Архимед

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ ОТ ПЕРЕВОДЧИКА.
      На русском языке нет ни одной сколько-нибудь полной работы, знакомящей с ученой деятельностью Архимеда и значением его трудов в истории математики. Прочтите «Очерк истории физики» Розенбергера, «Историю физики» проф. Любимова, «Историю математики» проф. Ващенко-Захарченко,— везде фигурирует «легендарный» Архимед. Даже Шаль в своей «Истории геометрии» говорит об Архимеде вскользь. Наконец, Кэджори в «Истории элементарной математики» едва уделяет ему четыре страницы (этот недочет искупается, впрочем, дополнениями Тимченко).
      Но истинный ореол славы не состоит из веры в баснословные и преувеличенные описания умственной мощи гения, и анекдотами нельзя охарактеризовать значение вкладов, сделанных им в сокровищницу человеческой мысли.
      Для первого знакомства с Архимедом мы выбрали его небольшой арифметический трактат «Псаммит», По. свовхму содержанию трактат этот не требует больших познаний в математике, и, во всяком случае, он легче, чем основные трактаты Архимеда, посвященные геометрии.
      При переводе мы пользовались лучшим изданием сочинений Архимеда, содержащим греческий текст с латинским переводом проф. Гейберга.
      Почти сто лет назад «Псаммит» был переведен на русский язык Ф. Петрушевским (в 1824 г.). Но эта книга представляет библиографическую редкость, а язык перевода, в общем довольно точного, слишком тяжел и архаичен.
      Мы в своем переводе старались держаться возможно ближе к подлиннику в смысле точной передачи содержания; но, конечно, чисто внешние условия литературности формы заставили нас в некоторых местах уклониться от буквы подлинника, так как дословная передача без нужды затруднила бы чтение. Цель нашей работы требовала перевода, который, по возможности, читался бы легко, тем более, что построчный перевод был бы уместен только там, где приводится и подлинный текст.
      Сведения об изданиях творений Архимеда мы даем в конце книги. Мы сочли, кроме того, необходимым предпослать переводу в качестве введения обзор трудов Архимеда. Затем мы присоединили комментарии, облегчающие понимание некоторых мест трактата.
      Г. Н . Попов
     
      КРАТКИЙ ОЧЕРК НАУЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ АРХИМЕДА
     
      «Yir stupendae sagacitatis, qui prima fundamenta posuit inventionum fere omnium, de quibus promovendis aetasnost-ra gloriatur».
      (Валлис об Архимеде: «Человек сверхъестественной проницательности, кому мы обязаны в зародыше большей частью открытий, развитие которых покрыло славой переживаемую нами эпоху».)
     
      По свидетельству писателя Тцетцеса, знаменитый греческий метаматик Архимед прожил 75 лет, атак как он был убит при осаде Сиракуз римлянами, т. е. в 212 г. до нашей эры, то год его рождения 287 до нашей эры. Вот, в сущности, все данные для биографии этого замечательного человека, которыми мы располагаем. Кто были его родители, у кого он учился, где путешествовал, в каких условиях протекало его научное творчество—достоверно мы не знаем.
      К великому счастью для науки, до нас дошли некоторые его произведения, и этого достаточно, чтобы сделать заключение: Архимед был гений. Одно очевидно, что. современники его это поняли, ему удивлялись, его почитали, и по смерти Архимеда имя его предстало позднейшим поколениям в ореоле легендарной славы. И до наших дней все любящие и понимающие науку произносят имя Архимеда с тем невольным почтением, которым проникается всякий, став лицом к лицу е проявлением исключительной гениальности.
      Источником сведений о жизни и деятельности Архимеда была в древности биография, составленная Гераклитом и, к сожалению, утраченная. Кто был этот Гераклит — мы точно не знаем. Предполагают, что это был сын астронома Серапиона (II в. до н. эры). Писатели древности, сочинения которых дошли до нас, как-то: историк Тит Ливий, знаменитый римский писатель и оратор Цицерон, Диодор, Поливий, Плутарх и другие, сохранили нам ряд отрывочных данных, связать которые не представляется возможным, и, строго говоря, значительная часть этих рассказов анекдотического характера. Так как почти все они стали давно достоянием хрестоматий, учебников истории и популярных повествований, мы не будем здесь повторять их, считая достаточно известными.
      В деле ознакомления с этой могучей интеллектуальной силой можно добиться успешных результатов, обратившись к его духовному наследию. С этой целью мы вкратце разберем содержание всех дошедших до нас произведений Архимеда, а одно из них мы предлагаем читателям в виде полного перевода, тем более, что тогда набившие всем оскомину легенды и анекдоты станут понятней, приобретут,
      так сказать, почву для оправдания своего возникновения и более чем двухтысячелетнего существования.
      До нас дошли следующие творения Архимеда:
     
