ПОЛНЫЙ ТЕКСТ
Задача учителя начальных классов на уроках арифметики состоит в том, чтобы в процессе преподавания курса арифметики целенаправленно и систематически проводить работу по развитию логического мышления детей, учитывая возраст, психологию ребенка, степень его подготовленности.
Строить преподавание так, чтобы у учащихся постоянно работала мысль. «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью».
Лучший метод, позволяющий именно так строить преподавание,— аналитико-синтетический метод, в котором анализ занимает доминирующее положение.
Видов аналитико-синтетического метода много. Установить, какие виды на каких этапах обучения приносят наибольшую пользу, помогает практика.
В своей многолетней практике я убедилась в том, что хорошие результаты дает такая форма работы, как абстрагирование при чтении условия задачи и абстрагирование при чтении условия примеров; сравнение и обобщение при решении задач и примеров; введение логических пятиминуток для усвоения условия задачи и перед решением трудных задач.
Рассмотрим только эти формы аналитико-синтетического метода.
Так, в первом классе во время знакомства с числами первого десятка и действиями над ними подвожу учащихся к составлению простых задач и обучаю правильно читать их. Для активизации внимания во время этой работы использую цветные аппликации: «Буратино», «Петрушка», «Иван-царевич».
Помещаю на доске цветную фигурку Буратино с сеткой в руках. В сетке лежит один мячик. Предлагаю детям сказать одним предложением, что они видят у Буратино в сетке. Затем кладу сама еще один мячик и спрашиваю детей о том, что я сделала.
После меня дети сами бросают мяч в сетку и объясняют, что сделали.
Подвожу детей к мысли, что неважно, кто положил мячи в сетку, а важно, что положили мячик, т. е. прибавили, мячей стало больше. Но считать, сколько их стало всего, мы начинаем только тогда, когда учитель или ученик спросит: «Сколько мячей стало в сетке всего?»
Делаем вывод, что это предложение называется главным вопросом задачи. Дальше учимся составлять задачи и выделять вопрос. Сообщаю ученикам, что, рассказывая условие задачи, нужно голосом выделить слова, показывающие, что сделали с предметами, о которых говорится. Дети выделяют голосом слова: прибавили, купили, принесли еще, подарили и т. д. и объясняют, почему эти слова нужно выделять голосом. Здесь необходим прием сравнения условия двух задач, отличающихся только одним или несколькими словами.
I. У Кати было три открытки. Она купила еще одну открытку. Сколько открыток стало у Кати?
1. Каким действием будем решать задачу? (Сложением).
2. Почему будем решать задачу сложением?
Дети отвечают, что открыток стало у Кати больше, потому что она купила еще одну открытку, значит, нужно складывать, нужно прибавить к открыткам, которые были у Кати, еще одну, новую, которую она купила.
3. Какое слово подсказало вам, что открытки нужно складывать?
(Слова купила еще. Раз купили, то стало больше, а раз стало больше, то надо прибавлять).
II. У Кати было три открытки, она потеряла одну открытку. Сколько открыток стало у Кати?
1. Каким действием будем решать задачу? (Вычитанием).
2. Почему будем решать задачу вычитанием?
Дети отвечают, что Катя потеряла открытку, теперь у нее открыток меньше, а раз меньше, то нужно отнимать.
3. Какое слово подсказало, что нужно делать действие вычитание?
Дети отвечают, что подсказало слово потеряла.
4. Как это слово выделить среди других слов?
Дети отвечают, что его нужно выделить голосом. Учимся, кто лучше, правильнее прочитает задачу и ответит на ее главный вопрос.
Даю задачу:
Весной около школы посадили 5 елочек. Осенью дети посадили 4 березки. Сколько березок стало около школы?
Некоторые дети отвечают, что стало 4 березки, другие — 9 березок; находятся и такие, которые говорят 5 березок.
Выясняем коллективно:
1. Почему березок стало 4?
(Березки около школы не росли, а когда посадили 4, то и растет их 4).
2. Почему некоторые считают, что березок стало 9?
Ученик отвечает, что росло 5 деревьев, которые посадили весной, да теперь еще посадили 4 березки. Раз посадили, то деревьев стало больше, значит, их прибавилось, а к 5 прибавить 4 будет 9.
3. Почему Гриша считает, что березок стало 5?
Оказывается, ученик просто невнимательно слушал задачу и запомнил механически одно число 5.
Выясняем, какой из ответов — 4 или 9 — правильный. Задаю ученикам вопросы:
1. Про какие деревья спрашивается в главном вопросе?
(Про березки).
2. Что про березки в задаче сказано?
(Сказано, что весной посадили 4 березки).
3. Росли ли березки около школы до этого, до посадки?
(Нет, росли только елки).
4. Березки около школы не росли, был просто участок земли.
Как коротко сказать, что березок не было совсем?
(Березок было 0).
5. Если на участок посадили 4 березки, т. е к 0 прибавить 4 березки, то сколько их будет?
(Будет 4).
6. Если к 5 елкам прибавить 4 березки, то 9 березок может получиться?
(Нет, не может).
7. А деревьев может получиться 9?
(Может).
8. Почему деревьев может получиться 9?
Дети отвечают, что елки и березки — это деревья.
