Арифметика

PDF

      I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
     
      § 1. СЧЕТ КАК ОСНОВА АРИФМЕТИКИ.
      НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД ЧИСЕЛ.
      Арифметика — это наука, изучающая числа и действия над ними. Счет является основой арифметики. Прежде чем научиться вычислять, надо научиться считать и надо уметь записывать числа. Для счета люди пользуются названиями чисел и особыми знаками для их краткого обозначения.
      Знаки для изображения чисел называются цифрами. Мы пользуемся десятью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
      Для обозначения отсутствия предметов употребляется число нуль, которое изображается цифрой 0 (рис. 1).
      Числа, получаемые в результате счета предметов, например: 1, 5, 7, 30, 20, 75 и другие, называются натуральными числами. Множество всех натуральных чисел, расположенных в порядке счета: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и т. д. без конца, называется натуральным рядом чисел. В натуральном ряде каждое число, начиная с двух, на единицу больше предыдущего.
      Натуральные числа являются целыми числами. К целым числам относится и число нуль, но оно не принадлежит к натуральным числам.
      Не следует смешивать понятия «числа» и «цифры». Различных чисел можно написать сколько угодно, а цифр — только десять. Любое натуральное число мы записываем с помощью этих десяти цифр.
      Каждое из первых девяти натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — записывается одной цифрой; эти числа называются однозначными числами. Число нуль относится к однозначным числам. Все остальные натуральные числа записываются с помощью нескольких цифр и называются многозначными числами.
      По количеству входящих в них цифр многозначные числа делятся на двузначные, трехзначные, четырехзначные и т. д.
      Примеры. 22, 35 и 47 — двузначные числа; 305, 666 и 700 — трехзначные числа; 506 066 — шестизначное число.
     
      * Слово «цифра» в обычной речи часто употребляют в том же смысле, в каком в арифметике употребляется слово «число»; например, говорят о цифрах семилетнего плана.
     
     
      § 2. НУМЕРАЦИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.
      Словесное выражение натуральных чисел и способ их записи с помощью цифр называется нумерацией чисел.
      В основу счета предметов и нумерации чисел большинством народов уже давно взято число десять. Мы пользуемся десятью цифрами для изображения чисел.
      Известно, что десять единиц составляют десяток, десять десятков составляют сотню, десять сотен составляют тысячу и так далее.
      Наша система счета или счисления называется десятичной системой счисления, а число 10 — основанием этой системы.
      В записи многозначного числа первая цифра справа обозначает число единиц, вторая справа — число десятков, третья — число сотен и т. д. Так, например, в записи 2307 цифра 7 означает семь единиц, цифра 0 указывает, что десятков нет, а цифры 3 и 2 обозначают, что число содержит 3 сотни и 2 тысячи.
      В записи 555 все цифры одинаковы, но каждая из них имеет свое значение: одна указывает число единиц, другая — число десятков, третья — число сотен.
      Для облегчения чтения и записи многозначных чисел в них выделяют разряды и классы. Каждый класс состоит из трех разрядов. Цифра, изображающая разряд, указывает число разрядных единиц этого разряда. Первые пять классов и их разряды изображены в таблице классов.
      Член Академии наук СССР Иван Матвеевич Виноградов — один из выдающихся советских математиков (родился в 1891 году). Он известен своими крупными работами, связанными с изучением натурального ряда чисел. И. М. Виноградов удостоен звания Героя Социалистического труда.
      С помощью такой таблицы легче записать число или прочитать записанное в ней число. Однако надо уметь делать и то и другое без помощи таблицы, а для этого необходимо хорошо помнить, в каком порядке идут классы и разряды.
      Количество классов можно увеличить как угодно. Так, например, существует VI класс, который называется классом квадриллионов, VII класс — класс квинтиллионов и так далее. Однако для практических вычислений вполне достаточно знать первые четыре класса.
      Чтобы правильно записать число, надо установить, какие оно имеет классы. Кроме этого, надо помнить, что цифра нуль в числе не читается. Для записи числа сто два миллиарда семьсот тысяч надо прежде всего установить, что его старший разряд — сотни миллиардов, в классе миллионов все цифры — нули, в классе тысяч надо записать число 700 и в классе единиц все цифры — нули. Это число запишется так: 102 000 700000.
      Чтобы правильно прочитать число, надо прежде всего установить по количеству цифр его старший разряд.
      В XVI веке на Руси был изобретен замечательный прибор — русские счеты. Этот прибор, предназначенный для выполнения арифметических действий, помогает усвоению нумерации чисел. На рисунке 2 изображены русские счеты, на которых отложено число 2 456 000 870.
     
