На главную Тексты книг БК Аудиокниги БК Полит-инфо Советские учебники За страницами учебника Фото-Питер Настрои Сытина Радиоспектакли Детская библиотека

Методы решений арифметических задач. Александров, Александров. — 1953 г.

Иван Иванович Александров
Андрей Иванович Александров

Методы решений арифметических задач

*** 1953 ***


DjVu




      ОГЛАВЛЕНИЕ
     
      Предисловие редактора 3
      Краткая биография И. И. Александрова 5
      Предисловие автора 9
      § 1. Арифметические задачи и их классификация 14
      § 2. Первый класс арифметических задач 15
      § 3. Методы:
     
      I 1) Приведения к единице
      I 2) Приведения к общей мере
      I 3) Обратного приведения к единице
      I 4) Отношений 21
     
      I 1. — метод приведения к единице и
      I 2. — метод приведения к общей мере
      I 3. — метод обратного приведения к единице 24
      I 4. — метод отношений
     
      § 4. Второй класс арифметических задач 25
      II — метод обратности
     
      § 5. Третий класс задач. Методы: исключения неизвестных, пропорционального деления, подобия, нахождения частей 29
      § 6. Метод исключения неизвестных (III) 30
      III 1. — соединение нескольких условий в одно
      III 2. — сравнение двух условий вычитанием
      III 3. — замена одного неизвестного другим 31
      III 4. — уравнивание неизвестных 32
      III 5. — уравнивание данных 33
     
      § 7. Метод пропорционального деления (IV) 36
      § 8. Метод подобия (V) 38
      § 9. Метод нахождения частей (VI) 42
      § 10. Метод преобразования одной задачи в другую (VII) 43
      VII 1. Приём разложения трудной задачи на ряд подготовительных
      VII 2. Приведение неизвестных к таким значениям, при которых становится известным их отношение
      VII 3. Приём назначения произвольного числа для одной из неизвестных величин 44
     
      § 11. Граница между арифметическими и алгебраическими задачами 45
      § 12. Число методов и приёмов, необходимых и достаточных для разрешения арифметических задач 49
      § 13. Дополнительные методы и приёмы решений арифметических задач 54
      VIII. Метод средних арифметических
      IX. Метод остатков 57
     
      § 14. Задачи для упражнений на нахождение соответствующих методов решений 62
      Ответы 73

     
     

      ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
      Труд Ивана Ивановича Александрова "Методы решений арифметических задач" вышел в 1887 г. в г. Тамбове. Ещё ранее (в 1883 г.) там же вышел его более известный труд "Методы решений геометрических задач на построение". Эти замечательные работы явились в числе первых основоположений русской методики математики средней школы.
      При жизни автора "Методы решений арифметических задач" имели 7 изданий, а второй труд — 14 изданий. Каждое новое издание автор улучшал и совершенствовал. После смерти И. И. Александрова осталась рукопись "Методы решений арифметических задач", подготовленная к 8-му изданию, в которой автором были внесены существенные изменения.
      Книги И. И. Александрова представляют и до сих пор не только историческую ценность, но остаются полезными руководствами для преподавателей математики средней школы и в особенности преподавателей методики математики в педагогических учебных заведениях.
      К наследию И. И. Александрова можно подойти двояко:
      1) на основе современных требований методики математики и того развития, которое получила заданная проблема в методике арифметики, внести значительные изменения в его труд;
      2) изменить самое необходимое, без чего невозможно выпустить в свет труд, например: выпустить все задачи, не соответствующие по своему содержанию современным общественным отношениям; вставить новые вместо выпущенных; уточнить терминологию и пр.
      Редактор остановился на последнем подходе к труду И. И. Александрова, чтобы сохранить соответствие его з
      взглядам и убеждениям покойного мыслителя и творца в методике арифметики.
      Сын И. И. Александрова, Андрей Иванович Александров, согласился на этих основаниях переработать труд своего отца, и поэтому работа выходит под двумя фамилиями — отца и сына.
      И. Андронов.
      Москва, 24 июля 1952 г.
     
