Арифметические упражнения
и функциональная пропедевтика

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Предлагаемый сборник арифметических упражнений представляет собой в нашей методической литературе первую попытку конкретного разрешения одной из трудных методических задач, с которой приходится сталкиваться каждому преподавателю средней школы.
      В вопросе о формах повторения арифметического материала, усовершенствования и закрепления навыков вычислений в средних и старших классах школы до сих пор нет достаточной определённости. С другой стороны, и понятие о функции проходится в курсе алгебры обычно довольно поверхностно, без того, чтобы была проявлена должная забота о создании и накоплении у учащихся соответствующего конкретного числового и графического опыта. Что, когда и как надо делать, чтобы оба этих важнейших участка работы обеспечить полезными и в достаточной мере интересными для учащихся упражнениями, остаётся неясным для большинства преподавателей. В результате внимание уделяется обычно лишь повторению стандартного арифметического материала и мало эффективным упражнениям в черчении графиков. Такое положение дела крайне неблагоприятно сказывается, с одной стороны, на уровне вычислительной культуры оканчивающих среднюю школу и на усвоении ими чрезвычайно важного как с практической, так и с теоретической точки зрения понятия о функции — с другой.
      Настоящий сборник не является случайным набором отдельных задач, а представляет собой результат продуманной и экспериментально проверенной работы автора в направлении устранения указанных недостатков. Тем не менее — в силу новизны самого метода — практическое освоение этого опыта преподавателями средней школы в настоящее время должно производиться в экспериментальном порядке. Проникновение идей автора в повседневную практику школы потребует, конечно, и времени и дальнейшей методической работы: предлагаемый вниманию учителя сборник, вместе со статьей автора в 6-м выпуске Известий Академии педагогических наук, представляют собой лишь первые шаги в этом направлении.
      Что же должен иметь в виду преподаватель, задающийся вопросом о том, как ему в своей школьной практике использовать предлагаемый материал?
      Прежде всего, надо освоиться со следующими основными идеями автора.
      Первая заключается в том, что внимание переключается на арифметическую вычислительную работу, как таковую, с точки зрения свойственных ей специфических аттрибутов, вне традиционной — и здесь не нужной — прямой связи с прохождением и закреплением теоретического материала курса. И преподаватель и учащиеся должны, не отвлекаясь в сторону и не интересуясь в данный момент непосредственно никакими вопросами теоретического порядка, сконцентрировать своё внимание и усилия на чёткой и целесообразной организации и выполнении вычислений. В связи с этим автор старается указать наиболее экономные, простые и эффективные способы выполнения работы. Как в работе преподавателя, так и в работе учащихся должна быть обнаружена предельная организованность, собранность и лаконичность, — ничего лишнего, только то, что непосредственно нужно для действия, для выполнения намеченной работы и её контроля. Очень определённые и детальные указания в отношении порядка проведения упражнений, расположения вычислений и т. д. облегчат преподавателю переход к этому стилю работы. Этот стиль должен прежде всего сделать — на время проведения упражнений данного типа — своим достоянием сам преподаватель, — этот стиль должны почувствовать и перенять учащиеся.
      Вторая сторона дела заключается в том, что непосредственно упражнения не ведут ни к каким теоретическим обобщениям, которые должны были бы быть непременно формулированы преподавателем или учащимися. Однако они построены так, что самое выполнение этих упражнений следует рассматривать как активный со стороны учащихся процесс накопления опыта, естественным образом приводящего к образованию и закреплению соответствующих понятий на конкретной числовой и графической основе.
      Эти оба элемента и обусловливают интерес, который, как показывает практика, проявляют учащиеся к этому новому для них виду упражнений. Определённость, чёткость, организованность самой работы, бросающаяся в глаза практичность и простота предлагаемых приёмов производства и записи действий, — всё это вносит элемент новизны в обычный процесс арифметических вычислений и имеет воспитательное значение, которое трудно переоценить. С другой стороны, не навязываемое ученику, а неизбежно выясняющееся в самом процессе работы её «скрытое» функциональное содержание, обнаруживающееся при сопоставлении результатов и построении графика, создаёт у учащихся интерес к получаемым числовым результатам, к их функциональному осмысливанию и к приобретению необходимой для этого быстрой и уверенной вычислительной технике.
