Страничка для учителя
В новом издании задачник еще более приближен к схемам Гуса. В связи с новыми программами получила серьезное развитие глава об измерении поверхностей и объемов тел. Материал в значительной степени упрощен.
На четвертом году обучения обращается большее внимание на математическую теорию. По мере возможности школа должна обобщить в сознании учащихся весь запас наблюдений, накопившийся за предшествующие годы, и объединить приобретенные навыки и умения.
В основу курса 4-го года положены дроби. Обыкновенные дроби прорабатываются лишь частично. Все действия и преобразования проводятся лишь по соображению над дробями с простейшими знаменателями. В измерительной и вычислительной практике нужно отдать предпочтение десятичным дробям, которые тесно связаны с нашей системой счисления и метрическими мерами. При делении и обращении х обыкновенных дробей в десятичные вполне достаточна точность до 0,01 (2 десятичных знака). Учащие не должны относиться к предлагаемому задачнику догма тически. Он дает лишь схему, в которую может быть вло жено другое числовое содержание. На 4-м году обучения проводится изучение своей страны в сравнительных данных с другими государствами.
Необязательна проработка всего материала. Некоторые отделы (вычисление длины окружности, площадь круга, объема конуса) могут быть временно пропущены. Все величины должны быть выражены в метрических мерах.
В заключение укажем некоторые особенности формы и характера предлагаемых задач. Считая, что изучение математики будет комплексироваться с изучением производства, трудовой деятельности людей, экономической географии и т. п., мы систематизируем задачи по этим разделам. Необходимо отрешиться от взгляда на задачу, как на числовой "фокус", вводимый ради "гимнастики ума". В связи с этим, мы почти не стремились во что бы то ни стало подчинять их построение чисто арифметическим целям и избегали классификации по "типам". Мы ставим задачи по возможности так, как они ставятся в жизни. Вот почему на страницах задачника часто встречаются процентные отношения, десятичные дроби, таблицы с упражнениями и т. д. Автор будет весьма признателен за все указания на недостатки работы.
Автор.
ПЕРВЫЙ ОТДЕЛ
Осенние занятия на открытой местности. Повторительные упражнения.
1. Прямая линия на земной поверхности провешивается (см. рис. 1).
Провешить линию в направлении с севера на юг по компасу.
2. При пеоесечении 2 прямых линии получается угол.
Рис. 1. Провешивают прямую линию.
Провешить по компасу 2 пересекающихся линии: 1) в направлении с севфа на юг и 2) в направлении с востока на запад. Они образуют прямой угол. Угол меньше прямого называется острым, угол больше прямого — тупым.
Прямой угол на местности ctdohtch при помощи анкера (см. рис. 2).
3. Отметить для сада четыреуюльный участок с прямыми углами. Это будет прямоугольник.
Измеряйте длину и ширину участка. Начертите на клетчатой бумаге этот участок в уменьшенном размере. Это будет план участка (см. рис. 3).
Две длинные стороны прямоугольника все время лежат на одном расстоянии одна от другой. Пересекутся ли они, если мы их продолжим? Прямые линии, которые не могут пересечься, как бы мы их ни продолжали, называются параллельными линиями.
Укажите на окружающих предметах и на местности такие линии.
Постройте параллельные линии при помощи эккера.
Рис. 3. План участка.
4. Через противолежащие вершины прямоугольника проведите прямую линию. Прямоугольник разделился на 2 гпреуголъника. Каждый из получившихся треугольников имеет по одному прямому углу. Такой треугольник называется прямоугольным. Сделайте прямоугольный тр-ник из бумаги. Стороны, заключающие прямой угол, называются катетами. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.
Постройте несколько прямоугольных тр-ков на клетчатой бумаге и на местности. Какая в прямоугольном тр-ке самая длинная сторона? Проверьте это. Постройте прямоуг. тр-к с катетами 3 метра и 4 метра, измеряйте его гипотенузу.
5. Треугольники, четыреугольники, всякие многоугольники и участки с прямолинейными и криволинейными границами называются фигурами.
Пространство, занимаемое фигурой, составляет площадь фигуры.
Площади выражаются в квадратных мерах.
Припомните, как измеряется площадь прямоугольника. Изобразите ар, гектар. Как измеряется площадь прямоугольного тр-ка? всякого тр-ка?
