Фpaгмeнты:
I. Задачи и упражнения для повторения курса V—VIII классов 3
§ 1. Арифметика
1. Одно слагаемое увеличили на 98 единиц. Как надо изменить другое слагаемое, чтобы сумма:
1) увеличилась на 18 единиц;
2) уменьшилась на 28 единиц?
5. Как изменится произведение двух сомножителей, если один из сомножителей: 1) увеличить в 5 раз; 2) увеличить на 3 единицы; 3) уменьшить на одну единицу?
6. Как изменится частное и остаток, если к делимому прибавить делитель?
7. При делении числа на 108 в остатке получилось 90. Как изменится частное и сколько получится в остатке, если то же число разделить на 36?
15. Поезд идет с постоянной скоростью. Он проходит мост длиной 450 м за 45 сек и за 15 сек проходит мимо телеграфного столба. Найти длину поезда и его скорость.
17. Струг (прицепная землеройная машина Д-264) движется со скоростью 1,5 км/ч, срезая пласт грунта шириной 3 м и толщиной 35 см. Определить, сколько железнодорожных вагонов можно загрузить грунтом, вынутым стругом за 8 ч, если в один вагон вмещается 20 куб. м грунта.
19. Точное число 9752 руб. 52 коп. округлено до 9800 руб. Найти абсолютную и относительную погрешности округления.
20. Определенный опытным путем удельный вес железа оказался равным 7,6 Г/смъ. Сравнив полученный результат с табличным, найти абсолютную и относительную погрешности измерения.
§ 2. АЛГЕБРА
Рациональные числа. Алгебраические выражения
42. 1) Какой цифрой не может оканчиваться квадрат натурального числа?
2) В каких случаях квадрат натурального числа является числом четным; нечетным?
3) Какими цифрами оканчиваются кубы последовательных натуральных чисел? В какой последовательности повторяются эти цифры?
4) Найти двузначное число, куб которого равен: а) 21 952; б) 185 193; в) 571 787; г) 238 328.
110. На элеватор поступило 350 т пшеницы двух сортов. Первый сорт пшеницы содержал 2% отходов, а второй — 3% отходов. После очистки получили 341 т чистой пшеницы. Сколько пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?
111. Смешивают 20 кг воды при температуре 15° С и 8 кг воды при 100° С. Определить температуру смеси.
112. Определить ширину реки, зная, что звук с другого берега приходит по воздуху на 2 сек позже, чем по воде. Скорость звука в воздухе принять равной 340 м/сек, а в воде — 1450 м/сек.
121. От дома до почты колхозник шел со скоростью 4 км/ч, а от почты до станции ехал на автомобиле со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь от дома до станции 1 ч. Обратно от станции до почты он ехал на автомобиле со скоростью 36 км/ч, а от почты до дома он шел со скоростью 3 км/ч и затратил на обратный путь 1ч 5 мин. Найти расстояние от дома колхозника до почты и от почты до станции.
122. Если длину прямоугольного участка уменьшить на 20 м, а ширину увеличить на 20 м, то площадь участка увеличится на 0,1 га; если же длину увеличить на 30 м, а ширину уменьшить на 10 м, то площадь участка увеличится на 0,2 га. Определить площадь земельного участка.
123. За 4 ч катер прошел 50 км по течению реки и 24 км против течения. В другой раз тот же катер за 6 ч прошел 70 км по течению и 40 км против течения. Определить скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.
129. При совместной работе двух подъемных кранов различной мощности самоходная баржа была загружена за 4 ч 12 мин. Сколько потребуется времени на загрузку такой же баржи каждым краном в отдельности, если более мощным краном баржу можно загрузить на 8 ч быстрее, чем одним краном меньшей мощности.
130. Мотоциклист проезжает 1 нм на 4 мин скорее, чем велосипедист. Сколько километров проезжает каждый из них за 5 ч, если известно, что мотоциклист проезжает за это время на 100 км больше велосипедиста?
132. Из города А в город Б, расстояние между которыми равно 250 км, выехал автомобиль. Через 48 мин из города А в том же направлении выехал второй автомобиль, который в 1 ч проезжал на 2,5 км больше, чем первый. Найти скорость каждого автомобиля, если второй автомобиль догнал первый, не доезжая 30 км до города Б.
II. Уравнения и неравенства первой степени
§ 3. УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
172. 1) Всегда ли положительный корень уравнения, составленного по условию задачи, дает ответ на вопрос задачи? Привести примеры.