      КРАТКАЯ БИОГРАФИЯ И. И. АЛЕКСАНДРОВА
     
      Иван Иванович Александров родился 25 (12) декабря 1856 г. в г. Владимире, в небогатой семье уездного врача. Матери лишился рано и не помнил её. В 1861 г. его отец Иван Павлович переехал с тремя детьми в Тулу, куда был переведён по службе городским врачом.
      Иван Иванович окончил Тульскую гимназию и поступил в Петербургский университет на физико-математический факультет. В университете он слушал лекции П. Л. Чебышева, А. Н. Коркина, Д. И. Менделеева и других. Не ограничиваясь лекциями по своей специальности, Иван Иванович посещал лекции на других факультетах, благодаря чему и получил многостороннее образование. Но Александров никогда не замыкался в рамках одной математики, он интересовался живописью, театром, музыкой и шахматами (впоследствии было напечатано много его шахматных задач). По окончании университета в 1878 г. Иван Иванович был назначен учителем математики в Тамбовскую гимназию, где и проработал до осени 1906 г.
      В Тамбове он прочитал много публичных лекций не только на математические, но и на общеобразовательные темы. Многие лекции были повторены им в г. Козлове (ныне Мичуринске). В тамбовских газетах он выступал со своими рецензиями как музыкальный критик. Летом 1884 г. Иван Иванович женился на Елизавете Ниловне Андреевой (дочери учителя Тамбовской гимназии).
      С осени 1906 г. Иван Иванович переехал с семьёй в Москву, где преподавал математику в частных гимназиях и читал лекции в Народном университете имени Шанявского и на вечерних курсах при Межевом институте.
      Административных должностей Иван Иванович на себя не брал, а ещё вероятнее, отстранялся от них прежним правительством. Отзывы учащихся об Иване Ивановиче были всегда восторженные и как об учителе математики, и как о человеке.
      В течение своей продолжительной педагогической деятельности Иван Иванович напечатал много трудов, из которых "Методы решений геометрических задач на построение" доставили автору не только всероссийскую, но и европейскую известность.
      К своей научной и педагогической работе он относился очень строго. "Учитель должен не только в совершенстве знать свой предмет и ясно излагать его ученикам,— без духовного воздействия на учеников он или чиновник или ремесленник плохого разряда". И он действительно не только преподавал математику, но и воспитывал учеников. Никогда он не старался идти проторёнными путями, а всегда искал новое и оригинальное.
      Иван Иванович был активным участником многих съездов преподавателей математики в России, постоянно выступал на них с докладами. Был на съезде математиков в Париже.
      Математические труды Ивана Ивановича начинают печататься в Тамбове с 1880 г. В математических журналах постоянно печатались его статьи, рецензии, некрологи.
      Главный труд Ивана Ивановича Александрова "Методы решений геометрических задач на построение" — труд, не имевший предшественников в русской литературе. До издания этой книги, в сущности, в России никакой определённой методики в решении геометрических задач на построение не существовало. "Геометрические задачи раньше решались без общих методов — каждая в отдельности. Несколько десятилетий назад Ю. Петерсен за границей и Иван Иванович Александров у нас в России разработали общие методы решений; с тех пор это дело было поставлено на твёрдый фундамент и сделалось полезной частью учебного материала". "По способу автора можно исследовать всю неисчерпаемую область задач на построение; при этом некоторые геометрические идеи оказываются рычагами решения целого класса задач".
      Иван Иванович систематизировал геометрические задачи на построение не по каким-либо случайным признакам, не по степеням трудности, а по методам решений.
      Книга обратила на себя внимание за границей, была переведена на французский, немецкий и другие языки.
      В Советском Союзе книга была издана четыре раза (1925, 1934, 1936 и 1950 гг.).
      Руководящие идеи методов геометрических построений Иван Иванович перенёс в методику решения арифметических задач. В результате этого появилась его работа "Методы решений арифметических задач", оказавшая большое влияние на методику преподавания арифметики. В 1908 г. Иван Иванович выпускает новую книгу "Основания арифметики". (В последующие годы эта книга имела ещё 2 издания.) Все свои работы, от издания к изданию, автор совершенствовал и вносил в них новое.
      Осенью 1918 г. с Иваном Ивановичем произошёл несчастный случай (он попал под трамвай); ему пришлось ампутировать ногу и долгие месяцы пролежать в больнице. В больнице он подготовил к новому изданию свои главные труды: "Методы решений геометрических задач" и "Методы решений арифметических задач®. В 1919 г. Иван Иванович возвратился в свою семью, но к педагогической работе вернуться ему уже не пришлось — 20 декабря 1919 г. (в Москве) Иван Иванович Александров скончался.
      Предлагаемый труд моего отца Ивана Ивановича Александрова (посмертная рукопись 1919 г., подготовленная им для 8-го издания) значительно мною изменён и дополнен на основе изучения прежних изданий той же книги и следующих работ Ивана Ивановича Александрова:
      "Классификация арифметических задач" (1914 г.).
      "Классификация арифметических задач в современных задачниках" (1915 г.).
      "Современные требования от арифметических задач-' ников" (1915 г.).
      Значительная переработка произведена в связи с заменой старых русских мер метрическими, заменой тематики некоторых задач, не соответствующих современности, и дополнением новыми задачами с тем, чтобы иллюстрация соответствующих методов решения арифметических задач имела свою конкретность и наглядность.
     
