ПРЕДИСЛОВИЕ.
В последнее время в младших классах все чаще и чаще преподают арифметику без учебника, что» конечно, нельзя не признать вполне правильным. Тем не менее, заучивание учениками арифметических правил и определений, после того как они хорошо объяснены в классе, по нашему мнению, может принести существенную пользу, делая приобретенные знания более прочными. Для этой цели преподаватель обыкновенно дпктует, что имеет большие неудобства: 1) отнимает много времени; 2) ученики часто записывают с ошибками, так что потом не могут разобраться; 3) еще чаще теряют свои заниски, что лишает их возможности повторить то, что забыто; а как часто ученики даже старших классов нуждаются в повторении, это каждый преподаватель знает по опыту. Предлагаемый учебник имеет целью устранить эти неудобства.
При составлении его мы старались не помещать ничего, что могло бы явиться только излишним балластом; на этом основании выпущены длинные правила действий с многозначными чпсламп, в которых
ученпки никогда не нуждаются, так как механизм этих действий обыкновенно усваивается ими хорошо. При редактировании правил и определений мы поступались точностью и полнотой везде, где это могло бы облегчить учащимся понимание и запоминание их. Встречающиеся объяснения очень сжаты, так как имеют в виду ученика, которому все хорошо объяснено в классе.
Мы определили число, как результат счета, считая определение его, как совокупности единиц, совершенно неудовлетворительным, потому что тогда и лес, как совокупность деревьев можно было бы назвать числом; определять же число, как результат измерения, т.-е. как отношение, по нашему мнению, тоже неудобно, так как первое понятие предшествует второму, и, не имея понятия о числе, ничего измерить нельзя.
Мы обратили особое внимание на постановку наименований, при чем, вопреки мнению некоторых педагогов, держались взгляда, что не будет большой беды, если множитель иногда будем писать над множимым; учеников эго нисколько не затрудняет, и, как показал опыт, никаких недоразумений от такой записи не бывает.
Выпуская это пособие, мы примем с глубочайшей благодарностью все указания на его недочеты.
Москва, Рашевский.
15 августа 1908 г.
Во втором издании сделаны следующие изменения: несколько изменены определения действий (§§ 6 11, 16, 26) и измерения (§ 49); добавлены две задачи на вычисление времени (§ 65); выпущены определения чисел взаимно-простых попарно и в их совокупности (§ 84); иаменена редакция правила приведения дробей к одному знаменателю (§ 94).
Третье издание почти без изменения перепечатано со второго; сделаны только некоторые поправки редакционного характера и исправлены опечатки и недосмотры.
Пятое и все последующие издания перепечатаны с четвертого без изменений.
I. Первоначальные понятия.
Определения.
1. Когда мы хотим узнать, сколько предметов находится где-нибудь, мы должны их сосчитать.
Каж тый отдельный предмет, каждое отдельное явление при счете называется единицей.
Результат счета единиц называется целым ЧИСЛОМ или просто числом.
Одна единица наз. такнсе числом.
Число, при котором есть название (наименование) тех единиц, от счета которых оно получилось, называется именованным,аесли нет, то — отвлеченным.
Ряд чисел: один, два, три, четыре, пять, шесть и т. д. называется натуральным рядом чисел; этот ряд бесконечен, так как, прибавив к последнему числу единицу, получим новое число.
Наука, изучающая свойства чисел и действия над ними, называется арифметикой.
Часть арифметики, которая учит немногими словами выражать всевозможные числа, называется словесным счислением (словесной нумерацией).
Часть арифметики, которая учит немногими письменными знаками обозначать всевозможные числа, называется письменным счислением (письменной нумерацией).
Знаки, употребляемые для обозначения чисел, называются цифрами. Их всего десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0; первые девять цифр называются значащими; последняя цифра нуль означает отсутствие числа.
Число, обозначенное одной цифрой, называется однозначным, двумя цифрами — двузначными; несколькими цифрами — многозначным.
Число, состоящее из единиц только одного какого, нибудь разряда, называется разрядным числом, напр.: 40, 300, 5000 и т. д.
2. Таблица счисления.
4-й класс Миллиарды. 3-й класс Миллионы. 2-й класс 11 J-й класс Тысячи. Простые единицы.
12-й разряд. 11-й разряд. 10-й разряд. 9-й разряд. 8-й разряд. 7-й разряд. 6-й разряд. 5-й разряд. 4-й разряд. 3-й разряд. 2-й разряд. 1-й разряд.
Сотни миллиардов. Десятки миллиардов. Единицы миллиардов. Сотни миллионов. Десятки миллионов. Единицы миллионов. Сотни тысяч. Десятки тысяч. Единицы тысяч. Сотни. Десятки. Единицы.
1) Нужно иметь в виду, что цифра и число не одно и то же: цифра только письменный знак; число может быть обовначено не одной, а несколькими цифрами, может быть выражено словами. а) Это счисление навивается десятичным, потому что в нем*
Римское счисление.
3. Римляне для обозначения чисел употребляли семь знаков:
I, V, X, L, С, D, М,
которые означают соответственно следующие числа: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Если написано несколько цифр рядом, то значения их складываются, за исключением обозначений: IV, IX, XL, ХС, CD, СМ, в которых значение левой цифры отнимается от значения правой; таким образом написанные обозначения будут выражать следующие числа: 4, 9, 40, 9Э, 400, 900. Числа: 7, 18, 74, 150, 322, 1554, 1883 по римской системе напишутся:
VII, ХУНГ, LXXIV, CL, CCCXXII, MDLIV, MDCCCLXXXIII.
Числа 3000, 5000, 25000 пишутся так: IIIm, Vm, XXVm, где m означает mille — тысяча.
десять еднннц одного разряда составляют единицу следующего выс шего разряда.
II. Арифметические действия.
Определения.
4. Составление по данным числам нового числа называется арифметическим действием.
Возьмем, например, число 7. Присчитаем к нему едЕгапцу, получим новое число 8. Отсчитаем от 7 единицу, получим новое число 6.
Таким образом мы пз двух данных чисел 7 и 1 составили два новых числа: 8 и 6, т.-е. Произвели арифметические действия.
Присчитывание к числу единицы называется ПРОСТЫМ счетом, отсчптывание от числа единицы называется обратным счетом.
Если действие производится над двумя числами, то оно называется простым; если данных чисел более двух, то действие называется сложным.
Основных арифметических действий четыре: сложение, вычитание, умножение и деление.
Сложение.
Определения.
5. Сложить два или несколько чисел значит составить новое число, содержащее в себе СТОЛЬКО единиц, СКОЛЬКО их находится в данных числах.
Возьмем, например, два числа 5 и 3 и присчитаем к первому числу все единицы второго: пять да один шесть, шесть да одпн семь, семь да один восемь. Таким образом из двух данных чпсёл 5 и 3 получили новое число 8, содержащее в себе пять единиц первого числа и три единицы второго, т.-е. столько единиц, сколько их было в обоих числах. Следовательно, произведенное намп действие было . сложение. Таким образом можно дать другое определение сложения:
Сложить два числа значит к первому присчитать столько едпниц, сколько пх находится во втором.
Так как, складывая 5 и 3, мы получаем число, большее 5-ти на 3 единицы, то вместо того, чтобы говорить: "сложить 5 и 3", можно сказать иначе: "увеличить 5 на 3 единицы", "к 5-ти прибавить 3“, "к 5-ти приложить 3“; все эти выражения означают одно и то же.
Те числа, которые складываются, называются слагаемыми.
То число, которое получается от сложения, называется суммой. KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