      1. «О равновесии плоских фигур и центре тяжести» (2 книги).
      2. «Квадратура параболы».
      3. «О шаре и цилиндре» (2 книги).
      4. «О спиралях».
      5. «О коноидах и сфероидах».
      6. «Измерение круга».
      7. «Исчисление песчинок».
      8. «О плавающих телах».
      9. Руководство (вновь открытое сочинение).
      10. «Леммы».
      11. «Zoculus» — род геометрической головоломки.
     
      Но нельзя думать, что все перечисленные сейчас сочинения подлинные и целиком принадлежащие Архимеду. Сам он писал на дорийском наречии, между тем книги «О шаре и цилиндре» и «Эфодик» дошли
      до нас в позднейшей переработке на обычном греческом языке. Книга «О. плавающих телах», до открытия проф. Гейбергом палимпсеста с «Эфодиком», была известна только по латинскому переводу, «Леммы» дошли в арабской рукописи, от книги «Стома-хион» дошли только отрывки на греческом и арабском языках, наконец, за исключением «Псаммита», во всех трактатах имеются вставки более позднего происхождения. Приходится ли этому удивляться? Наоборот, только исключительная и общепризнанная научная ценность спасда от забвения труды, за которыми числится более чем двухтысячелетняя давность.
      От многих древних авторов до нас дошли или скудные отрывки, или отдельные цитаты, а от некоторых дишь одни имена.
      Повидимому, часть сочинений Архимеда исчезла совершенно бесследно, например трактат «О конических сечениях» или «Арифметика», о которой сам Архимед упоминает в «Псаммите»:
      Будем благодарны относительно благоприятно сложившейся исторической обстановки и за то, чем мы располагаем в настоящее время. Но исследователь не должен терять надежды. В западноевропейских книгохранилищах имеется еще непочатый край неисследованных рукописей. Достаточно вспомнить библиотеку Эскуриала. И, наконец, на примере проф. Гейберга, как увидим ниже, ясно, что пытливость ученого и счастливая случайность могут обогатить науку прекрасными открытиями.
      Перейдем теперь к обзору сочинений Архимеда в последовательности, диктуемой, с одной стороны, их внутренней связью, а с другой — конечной целью настоящего введения, вследствие чего о «Псаммите» мы будем говорить в самом конце.
      Сначала мы рассмотрим трактаты геометрического характера, затем труды по механике и завершим наш обзор арифметикой.
     