2) Всегда ли отрицательный корень уравнения, составленного по условию задачи, указывает на невозможность задачи? Привести примеры.
3) На что указывает нулевое решение, если оно получено при решении уравнения, составленного по условию задачи? Привести примеры.
173. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если прибавить к нему 32, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти двузначное число.
Почему заранее можно сказать, что положительное решение уравнения, составленного по условию задачи, не дает ответа на ее вопрос?
174. От двух кусков сплава в 6 кГ и 12 кГ с различным процентным содержанием меди отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
§ 4. НЕРАВЕНСТВА
Числовые неравенства и их свойства
180. Выписать в порядке возрастания все трехзначные числа, каждое из которых содержит цифры 2; 0; 5, и соединить их знаком неравенства.
181. 1) При однократном измерении некоторой длины I нашли, что она больше 217 см, но меньше 218 см. Записать результат измерения, взяв эти числа в качестве границ значения длины I.
2) При взвешивании предмета оказалось, что он тяжелее 19,5 Г, но легче .20,0 Г. Записать результат взвешивания с указанием границ.
186. Какое число, кратное 9, заключено между числами 141 и 152? Дать иллюстрацию на числовой оси.
186. Определить, какое из двух чисел больше, если известно, что каждое из них больше 103 и меньше 115, причем первое число кратно 13, а второе кратно 3. Привести геометрическую иллюстрацию.
187. Между какими ближайшими целыми числами заключаются правильные дроби? Можно ли указать два целых числа, между которыми заключены все неправильные дроби?
188. Куплено 6 книг по математике, физике и истории. Сколько книг куплено по каждому предмету, если по математике книг куплено больше, чем по истории, а по физике меньше, чем по истории?
189. На уроке алгебры были проверены знания трех учеников. Какую оценку получил каждый ученик, если известно, что первый получил балл больше второго, а второй больше, чем третий, и число баллов, полученных каждым учеником, больше двух?
190. В шахматном турнире лучших результатов добились шахматисты А, В, С и D. Можно ли узнать, какое место занял каждый из участников турнира, если известно, что А набрал большз очков, чем D, а В меньше, чем С?
230. Доказать, что в треугольнике сумма стороны с высотой, опущенной на эту сторону, больше полупериметра.
231. Доказать, что произведение суммы трех положительных чисел на сумму обратных величин этих чисел не менее девяти.
233. Теплоход совершил путь АВ по течению реки и путь В А против течения. Доказать, что средняя скорость теплохода в этом движении меньше его собственной скорости (собственную скорость теплохода и скорость течения реки считать постоянными).
234*. Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В до Л против ветра, причем скорость ветра не изменялась. Затем самолет совершил рейс по тому же маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь полет ушло меньше времени? Как зависит время, расходуемое на весь полет, от скорости ветра?
235*. Катер проплыл расстояние АВ по течению реки и вернулся обратно, причем во время движения катера дул ветер в направлении течения.
1) Показать, что время, затраченное катером на этот рейс, больше того времени, которое потребуется ему на такой же рейс в безветренную погоду. Скорости течения и ветра, а также собственную скорость катера считать постоянной.
2) Выяснить, как изменится время, необходимое на этот рейс, если ветер направлен против течения и имеет ту же скорость.
244. Каково множество всех решений непротиворечивого неравенства первой степени с одним неизвестным? Как это множество изображается на числовой оси?
246. Может ли неравенство первой степени с одним неизвестным иметь единственное решение?
283. В двузначном числе цифра единиц на два больше цифры десятков, само число больше 30 и меньше 40. Найти это число.
264. Если бы велосипедист проезжал в день на 5 км больше того, что он в действительности проезжает, то за 6 дней он проехал бы меньше 400 км. Если бы он проезжал на 10 км менее, чем на самом деле, то за 12 дней он проехал бы более 400 км. Сколько километров проезжает в день велосипедист?
272. Один рабочий обрабатывает в день на 5 деталей больше, чем второй. Если первый будет каждый день обрабатывать на 1 деталь, а второй на 9 деталей больше, чем они обрабатывают, то за 6 дней первый обработает столько деталей, сколько обработает второй за а полных дней. Сколько деталей обрабатывает каждый рабочий в день?
§ 5. СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
291. Если разделить двузначное число на сумму его цифр, то в частном получим 6, а в остатке 3. Если же разделить эго число на сумму его цифр, увеличенную на 2, то в частном и в остатке получим по 5. Найти это двузначное число.