9. Какой же ответ правильный? Сколько березок росло около школы?
(4 березки).
10. Сколько елочек стало расти около школы?
(5 елочек).
11. Сколько всего деревьев растет около школы?
(9 деревьев).
Для того, чтобы проверить, научились ли дети осмысленно отвечать на вопрос задачи, даю им задачу, подобную разобранной:
Мальчики сделали для елочки 6 звездочек и 3 хлопушки.
Поставьте вопрос так, чтобы задача решалась сложением. Поставьте вопрос так, чтобы никакого действия не надо было выполнять.
Дети ставят вопросы и дают на них ответы.
1. Сколько всего игрушек сделали дети?
(Действие сложение).
2. Сколько звездочек сделали дети?
(Не надо действия).
3. Сколько хлопушек сделали дети?
(Не надо действия).
4. Сколько вместе звездочек и хлопушек стало у детей?
(Действие сложение).
5. Сколько звездочек стало?
(Не надо действия).
6. Сколько хлопушек стало?
(Не надо действия).
Такая работа над условием задачи приучает детей с 1-го класса вслушиваться, вчитываться и вдумываться в условие задачи, устанавливать между словами математическую зависимость.
Во 2-м классе появляются новые задачи, связанные с делением по содержанию и делением на равные части.
Здесь важно научить читать условие задач в сравнении, чтобы учащиеся лучше видели и понимали разницу в делении по содержанию и делении на равные части.
Предлагаю 2 задачи, которые отличаются главным вопросом.
I. 20 карандашей разложили поровну в 4 коробки. Сколько карандашей положили в каждую коробку?
II. 20 карандашей разложили в коробки, по 4 карандаша в каждую. Сколько потребовалось коробок?
Также сравниваем условие задач, построенных на одном и том же сюжетном материале и на одних и тех же числах, но отличающихся мало заметным условием, выраженным одним словом:
I. В одном куске 12 м материи, в другом — на 3 м больше. Из второго куска сшили детские костюмы. Сколько сшили костюмов, если на каждый костюм пошло 3 м?
II. В одном куске 12 м материи. В другом — на З м больше. Из всей материи сшили детские костюмы. Сколько костюмов сшили, если на каждый костюм пошло 3 м?
Чтобы приучить детей к сознательному, правильному чтению условия задачи, в виде логических пятиминуток ввожу задачи, в которых не достает важного для выбора действия слова: «У Васи 10 марок. Он отдал их двум товарищам. Сколько марок получил каждый товарищ?»
Дети иногда спешат дать ответ «5».
Вопрос почему? заставляет их задуматься. Путем рассуждения выясняем, что в задаче не сказано, как Вася распределил свои марки товарищам. Нет слова поровну, и деление на 2 равные части не обосновано.
При изучении темы «Увеличение и уменьшение числа на несколько единиц» дети, часто не задумываясь над связью слов, но прочитав слова на больше, начинают складывать, прочитав на меньше — вычитать.
Поэтому при изучении этой темы даю без числовых данных задачи, требующие от детей только логических рассуждений.
1. У Вити и Кати есть книги. У Кати книг больше, чем у Вити. Что можно сказать о книгах Вити?
«У Вити книг меньше, чем у Кати»,— отвечают одни учащиеся. «У Вити книг неизвестно сколько», — отвечают другие учащиеся.
Задаю еще один водрос:
У кого книг больше, у кого книг меньше?
(У Кати больше, у Вити меньше).
Затем даю задачи с числовыми данными, где нужно сказать, на сколько одно число меньше или больше другого.
У меня в правой руке денег на 3 коп. меньше, чем в левой. Что можно сказать о деньгах, которые я держу в левой руке?
(Денег в левой руке на 3 коп. больше).
После этого предлагаю задачи с косвенным содержанием, где ввожу числовые данные. Дети от рассуждений должны перейти к выбору действия.
I. У Иры в библиотеке 30 книг. Это на 5 книг больше, чем у Пети. Сколько книг у Пети?
Дети могут дать 2 ответа.
(У Пети 35 книг. У Пети 25 книг).
Чтобы дети сами решили, какой ответ правильный, ставлю вопрос:
Если у Иры книг 30, и это больше на 5 книг, чем у Пети, то что можно сказать о книгах Пети. Больше у него книг, чем у Иры, или меньше? Ответ будет только один:
У Пети книг меньше.
А раз у Пети книг меньше, то каким действием узнаем, сколько их?
(Нужно от 30—5 = 25).
Следующей ступенькой в этой работе является подбор задач, в которых путем рассуждений нужно выяснить, на сколько одно число больше или меньше другого.
1. На столе лежат 2 неравные пачки тетрадей. Если из большей пачки переложить в меньшую 10 тетрадей, то в них будет тетрадей поровну. На сколько в одной пачке тетрадей больше, чем в другой?
Возможны два ответа:
На 20 тетрадей. На 10 тетрадей.
Чтобы дети сами выяснили, какой из ответов правильный, рассуждение подкрепляю наглядными рисунками
Если принять, что в 1-й пачке на 10 тетрадей больше, чем во 2-й, то, переложив из 1-й пачки во 2-ю 10 тетрадей, мы увидим, что теперь 2-я пачка будет на 10 тетрадей больше, а 1-я — на 10 тетрадей меньше. По условию же пачки стали равные. Значит, нужно рассмотреть еще один рисунок.