      ИЗМЕРЕНИЕ КРУГА
      Этот замечательный трактат, едва в пять печатных страниц, представляет классический образец сжатого и строгого изложения и блестящего решения задачи об определении длины окружности и площади круга.
      Трактат начинается с доказательства следующего предложения: «каждый круг равен прямоугольному треугольнику, если радиус равен одной из сторон, заключающих прямой угол, а окружность равна основанию». Доказательство ведется приемом «reduc-tio ad absurdum». Сначала Архимед допускает, что круг больше этого треугольника, потом, что он меньше его. Приходя в обоих случаях к нелепости, Архимед заключает о верности утверждаемого.
      Второе предложение гласит: «круг относится к квадрату своего диаметра приблизительно, как 11 к 14». Оно основывается в сущности на третьем и последнем предложении: «Длина окружности превышает утроенный диаметр менее чем на одну
      седьмую, но более чем на десять семьдесят первых диаметра». Другими словами, Архимед доказывает, что
      где С — длина окружности, a D — ее диаметр. Для верхней границы Архимед последовательно выражает через диаметр периметры описанных многоугольников, до девяностошестиугольника включительно. Для нижней границы он в том же порядке берет многоугольники вписанные.
      Таким образом получено знаменитое архимедово приближение для к, равпое, как известно всем школьникам, у. Ввиду крайней простоты им чаще всего и пользуются, когда не требуется особой точности, хотя нижняя граница ближе к действительному значению:
      Чтобы оценить предложенный Архимедом метод вычисления длины окружности путем сближения границ, между которыми она заключается, через сравнение периметров вписанных и описанных многоугольников, надо вспомнить, что только более совершенные методы анализа бесконечно-малых вытеснили способ Архимеда, которым пользовались более 1800 лет!
      Интересно, что Архимеду пришлось в процессе вспомогательных вычислений иметь дело с извлечении квадратных корней, причем он не знал ни десятичной индусской нумерации, ни десятичных дробей. Около этого вопроса возникла целая литература, так как ни сам Архимед, ни его комментатор Эвтокий ничего об этом не говорят. Все видные историки математики [Несеельман, Кантор (Поль) Тан-нери, 3. Гюнтер, Гейберг] указывают на то, что полученные Архимедом результаты таковы, как будто он пользовался алгоритмом непрерывных дробей.
      Так, например, в одной из работ, Архимеду предстояло найти отношение двух отрезков, которое в действительности равнялось
      Архимед дает ответ в виде дроби Иначе говоря, он получает
      Полученное Архимедом значение не случайно. В самом деле. Разлагая VT в непрерывную дробью имеем:
      Вычисляя девятую подходящую дробь, получим для VT значение, данное Архимедом, т. е.
      Вместе с тем известны и следующие факты: Профессор Тибо, работая в Бенаресе, изучая древние памятники индусской науки (так называемую «Ведическую* геометрию») по сборникам, носящим название «Sulvasiitras» и содержащим правила относительно постройки жертвенников, их ориентации, формы, размеров, поверхности и объема, встретил в них приближенное значение для V2 в виде такой суммы:
      В 1879 г. русский математик Н. Алексеев изложил в «Bulletin de la Societe Mathematique de France» способ извлечения квадратных корней, который может быть назван «способом двух средних». Не вдаваясь в подробности, мы заметим только, что этим способом получается для V2 приближенное значение, данное индусами, из чего можно с некоторой вероятностью вывести, что этот способ был известен индусским математикам — искусным алгебраистам и калькуляторам.
      Знаменитый исследователь и математик, ориенталист Вбпке приводит ряд веских аргументов в пользу того, что за три века до нашей эры греки могли ознакомиться с математическими знаниями индусов, и что указанный способ мог быть небезызвестным Архимеду.
      Если применить метод двух средних к вычислению F3, получим ряд нриближецных значений:
      с избытком у, у, gg; с недостатком у, у, уу.
      Здесь мы не видим архимедова приближения, но если сложить почленно два последних приближения, то получим:
      Возможно, таким образом, что Архимед, пользовался смешанным методом: «двух средних» и «методом медиации» 1.
      1 Сущность последнего очень проста: если даны лве неравные дроби и —, то дробь, происходящая от почленного сложения числителей и знаменателей, всегда, как известно, имеет промежуточное значение. ...
     
      О ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ
      В этом трактате Архимед имеет целью, как сам указывает во введении, доказать три следующих предложения:
      1. Поверхность шара в четыре раза больше площади большого круга.
      2. Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом прямую, проведенную от
      равную трем вторым поверхности шара.
      В наше время предложение 2 формулируется обычно так: поверхность шарового сегмента равна площади круга, радиус которого есть хорда образующей дуги сегмента.
      В самом деле. Если поверхность сегмента S, то как известно (черт. 1), вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.
      Черт. 1.
      3. Цилиндр, имеющий основанием большой круг шара,, а высотой его диаметр (т. е. цилиндр, описанный около шара), имеет объем, равный трем вторым объема, и поверхность,
      но из чертежа имеем:
      и значит:
      Третьему предложений) сам Архимед, повидимому, придавал исключительное значение. По крайней мере предание гласит* что Архимед высказал своим ближайшим друзьям пожелание, чтобы это открытие было отмечено на его надгробном памятнике путем изображения цилиндра с вписанным в него шаром. Цицерон рассказывает, что, посетив Сицилию, он нашел гробницу Архимеда только по этому изображению.
      Помимо отмеченных трех предложений заслуживает внимания своеобразное выражение для поверхностей цилиндра и конуса, которые дает Архимед в этом трактате.
      Поверхность прямого цилиндра без площадей оснований (т. е. боковая поверхность) равна площади круга, радиус которого есть средне-пропорциональное между производящей цилиндра и диаметром его основания.
      Действительно. По известной формуле имеем:
      Поверхность прямого конуса без площади основания равна площади круга, радиус которого есть средне-пропорциональное между производящей конуса и радиусом его основания. Иначе говоря, для поверхности Архимед дает формулу:
      Кроме того, он дает предложения относительно объема шара и сферического сектора и ряд задач-Йапример, «по данному конусу или цилиндру найти шар, имеющий объем, равный объему данного конуса или цилиндра». «Построить сферический сегмент, подобный одному данному и равный другому, тоже данпому сегменту». Весьма интересна задача: «пересечь шар плоскостью так, чтобы объемы получен-пых сегментов находились в данном отношении».
      Если приравнять отношение объемов обоих сегмеп-тов данному числу, то для отыскания высоты одного из сегментов приходится решать уравнение третьей степени, корни которого, как известно, нельзя построить с помощью циркуля и линейки, т. е. пользуясь при построении только прямыми и дугами круга. Сам Дрхимед построения не дает, но если он решил эту задачу, то только с помощью конических сечений.
     