292. Дорога из А в В длиной 11,5 км идет сначала в гору, потом по ровной местности и затем под гору. Пешеход, идя из А в Ву прошел всю дорогу за 2 ч 54 мин, а на обратную дорогу затратил 3 ч 6 мин. Скорость пешехода в гору 3 км/ч, по ровной местности 4 км/ч, под гору 5 км/ч. На каком протяжении дорога идет по ровной местности?
296. Всадник отправился из пункта А в пункт jВ, отстоящий от А на 60 км. Его лошадь шла 4 н рысью и 3 ч шагом. На обратном пути лошадь шла рысью а полных часов, а шагом на 2 ч больше, чем рысью. Определить скорость движения лошади рысью и шагом.
III. Действительные числа. Квадратные уравнения
§ 6. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
302. Седьмая часть единицы длины укладывается в измеряемом отрезке 13 раз.
1) Конечной или бесконечной периодической десятичной дробью выразится длина этого отрезка?
2) Найти приближенные значения длины отрезка с точностью до 1; 0,1; 0,01 по недостатку и по избытку и записать с помощью знаков неравенства, что эта длина заключена между соответствующими ее приближениями.
3) Дать геометрическую иллюстрацию на числовой оси процесса сближения точек, изображающих приближенные значения длины отрезка.
303. 1) При измерении некоторого отрезка оказалось, что единица длины отложилась на измеряемом отрезке 4 раза с остатком, меньшим этой единицы; 0,1 единицы длины отложилась в остатке 5 раз с новым остатком, меньшим 0,1 единицы; 0,01 единицы длины отложилась во втором остатке 3 раза с остатком, меньшим 0,01 единицы. Найти длину измеряемого отрезка по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 единицы длины.
2) Найти длину отрезка по недостатку и по избытку с точностью до 0,001 единицы длины, если известно, что 0,1 единицы уложилась в измеряемом отрезке 2 раза с остатком, меньшим 0,1 единицы; 0,01 единицы длины уложилась в остатке 7 раз с новым остатком, меньшим 0,01 единицы; 0,001 единицы длины уложилась в новом остатке 3 раза с остатком, меньшим 0,001 единицы.
304*. Доказать, что при десятичном измерении отрезков никогда не может получиться бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоят одни девятки.
Понятие об иррациональном числе
306. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°.
1) Приняв меньший катет этого треугольника за единицу, найти длину гипотенузы.
2) Доказать, что при выбранной единице измерения длину большего катета этого треугольника нельзя выразить никаким рациональным числом.
3) Найти приближенные значения длины большего катета треугольника с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 по недостатку и по избытку и записать при помощи знаков неравенства, что эта длина заключена между соответствующими ее приближениями.
4) Дать геометрическую иллюстрацию на числовой оси процесса сближения точек, изображающих приближенные значения длины большего катета треугольника.
310. 1) Правильно ли утверждение, что квадратный корень из рационального числа всегда число иррациональное?
2) Привести примеры, показывающие, что квадратный корень из рационального числа может быть выражен: а) целым числом;
б) конечной десятичной дробью; в) бесконечной десятичной периодической дробью.
311. Привести примеры таких уравнений, для решения которых требуются иррациональные числа.
315. 1) Если два отрезка несоизмеримы друг с другом, то могут ли оказаться соизмеримыми один из этих отрезков и а) половина второго; б) третья часть второго; в) п-я часть второго?
2) Соизмеримы ли медиана гипотенузы и гипотенуза прямоугольного треугольника?
316. Известно, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Как можно, используя это свойство, построить сколько угодно много различных по длине отрезков, несоизмеримых со стороной данного квадрата?
317. Может ли отношение двух отрезков, несоизмеримых с единицей длины, выражаться рациональным числом?
318. Соизмеримы ли отрезки, если их отношение выражается дробью:
1) 0,777...; 2) 2,121122111222...?
320*. Из вершины А квадрата ABCD начали одновременно двигаться с одинаковой постоянной скоростью две точки: одна — по периметру квадрата, без изменения направления движения, а другая — по диагонали, между вершинами Л и С, не задерживаясь в них. Определить, встретятся ли когда-либо эти две точки.
Действительные числа. Геометрическое представление действительных чисел
322. Как при помощи построения точек на числовой оси, изображающих приближенные значения какого-либо иррационального числа, например 2,757757775... по недостатку и по избытку
показать, что этому иррациональному числу соответствует определенная точка числовой оси?
323. Доказать, что: 1) если концы А и В отрезка АВ числовой оси изображают рациональные числа, то середина отрезка АВ также изображает рациональное число; 2) между каждыми двумя точками числовой оси существует бесконечное множество точек, изображающих: а) рациональные числа, б) иррациональные числа.