Если из большей пачки переложить в меньшую 10 тетрадей, то в обеих пачках тетрадей будет поровну. Это соответствует условию.
Для закрепления этого рассуждения решаем еще несколько подобных задач и переходим к другим задачам, в которых нужно сравнить 3 числа и назвать самое большое число и самое маленькое:
У Иры на 5 открыток больше, чем у Вали, и на 3 открытки больше, чем у Шуры.
У кого из девочек самое большое количество открыток, у кого из девочек самое маленькое количество открыток?
Дети без труда устанавливают, что больше всего открыток у Иры, а затем проводят рассуждения: если у Иры больше, чем у Вали и Шуры, то у Шуры на 3 открытки меньше, чем у Иры, а у Вали на 5 открыток меньше, чем у Иры. Значит, у Вали самое меньшее количество открыток.
Такая система работы развивает у учащихся логическое мышление, приучает их анализировать задачи.
Обращая большое внимание на математическую зависимость между словами задачи, нельзя, конечно, забывать и о числовых данных, от которых нередко зависит выбор действия в задаче.
Так, во 2-м классе на обобщающих уроках по темам «Деление по содержанию», «Деление на равные части» ввожу задачи, которые решаются приведением к единице, где не только количество предметов, но и названия их неодинаковы:
Столовая ложка стоит 60 коп., а 3 чайные ложки стоят 90 коп.
Во сколько раз столовая ложка дороже чайной?
После чтения текста задачи работаем над усвоением содержания по вопросам и ведем одновременно краткую запись условия.
1) Сколько было столовых ложек? (1).
2) Сколько денег за нее уплатили? (60 коп.).
3) Сколько было чайных ложек? (3).
4) Сколько денег за них уплатили? (90 коп.).
5) Что нужно узнать в главном вопросе?
Краткая запись:
1 столовая ложка — 60 коп.
3 чайные ложки — 90 коп.
Во сколько раз 1 чайная ложка дешевле 1 столовой ложки?
6) Какие числа имеются в виду в главном вопросе перед словом столовая и перед словом чайная?
(Числа 1 и 1).
Предлагаю детям поставить эти числа.
Такая работа над условием предупредит детей от ошибки, и они будут сравнивать цену 1 столовой ложки и 1 чайной ложки, а не цену 1 столовой ложки со стоимостью 3 чайных ложек.
Показать важность числовых данных во многих задачах и установить зависимость между ценой, количестввом и стоимостью помогает детям таблица, которую они могут составить при решении простых задач:
1. Одна тетрадь стоит 2 копейки. Сколько стоят 3 тетради, 4 тетради, 5 тетрадей?
Дети решают несколько таких задач и делают вывод, что стоимость зависит от количества купленных тетрадей.
2. Купили 2 маленьких карандаша по 2 коп. и 2 больших карандаша по 3 коп. Сколько денег уплатили за 2 маленьких карандаша? Сколько денег уплатили за 2 больших карандаша? За какие карандаши уплатили больше и почему?
Решив несколько таких задач, дети делают вывод, что стоимость зависит от цены купленных вещей. На основании выводов составляют таблицу зависимости между ценой, количеством и стоимостью.
Название предметов
Цена 1 предмета
Количество предметов
Стоимость предметов
Тетради 2 коп. 3 ?
Книги ? 4 8 руб.
Карандаши 5 коп. ? 10 коп.
При помощи этой таблицы легко выяснить детям, как найти по двум известным величинам третью, неизвестную величину.
В 3-м классе работа над условием задачи продолжается, появляются задачи на встречное движение. Начинаем работу над этими задачами с усвоения зависимости между временем, расстоянием и скоростью в таком порядке:
I. Предлагаю изобразить условие и решение задачи при помощи чертежа.
Пешеход проходит 5 км в час. Какое расстояние пройдет пешеход за 2 часа, за 4 часа?
Масштаб: в 1 см — 2 км.
Ученики выполняют чертежи (рис.)
Из наблюдений над тем, как изменяется расстояние с увеличением времени (при одной и той же скорости), дети делают вывод, что расстояние увеличивается с увеличением времени.
II. Изобразить условие и решение другой задачи при помощи чертежа.
Пешеход проходит в час 5 км. Был он в пути 2 часа. Велосипедист делает в час 10 км и был в пути тоже 2 часа. Кто из них прошел большее расстояние и почему? (рис.)
В результате наблюдений и решения задач учащиеся делают вывод, что расстояние зависит и от скорости.
Обобщая все решенные при помощи чертежей задачи, дети составляют таблицу зависимости между скоростью, временем и расстоянием.
Название Скорость Время Расстояние
Лодка 8 км в час 3 часа ?
Велосипедист ? 2 часа 24 км
Пароход 30 км в час ? 120 км
После того, как учащиеся усвоили таблицу зависимости трех величин, даю понятие о трех видах движения: (встречном, в одном направлении, в разных направлениях).
Вызванные учащиеся двигаются навстречу друг другу от противоположных стен класса, начиная движение одновременно. Дети замечают, что эти учащиеся приближаются друг к другу, расстояние между ними уменьшается.