      Все это облегчает включение предлагаемых автором упражнений — до некоторой степени независимо от повседневной работы над курсом — в практику преподавания в порядке эпизодически проводимых отдельных работ в самые различные моменты процесса обучения, даже в условиях строгой экономии учебного времени.
      Вместе с тем, преподавателю, который решит действительно ввести эти упражнения в учебный процесс, придётся тщательно изучить предлагаемый материал, освоить особенности нового стиля в проведении вычислительных упражнений и внимательно продумать все детали, вплоть до моментов контроля и способов раздачи заданий, которым автор уделяет — с полным основанием — большое внимание.
      Время, которое придётся затратить на эту стадию работы и на приобретение затем индивидуального опыта в проведении упражнений, с избытком окупится общим повышением вычислительной культуры и сознательности учащихся, — приобретаемой здесь не за счёт заучивания «теории», а на основе непосредственной активной деятельности и обогащения числового и графического опыта.
      Конечно, здесь многое зависит от творческой деятельности преподавателя и от внимательного учёта конкретных условий, в которых протекает учебный процесс в каждом случае. Предлагаемый сборник ни с точки зрения содержания упражнений, ни в отношении методической стороны дела не следует рассматривать как нечто обязательное в полном объёме. Но вдумчивый преподаватель найдёт в нём материал, который, несомненно, можно эффективно использовать после соответствующей подготовки, подходя к делу с должной постепенностью, но вместе с тем и с необходимой решительностью, определённостью и организованностью.
      В результате такого — более широкого — опыта удастся, надо думать, выяснить и уточнить ряд методических вопросов, относящихся к этой, в достаточной мере актуальной, теме.
      Член-корреспондент АПН РСФСР
      проф. И. В. Арнольд.
     
      ОТ АВТОРА
      Арифметические — вычислительные и графические — упражнения, помещённые в настоящем сборнике, объединены общей целью: воспитать в сознании учащегося живые, наглядные, образные представления, связанные с числами и их совокупностями, с изменяемостью величин и функциональными соотношениями. Мы убеждены, что преподавание математики, исходящее из одних лишь формально-логических предпосылок, не может обеспечить прочности усвоения и оставляет учащегося беспомощным перед задачами конкретного и прикладного содержания. При обучении математике губителен отрыв числа — от отражаемых им отношений в окружающем нас мире, и математической формулы — от её числового содержания.
      Совершенствование арифметических навыков и, с другой стороны, накопление первоначального материального опыта, необходимого для возникновения идеи функции, — не чуждые друг другу задачи. Однотипные числовые примеры, выполняемые в процессе приобретения определённого оперативного навыка, естественно осмысливаются вопросом: как изменяется результат в зависимости от изменения исходных данных? Обратно, при построении графика функции «по точкам», при составлении числовой таблицы, учащийся должен волей неволей совершать арифметические операции; и недостаточная беглость в таковых нередко оказывается — гораздо позднее — существенным препятствием для более глубокого освоения идеи функции.
      Более обстоятельно эти соображения развиты в статье, имеющей то же заглавие, что и эта книга, и напечатанной в 6-ом томе «Известий Академии педагогических наук РСФСР»; там же приведена аргументация в пользу необходимости очень ранней и длительной функцнональной пропедевтики — в интересах как высшей, так и самой средней школы.
      Предлагаемая здесь серия упражнений по своему замыслу является единым целым и предоставляет, в форме типических задач, материал функционального содержания для VI, VII и VIII классов средней школы1.
      1 Сюда не включены традиционные упражнения с диаграммами (сравнение длин рек, скоростей передвижения и т. п.), возможные уже в V классе. Чго касается старших классов, то для них был бы нужен иной функциональный материал, который уже не являлся бы «пропедевтическим». Вместе с тем каждое упражнение преследует самостоятельную «видимую», понятную для учащегося цель, а взаимная подчинённость упражнений почти отсутствует, так что проведение в классе не всей серии, а лишь некоторых её частей, или даже отдельных упражнений, также способно дать соответствующий положительный эффект.