324. 1) В каком смысле говорят, что между множеством точек числовой оси и множеством всех действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие?
2) Почему соответствие между множеством всех точек числовой оси и множеством всех рациональных чисел нельзя назвать взаимно однозначным? Какие числа необходимо добавить к множеству рациональных чисел, чтобы всякой точке числовой оси соответствовало определенное число?
327. Назвать несколько элементов множества: 1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3) отрицательных чисел; 4) целых чисел; 5) рациональных чисел; 6) иррациональных чисел; 7) действительных чисел.
328. Назвать несколько общих элементов: 1) множества отрицательных чисел и множества рациональных чисел; 2) множества рациональных чисел и множества действительных чисел.
Понятие о действиях над действительными числами
331. Может ли сумма или разность двух иррациональных чисел быть числом рациональным? Ответ подтвердить примерами.
332. Почему сумма и разность двух чисел не могут быть рациональными числами, если одно из данных чисел рационально, а другое иррационально? Ответ подтвердить примерами.
333*. Существует ли равносторонний треугольник (рис. 3), вершины которого лежат в вершинах малых квадратов?
388. Какое из шести действий — сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на нуль), возвышение в степень и извлечение корня — выполнимо во множестве всех положительных чисел; рациональных чисел; действительных чисел?
§ 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Неполные квадратные уравнения
339. По сторонам прямого угла от его вершины одновременно начинают двигаться два точечных тела: скорость одного тела 3 см/сек другого 4 см/сек. Через сколько секунд расстояние между телами будет равно 35 см?
340. Утроенное неизвестное число равно квадрату этого неизвестного. Найти число.
341. Написать общий вид квадратного уравнения, в котором: 1) один корень равен нулю; 2) оба корня равны нулю; 3) корни равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Как решается каждое из этих уравнений?
406. Написать общий вид квадратного уравнения, заведомо имеющего действительные корни.
Задачи на составление квадратных уравнений
424. 1) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 1201. Найти эти числа.
2) Сумма квадратов двух последовательных четных чисел равна 1060. Найти эти числа.
3) Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел равна 1354. Найти эти числа.
426. Возможен ли такой прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются: 1) тремя последовательными целыми числами,
2) тремя последовательными четными числами, 3) тремя последовательными нечетными числами?
426. 1) Возможен ли такой выпуклый многоугольник, в котором число всех диагоналей было бы равно 12?
2) В каком выпуклом многоугольнике число сторон равно числу всех его диагоналей?
427*. При каком основании системы счисления число 314 запишется как 222?
428*. При каком основании системы счисления справедливо равенство:
1) 532 — 244 = 244; 2) 152 = 321?
429. При умножении двух чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив на единицу цифру сотен в произведении. При делении (для проверки ответа) полученного произведения на меньший из множителей он получил в частном 45, а в остатке 14. Найти множители.
430. От лома до школы 400 м. Ученик старшего класса делает на этом пути на 300 шагов меньше, чем ученик младшего класса, так как у него шаги на 30 см больше. Определить длину шага каждого ученика.
431. Для перевозки 60 т груза за один рейс было затребовано некоторое количество автомашин определенной грузоподъемности.
На перевозку были направлены автомашины грузоподъемностью на полтонны меньшей, но на 4 автомашины больше. Какое количество автомашин было затребовано?
432. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 10 км/ч, прошла вниз по течению 91 км и вернулась обратно. Определить скорость течения реки, зная, что на весь путь было затрачено 20 ч.
433* Поезд должен был пройти 220 км в определенное время. Однако через 2 ч движения он был задержан на 10 мин, и, чтобы прийти вовремя в место назначения, он увеличил скорость на 5 км/ч. Определить первоначальную скорость поезда.
434. Из колхоза в город, расстояние между которыми 35 км, выехал велосипедист. Через 30 мин из того же колхоза по той же дороге в город выехал второй велосипедист, который за час проезжал на 2 км больше первого. Сколько километров в час проезжал каждый велосипедист, если известно, что второй догнал первого велосипедиста, не доезжая 5 км до города?
435. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния в 325 км, в новом расписании сокращено на 40 мин. Определить среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием.
436. Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дней, затем она была заменена второй, которая закончила работу за 6 дней. За сколько дней каждая бригада в отдельности выполнила бы задание, если известно, что второй бригаде для этого нужно на 5 дней больше, чем первой?