      Задание 1.
      1. Сколько цифр содержат числа: 1) 12 345; 2) 100 305;
      3) 4 200 001?
      2. Какая разница между числом и цифрой?
      3. Какое число находится в натуральном ряде чисел:
      1) перед числом 3000? 2) после числа 1099?
      4. Сколько трехзначных чисел содержится в натуральном ряде чисел?
      5. Сколько цифр имеют числа: 1) две тысячи пять; 2) шесть миллионов двадцать; 3) тридцать одна тысяча сто; 4) один, миллиард двести пять тысяч; 5) сто два миллиона сорок три? Записать каждое из этих чисел с помощью цифр.
      6. Для каждого из следующих чисел: 200 450; 340 000 002;
      4 372 956. — указать число цифр, высший разряд и записать каждое число словами.
     
      Упражнения.
      1. Прочитать числа и отложить их на счетах: 968; 5853; 62 712; 4044; 50 902; 400 079-
      3 009 207; 758 896; 8 634 521; 505 037 000;
      4 000 000; 2 092 003 000.
      2. Прочитать числа и отложить их на счетах: 2493, 45 289; 35 798; 50055; 70 807;
      500 080; 969 699; 5 075 777; 7 012 309; 70 070 300; 9 000 000; 8 051007 000.
      3. Двенадцатого апреля тысяча девятьсот шестьдесят первого года советский летчик Ю. А. Гагарин впервые в мире совершил кос-
      мический полет. Вес корабля «Восток», на котором летел первый космонавт, равнялся четырем тысячам семистам двадцати пяти килограммам. Полет продолжался сто восемь минут. Космонавт пролетел около сорока тысяч километров. Наибольшая скорость полета равнялась примерно двадцати девяти тысячам километров в час, а наибольшая высота полета составила триста двадцать семь километров.
      Записать цифрами все числа, встречающиеся в этих предложениях.
      4. Запишите цифрами все числа, встречающиеся в данных предложениях:
      Вес третьего советского искусственного спутника Земли равен одной тысяче тремстам двадцати семи килограммам. При запуске спутника он вышел на орбиту на расстоянии одной тысячи восьмисот восьмидесяти километров от Земли. За триста пятьдесят восемь суток спутник сделал пять тысяч оборотов вокруг Земли, пролетев двести двадцать восемь миллионов двести тысяч километров.
      5. Написать наименьшие двузначное, трехзначное, четырехзначное и пятизначное числа.
      6. Написать наибольшие двузначное, трехзначное, четырехзначное и пятизначное числа.
      7. Сколько четырехзначных чисел содержится в натуральном ряде чисел?
      8. Сколько пятизначных чисел содержится в натуральном ряде чисел?
      9. Какое число в натуральном ряде чисел будет первым? Можно ли указать последнее натуральное число?
      10. Какое из известных вам целых чисел не является натуральным?
      11. К числу 591 приписали справа два нуля. На сколько новое число больше, чем 591?
      12. К числу 480 приписали справа три нуля. На сколько новое число больше, чем 480?
      13. Дано число 45. Записать число теми же цифрами, но в обратном порядке. На сколько одно число больше другого?
      14. Дано число 139. Записать число теми же цифрами, но в обратном порядке. На сколько одно число больше другого?
      15. Записать пять чисел, следующих в натуральном ряде за числом 1997.
      16. Записать шесть чисел, стоящих в натуральном ряде перед числом 30002.
      17*. Сколько нужно цифр для нумерации страниц книги, которая имеет 205 страниц?
      * В этом и других параграфах чертой отделены задачи повышенной трудности.
      18. Как можно быстро вычислить сумму всех двузначных чисел?
      Указание. Сложить первое и последнее двузначные числа, затем второе и предпоследнее. Что можно заметить?
      19. Как можно быстро вычислить сумму всех трехзначных чисел?
      20. К данному числу приписали шесть нулей справа. Во сколько раз новое число больше данного числа?
      21. Какие числа при любой перестановке их цифр не изменяются?
     
      §3. МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР.
      В 1918 г. в нашей стране введена Международная метрическая система мер вместо прежних русских мер.
      В настоящее время мы иногда употребляем только одну из прежних единиц — пуд, равный примерно 16 кг.
      Все расчеты и измерения выполняются в единицах метрической системы мер. Таблицы этих единиц помещены в конце книги.
     
