Алгебра для самообразования

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ

      Предлагаемая книга охватывает все вопросы, включенные в программу курса алгебры средней школы.
      С целью использования книги как пособия для самообразования в ней приведено большое количество упражнений и задач, снабженных ответами, указаниями и иногда решениями.
      Мы считаем необходимым разъяснить читателю, самостоятельно работающему над изучением алгебры, что изучение каждого вопроса курса алгебры нужно обязательно закрепить решением упражнений. Надо тщательно выполнить упражнения, помещенные в конце каждого параграфа, прежде чем переходить к следующему параграфу. Впрочем, при первом чтении книги можно выполнить только часть упражнений и перейти к изучению следующего параграфа, но тогда уж при повторении материала нужно выполнить все упражнения.
      Разумеется, примеры и задачи книги не могут заменить систематического сборника задач и упражнений по алгебре. Мы старались привести лишь примеры и упражнения от типовых до более сложных.
      При подборе упражнений по пропедевтическому курсу уравнений и задач на доказательство были частично использованы методические работы А. Ф. Галкиной (Бедриной) и О. Я. Лихачевой. Кроме того, частично использованы сборники тренировочных упражнений для проведения математических олимпиад в г. Ленинграде.
      Книга отличается следующими особенностями, которые мы отметим в порядке, соответствующем ее построению:
      1. В самом начале курса вводится понятие уравнения, и уравнения используются как аппарат для выражения зависимости между величинами.
      2. При рассмотрении вопроса о порядке действий вводятся скобки для обозначения а:(b-с) и (а:b):с.
      3. С самого начала курса используются таблицы для иллюстрации функциональной зависимости.
      4. Введен специальный параграф для рассмотрения обратных действий. Здесь уделено особое внимание «делению на нуль».
      5. Несколько параграфов гл. I посвящены вопросу о решении задач при помощи уравнений.
      Читатель должен позаботиться о том, чтобы к тому времени, когда будет изучаться гл. VII ч. I, был бы уже приобретен навык по решению задач при помощи уравнений. Для этого необходимо на протяженйи всего курса решать задачи на составление уравнений.
      6. Решение уравнений с буквенными коэффициентами не отрывается от решения уравнений с числовыми коэффициентами. С самого начала курса ведется работа по исследованию уравнений и задач. Потребность в исследовании, а также необходимые для этого навыки воспитываются у учащихся постепенно.
      7. В книге дается следующее определение отрицательного числа: каждому положительному числу сопоставляется число, называемое отрицательным. При этом считается, что добавление к какому-либо числу отрицательного числа равносильно вычитанию соответствующего положительного (ч. I, гл. П, § 1).
      Это определение занимает промежуточное положение между чисто внешним и полным аксиоматическим, в состав которого включаются правила действий. Оно наиболее близко к определению того понятия «вычитаемого числа», которое было впервые введено в математику еще в античные времена. Вместе с тем в данном определении, помимо внешнего описания (первая часть формулировки), содержится самое существенное — возможность естественного обоснования действия вычитания из меньшего числа большего, что по мнению "авторов является наиболее существенным поводом для введения отрицательных чисел в математику. Именно эта возможность делает алгебру простым и совершенным аппаратом, имеющим огромную силу в приложениях, в то время как без этой возможности алгебра была бы совершенно беспомощной.
      8. Гл. II ч. I заканчивается § 17, посвященным графическому изображению зависимости между двумя переменными величинами. Предполагается, что, начиная с этого времени, учащиеся будут систематически обращаться к графикам для изучения зависимостей между величинами. Это окажет большую помощь им как в овладении идеей функциональной зависимости, так и в использовании графиков для разрешения различных вопросов.
      9. В параграфах, посвященных тождественным преобразованиям, не только выводятся и формулируются общие правила, но и показывается, как при решении конкретных вопросов следует пользоваться частными особенностями задачи, как следует вырабатывать у учащихся уменье подчинить выбор правил и приемов поставленной цели.
      10. Деление целых алгебраических выражений отнесено в главу о преобразованиях дробных алгебраических выражений.
      11. Основные свойства уравнений (ч. I, гл. VII, § 1) излагаются сначала без употребления термина «равносильность уравнений». Соответствующие теоремы не доказываются в общем виде. Вместо этого разъясняется на примерах, почему при таком-то преобразовании уравнения оно не теряет и не приобретает решений. Позднее (§2) вводится термин «равносильность уравнений», и установленные свойства заново формулируются с помощью этого термина.
      Объяснение сути дела здесь полезнее формального заучивания доказательств. Если учащийся сможет объяснить, почему при данном конкретном преобразовании уравнение не может потерять или приобрести решение или, наоборот, может потерять или приобрести его, то цель можно считать достигнутой.
      12. В книге разобран ряд задач на составление уравнений и при этом не только иллюстрируются обычные приемы составления уравнений, но и приводятся задачи, требующие оценки их решения по смыслу (ч. I, гл. VII, §7).