      Основные труды И. И. Александрова
     
      1. "О причинах развития математики" (Тамбов, 1880 г.).
      2. "Памяти великого русского математика Лобачевского" (Тамбов, 1881 г.).
      3. "Методы решений геометрических задач на построение и сборник геометрических теорем и задач на построение" (изд. 1, Тамбов, 1883 г., всего 18 изданий).
      4. "Методы решений арифметических задач" (Тамбов, 1887 г., всего 7 изданий).
      5. "Приложение геометрических построений к тригонометрии".
      6. "Геометрические методы разыскания максимума и, минимума" (Москва, 1892 г.).
      7. "Первые XIX предложений Эвклида" (Тамбов).
      8. "О составлении и решении задач на вращение" (1895 и 1905 гг.).
      9. "Наглядное преподавание геометрии" (Москва, 1907 г.).
      10. "Основания арифметики" (Москва, 1908 г., всего 3 издания).
      11. "Задача Паппа чистым построением" ("Вестник опытной физики", № 508, 1910 г.).
      12. "О построении параллелограмов" ("Математическое образование", № 2, 1912 г.).
      13. "Конструктивные задачи с неприступными точками" ("Математическое образование", № б, 1913 г.).
      14. "Значение геометрических методов в изложении геометрии" ("Математическое образование", № 3—4, 1917 г.).
      А. Александров.
     
      ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
     
      Обращаю внимание читателей на следующие идеи, проведённые в настоящей книге.
      1) Никоим образом не следует классифицировать задачи в зависимости от тех предметов и действий, о которых говорит задача.
      2) Задачи следует разделить на два вида (см. стр. 14). Второй вид имеет преобладающее значение.
      3) Метод исключения неизвестных приёмом уравнивания данных (1Н6, стр. 33) должен быть разделён на два рода, так же как и метод подобия (стр. 38) и метод нахождения частей (стр. 42).
      4) Решение уравнений первой степени не представляет специфического метода алгебры и всегда может быть переведено на чисто арифметические соображения и арифметический язык.
      Вообще же обособление методов алгебры от методов геометрии и арифметики, а также нарочитое предпочтение одного метода другим является крупной ошибкой. Все три метода как развившиеся, несомненно, из одного источника должны помогать развитию предмета, а не задерживать его.
      5) Поэтому некоторые арифметические вопросы можно и должно рассматривать с точки зрения алгебры. Благодаря этому явилась возможность определить число методов и приёмов1, необходимых и достаточных для решения всякой арифметической задачи, приводящей к уравнению первой степени, а также указать, с какого рода задач должны вступать в свои права уравнения.
     
