дробная рациональная функция 417 3. Степенная функция с рациональным показателем 418 4. Трансцендентные функции 419 § 3. Элементарное исследование функций 419 1. Порядок исследования функций — 2. Нахождение промежутков, в которых функция сохраняет определенный знак 3. Нахождение области изменения функции 423 § 4. Понятие о пределе функции 430 1. Определение понятия — 2. Теоремы о пределах функций 433 3. Предел функции на бесконечности 435 4. Неограниченно возрастающие и неограниченно убывающие функции 437 5. Односторонние пределы 443 Производная функция § 5. Две основные задачи 447 1. Задача о вычислении скорости движущейся точки — 2. Задача о проведении касательной к кривой 454 3. Геометрический смысл понятия скорости 461 § 6. Задача о вычислении ускорения движущейся точки 463 1. Среднее ускорение при прямолинейном движении 2. Геометрический смысл понятия о среднем ускорении 465 3. Ускорение в данный момент 466 4. Геометрический смысл понятия об ускорении в данный момент — § 7. Нахождение производных от некоторых функций 467 1. Понятие о производной функции — 2. Производная постоянной 469 3. Производная линейной функции 471 4. Производная трехчлена второй степени 472 5. Производная дробной линейной функции 474 6. Производная функции 7. Производная функции § 8. Нахождение производных суммы, произведения н частного двух функций 479 1. Производная суммы функций — 2. Производная произведения функций 480 3. Производная степени 482 4. Производная целой рациональной функции 483 5. Производная частного двух функций 484 § 9. Производные тригонометрических функций 487 1. Предел отношения 2. Производные функций sin х и cos х 490 3. Производные функций sin mх и cos mх 491 4. Производные функций sin (mх + n) и cos (mx + n) 492 § 10. Возрастание и убывание функций 495 1. Геометрические признаки 496 2. Аналитические признаки 497 § 11. Максимумы и минимумы функций 501 1. Общее понятие — 2. Признаки существования максимума или минимума 502 § 12. Порядох исследования хода изменения функций 507 1. Общие указания и примеры — 2. Задачи на нахождение максимума или минимума функций 523 Глава XI. Комплексные числа § 1. Расширение области действительных чисел 535 1. Понятие о числовом поле 2. Цель введения комплексных чисел 538 § 2. Введение комплексных чисел 539 1. Определение комплексного числа 2. Равенство комплексных чисел 542 3. Другой способ изображения комплексного числа 4. Нахождение комплексного числа по его модулю и аргументу и обратная задача 544 5. Сопряженные комплексные числа 547 § 3. Сложение и умножение комплексных чисел 548 1. Сложение комплексных чисел 2. Умножение комплексных чисел 550 § 4. Мнимая единица 554 1. Определение мнимой единицы — 2. Другая форма комплексного числа § 5. Вычитание и деление комплексных чисел 555 1. Вычитание комплексных чисел 2. Противоположные комплексные числа 3. Дзление комплексных чисел 553 4. Основное свойство частного (дроби). Практический прием деления 559 5. Построение частного 560 § 6. Действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме 563 1. Тригонометрическая форма комплексного числа 2. Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме 564 3. Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме 565 4. Возведение комплексного числа в степень 566 5. Приложение формулы Муавра 567 6. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа 568 7. Решение квадратного уравнения, имеющего отрицательный дискриминант 569 Глава XII. Неравенства § 1. Арифметические неравенства 572 1. Основные понятия и теоремы 2. Неравенства, вытекающие из одного данного неравенства 575 3. Неравенства, вытекающие из двух данных неравенств , 577 § 2. Алгебраические неравенства 582 1. Тождественные неравенства 2. Доказательство тождественных неравенств 3. Определение условных неравенств 587 4. Равносильные условные неравенства 588 5. Неравенства первой степени с одной неизвестной 592 6. Системы двух неравенств первой степени с одной неизвестной 593 7. Неравенства, приводящиеся к неравенствам первой степени с одной неизвестной 604 Глава XIII. Исследование уравнений и систем уравнений § 1. Уравнения и системы уравнений первой степени 1. Смысл исследования уравнений 2. Исследование уравнений первой степени с одной неизвестной § 2. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 610 1. Понятие о системе уравнений 2. Решение системы двух уравнений — 3. Равносильность систем уравнений 611 4. Понятие о выводном уравнении — 5. Свойство выводного уравнения 612 6. Выводная система уравнений — 7. Способ уравнивания коэффициентов — 8. Способ подстановки 616 9. Неопределенная и противоречивая система 10. Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными 619 § 3. Исследование трехчлена второй степени 624 1. Знак трехчлена второй степени — 2. Геометрические соображения 637 § 4. Неравенства второй степени 640 1. Определение неравенства второй степени 2. Решение неравенств второй степени 641 § 5. Исследование уравнений и задач второй степени 646 1. Исследование числовых уравнений второй степени 2. Исследование решений буквенных (параметрических) уравнений 647 3. Исследование решений задач второй степени 651 Жене, другу, помощнице в труде Сарре Давидовне Гибш с любовью и благодарностью посвящает эту книгу автор ОТ АВТОРА
|