      1. Меры длины. Основная единица длины — метр. Необходимо запомнить названия всех единиц длины и соотношения между ними. Для измерения длины применяются измерительная линейка (рис. 3), мерная лента (рис. 4), полевой циркуль (рис. 5) и другие измерительные приборы.
      При измерении длины отрезка АВ (рис. 3) следует нулевое деление измерительной линейки совместить с началом отрезка. Это указание нужно выполнять и при измерении длины с помощью мерной ленты.
      На измерительной линейке нанесены миллиметры. Она дает возможность производить измерения длины с точностью до 1 мм. На мерной ленте (рис. 4) нет миллиметровых делений, самые мелкие деления на ней равны 1 см или — см. Этот прибор позволяет измерить длину с точностью до 1 см или до
      см. Мерной лентой измеряют длину и ширину комнаты, здания, земельного участка и т. д.
      Для измерения больших расстояний, например длины поля, употребляют иногда полевой циркуль (рис. 5). Обычно расстояние АВ между концами ножек циркуля делают равным 2 м. Таким циркулем измеряют расстояние с точностью до 1 м, так как на глаз можно определить половину расстояния между концами ножек циркуля.
     
      2. Меры веса. Основная единица веса — килограмм. Таблица единиц веса помещена в конце книги. Следует запомнить названия единиц и соотношения между ними.
      Взвешивание тела производят на различных весах.
      На рисунке 6 изображены торговые стрелочные весы. Точность измерения этими весами равна 5 г.
      При взвешивании небольших количеств веществ, например в аптеке, употребляют более точные весы. Аптекарские весы имеют точность, равную 10 мг.
      Для взвешивания больших грузов употребляются менее составляет 100 г, 1 кг
     
      3. Меры площади и меры объема.
      Названия единиц площади или объема происходят от названия единиц длины.
      Например, площадь квадрата со стороной 1 м равна 1 кв. м, а объем куба с ребром 1 м равен 1 куб. м. Не следует смешивать друг с другом эти названия. Нужно твердо усвоить, что, например, метр, квадратный метр и кубический метр — различные понятия.
      Нужно не только запомнить соотношения между различными квадратными или кубическими единицами. но и научиться быстро вычислять эти соотношения.
      Рассмотрим на примерах, как следует выполнять такие вычисления. На рисунке 7 изображены три квадрата: площадь одного равна 1 кв. мм, площадь другого — 1 кв. см, а площадь третьего — 1 кв. дм. Чтобы ответить на вопрос, сколько квадратных сантиметров содержит 1 кв. дм, достаточно подсчитать число квадратов со стороной 1 см, которые помещаются в квадрате со стороной 1 дм (рис. 7). На рисунке видно, что 1 кв. дм =10-10кв.см — 100 кв. см. Так же легко вычислить другие соотношения.
     
      34. 1) Ширина прямоугольного участка земли равна 500 м, а длина 3400 м. Вычислить площадь его в квадратных метрах и в гектарах.
      Указание. Чтобы вычислить площадь прямоугольника, надо перемножить числа, выражающие его длину и ширину в одних и тех же единицах.
      2) Длина стены равна 12 м, ее высота равна 2 м 5 дм. Вычислить площадь стены в квадратных метрах и в квадратных дециметрах.
      35. 1) Длина ящика 200 см, ширина 50 см и высота 40 см. Вычислить объем ящика в кубических сантиметрах и в кубических дециметрах.
      Указание. Для вычисления объема предмета такой формы нужно перемножить числа, выражающие его длину, ширину и высоту в одних и тех же единицах.
      2) Размеры прямоугольной ямы равны 5 м 5 дм\ 4 м; 1 м 5 дм. Вычислить объем ямы в кубических метрах и в кубических дециметрах.
      36. Учебник арифметики, которым вы пользуетесь, издан в количестве 1 миллиона экземпляров. Какую длину займут все учебники, если их приложить друг к другу короткой стороной обложки? Ответ дать в крупных единицах длины.
      37. Измерить (приблизительно) в сантиметрах длину, ширину и толщину учебника арифметики. Какой примерно объем займут все учебники, если они изданы в количестве 1 миллиона экземпляров? Можно ли такое количество учебников поместить в той комнате, где занимается ваш класс?
     
      РИМСКАЯ НУМЕРАЦИЯ.
     
      Десятичная система нумерации, о которой мы говорили ранее, возникла в Индии. Позднее ее стали называть арабской, потому что она была перенесена в Европу арабами. Цифры, которыми мы пользуемся, тоже называются арабскими. Кроме этих цифр, мы пользуемся римскими цифрами.
      Для обозначения чисел употребляются следующие римские цифры.
      Начертание цифры I V X L С D М
      Какое число обозначает 1 цифра 1 5 10 50 100 500 1000
      Римслими цифрами иногда обозначают главы или разделы в книгах, месяцы в письмах, годовщины выдающихся событий и т. д.
      Таблица римсннх изображений чисел.
      При записи чисел римскими цифрами надо помнить, что если меньшая по значению цифра поставлена перед большей, то такая запись означает разность чисел. Например, запись IX означает 10 — 1, или число 9; запись XL означает 50 — 10, или число 40.
      В записи чисел римскими цифрами одинаковые цифры встречаются не более трех раз подряд.
     