438. Бак имеет два крана, через первый он наполняется, через второй опоражнивается, причем опоражнивается на 1 мин быстрее, чем наполняется. Однажды, когда бак был наполнен до половины, открыли оба крана, и через 10 мин бак опорожнился. Определить, за сколько минут первый кран наполнит бак, если второй будет закрыт.
439*. Два автомобиля выехали в одном и том же направлении одновременно из одного пункта. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а скорость второго — 40 км/ч. Спустя 0,5 ч из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал второй автомобиль, а после этого через 1,5 ч догнал первый автомобиль. Определить скорость третьего автомобиля.
440** По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 сек скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Определить скорости точек.
441. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?
442. Расстояние между станциями А и В равно 120 км. Из А в В отправляется один поезд, а через 3 ч другой, проходящий в час на 10 км больше первого. Второй поезд прибывает в В на 2 ч позже первого. Сколько времени находился в пути первый поезд?
444. Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Если сначала первый рабочий выполнит половину этой работы, а затем другой — остальную ее часть, то работа будет закончена за 12 ч 30 мин. Во сколько времени каждый рабочий, работая отдельно, может выполнить всю работу?
445. Из шахматного турнира двое участников выбыли, причем один сыграл 10 партий, а второй только одну. Поэтому в турнире было сыграно всего 55 партий. Определить, играли ли выбывшие участники между собой и сколько было участников первоначально.
Решить следующие задачи и исследовать полученные решения,
446. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый из них сыграл по одной партии с каждым из остальных участников, а всего было сыграно а партий? Какие значения может принимать параметр а?
463. Число всех диагоналей выпуклого многоугольника на а больше числа его сторон. Определить число сторон этого многоугольника. Найти число сторон многоугольника, соответствующее наименьшему положительному значению параметра а.
§ 8. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решить биквадратные уравнения.
466. Почему биквадратное уравнение, имеющее корень, равный т, имеет также и второй корень, равный — т?
467. Составить биквадратное уравнение, сумма квадратов корней которого равна 26, а произведение корней равно 36.
475. Сумма площадей двух квадратов равна 4,25 дм2. Найти коэффициенты подобия этих квадратов, если известно, что их стороны выражаются взаимно обратными числами.
Решить системы уравнений с тремя неизвестными.
Задачи на составление систем уравнений
610. Произведение двух чисел равно 77. а их разность равна 4. Найти эти числа.
611. Разность двух чисел относится к их сумме, как 3: 8, а к их произведению, как 6 : 55. Найти эти числа.
612. Сумма катетов прямоугольного треугольника на 8 больше гипотенузы. Найти стороны этого треугольника, если его периметр равен 48.
613. Определить стороны прямоугольного треугольника, периметр которого 24 см, а площадь 24 см2.
614. Разность двух сторон треугольника, образующих угол в 120°, равна 1 дм. Найти стороны треугольника, зная, что третья из них равна 13 дм.
615. Разность двух сторон параллелограмма равна 3 см, меньшая диагональ параллелограмма равна большей его стороне и на 2 см меньше большей диагонали. Найти стороны и диагонали параллелограмма.
616. Площадь ромба равна 120 см2, а его периметр равен 52 см. Определить диагонали ромба.
617. Высота трапеции равна 8 см, средняя линия ее равна 9 см. Найти основания трапеции, если она равновелика прямоугольнику со сторонами, равными основаниям трапеции.
518. В круге, радиус которого равен 20 см, проведена хорда длиной 24 см. Определить расстояние от центра круга до точки пересечения касательных, точками прикосновения которых являются концы данной хорды.
619*. В двух концентрических окружностях, радиусы которых равны 25 см и 17 см, требуется провести хорду так, чтобы часть ее, лежащая во внутренней окружности, составляла всей хорды.
Определить длину хорды и расстояние ее от центра.
624. Бассейн наполняется через два крана. Наполнение бассейна только через первый кран длится на 22 мин дольше, чем наполнение этого бассейна только через второй кран. Оба крана, действуя одновременно, наполняют бассейн за один час. За сколько времени каждый из кранов может наполнить бассейн?
626. Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый груз в течение 6 ч. Но второй автомобиль задержался в гараже, и, когда он прибыл на место погрузки, первый перевез уже 0,6 всего груза; остальную часть груза перевез второй автомобиль, и весь груз был перевезен таким образом за 12 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому автомобилю в отдельности для перевозки груза?