      К VI классу отнесены пять упражнений, к VII — семь, к VIII — двенадцать; предполагается, что каждое упражнение занимает час (редко два) работы в классе и является содержанием одного или двух домашних заданий. Большинство упражнений связано с текущими разделами курса и служит целям их более глубокого и прочного усвоения; другие могут быть отнесены к повторению арифметики. Более подробные (впрочем, лишь ориентировочные) указания о том, к каким разделам курса следует приурочить отдельные упражнения, а также относительно необходимого для них времени, приведены в таблице в конце книги.
      Упражнения 1 — 5 преследуют цель сообщения и укрепления полезных приемов счёта (методы контроля, округление, сокращённые действия, систематизированная запись), которые должны стать прочным приобретением и постоянно использоваться в дальнейшем. Упражнения 6 и 12 развивают идею порядка, приучают пользоваться неравенствами и содержат полезные элементы дедукции. Упражнения 7 и 10 пригодны для первого ознакомления с координатной сеткой. Упражнения 8, 11, 13, 16 — 18 и другие, помимо устремления к «видимым» целям, дают примеры графического контроля вычислений. Богатое функциональным содержанием упражнение 9 стимулирует навык читать «на глаз» эмпирические данные. В упражнении 14 обнаруживается, что квадратная сетка обладает замечательным, практически важным свойством: с ее помощью легко строить выражения, зависящие от квадратных радикалов из рациональных чисел. Упражнение 15 знакомит с применением многоколонных схем. Учащиеся убеждаются дальше, что графически записаны и контролируемы могут быть изменения каких угодно величин — геометрические (упражнение 19) или любой физической размерности (упражнение 20). Следуют, наконец, упражнения 21 — 23, посвящённые записи движений на плоскости, и упражнение 24, последнее вполне традиционного содержания (решение прямоугольных треугольников), предоставляющее особенно удобный случай для практики в сокращённых умножениях и делениях.
      Каждое из 24 упражнений в этой книге изложено по одному и тому же плану: тексту упражнения предшествует некоторая пропедевтика, конспект беседы, которую преподаватель проводит с участием учащегося, вызванного к доске, и активно вовлекая весь класс; за самим текстом следует детально разработанный пример-образчик; в заключение приводятся методические замечания, обращённые к учителю. Нужно заметить, что вступительная часть намечает содержание беседы лишь схематически, в общих чертах, и уже дело самого преподавателя — в случае надобности (не слишком отвлекая в сторону внимание класса) — придать излагаемому материалу ту или иную, более конкретную, или «жизненную», оболочку. В иных случаях вполне возможно «осмыслить» с помощью увлекательного условия и самый текст упражнения.
      Методика предлагаемых упражнений довольно своеобразна. После предварительной беседы, сопровождающейся необходимыми упражнениями-примерами, основной текст (условие) пишется на доске. Работа должна быть «налажена», начата и до известной хотя бы степени продвинута на этом же самом уроке; то, что осталось недоделанным, «задаётся на дом», причём обязательно выполняется всеми учащимися («сдаётся») и обязательно просматривается («проверяется») преподавателем.
      Предварительная беседа обыкновенно строится таким образом, что само упражнение из неё как бы «вырастает», являясь её естественным завершением; предметом беседы служит тот или иной навык (вычислительный или графический), а упражнение предоставляет учащимся случай применить его самостоятельно, или с некоторой помощью учители, тем самым проверяя, насколько он усвоен. В иных случаях предварительная работа у доски затянется не менее, чем на два урока (упражнение 4); в других — предварительные разъяснения не нужны, и можно сразу сообщить текст упражнения (7, 8, 13, 24). После того, как текст сообщён, следует, в порядке «налаживания» работы, с одним из учеников приступить на доске к выполнению самого упражнения, показывая тем самым «образчик» всему классу. Сказать: «Остальное сделайте дома» следует тогда, когда и принципиальные и технические затруднения полностью исчерпаны и остаётся лишь выполнение однотипных операций. Как исключение, упражнение 7 должно быть закончено в течение одного часа; вероятно, несколько затянется «доделка дома» в упражнениях 9, 12, 22.