      1 Есть существенная разница между методом решения и приёмом. Объясним это следующим примером. Известно, что заразные болезни вызываются размножением микробов. Из этого положения вытекает общий метод лечения заразных болезней — уничтожение микробов. Но это последнее может быть достигнуто совершенно различными приёмами, например: 1) введение в организм элементов, непосредственно убивающих тот или другой микроб; 2) разведение в организме безвредных микробов — врагов микроба, дающего болезненное состояние; 3) разведение в организме начала, порождающего новых микробов, и друзей, и врагов данного микроба, причём враги разводятся в большем количестве и т. д. Ниже я для краткости иногда соединяю термины "метод" и "поиём" под названием способа.
     
      6) В ряду соображений, подкрепляющих пункты 4 и 5, немалую роль играют примеры:
      а) Арифметических задач, недоступных уравнениям (№ 8-13, 162).
      б) Задач с квадратными уравнениями, доступных арифметике (задачи № 84—90), и задач, которые легче решаются арифметическими рассуждениями (№ 55, 55*, 144, 145, 154).
      в) Задач, показывающих, что самое простое решение задач уравнениями не может быть достигнуто без знания арифметических методов и приёмов.
      г) Задач на простой счёт или два арифметических основных действия, которые стоят несколько отдельно от обычных задач на вычисление (№ 3—43). Предварительное решение этих, вообще маленьких упражнений, несомненно, очень полезно.
      Все эти идеи выполнены в предлагаемом издании книги с посильной добросовестностью. Из книги исключены периодические и непрерывные дроби, потому что этим вопросом, по глубокому убеждению автора, в средней школе нет места. При решении задачи различными методами и приёмами предпочтительнее выбирать тот, который распространяется на более широкий круг задач.
      К сказанному можно прибавить следующее из предисловий к прежним изданиям этой книги. Арифметические решения задач дороги тем, что они одинаково доступны всем — ребёнку и юноше, малообразованному человеку и глубокому учёному; для тех и других мысль в этом случае идёт по одному пути. Умение всмотреться в условия задачи, острота умственного зрения, способность комбинирования — вот что нужно для быстрого и ясного решения арифметических задач. Все эти причины всегда заставляли отводить арифметическим задачам видное место в живой педагогике.
      Решение геометрических задач на построение имеет очень много общего с решением арифметических задач. Аналогия между этими двумя отделами задач чрезвычайно велика. Идеи, лежащие в основе решения, для обоих отделов одинаковы.
      В девяностых годах прошлого столетия мною высказана в моих трудах весьма простая и очевидная мысль: чтобы свободно решать геометрические задачи на построение, нужно ознакомиться со способами решений и с идеями, управляющими решениями.1 Отсюда уже возникла классификация задач по методам их решений. Только в 1911 г. эта мысль получила в России полную оценку научного общественного мнения (Первый Всероссийский съезд преподавателей математики).
      Тридцать лет назад1 2 я высказал ту же мысль относительно арифметических задач. В течение 30 лет я указывал, что нелепо делить арифметические задачи по рубрикам предметов и прочим формальным признакам, что в основание классификации задач надо положить не предметы, о которых говорит задача (существует множество задач, решаемых совершенно одинаково, хотя указанные в условиях предметы совершенно различны), а те идеи, которые направляют решение, что тип задачи зависит лишь от той математической зависимости данных и искомых, которая определяет тот или другой способ решения.
      Если учащийся не знает главных способов решения (ниже мы увидим, что их вовсе немного), то он, естественно, часто бывает бессилен в решении задач. При знании всех методов решений можно последовательно применить к решению все методы, и тогда решение обнаружится.
      Проделав и составив множество арифметических задач самого разнообразного содержания, я убедился, что арифметические методы делаются до некоторой степени бессильными, именно там, где это и следовало ожидать, т. е. в задачах второй степени, также в задачах первой степени3, которые представляют собой частный случай задач второй степени. Необходимо, однако, заметить, что встречаются задачи второй степени, вполне доступные арифметике (см. стр. 45—48).
      Идею классификации арифметических задач по методам их решения я взял из геометрии из своей же книги "Методы решений геометрических задач на построение"4.
      Несколько позднее я нашёл ту же идею в "Методах решений арифметических задач® Киричинского. У меня сохранилось впечатление, что автор недостаточно развил свои мысли. Отдельные заметки Киричинского на ту же тему, оказывается, были помещены в журнале "Гимназия" (Рига, 1880-е годы). Краткие указания на распределение задач по методам решения были также в арифметическом задачнике Стеблова. Группировка арифметических задач по типу уравнений, к которым приводит задача (Д. Волковский, Руководство к детскому миру в числах, Москва, 1911), не может быть признана удачной: при крайнем разнообразии арифметических задач ею нельзя исчерпать все типы (в особенности задачи со многими неизвестными). С другой стороны, ставить арифметические приёмы решений в полную зависимость от алгебры невозможно, потому что (как и в геометрии) существуют задачи, которые легко решаются арифметикой, но с трудом поддаются или совсем не поддаются алгебре.
      Решение многих задач с помощью составления и решения уравнений не может быть свободно и изящно выполнено без знания главнейших арифметических методов потому, что основу, фундамент для составления уравнений создают, кроме четырёх основных действий математики, арифметические методы. Рассмотрим, например, следующую задачу.
     