      5. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О НУМЕРАЦИИ ЧИСЕЛ И СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.
      Люди в процессе трудовой деятельности постепенно научились считать предметы и записывать натуральные числа.
      У разных народов и в разные эпохи употреблялись различные знаки для обозначения чисел.
      Славяне ранее пользовались для обозначения чисел буквами своего алфавита. Одни буквы обозначали однозначные числа, другие — круглые десятки, тре гьи — круглые сотни
      В Индии при обозначении чисел пользовались девятью знаками для первых девяти натуральных чисел. Примерно в VIII веке индийцы ввели знак для обозначения нуля. Это было выдающимся изобретением, так как с помощью этих десяти цифр удалось упростить нумерацию чисел.
      Арабы стали применять индийские цифры и называли нуль «сифр», что значит «пустое». Отсюда произошло название «цифра». Сперва так называли только цифру 0, а лет двести тому назад стали все 10 знаков для обозначения натуральных чисел называть цифрами. Слово «нуль» произошло от латинского слова nullus, что значит «никакой».
      В X — XI веках индийские цифры были заимствованы у арабов народами Европы и получили название «арабские». Однако индийская система обозначения чисел распространялась в Европе медленно, многие страны еще долгое время пользовались римской нумерацией. Только примерно в XV веке начинают широко применяться арабские цифры.
      Цифры постепенно меняют свой вид (см. таблицу изображения цифр на рис. 12). Начертания цифр, которыми мы сейчас пользуемся, установились в Европе в XVI веке.
      В России арабские цифры начали широко применяться после напечатания книги Л. Ф. Магницкого «Арифметика».
      Происхождение десятичной системы счисления связано с использованием десяти пальцев рук.
      Кроме этой системы счисления, существовали и другие: пятеричная система, в которой за основание принималось число 5, двенадцатеричная и шестидесятеричная системы (с основаниями 12 и 60).
     
      Страница нз учебника арифметики Леонтия Филипповича Магницкого Впервые этот учебник был напечатан в 1703 году. Л. Ф Магницкий происходил из крестьян Тверской губернии, родился в 1669 г., умер в 1739 г. Он был образованным человеком, знал несколько языков, самостоятельно изучил математику. Его учебник был написан доступным и простым языком, многие русские люди изучали арифметику по этому учебнику. Наш гениальный ученый М. В. Ломоносов называл этот учебник и грамматику Смотрицкого увратамн учености».
      Для числа 12 существует название «дюжина», 12 дюжин составляют «гросс».
      Год делится на 12 месяцев. Час содержит 60 минут, а минута — 60 секунд.
      Эти названия и соотношения являются остатками двенадцатеричнон и шестидесятеричной систем счисления.
      Вообще говоря, можно любое число, начиная с двух, взять за основание системы счисления. Если, например, записывать числа по пятеричной системе, где основанием будет 5, или пяток, а не десяток, то для записи чисел достаточно только пяти цифр: 0, 1,2, 3, 4.
      Число пальцев на одной руке по пятеричной системе запишется двузначным числом 10 (пяток есть единица второго разряда).
      Запись ... читают так: «Один — нуль по пятеричной системе». Эта запись означает: один пяток и нуль единиц. Чтобы отличить эту запись от записи в десятичной системе, внизу поставлена цифра 5. Число дней в неделе запишется так: 125 (один пяток и две единицы). Число пальцев на руках и ногах запишем таким образом: 40ь (четыре пятка и нуль единиц) и т. д. Наименьшее число цифр имеется в двоичной системе. Для изображения чисел в этой системе необходимо иметь только две цифры: 0 и 1.
      Первые девять натуральных чисел записываются в двоичной системе следующим образом: 1 = 12; 2 = 102; 3=112; 4 = 1002; 5=1012; 6=1102; 7 = 1112; 8= 1000г; 9= 10012. Изображения чисел в двоичной системе занимают больше места, чем в десятичной системе, однако арифметические действия над числами значительно упрощаются. Например, таблица умножения в двоичной системе очень проста: 0-1 = 1-0=0; 1-1 = 1. Благодаря такой простоте двоичная система используется для записи чисел и букв в электронных счетных машинах. Эти машины могут выполнять десятки тысяч арифметических операций в 1 секунду.
      Собрание (или группу) каких-либо предметов называют множеством. Например, говорят о множестве учащихся в классе, множестве букв в алфавите, множестве голов скота в колхозе. В арифметике принято говорить о множестве и в том случае, когда имеется только один предмет или вовсе нет предметов. Например, множество мальчиков в классе может состоять только из одного мальчика. В этом множестве может и не быть ни одного мальчика (если в классе учатся только девочки).