Изображение какого-либо участка земли в уменьшенном виде называется планом.
10. На клетчатой бумаге начертить планы нескольких прямоугольных участков так, чтобы площадь каждого равнялась гектару.
11. На клетчатой бумаге начертить план нескольких треугольных участков так, чтобы площадь каждого равнялась ару.
Измерение высоты предмета.
12. Где находится вершина угла зрения (рис. 5)?
Какое направление имеет нижняя его сторона?
Через какую точку проходит вторая его сторона?
Рис. 5. Угол зрениа-
13. Какой угол зрения самый большой? Самый маленький?
Что делается с углом зрения, если мы удаляемся от предмета?
14. Как получить угол зрения АВБ (рис. 6), не ложась на землю?
Попробуйте вырезать из бумаги угол зрения, под которым видно дерево с поверхности земли. Удалитесь на 10 шагов и снова вырежьте угол зрения. Так проделайте еще несколько раз. Сравните все вырезанные углы.
Что делается с углом зрения, если приближаться к предмету?
15. Приготовьте из бумаги какой-нибудь острый угол. Найдите на земной поверхности точку, из которой дерево видно под данным углом.
16. Сделайте из четвертушки бумаги квадрат. Один из его углов путем перегибания разделите пополам. Разорвите квадрат по линии сгиба. Какие получились треугольники? Чему равен каждый острый угол в любом треугольнике?
По этому треугольнику приготовьте другой треугольник из толстого картона. Укрепите его на кол в 1 метр длиной так, чтобы один из катетов составлял с колом прямой угол.
Получился высотомер.
Поставьте высотомер таким образом, чтобы верхушка дерева и точки Б и В находились на одной прямой линии. Отметьте на дереве точку, которая получается в пересечении его со стороной ВА. Какой имеем треугольник?
17. Из упражнения 15-го заключаем: если смотреть на вертикальный предмет под углом, равным половине прямого угла, то глаз составит вершину одного из острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника, при чем вершиной другого острого угла будет верхушка наблюдаемого предмета.
Назовите катеты получившегося треугольника.
Рис. 7. Высотомер.
Чему будет равна высота наблюдаемого предмета?
АБВ прямоугольный равнобедренный треугольник. Почему?
Катеты АБиБВравны. Если ЛБ = 12 м, то и БВ = 12.и; тогда высота дерева =13 м (1 м = БГ — высота прибора).
18. Измеряйте при помощи высотомера высоту различных предметов (деревьев, домов, фабричных труб, колоколен, телеграфных столбов).
Измеряйте высоту тех же предметов по тени.
Нарисуйте измеренные предметы в масштабе на клетчатой бумаге.
19. Как измерять высоты, если вертикальный катет высотомера будет в 2 раза больше горизонтального? Если горизонтальный катет в 3 раза больше вертикального?
20. Укрепив треугольник высотомера на подставке горизонтально, получим дальномер (рис. 9).
23. Измерить высоту предмета, находящегося на другом берегу реки (при помощи высотомера и дальномера).
24. Измерить расстояние между 2 неприступными предметами (например, между 2 деревьями А и Б, стоящими на другом берегу реки).
Рис. 11. Измерение расстояния между 2 неприступными предметами.
Провешим на своем берегу прямую линию. При помощи эккера из точки А опустим на нее перпендикуляр АВ. Из точки Б тоже опустим перпендикуляр ГБ.
При помощи дальномера определим расстояние АВ и БГ. Измеряем расстояние ВГ. Построим четыреугольник АБВГ на клетчатой бумаге. Измерив на плане сторону АБ, найдем искомое расстояние между 2 деревьями.
28. Посредине участка АБВГ расположен пруд, и потому съемка участка пре дыдущимспособом (зад. 25) невозможна.
Заключаем участок в прямоугольник ДЕЖЗ. Из вершин участка проводим перпендикуляры на стороны прямоугольника ДЕЖЗ. Измеряем эти перпендикуляры и расстояние их оснований от вершин прямоугольника ДЕЖЗ.
Чертим на клетчатой бумаге план прямоугольника ДЕЖЗ и отмечаем на его сторонах основания перпендикуляров. Затем проводим перпендикуляры, откладываем длину каждого перпендикуляра и получаем на плане вершины участка АБВГ.