      "Один человек может вскопать огород в 10 час., другой в 20 час. Часть работы выполнил первый, остальное — второй, причём в совокупности они работали 15 час. Сколько часов работал первый и сколько второй?"
     
      Так как ответ не зависит от размера огорода, то дадим огороду произвольные размеры, например 400 кв. м. Тогда первый вскопает в час 40 кв. м.. второй 20 кв. м.
      Алгебра даёт уравнения х+у=15; 40х+20у=400, простота которых вызвана чисто арифметическими соображениями. Обычное решение приводит к уравнениям
      х+у=15 и х/10+y/20=1.
      Но каким образом получилось второе уравнение? Оно получилось потому, что мы догадываемся рассматривать части огорода, вскапываемые каждым человеком в час, т. е. оно получилось по методу нахождения частей, которым решается весьма многочисленный класс задач.
      В преподавании арифметики не надо забывать о наглядности. Много лет назад я устроил для учащихся высших классов сосуд Мариотта с двумя кранами, объясняющий наглядно задачи о бассейнах. Позже я встречал своих учеников через много лет, и они помнили эту задачу.
      В заключение скажем, что предлагаемая работа, подвигая вопрос, может быть, значительно вперёд, не исчерпывает всей его сущности до конца, но что выбранный путь разрешения проблемы правилен, в этом едва ли может быть сомнение.
      Наконец, может быть затронут вопрос о том, в каком объёме могут быть пройдены предлагаемые методы в наших школах. Разумная сдержанность и такт преподавателя определяют это гораздо лучше, чем всякие теоретические рассуждения.
      И. Александров.
      Москва, 1917, III.
     
      В дальнейшем для краткости пояснения употребляются обозначения:
      1) Римские цифры (в скобках и без скобок) указывают номера методов решений.
      2) Арабские цифры, помещённые внизу справа от римских, указывают номер приёма данного метода (например: III 2 — метод третий, приём второй).
     
     
      § 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
     
      Арифметической задачей называется вопрос, взятый из какой угодно области и разрешимый счётом и четырьмя арифметическими действиями. Мы будем говорить главным образом о задачах на все 4 действия с целыми и дробными числами, независимо от количества действий и от величин чисел. При этом предполагается, что решение задач с целыми и дробными числами на каждое из четырёх действий, а также нахождение частей целого и обратно (нахождение целого по части), уже известны читателям.
      Все арифметические задачи можно разделить на три больших класса, из которых каждый делится на два вида.
     
      Первый вид
      В этих задачах прямо указано, какие действия надо сделать с данными числами; порядок действий тоже указан непосредственно. Например:
      1. К половине суммы чисел 177 и 349 прибавить две трети разности чисел 972 и 171 и результат разделить на 7.
     