      13. Решение системы двух уравнений первой степени с "двумя неизвестными (гл. VIII) органически связано с таблицами и графиками. В связи с эт им в первую очередь излагается способ сравнения (§ 5). Он естественно вытекает из принятого изложения.
      Решению систем способом сложения и вычитания (§7) предпосылается параграф о свойствах выводных уравнений (§6).
      14. В гл. I ч. II, в которой рассматривается понятие иррационального числа, мы позволили себе некоторое отступление от традиционного изложения. Мы считаем, что понятие иррационального числа необходимо вводить»
      исходя из потребностей алгебры (действие извлечения корня) и из потребностей геометрии (измерение отрезков). Изложение должно быть построено так, чтобы была ясна связь между этими двумя источниками происхождения понятия иррационального числа.
      Иррациональное число мы определяем как «длину» отрезка несоизмеримого с единицей масштаба, т. е. отождествляем понятие иррационального числа с эвклидовым «отношением» длин отрезков, называя такое отношение числом, если оно и не является рациональным числом.
      Такое определение иррационального числа весьма наглядно и определенно и, как нам кажется, вполне отвечает тому уровню строгости, какой должен быть выдержан в школьном курсе элементарной алгебры. Более того, последовательное проведение теории иррационального числа на основе этого определения и аксиом Гильберта (включая аксиому непрерывности) может быть выполнено совершенно строго, если отвлечься от вопроса о непротиворечивости аксиом геометрии.
      Бесконечная десятичная дробь появляется как определенная форма записи иррационального числа. Возможность извлечения корня любой степени из положительного вещественного числа геометрически означает возможность измерения ординаты точки на графике степенной функции, имеющей заданную абсциссу.
      15. В гл. II ч. II мы рассматриваем, кроме материала программы, некоторые типы уравнений четвертой степени, приводящиеся к квадратным, причем отмечаем метод введения вспомогательной неизвестной, который может быть использован во многих других случаях. В этой же главе рассматривается вопрос о равносильности уравнений и уясняется смысл высказывания о том, что одно уравнение есть следствие другого.
      16. В гл. III ч. II мы рассматриваем графики простейших зависимостей — линейной функции, квадратной функции и обратной пропорциональности, но вместе с тем приводим ряд примеров графиков более сложных. Это облегчает усвоение темы, так как рассмотрение только простейших графиков чрезвычайно скучно для учащихся и, кроме того, на простейших примерах у учащихся не воспитывается ощущения графической наглядности алгебраической формулы, а потому и цель введения графиков остается не вполне уясненной.
      17. В гл. IV ч. II рассматриваются системы уравнений высших степеней. Кроме простейших типов систем, мы приводим несколько более сложных примеров, демонстрируя на них, в частности, метод вспомогательного неизвестного. Наконец, при рассмотрении графического решения уравнений и систем мы позволили себе изложить в доступной форме метод Ньютона как средство уточнения решения уравнения или системы, снятого с графика.
      18. Теория пределов изложена для последовательностей. Для большей наглядности применяются геометрические доказательства.
      19. В гл. VI ч. II почти все теоремы о действиях над степенями с рациональными показателями даны петитом. Предполагается, что большинство из этих теорем будет изучено без доказательства. Теоремы §6 и 8 нужны для изучения показательной функции.
      20. В гл. VII ч. II особое значение имеет шестое свойство показательной функции (§2), выражающее теорему о существовании логарифма. В §9 доказывается, что логарифмы рациональных чисел вообще иррациональны. Этот пункт §9, а также §11 «Понятие о вычислении логарифмов» можно опустить. Параграф об устройстве логарифмической линейки имеет целью сообщить только первые необходимые сведения.
      21. Теория соединения и бином Ньютона изложены с доказательством всех относящихся сюда теорем,
      22. При изложении теории комплексных чисел наибольшее затруднение вызывает вопрос о целесообразности введения в математику комплексных чисел. Здесь не удается указать такую практическую задачу, которая могла бы быть решена элементарно и из рассмотрения которой выяснилось бы, что комплексные числа ввести целесообразно и что дейстия над ними нужно определить именно соответствующим образом. Поэтому о практической значимости введения комплексного числа, приходится только рассказать и ограничиться обоснованием целесообразности введения комплексного числа потребностями математики. Несколько позднее показывается, что введение комплексного числа облегчает решение некоторых математических задач. В истории математики понятие комплексного числа сложилось именно из потребностей самой математики, а приложения комплексных чисел к задачам механики, физики и т. д. были найдены значительно позднее.
      23. В гл. X ч. II дается два изложения теории систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Второе из этих изложений дано петитом. Оно короче первого, но зато формальнее. Читатель может выбрать любое из этих изложений.
      24. Гл. XI ч. II содержит основную теорему алгебры и некоторые следствия из нее.
      25. В конце книги приложено «Дополнение». В этой главе разъясняются некоторые элементы логики, имеющие приложение в математике, и помещены примерные упражнения применительно к некоторым разделам курса. Само собой разумеется, что эта маленькая глава не претендует на полное освещение вопроса.