29. Снимите план кладбища или какого-либо другого участка с препятствиями внутри самого участка (постройки, деревья, вода и проч.).
30. Определите площадь снятого участка.
31. Постройте участок в виде четыреугольника, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
Рис. 14. Съемка участка, непроходимого в середине.
Это будет параллелограм (рис. 15).
32. Отмежуйте участок -в виде параллелограма площадью в 1 гектар (рис. 16).
Масштаб: сторона клетки = 20 .к. Рис. 16.
33. Постройте параллелограм, у которого все стороны равны.
Это будет ромб (рис. 17).
34. Отмежуйте участок в виде ромба, при чем длина каждой стороны равна 100 л.
По плану определите площадь этого участка.
35. Постройте участок в виде четыреутольника, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны (рис. 18).
Это будет трапеция.
36. Постройте прямоугольник со сторонами 50 И 30 м (рис. 19.)
40. Объясните, почему все 3 части параллелограма имеют равные площади.
41. Участок в виде треугольника разделите на 2 части так, чтобы их площади были равны (рис. 22).
42. Объясните, почему части каждого треугольника на чертеже предыдущей задачи имеют равные площади.
43. Площадь треугольника АДВ (рис. 23) составляет
половину площади треугольника АБВ. Почему?
44. Какую часть площади тр-ка АБВ составляет площадь фигуры АБВД?
45. Внутри тр-ка АБВ отметьте точку, которая служила бы вершиной нового треугольника, имеющего основание АВ и площадь, равную половине площади всего тр-ка АБВ.
55. Дана прямая линия в 209 м. Построить на ней парал-лелограм площадью в 2 гектара.
Сколько можно построить таких параллелограмов?
56. Дана прямая линия в 500 м. Построить на ней прямоугольный треугольник площадью в 4 гектара.
57. Дана прямая линия в 160 м. Построить на ней тр-к площадью в 15 ар.
58. Через треугольный участок сенокоса пролегает тропинка в 120 м длины, которая служит высотой этого треугольника. Какую длину имеет основание этого треугольника, если площадь участка равна 30 арам?
Начертите план этого участка и отметьте на нем тропинку.
ВТОРОЙ ОТДЕЛ.
ДРОБИ.
Преобразования и действия с простейшими дробями по соображению.
Сравнение дробей.
68. Напишите эти дроби в порядке возрастающем:
70. Напишите ряд дробей с одинаковыми знаменателями п расположите их по величине в порядке убывающем.
71. Что показывает знаменатель дроби?
86. Придумайте правильную и неправильную дроби, сравните их.
87. Почему всякая неправильная дробь больше правильной?
88. Напишите ряд неправильных дробей и сравните числителя каждой дроби с ее знаменателем.
164. 3 яблока разделить поровну между 4 мальчиками. Как это сделать? Сколько получит каждый?
165. 4 кило хлеба расходует семья из 5 человек ежедневно. Сколько выходит ежедневно хлеба на 1 члена семьи?
166. Из 3 м материи мастерская делает 8 одинаковых шляп. Сколько материи идет на каждую шляпу?
Можно ли при кройке шляп каждый метр материи разрезать на 8 частей?
Во всех подобных случаях дрэбь получается при делении одного числа на другое.
167. Когда при делении одного числа на другое обязательно получается дробь?
168. Во всех случаях деления с остатком запишите частное в виде дроби: 5:3; 8:5; 10:3; 12:5; 16:7; 9:4; 20 : 9; 30 : 4; 60 : 8; 48 : 9; 59 : 6; 75 :10; 85 :12; 96 :15.
169. Составьте несколько задач, в которых бы при делении одного числа на другое получались дроби.
170. Бумажной лентой в 1 м длиной измеряйте длину стола.
Пусть лента отложилась 1 раз и получился остаток меньше одного метра. Как измерить остаток, если метр не разделен на сантиметры?
171. Можно ли, имея гирю в 1 кило, развесить 11/2 кило сахару по пол-кило? Как это сделать?
Во всех подобных случаях дробь получается при измерении и взвешивании.
172. Когда при измерении и взвешивании получается дробь?
KOHEЦ ФPAГMEHTOB УЧЕБНИКА
|