      Второй вид
      В задачах этого вида действия с данными числами указаны косвенно; эти действия более или менее заметны по смыслу условий задачи. Кто проделал достаточное количество условных задач на каждое отдельное действие, тому нетрудно заметить каждый шаг решения задачи. Пример:
      2. Я получил тысячу рублей. 1/5 этих денег внёс в сберкассу. Сколько было у меня денег в сберкассе через год, если сберкасса выплачивала 3% годовых?
      Ясно, что задачи второго вида гораздо многочисленнее и имеют доминирующее значение. Кроме деления задач на три класса (каждый с двумя видами), мы классифицируем все арифметические задачи по методам их решений.
     
      § 2. ПЕРВЫЙ КЛАСС АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
     
      В этот класс входят: простейшие задачи, где не требуется особых методов их решения; задачи на простое вычисление, не требующие применения каких-либо особых методов; задачи, сравнительно легко решаемые простым счётом и четырьмя арифметическими действиями. Действия, необходимые для решения, и их порядок указаны либо прямо (первый вид, задача 1), либо выясняются из условий задачи (второй вид, задача 2).
      Алгебраическая формула задач этого класса:
      х=f(а, b, с, . . . , k),
      где
      a, b, с, . . . , k суть данные числа и f — какая-нибудь рациональная алгебраическая функция.
      Не надо думать, что задачи на одно или два действия и даже на простой счёт всегда даются легко. Среди этих задач попадаются трудные лишь для объяснения решения, но встречаются и такие, которые могут затруднить решающего зависимостью данных и искомых, общая картина которой устанавливается не сразу. Решение этих задач, несомненно, очень полезно как элементарная арифметическая подготовка.
      3. Прибыло сто лодок, в каждой по 100 арбузов.
      Сколько тысяч арбузов привезено?
      Эту задачу целесообразно решить устно. Рассуждения ведутся так: выделим первый десяток лодок, он даст 10 сотен, или первую тысячу арбузов; выделим второй десяток лодок и т. д.
      4. Сколько тысяч составляет 300 сотен? Сколько тысяч составляет 100 десятков тысяч, 300 десятков тысяч?
      б. Сколько тысяч в тысяче десятков? Сколько тысяч в тысяче сотен? Сколько миллионов в миллионе десятков, в миллионе сотен? Сколько тысяч в 10000 сотен, в 10000 десятков?
      Подобного рода вопросы решаются на основании
      истины: "семь пятков составляют пять семёрок", "десять дюжин составляют двенадцать десятков" и т. д. (т. е. от изменения порядка сомножителей произведение не изменяется).
      6. Сколько тысяч в 7 тысячах десятков? Сколько тысяч в 25 тысячах сотен? Сколько миллионов в 35 миллионах десятков, в 8 миллионах сотен?
      Сколько тысяч в 30000 сотен, в 250000 десятков? (см. № 5).
      7. Сколько дней составят 17 часов, повторенные 24 раза?
      Сколько часов составят 240 минут, взятые 60 раз? (каждый час, повторенный 24 раза, составит один день; минута, взятая 60 раз, составит один час).
      8. В аллее 40 деревьев. 17-е дерево от конца аллеи каким будет по счёту от начала аллеи? 19-е дерево от начала каким придётся от конца? Сколько промежутков между каждыми двумя соседними деревьями образует вся аллея?
      9. Облигации в одной пачке сверху вниз обозначены подряд номерами: 157239, 157238, 157237 и т. д. Который номер надо снять последним, чтобы взять из пачки 37 облигаций? Переменится ли сущность решения, если номера облигаций идут в возрастающем порядке?


      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ

 

 

ТРУДИМСЯ ДЛЯ ВАС, НЕ ПОКЛАДАЯ РУК!
ПОМОЖИТЕ ПРОЕКТУ МАЛОЙ ДЕНЕЖКОЙ >>>>

 

На главную Тексты книг БК Аудиокниги БК Полит-инфо Советские учебники За страницами учебника Фото-Питер Настрои Сытина Радиоспектакли Детская библиотека

 

Яндекс.Метрика


Борис Карлов 2001—3001 гг. = БК-МТГК = karlov@bk.ru