      Выполнять заданные упражнения в тетрадках технически мало удобно: лучше, чтобы они были выполнены на отдельных листах, со стандартными пометками, сделанными рукой ученика (школа, класс, фамилия, инициалы, дата), и его же подпись («сделал такой-то»); к этому впоследствии присоединяется пометка преподавателя («принято» или «сдано тогда-то»). Для большинства работ нужно два листа: основной и вспомогательный. Все главные результаты сосредоточиваются на основном листе: вспомогательный лист учитель смотрит по мере надобности; но «сдаются» непременно оба. Вспомогательный лист не следует смешивать с «черновиком», представляющим собою мало желательное явление в классе: с черновика «переписывают набело» и затем его уничтожают, тогда как записи, расположенные на вспомогательном и на основном листе не повторяют друг друга, и каждый из этих двух листов теряет свою ценность, если другой отсутствует. Подробнее о вспомогательном и основном листе говорится в методических замечаниях к отдельным упражнениям.
      Учащиеся, приступающие к нашим упражнениям, должны быть снабжены клетчатой бумагой1.
      1 В миллиметровом бумаге, вообще говоря, надобности нет.
      По меньшей мере таковая необходима для основного листа в упражнениях: 8 — 11, 14 — 16,18 — 24; клетчатая тетрадка полезна также и при пропедевтических записях1. Предполагается, что размер одной клетки составляет 1,8 — 2 мм. На доске координатную сетку с клеточками крупных размеров чертит сам преподаватель (надо научиться делать это без потери времени). Масштабы на данном этапе всегда указывает преподаватель.
      Все предлагаемые (основные, а не пропедевтические) упражнения мыслятся нами строго индивидуализированными. Это достигается следующим образом. Вместо буквенных параметров, фигурирующих в тексте задачи (или на пустые места в те или иные «клеточки»), учащийся ставит полученные им собственные «числовые значения». Эти значения, с минимальной потерей времени, или раздаются2 на заранее приготовленных учителем карточках или распределяются3 с помощью вытягивания наугад из «цифрового набора» (ящичек, стакан или мешочек с 1000 — 2000 карточками размером в 1 см2, на которых стоят цифры 0,1,2 ..., 9).
      1 Особая тетрадь для этих записей не нужна: ома может быть обыкновенной классной тетрадью по математике.
      2 Безвозвратно.
      3 Будучи возвращаемы обратно.
      Просмотр («проверка») индивидуализированных работ не обременителен для преподавателя: упражнения сконструированы таким образом, что или вычисления контролируются самими учащимися, или результаты записываются в графической форме; в том и в другом случае опытный глаз преподавателя легко обнаружит возможные неувязки, и тогда преподаватель уже не обязан вскрывать их причину: достаточно указать их автору работы и добиться, чтобы «к следующему уроку» ошибки, вызывающие неувязки, были устранены. Не такая уж беда, если при поисках ошибок последует помощь со стороны; но нужно, чтобы ученик был сконфужен или пристыжен, если за эти поиски придётся взяться самому преподавателю. Нужно, чтобы учащиеся постепенно привыкли к той мысли, что они должны быть ответственными за правильность проделанных ими вычислений. Так как упражнения по самому замыслу строго регламентированы, то подаваемые работы обыкновенно не представляют особенного разнообразия, и, помимо упомянутых неувязок, те или иные промахи (неудачный порядок действий, плохое расположение схемы или чертежа, неудобный масштаб и т. п.) нередко носят «массовый» характер: естественно обратить на них внимание всего класса, не настаивая, впрочем, на переделках, если числовые результаты отмеченными недочётами серьезно не затронуты.
      Настоящие упражнения предоставляют преподавателю обширные возможности для развития профессионального мастерства и для применения собственной изобретательности. Нужно надеяться, что учительский опыт укажет пути для дальнейшего улучшения тематики и для дальнейшей шлифовки приёмов проведения упражнений предлагаемого типа.
      Можно порекомендовать тому, кто будет пользоваться этой книгой, предварительно просмотреть её внимательно от начала до конца.