Решают простые задачи, иллюстрируя решение чертежами.
I. Два мальчика идут навстречу друг другу; один проходит в час 3 км, другой—4 км. На сколько километров они будут приближаться друг к другу в каждый час?
Ученики дают ответ:
(На 7 км в час).
II. Два мальчика пошли от избушки лесника в разные стороны с одинаковой скоростью — 60 м в минуту. На сколько метров они будут удаляться друг от друга в минуту?
Ученики дают ответ:
(На 120 м в минуту, потому что один отойдет на 60 м и другой на 60 м в разные стороны).
III. Два мальчика вышли из дома в одном направлении. Один идет со скоростью 60 м в минуту, другой-50 м в минуту. На сколько метров один мальчик опередит другого в одну минуту, в две минуты?
Ученики дают ответ:
(На 10 м, на 20 м).
Решение простых задач на движение готовит детей к чтению сложных задач по чертежам и самостоятельному выполнению чертежей.
Пешеходы идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Один идет со скоростью 4 км в час, другой — 5 км в час.
Изображаем решение задачи графически.
Затем переходим к чтению задач по данным чертежам. (рис.)
После такой работы ввожу в урок задачи с лишними данными, с недостающими данными, чтобы научить учащихся самостоятельно разбираться в условии задачи.
I. Два автомобиля вышли одновременно навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми 300 км, и встретились через 3 часа. Скорость первого автомобиля 40 км в час. Найти скорость второго автомобиля, если он до встречи прошел 180 км.
Путем рассуждений учащиеся устанавливают, что в этой задаче лишним является число 180 км, потому что скорость второго автомобиля можно найти из скорости сближения двух автомобилей.
II. От двух пристаней, расстояние между которыми 500 км, вышли одновременно навстречу друг другу 2 теплохода и встретились посередине пути. Какой теплоход шел быстрее? Почему?
(Скорость теплоходов была одинакова, слово посередине доказывает это).
III. Две лодки одновременно отплыли навстречу друг Другу со скоростью 9 км в час и вскоре встретились. Сколько километров прошла каждая из них до встречи?
(Задачу решить нельзя, потому что нет времени).
IV. Два поезда вышли одновременно из двух городов и идут навстречу друг другу. Через 6 часов они встретились. Какой поезд прошел большее расстояние?
Ответить на вопрос задачи нельзя, потому что неизвестна скорость.
V. Из Орджоникидзе и Грозного навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста. Скорость велосипедиста из Орджоникидзе 14 км в час, из Грозного — 12 км в час. Какой из них до встречи проехал большее расстояние? Почему?
(Ответить на вопрос задачи не можем, потому что неизвестно, одновременно ли выехали велосипедисты).
Учитывая программные требования курса арифметики 5-го класса, уделяю внимание работе над условием задач на движение в одном направлении, когда скорость движения тел различна или различны и скорость и время выхода.
Условие и решение таких задач изображаем графически, так как это дает больше возможности наблюдать и сравнивать. Например:
I. Два туриста вышли одновременно из одного места и в одном направлении. Один турист шел со скоростью 6 км в час, другой турист — со скоростью 4 км в час. На сколько километров больше пройдет первый турист за 1 час, за 2 часа?
Изображаем условие и решение задачи графически. Масштаб: в 1 см — 2 км. (рис.)
После наблюдений учащиеся делают вывод, что с каждым часом разница в расстоянии увеличивается на разность скоростей.
Сначала разница была 2 км (6—4 = 2), затем разница увеличилась до 4 км (12—8 = 4).
II. Из города в село вышел мальчик. Он шел со скоростью 3 км в час. Спустя 2 часа после выхода мальчика, по этому же направлению пошел мужчина. Он шел со скоростью 5 км в час.
Через сколько часов мужчина догонит мальчика?
Решение задачи изображаем графически. (рис.)
I. Расстояние, пройденное пешеходами перед выходом 2-го пешехода.
II. Расстояние после 1 часа ходьбы.
III. Расстояние после 2 часов ходьбы.
IV. Расстояние после 3 часов ходьбы.
Проводим наблюдение над чертежами.
1) На сколько километров взрослый человек отставал от мальчика перед выходом?
(На 6 /ои).
2) На сколько километров отставал взрослый человек от мальчика после 1-го часа ходьбы?
(На 4 км).
3) На сколько километров отставал взрослый человек от мальчика после 2-го часа ходьбы?
(На 2 км).
4) На сколько километр.ов отставал взрослый человек от мальчика после. 3-го часа ходьбы?
(На 0 км).
5) На сколько километров каждый час сокращалось расстояние между мальчиком и мужчиной.
(Каждый час расстояние сокращалось на 2 км).
6) Почему оно сокращалось каждый час на 2 км?
(Потому что разность скоростей пешеходов составляет 2 км в час. От 5—3 = 2).
Из проведенных наблюдений учащиеся делают вывод, что для решения задач на движение главную роль играет направление движения тел. Оно показывает, что нужно находить в задаче или скорость сближения, или скорость удаления, или разницу скоростей.
Затем для закрепления материала чертим таблицу трех видов движения:...