527. Расстояние между двумя городами, равное 240 км, пассажирский поезд проходит на 1 ч быстрее, чем товарный. Если увеличить скорости движения пассажирского поезда на 12 км/ч, а товарного на 8 км/ч, то и в этом случае пассажирский поезд прошел бы расстояние между городами на час быстрее товарного. Найти первоначальные скорости движения каждого поезда.
IV. Степень с рациональным показателем. Степенная функция
§ 12. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Степень с натуральным показателем
676. В каких случаях при возведении в натуральную степень положительного числа получается число: а) больше данного; б) меньше данного?
682. Через нить накала обычной 25-ваттной лампочки за один час проходит 1 000 000 000 000 000 000 000 электронов. Записать это число в виде степени десяти.
583. Записать с помощью степени десяти следующие числа:
1) 373; 2) 2384; 3) 29 608; 4) 501 009; 5) 20 000 020.
686. Пользуясь цифрами 0 и 1, записать в двоичной системе нумерации следующие числа:
1) 6; 2) 7; 3) 41; 4) 55; 5) 127.
687. Сколько единиц содержит каждое из следующих чисел, записанных в двоичной системе:
1)101; 2)1010; 3)11011; 4)1110111?
§ 21. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
Определение тригонометрических функций любого угла
986. Может ли синус отрицательного угла принимать положительные значения? Привести пример.
987. Какие тригонометрические функции угла треугольника могут принимать отрицательные значения и когда именно?
988. Могут ли тригонометрические функции половины угла треугольника принимать отрицательные значения?
§ 26. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
1318. Найти сумму первых двадцати нечетных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.
1319. Первый член арифметической прогрессии равен 7, второй и третий соответственно равны квадратам двух последовательных натуральных чисел. Найти прогрессию.
1320. Арифметическая прогрессия содержит 8 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 28, а на нечетных местах 16. Найти прогрессию.
1327. Числа, измеряющие углы треугольника, составляют арифметическую прогрессию. Найти средний член этой прогрессии.
1328. При свободном падении тело проходит в первую секунду 4.9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую.
Найти: 1) какой путь пройдет тело за одиннадцатую секунду;
2) какой путь пройдет тело за 11 сек; 3) сколько времени будет падать тело с высоты 4410 м?
1329. 1) Через сколько секунд свободного падения камень упадет на дно шахты, если ее глубина равна 80 м?
2) Найти глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 сек после начала падения.
1330. Два тела начали свободно падать с определенной высоты одно после другого спустя 6 сек. Через сколько секунд после начала падения первого тела оно будет на расстоянии 294 м от другого у тела?
1331. Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, составляют арифметическую прогрессию, разность которой
равна 5 см. Найти число членов этой прогрессии, если наименьший отрезок равен 2 см, а сумма длин всех отрезков равна 245 см.
1332. Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест, расстояние между которыми равно 127 м. Первое тело движется равномерно со скоростью 5 м/сек. Второе тело, вышедшее на 3 сек позже первого, в первую секунду проходит 5 м, а в каждую следующую на 2 м больше, чем в предыдущую. Сколько секунд двигалось первое тело до встречи?
1333. Длины сторон многоугольника составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 3 см. Наибольшая сторона многоугольника содержит 38 см. Найти число сторон многоугольника, если его периметр равен 258 см.
1334. По шоссе в одном и том же направлении движутся грузовой и легковой автомобили, расстояние между которыми 297 м. Грузовой автомобиль идет впереди с начальной скоростью 10 м/сек, а в каждую следующую секунду его скорость возрастает на 0,1 м/сек. Легковой автомобиль имеет начальную скорость 12 м/сек а его ускорение 0,2 м/сек2. Сколько потребуется времени, чтобы автомобили поравнялись?
1335. Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость и через 20 мин достигает скорости 60 км/ч. Чему равно ускорение поезда в минуту?
1336. Шар, скатывающийся по наклонному желобу, в первую секунду проходит 0,6 м, а в каждую следующую секунду его скорость увеличивается на 0,6 м. Сколько времени будет двигаться шар по шестиметровому желобу?
1337. Для награждения победителей в соревновании было выделено несколько ценных призов; стоимость наибольшего приза 30 руб., а стоимость каждого следующего приза уменьшается на одну и ту же сумму до самого меньшего в 6 руб. Сколько участников соревнований было премировано и какой стоимости приз получил каждый из них, если на премирование было израсходовано 72 руб?
