В пособии автор на большом и разнообразном материале (свыше 400 планиметрических и стереометрических задач), собранном, систематизированном и проверенном в процессе его многолетней педагогической деятельности, раскрывает сущность одного из эффективных методов решения геометрических задач, в основе которого лежит использование так называемых базисных задач. К каждой базисной задаче подобраны задачи, решаемые с ее помощью (или с помощью других, рассмотренных ранее вадач).
Для учителей математики общеобразовательной школы.
Каждая решенная мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач.
Р. Декарт. Рассуждения о методе.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обучение решению геометрических задач — важная составная часть изучения школьного курса геометрии. При решении задач у учащихся закрепляются теоретические знания, вырабатываются навыки применения этих знаний в практической деятельности, развивается творческая активность.
Эффективный метод обучения учащихся решению геометрических задач основан на использовании при отыскании плана решения задачи некоторых выводов, полученных в решениях так называемых базисных задач. Такой алгоритмический подход к отысканию плана решения той или иной конкретной задачи помогает учащимся быстрее найти этот план.
Базисными мы называем аадачи на доказательство зависимостей (соотношений), эффективно используемых при решении многих других геометрических задач. Базисные задачи, приведенные в данной книге (они обозначены кружочками, например 1.1°, 2. Г и т. д.), отбирались автором в процессе его многолетней педагогической деятельности. Большинство из них взято из различных методических пособий и периодической литературы. Некоторые же базисные задачи автор составил сам.
Разумеется, нет и не может быть полного перечня базисных задач, которые должен знать учащийся. В каждом конкретном случае объем алгоритмических сведений, сообщаемых учителем, может быть больше или меньше того, который приводится в книге (в зависимости от уровня знаний учащихся класса). Но какой-то минимум этих сведений учащимся должен быть сообщен, так как без знания такого минимума учащиеся дальше решения легких задач вряд ли продвинутся. Для лучшего запоминания алгоритмических сведений можно рекомендовать учащимся записывать их в отдельную общую тетрадь, в которую они записывают также и другие важные сведения из школьного курса математики. Эта тетрадь должна стать для каждого учащегося его личным справочником по математике, позволяющим легко найти и вспомнить забытую формулу или алгоритм. Ведение такой тетради способствует быстрейшему запоминанию содержащихся в ней сведений.
Как отмечает известный советский психолог П. П. Блонский, мышление учащегося «развивается на основе усвоенных знаний, и если нет последних, то и нет основы для развития мышления...» [3, с. 81].
Чтобы научиться решать задачи, учащиеся прежде всего должны накопить определенные знания (запомнить основные математические соотношения), из которых затем будут выбирать те, которые нужны для решения данной конкретной задачи.
«Под алгоритмической деятельностью, — пишет немецкий педагог Б. Чада, — мы понимаем все виды деятельности, направленные на решение задач с помощью правил, предписаний, алгоритмов. Она охватывает не только формальное выполнение указанных алгоритмов и предписаний, но и выбор алгоритма для решения данной конкретной задачи, составление из множества изученных правил определенной конечной последовательности шагов, приводящих к решению задачи, формулировку алгоритмического предписания, а также приспособление известного алгоритма к условиям задачи. Таким образом, алгоритмическая деятельность является важной составной частью математического образования» [13, с. 62].
Данная книга состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются базисные задачи планиметрии и показано, как полученные из них выводы применяются к решению других планиметрических задач. Приведены задачи для самостоятельного решения с помощью данной базисной задачи.
Вторая глава посвящена решению стереометрических задач. Рассматриваются важные для решения задач зависимости: теоремы о трех синусах и о трех косинусах, формулы перехода и уравнения связи для комбинаций шара с конусом и пирамидой. Иллюстрируется применение этих зависимостей к решению задач.
В третьей главе рассматривается решение задач посредством введения одного или более вспомогательных элементов, а также — решение геометрических задач на отыскание экстремумов. В начале каждого параграфа раскрывается смысл применяемого в нем алгоритмического приема.
Приведенные в книге базисные задачи и алгоритмические рекомендации не следует рассматривать как нечто обязательное для каждого учащегося. Учитель может сокращать или увеличивать число сообщаемых учащимся алгоритмических сведений.
Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам М. И. Антоненко и М. Б. Балку, замечания и советы которых содействовали улучшению книги при ее доработке, а также учителю математики П. И. Горн-штейну, оказавшему большую помощь в подборе упражнений.
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА
|