Задачи на движение обычно с трудом усваиваются учащимися. Дети путают виды движения, не могут найти рациональный путь решения. Предлагаемая система работы над задачами этого вида ценна тем, что дает отчетливое представление о видах движения и указывает первую ступеньку рационального решения.
Систематическая работа над условием задачи подводит учащихся к решению задач аналитико-синтетическим методом.
Анализ начинаем со слов: что нужно знать, чтобы ответить на главный вопрос задачи?
Путем рассуждений от последнего вопроса идем к первому. Когда же начинается синтез, т. е. решение задачи от 1-го действия до последнего, некоторые учащиеся все же не могут решить задачу самостоятельно. Чтобы у таких учащихся разбудить мышление, им нужен не словесный анализ, а наглядный.
Возьмем задачу для 3 класса.
С одного опытного участка получили 3000 кг зерна, а с другого — 2100 кг. Из всего зерна 3450 кг оставили на семена, а остальное зерно высыпали в мешки по 75 кг в каждый и отправили на зернопункт. Сколько мешков зерна отправили на зернопункт?
Анализ ведем по схеме:
Сколько мешков зерна отправили на зернопункт?...
Две последние величины известны, и по ним мы можем найти 3-ю величину.
Начинается синтез.
Учащиеся решают разобранную задачу, а те, кто не может этого сделать, обращаются к схеме, которая помогает им все додумать и осмыслить.
Это классическая форма анализа, и она по праву занимает у нас доминирующее положение. Но порой на уроках арифметики ведется такой навязчивый дробный анализ, что он мешает ученикам проявлять самостоятельность и творчество.
Чтобы избежать этого и в то же время направить мысли учащихся по нужному руслу, ввожу подготовительные задачи-малютки. Прием введения подготовительных задач хорошо разработал А. И. Александров в пособии «Метод преобразования одной задачи в другую».
К каждому типу задач мною подобраны и написаны на таблицах соответствующие подготовительные задачи, которые вкладываем в электротабло (Игра «Угадайка», приспособленная для уроков арифметики).
Каждый учащийся самостоятельно работает по табло и определяет правильный ответ на вопрос по загоревшейся лампочке. А почему именно этот ответ правильный, выясняем коллективно.
Применять электротабло начинаем со второго класса. Так, при решении задач на простое тройное правило способом прямого приведения к единице вводим задачи-малютки.
Основная задача:
За 3 альбома уплатили 6 рублей. Сколько денег уплатят за 5 таких же альбомов?
Подготовительная задача к ней:
2 карандаша стоят 4 копейки. Что можно сказать об одном карандаше? о 3? о 5?
Обратная задача на простое тройное правило:
За 2 метра ткани уплатили 12 рублей. Сколько метров ткани можно купить на 20 рублей?
Подготовительная задача:
Тетрадь стоит 2 копейки. У тебя 6 копеек. Сколько тетрадей ты сможешь купить? Почему?
Задача на пропорциональное деление:
Первый раз купили 9 чернильниц, второй раз купили 8 чернильниц. За всю покупку уплатили 85 коп. Сколько уплатили денег за чернильницы в первый раз и во второй раз отдельно?
Подготовительные задачи:
1. Мальчик купил 4 открытки. Девочка купила 6 таких же открыток. Кто заплатит больше? Почему?
2. Девочка купила 2 тетради, потом еще 3 тетради и уплатила за все 10 копеек. Как узнать цену тетради?
3. Для уроков рисования купили альбомов в первый раз на 50 коп., второй раз на 20 коп. Как узнать цену альбома, если их купили 7 штук?
Задача на нахождение неизвестного по 2 разностям:
Первый раз для детского сада купили 3 куклы. Второй раз купили 5 таких же кукол. Второй раз уплатили на 12 руб. больше. Сколько уплатили за куклы 1 раз и 2 раз отдельно?
Подготовительные задачи:
1. Маша купила 2 резинки. Витя купил 2 такие же резинки. Кто уплатил меньше? Кто уплатил больше? Почему?
2. Маша купила 2 резинки. Витя купил 3 такие же резинки. Кто уплатил денег больше? Почему?
Задачи на нахождение неизвестного по 2 разностям (близкие обратным задачам на простое тройное правило, решаемые способом приведения к единице).
Для детского сада первый раз купили игрушки-автомобили и уплатили 8 рублей. Второй раз купили такие же автомобили и уплатили 9 рублей. Второй раз купили на 2 автомобиля больше. Сколько автомобилей купили 1 и 2 раз отдельно?
Подготовительная задача:
1. Женя купил марок на 30 коп. Оля купила таких же марок на 60 коп. Кто купил марок больше? Почему? На сколько марок Оля купила больше, если 1 марка стоит 6 копеек? Почему?
Есть задачи, подготовку к решению которых лучше начинать с синтеза, то есть как бы наращивать из маленькой простой задачи сложную, показать процесс образования сложной задачи из простой.
Возьмем задачу:
Огород имеет форму квадрата, периметр которого 420 м. Определите площадь огорода.
Сделав анализ этой несложной задачи, дети решают ее.
Затем продолжаем наращивать задачу:
На этой площади посажены картофель и капуста, причем картофель занимает 3/5 всей площади. Поставьте вопрос к задаче так, чтобы она решалась двумя действиями. Притом последнее действие должно быть вычитанием.