1338. Два тела движутся навстречу друг другу из точек, отстоящих одна от другой на расстоянии 555 см. Через сколько секунд тела встретятся, если первое тело проходит в первую секунду своего движения 30 см, а в каждую следующую на 5 см больше, чем в предыдущую; второе же тело в первую секунду проходит 60 см, а в каждую следующую на 4 см меньше, чем в предыдущую?
1339. Из точки М начало двигаться тело А, проходя в первую секунду I м и в каждую следующую на 2 м больше, чем в предыдущую. Спустя 3 сек из той же точки М в том же направлении вышло второе тело В, которое проходило в первую секунду 12 м, а в каждую следующую на 1 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд после выхода тела В последнее догонит тело А?
1340. Для поливки 20 деревьев, расположенных по прямой линии на расстоянии 2 м друг от друга, садовник приносит воду для каждого
отдельного дерева из колодца, находящегося на той же прямой линии в 10 м от первого дерева. Сколько всего метров пройдет садовник, чтобы полить все деревья и возвратиться к колодцу?
§ 27. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
1370. Сумма 3 первых членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма квадратов тех же членов 91. Найти прогрессию.
1371. Найти геометрическую прогрессию с вещественными членами, если сумма 3 первых членов ее равна 13, а произведение их 27.
1372. Три числа, сумма которых равна 21, составляют арифметическую прогрессию. Если из второго числа вычесть единицу, а к третьему прибавить единицу, то эти 3 числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
1373. Три числа, сумма которых равна 28, составляют геометрическую прогрессию. Если большее из них уменьшить на 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
1374. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 42; те же числа составляют первый, второй и шестой члены возрастающей арифметической прогрессии. Найти эти числа.
1375. В геометрической прогрессии второй член равен 8, а пятый равен 512. Составить арифметическую прогрессию, у которой разность в два раза меньше знаменателя геометрической прогрессии, а суммы трех первых членов в одной и другой прогрессиях были бы равны.
1376. В арифметической прогрессии второй член равен 14, а пятый равен 20. Составить геометрическую прогрессию, у которой знаменатель в два раза больше разности арифметической прогрессии, а сумма трех первых членов была бы равна сумме тех же членов арифметической прогрессии.
1377. Три числа, сумма которых равна 19,5, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, восьмым и двадцать третьим членами арифметической прогрессии. Найти сумму пяти членов геометрической прогрессии.
1378. Первый и третий члены арифметической прогрессии соответственно равны первому и третьему членам геометрической прогрессии, а второй член арифметической прогрессии превышает второй член геометрической прогрессии на 0,25. Определить сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если первый член ее 2.
1379. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 51. Если от этих чисел отнять соответственно 1, 7 и 8, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Сколько членов арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма равнялась 555?
1380. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую возрастающую прогрессию, равна 65. Если от этих чисел отнять соответственно 1, 8, 35, то получатся три числа, составляющие арифметическую прогрессию. Сколько членов геометрической прогрессии надо взять, чтобы их сумма равнялась 200?
1381. Три числа, сумма которых равна 217, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как второй, девятый и сорок четвертый члены арифметической прогрессии. Сколько членов этой арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 820?
1382. Три числа, сумма которых равна 76, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как первый, четвертый и шестой члены арифметической прогрессии. Сколько членов этой арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 176?
1383. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна 4, а разность между третьим и вторым членами той же прогрессии равна 12. Определить сумму 10 членов арифметической прогрессии? первый и пятый члены которой соответственно равны первому и третьему членам данной прогрессии.
1384. В геометрической прогрессии, все члены которой — положительные числа, разность между третьим и первым членами равна 9, а разность между пятым и третьим членами той же прогрессии равна 36. Определить сумму 12 первых членов арифметической прогрессии, первый и третий члены которой соответственно равны первому и второму членам данной геометрической прогрессии.
1385. Сумма трех первых членов убывающей арифметической прогрессии равна 54. Если ее первый член оставить без изменения, второй уменьшить на 9, а третий — на 6, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти арифметическую прогрессию.
§ 28. БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
1399. Расстояние между автомобилем и пешеходом 1 км. Скорость автомобиля в 10 раз больше скорости пешехода. Какой путь должен пройти автомобиль, чтобы догнать пешехода, если они движутся равномерно.
1400. В 12 ч часовая и минутная стрелки часов совпадают. Через сколько времени стрелки вновь совместятся?
1401. В разносторонний треугольник, сторона которого 4 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. В построенный треугольник таким же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности. Найти предел: 1) суммы периметров этих треугольников; 2) суммы их площадей.