      ЛЕММЫ
      Как мы уже указывали, это маленькое сочинение дошло до нас только в арабском тексте. Впервые переведено на латинский Гривсом и Фостером в 1659 г. (Heiffinata Arehimedis); второй перевод, в 1661 г., А. Барелли с комментариями Ал-Мохтасса, Абул.-Гассана и Абуль Сагал-ал-кухи. Манера изложения мало напоминает их автора: вероятно, текст утраченного оригинала подвергался искажениям или, может быть, позднейшей обработке. Кантор исследовал вопрос о том, какие именно леммы можно считать принадлежащими Архимеду, но все-таки вопрос остается открытым.
      Весь трактат состоит из 15 предложений. Мы приведем текст трех из них, чтобы дать знакомство с характером разби- и
      раемых вопросов. Черт: 2.
      Лемма IV. Пусть ABC—полукруг. На его диаметре построены два равных полукруга AD и DC. Пусть DB—перпендикуляр к АС. Фигура, полученная таким построением и ограниченная большой полуокружностью и двумя малыми, называетсяарбелон (секирка).
      Площадь арбелона равна площади круга, имеющего диаметром перпендикуляр DB (черт. 2). (...)
      Лемма TIL Если круг описан около квадрата, а другой в него вписан, то описанный круг вдвое больше вписанного.
      Доказательство почти очевидно.
      Лемма XI. Если в круге две хорды АВ, СВ пересекаются под прямым углом в точке Е, которая не есть центр, то сумма квадратов Черт. 3. отрезков АЕ, BE, ЕС, ЕВ
      равна квадрату диаметра (черт. 3).
      Решение предоставляем читателям. Интересно что некоторые леммы встречаются у индусского математика Брамегупты (TI в. нашей эры).
     