Дади ставят вопрос: Какая площадь осталась под капустой?
Сделаны вычисления, и задача продолжается:
Один кочан занимает в среднем 44 кв. дм. Поставьте вопрос так, чтобы задача решалась делением.
Дети ставят вопрос: Сколько кочанов капусты было в огороде?
После этого для самостоятельного решения детям предлагаю задачу, подобную составленной:
Сад имеет форму квадрата, периметр которого 720 м.
3/4 площади занимают яблони, 1/5 всей площади занимают вишни; на каждую яблоню приходится 36 кв. м земли, на каждое вишневое дерево — 12 кв. м земли. Сколько в саду яблонь и вишневых деревьев отдельно?
Решая эту задачу самостоятельно, дети членят ее на части — на ряд простых задач, т. е. делают анализ, только в другой форме. Прием этот учит также детей ставить вопросы к данному условию, учит составлять сложные задачи.
Если при решении задач не приучить детей делать выводы, обобщения, то половина работы уйдет впустую. А обобщение невозможно без сравнения. Сравнение необходимо и для того, чтобы отделить близкие и сходные между собой понятия; увеличение числа в несколько раз и на несколько единиц, разностное и кратное сравнение, деление на равные части и по содержанию, нахождение части числа и числа по части и т. д.
Так, при решении задач на нахождение суммы чисел (в 1-м классе) необходимо решать задачи на нахождение неизвестного слагаемого, так как они являются обратными по отношению к задачам на нахождение суммы. Их решение необходимо сравнить.
Предлагаю записать кратко условие двух задач:
1) У Вити было 15 марок, а у Пети — 5 марок. Сколько марок у них вместе?
2) У Вити и Пети всего 20 марок. Сколько марок у Пети?
Затем записываем формулу решения задачи и находим х:
I. 15 + 5 = х
х = 20
II. 15 + х = 20
х = 20—15
х = 5
Что находим в первой задаче? (Сумму).
Что находим во второй задаче? (Слагаемое).
Каким действием находим сумму? (Сложением).
Каким действием находим слагаемое? (Вычитанием).
Каким является действие вычитания по отношению к действию сложения? (Обратным).
Какая из задач является обратной? (Вторая).
Сколько таких обратных задач можно составить? (Две).
Для чего нужно уметь составлять обратные задачи? (Для проверки решения).
При работе над задачами на приведение к единице необходимо также сравнить решение прямой и обратной задачи.
1. За 4 часа трактор израсходовал 28 литров керосина. Сколько керосина израсходует он за 10 часов?
2. За четыре часа трактор израсходовал 28 литров керосина? За сколько часов он израсходует 70 литров керосина?
Предлагаю составить числовые формулы к каждой задаче.
I.
28:4X10 = 70 (л)
II.
70:(28: 4) = 10 (час).
Сравните первую часть решения.
Что находим? (Количество керосина, израсходованного за 1 час).
Сравните вторую часть решения.
Что находим в прямой задаче? (Количество всего керосина).
Что находим в обратной задаче? (Количество часов).
Что особенного в решении обратной задачи?
(В ней 2 разных вюпроса, но каждый решается одним и тем же действием — делением).
Какой смысл имеет деление при решении 1-го вопроса?
27
(Деление на равные части).
Какой смысл имеет деление при решении 2-го вопроса?
(Деление по содержанию).
В каких случаях применяется еще деление?
Дети скажут, что при уменьшении числа в несколько раз, при кратном сравнении, при нахождении части числа.
От этого обобщения легко перейти к дальнейшей работе по закреплению видов деления.
В 4-м классе дети с трудом усваивают, что равновеликие площади могут иметь разные периметры. Для того, чтобы дети сами сделали такой вывод и усвоили его, нужен прием сравнения.
Предлагаю начертить квадрат со стороной 100 м и прямоугольник со сторонами 125 м и 80 м. Масштаб 1 см — 10 м.
Вычислите периметр прямоугольника и квадрата.
100X4 = 400 (м)
(125 + 80) Х2 = 410 (м)
Вычислите площадь квадрата и прямоугольника
100X100=1 (га) 125X80=1 (га)
Проводим наблюдение, делаем сравнение и приходим к выводу, что равновеликие фигуры могут иметь разные периметры и различную форму. Подобные сравнения и обобщения можно делать почти на каждом уроке. Это заставляет учащихся думать, искать пусть даже давно открытое и изложенное в учебнике.
Размышлять над условием и способом решения дети должны не только в задачах. Богатую пищу для развития логического мышления дают примеры. Так, в 1-м классе даю детям решить примеры на сложение и вычитание в непривычной для них записи. Дети привыкают к такой записи:
1.
4+3=7 9—1=8
5+2=7 6—2=4
6+1=7 7—3=4
Предлагаю другую форму записи:
7=...+... 8=...—...
7=...+... 6=...-...
Это заставляет учащихся задуматься над тем, можно ли поменять местами левую и правую часть равенства.
2. Сказать, не считая, в каком примере получится больше и почему?
5+1 и 5+4
(Во втором примере получится больше, потому что второе слагаемое больше).
3. Какая разность больше и почему?
12—2 или 12—1
(Вторая разность больше, потому что вычитаемое при этом меньше).
4. Написать равенство.