1402. Из высот правильного треугольника, сторона которого равна а, строят треугольник, из высот построенного треугольника строят новый треугольник и так далее. Определить сумму площадей полученных треугольников при неограниченном продолжении такого построения.
1403. В квадрат, сторона которого а, вписан круг; в круг вписан квадрат; в этот квадрат вписан круг и так до бесконечности. Найти предел суммы: 1) периметров всех квадратов; 2) площадей всех квадратов; 3) длин окружностей; 4) площадей всех кругов.
1404. В круг радиуса R вписан правильный треугольник; в треугольник вписан круг; в этот круг снова вписан треугольник и так до бесконечности. Найти предел суммы: 1) периметров всех треугольников; 2) площадей всех треугольников; 3) длин окружностей; 4) площадей кругов.
VII. Задачи для повторения куpca IX класса
Действительные числа. Квадратные уравнения
1439. 1) Может ли число быть:
а) противоположным самому себе; б) обратным самому себе? Указать все такие числа.
2) Для всякого ли числа существует: а) противоположное ему число; б) обратное ему число?
1440. Даны два числа: — 0,6 и — 0,62. Указать какое-нибудь число:
1) меньшее меньшего из данных чисел; 2) большее ббльшего из них;
3) заключенное между данными числами.
1441. Какое число надо вычесть из а, чтобы получить противоположное ему число?
1457. Ббльшая сторона прямоугольника является средним пропорциональным между меньшей стороной и его полупериметром. Найти измерения прямоугольника, если его площадь равна а м2.
1467. Турист наметил пройти путь 30 км с определенной скоростью. Однако первую половину пути он шел со скоростью на 1 км/ч меньшей, а вторую половину — со скоростью на 1 км/ч большей, чем намечал. На сколько минут опоздал турист, если на весь путь он затратил 8 ч?
1468. Два автомобиля выехали одновременно из пунктов М и N навстречу друг другу. Они встретились в 50 к% от N, а затем, доехав до М и N, не останавливаясь, вернулись обратно и вновь встретились в 25 км от М. Найти расстояние MN, если скорость автомашин считать постоянной.
Задачи для контрольных работ
1532. Найти сумму всех членов арифметической прогрессии, в которой первый член, разность и число членов прогрессии равны между собой, а последний член равен 2601.
1633. Прямоугольный лист разлинован на квадраты так, что их в длину листа помещается 12, а в ширину 10. В квадраты вписывают нечетные числа, начиная с единицы. Какое число будет написано в последнем квадрате и чему равна сумма всех написанных чисел?
1534. Четвертый член арифметической прогрессии 5, девятый член равен — 10. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы сумма их равнялась 39?
1535. Первый член арифметической прогрессии равен 36, а разность равна — 12. Определить число членов прогрессии, если их сумма равна 60.
1536. Найти сумму первых ста натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке единицу.
1537. Сумма трех первых членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а их произведение равно — 21. Найти первый член и разность прогрессии.
1538. Сумма третьего и восьмого членов арифметической прогрессии равна 0,6, а сумма первых одиннадцати ее членов равна 2,2. Начиная с какого номера члены этой прогрессии отрицательные?
1545. Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, - в которой произведение первого члена на третий равно 9, а сумма
третьего члена с четвертым равна 2,25.
1546. Первый член геометрической прогрессии равен 3, а последний равен 24. Определить знаменатель прогрессии, если ее сумма на 43 больше знаменателя.
1551. Найти углы прямоугольного треугольника, если синусы этих углов образуют: 1) арифметическую прогрессию; 2) геометрическую прогрессию.
1552*. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими геометрическую прогрессию, причем произведение этих чисел равно 216.
1553*. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими арифметическую прогрессию, причем периметр треугольника равен 15.
1554*. Найти четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую и если сумма крайних членов равна 14, а сумма средних равна 12.
1555. Из точек М и N одновременно начали двигаться два тела навстречу друг другу. Первое тело проходило каждую секунду 9 м, а второе в первую секунду прошло 5 л, а в каждую последующую проходило на 1,5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд оба тела встретятся, если расстояние между М и N равно 180 м?
1561. 1) Сумма первых 3 членов геометрической прогрессии, все члены которой — положительные числа, равна 21. Третий член прогрессии больше первого на 9. Сколько членов этой прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 189?
2) Смешанную периодическую дробь 3,20(6) обратить в обыкновенную дробь. Решение обосновать.
3) Между числами 2 и 162 вставить три средних геометрических.
KOHEЦ ФPAГMEHTОВ КНИГИ
|