      LOGULUS ARCHIMEDIUS
      Латинские писатели Марий Викторин (IV в. нашей эры) и Атилий Фортунациан указывают, что Архимеду принадлежит следующая задача. Дан квадрат из слоновой кости, разрезанный на 14 многоугольников различной формы; из этих кусков требуется составить не только первоначальный квадрат, но также и другие фигуры. Вопрос о причастности Архимеда к этой игре был неясен до 1899 г., когда историк математики Зутер нашел арабский текст, гласящий: разрезать квадрат на 14 частей, влощади которых находились бы в рациональных отношениях к площади всей фигуры. Задачу эту Архимед называет «звтоцауюм» (собрание отрезков). Постановка вопроса как видим, более научна и не совпадает с латинской версией. Открытие проф. Гейбергом в 1906 г. константинопольского палимпсеста подтвердило догадки о принадлежности этой задачи Архимеду, так как рукопись содержит начало трактата «ycopaytov».
      Указанная задача допускает множество решений. Бот как решает ее сам Архимед.
      Пусть в квадрате ABCD (черт. 4) точки Е, N, Z середины сторон СВ, CD и DA. Проведем прямые ZE, ZB, ZC и АС. Прямая АС пересекается в точках L и F е прямыми ZB и ZE. Соединим точку В е серединой М отрезка AL, точку Е с серединой G отрезка ZC и точку G с N. Наконец на прямой, проходящей через середину Н отрезка BE и через точку А, возьмем отрезок ЯК, отсеченный прямой ZB. Через точку Я и через середину Т прямой BZ проведем прямую НТ. На прямой, проходящей через точки GylB, возьмем отрезок GO, ограниченный прямыми ZC и DC. Квадрат ABCD разделится на 14 частей, из которых 7 находятся в прямоугольнике ZB и 7 в прямоугольнике ZC, и все эти части, как мы покажем, удовлетворяют поставленным требованиям. Так, если площади этих частей выразить в сорок восьмых долях всей площади, то каждая из них будет иметь размер, обозначенный на чертеже 5.
      Доказательство. Обозначим площадь всего квадрата буквой S. (...)
      Трактат этот в подлиннике называется «Сечение прямоугольного конуса». Дело в том, что, судя по отрывку из сочинения греческого математика Геми-на (I в. до н. эры), сохраненного нам Эвтокием в его комментариях к «Коническим сечениям» Аполлония, первым из геометров, изучившим сеяения конуса плоскостью, был Менехм, ученик Платона. При этом сечения получены им не на одном конусе, а на трех. Если угол при вершине осевого сечения конуса был острый, то плоскость, перпендикулярная к образующей, давала в сечении с конусом эллипс. При тупом угле получалась гипербола и, наконец, при прямом — парабола. Отсюда понятно название трактата Архимеда. И в этом последнем и н трактате «О коноидах и сфероидах» он делает ссылки на сочинение, озаглавленное «Конические сечения», без упоминания автора, что он делал только тогда, когда ссылался на собственные произведения. Отсюда с некоторой вероятностью можно вывести, чт6 Архимед нанисял такое сочинение, до нас не дошедшее. Это вполне возможно, так как только что упомянутые два трактата предполагают в их авторе основательное знакомство со свойствами конических сечений.
      Во введении к трактату «Квадратура параболы» мы встречаемся с началом, которое лежит в основе «метода исчерпывания». «Для доказательства предложения,— говорит Архимед, — я пользуюсь следующей леммой: если две площади неравны, то всегда возможно последовательным приложением их разности к самой себе получить такую площадь, которая превосходила бы произвольно данную конечную площадь». И прежние геометры употребляли эту лемму. Помощью ее они доказали, что площади кругов находятся в отношении квадратов их диаметров, что объемы шаров находятся в отношении кубов их диаметров, далее, что всякая пирамида составляет одну треть призмы одного основания и одной высоты с ней, и что всякий конус составляет одну треть цилиндра одного основания и одной высоты с ним. Все это они доказали помощью упомянутой леммы.
      Это положение, повидимому, впервые получило применение в школе Платона и развито Эвдоксом (ум. в 357 г. до пашей эры). Отвлекаясь от геометрического содержания леммы, можно формулировать ее так: «разность двух однородных величин можно повторить столько раз, что полученная сумма превзойдет каждую из данных величин». Метод исчерпывания основанный на применении этой леммы, заменял древним геометрам, и в особенности Архимеду, пользовавшемуся им с замечательным искусством, метод бесконечно-малых нового времени.
      В трактате «Квадратура параболы» Архимед доказывает следующее предложение: «площадь параболического сегмента равна */з площади треугольника, имеющего основанием хорду сегмента, а высотой — высоту этого сегмента».
      Если через середину хорды параболы проведена прямая, параллельная ее оси, а в точке пересечения этой параллельной с кривл построена касательная, то эта касательная параллельна хорде. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки касания на хорду, больше перпендикуляра, опущенного из всякой другой точки дуги сегмента на его хорду: это высшая точка сегмента; расстояние ее от хорды и есть высота сегмента. Отсюда Архимед выводит, что треугольник, имеющий основанием хорду сегмента, а высотой его высоту, больше половины сегмента. Таким образом площадь сегмента больше площади треугольника, но меньше его двойной площади. Если в мецьшие сегменты, отсекаемые боковыми сторонами треугольника, опять вписать треугольники наибольшей площади, то каждый из них больше половины своего сегмента (но меньше всего сегмента), и сумма их площадей составляет */4 площади первоначального треугольника. Поэтому площадь данного сегмента больше но меньше 1Y2 площади вписанного в него треугольника. Путем подобных рассуждений, вписывая треугольники в постепенно уменьшающиеся сегменты, Архимед приходит к заключению, что площадь сегмента не может быть больше Vs, но не может быть и меньше 4/з треугольника, имеющего те же основание и высоту.