9 + 3 = 8 + ...
Дети рассуждают по-разному:
а) К 9 прибавить 3 получится 12, значит, к 8 нужно прибавить 4 получится 12.
б) 8 меньше 9 на 1, значит, к 8 нужно прибавить не 3, а 4.
5. Написать возможные неравенства.
8+5 8+...
Объяснение детей:
а) Первые слагаемые обоих примеров одинаковы, значит, во втором примере второе слагаемое должно быть меньше пяти.
8 + 5 больше 8 + 4; 8 + 5 больше 8 + 3; 8 + 5 больше
8 + 2; 8 + 5 больше 8 + 1; 8 + 5 больше 8 + 0.
б) Первые слагаемые обоих примеров одинаковы, значит, второе слагаемое должно быть больше пяти.
8 + 5 меньше 8 + 6; 8 + 5 меньше 8 + 7 и т. д.
Из объяснений детей напрашивается вывод, который они делают с помощью учителя:
Если какую-либо часть неравенства увеличивать, то неравенство будет бесконечно, если какую-либо часть неравенства уменьшать, то неравенство будет иметь предел.
Почему?
Потому, что увеличивать любое число можно до бесконечности, а уменьшать — до 0.
6. Заменить сложение умножением:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = (6X5)
7. Заменить умножение сложением:
3X5 = (З + З + З + З + З)
ЗХ2+ЗХЗ =
Дети рссуждают так:
ЗХ2=3+3
ЗХ3=3+3+3
Значит, 3X2 + 3X3 = 3+3+3+3+3
8. Записать пример так, чтобы он решался одним действием:
ЗХ9+3=
3X10 = 30
(3X9 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 и еще + 3)
9. Поставить нужный знак между произведениями и доказать его правомерность.
3X4 3X3
Во 2-м классе к этим упражнениям добавляем новые:
1. Вычислить самым удобным способом.
14—(4 + 2)= 14—4—2 = 8
58—(9 + 8)= 58—8—9 = 41
70—(6 + 4)= 70—10 = 60
2. Сказать, не умножая, какое произведение больше. Почему?
27X3 или 27X4
27X4 больше, чем 27X3, потому что второй сомножитель в первом примере больше, чем второй сомножитель во втором примере.
3. Найти х, если
х меньше 63 в 7 раз.
(х = 63:7; х = 9)
4. При делении двух чисел получилось 1. Что можно сказать об этих числах?
(Эти числа равны).
В третьем классе помимо этих упражнений ввожу примеры на усвоение классов и разрядов и особое внимание обращаю на действие с нулем.
1. Что можно сказать, сравнивая две единицы второго разряда с одной единицей первого разряда?
(Две единицы второго разряда составляют 20, одна единица первого разряда составляет 1. Значит, две единицы второго разряда в 20 раз больше одной единицы первого разряда).
2. Решить пример устно, используя законы умножения (переместительный и сочетательный).
445 + 201 + 255 + 99 = 1000
Во сколько раз ответ этого примера больше одной единицы третьего разряда?
(В 10 раз).
3. Сложили 2 числа, получили какой-то результат. Затем над этими же числами произвели действие вычитание и получили тот же результат. Какие это числа?
Ученики дают ответ:
Оба или один из слагаемых равен 0 (0 и 0; 5 и 0; 2 и 0 и т. д.)
4. Перемножили два числа и получили ноль. Прибавили один из сомножителей и получили 10. Какие числа перемножили?
(10 и 0).
5. Перемножили два числа и получили 0. Прибавили один из сомножителей и получили 0. Какие числа умножили?
(Один из сомножителей обязательно 0).
6. Уменьшаемое 12, разность 12. Чему равно вычитаемое?
(Вычитаемое 0).
7. Уменьшаемое 39, остаток 0. Чему равно вычитаемое?
(Вычитаемое равно уменьшаемому).
8. Вычитаемое 45, разность 0. Чему равно уменьшаемое?
(Уменьшаемое равно вычитаемому).
Все это готовит учащихся к решению рациональным путем сложных примеров, появляющихся в 4-м классе.
Вот основные из этих примеров.
1. Не производя действия умножения, сказать, какой ответ будет больше и на сколько больше?
36X12 или 36X33:3
(36X12 больше, чем 36X33:3, потому что 33:3=11)
2. Как быстрее сосчитать?
2196 + 249—245 = (249—245 = 4; 2196 + 4 = 2200)
3. Не производя действия умножения, дать ответ в примерах:
а) 18X104—18X102
(Ответ: 36, потому что 104—102 = 2 18+18 = 36)
б) 2003X701—2001X701 =
(Ответ: 1402, потому что 2003—2001=2; 701+701 = = 1402).
При изучении темы: «Порядок действий», «Скобки» даю такие примеры:
1. Решить примеры устно:
30—10 : 5X6—3= 15
Что нужно сделать в примере, не изменяя чисел и действия, чтобы ответ был 21, 12, 84.
(Поставить скобки).
2. Решить устно:
(168X259—259X168) + 3246X10
3. Решить рациональным путем:
(395Х4 + 395Х6—950) : 3000
395 повторяется как слагаемое 4 раза, потом еще 6 раз. Всего оно повторяется как слагаемое 10 раз. Следовательно, 395X10 = 3950
3950—950=3000 3000:3000=1
4. Дать ответ в течение двух секунд:
(256+4864Х12—861)Х0+154 =
Тот, кто хорошо знает порядок действий, имеет навыки вычисления, но не привык логически мыслить, конечно, начнет со скобок. Такого ученика нужно остановить, напомнить ему, что сложный пример быстро решить невозможно, потому что он имеет какую-то особенность и что сперва нужно найти эту особенность, она поможет его быстро решить. Большинство детей найдет ее.
5. К 2567 прибавили 4239 и отняли 4235. Как быстрее решить пример?
6. Дать ответ в течение трех секунд.
(24256:34—308X17) • (206:2—103)+99 =
Что дает решение таких примеров? Прежде всего они заставляют детей думать, искать самый рациональный прием решения, заставляют абстрагировать не только при решении задач, но и при решении примеров.
Что касается навыков вычисления, то их значение определяется главным образом тем, как они приобретены. Два ученика могут одинаково хорошо выполнить все четыре арифметических действия, но прийти к овладению навыками вычисления могут они различными путями. У одного ученика годы, затраченные на приобретение навыков вычисления, не внесли почти никакого вклада в фонд его развития. У другого ученика не только сложились хорошие навыки вычисления, но процесс их приобретения помогал класть один кирпич за другим в возводимое здание, имя которому общее и математическое развитие.
Умение учеников рассуждать, делать выводы, обобщать является необходимым условием для приобретения прочных знаний по математике в старших классах.
Подробно остановимся на одном уроке арифметики, в котором учащиеся под руководством учителя сравнивают, обобщают, делают выводы, получают и общее и математическое развитие.
Урок во 2-м классе
Тема урока: Умножение числа 9.
Цель урока: 1. На основе знания таблицы умножения 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 самостоятельно составить таблицу умножения 9.
2. Повторить деление на равные части, деление по содержанию.
Ход урока: Проверка домашней работы (задача № 832 и примеры №834).
На доске краткая запись условия домашней задачи и условия обратной задачи.
1.
4 час—28 л
10 час—? л
2.
4 час—28 л
? час—70 л
Предлагаю учащимся найти условие домашней задачи и прочитать его по краткой записи (учащиеся читают условие задачи по 2-й записи).
Составьте числовую формулу решения этой задачи и объясните ее (один из учащихся составляет числовую формулу решения на переносной доске, а остальные эту формулу составляют в тетрадях:
70: (28:4) = 10 (час). (Самопроверка по переносной доске).
Прочитайте условие первой задачи по краткой записи. Составьте числовую формулу решения этой задачи и объясните ее.
28:4х10 = 70 (л)
а) Сравните первую часть условия двух задач. Сравните первую часть решения двух задач.
Что находим общего в обеих задачах в 1-м действии?
Сколько литров керосина израсходовал трактор за 1 час?
На какое правило обе эти задачи?
(На приведение к единице).
Почему считаете, что это — задачи на приведение к единице?
(Потому что узнавали, сколько горючего израсходовали за 1 час).
б) Сравните вторую часть условия двух задач. Что находили в 1-й задаче и каким действием?
(Количество литров, умножением).
Что находили во 2-й задаче и каким действием?
(Количество часов, делением).
в) Каким является действие деления по отношению к действию умножения?
(Обратным).
Что можно сказать об этих задачах?
(Одна прямая, другая обратная).
Какая задача прямая? Почему?
(Первая задача прямая, потому что второе действие умножение).
Какая задача обратная? Почему?
(Вторая задача обратная, потому что второе действие деление).
г) Сравните оба деления в решении обратной задачи. Чем одно деление отличается от другого?
(Первое деление — на равные части, второе деление — по содержанию).
д) Найдите в домашней работе примеры на деление на равные части и прочитайте их.
Вызванный ученик читает вслух примеры, остальные проверяют ответы.
Найдите примеры на деление по содержанию, прочитайте их.
Сравните ответы примеров на деление на равные части и деление по содержанию. Особое внимание обратите на наименование при числах. Что получается при делении именованного числа на именованное? При делении именованного на отвлеченное?
Дети делают вывод:
При делении именованного числа на именнованное получается отвлеченное число.
При делении именованного числа на отвлеченное получается именованное число.
Подготовка к объяснению нового материала: «Умножение 9»
Сообщаю тему урока, предупреждаю, что таблицу умножения 9 учащиеся будут составлять самостоятельно, чтобы все составили правильно, нужно выполнить несколько упражнений:
Сравните примеры и поставьте между ними нужные знаки:
а) 4X6...6X4
5X8...8X5
7X2+7...7X3
9Х8+9...9X9
9Х9+9...9X10
Проверяю самостоятельную работу.
Какие знаки поставили?
(Знаки равенства).
Почему?
(Учащиеся объясняют каждую пару примеров). Например. Почему поставили знак равенства между третьими примерами?
(Потому что 7X2 можно записать по-другому: 7 + 7 да еще +7 и получится 7X3).
Сколько получится, если 8X9? (72).
Сколько получится, если 9X8 и прибавить 9? (81)
Сколько получится, если 9X9 и прибавить 9? (90)
б) Повторим таблицу умножения 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, на 9 в виде игры «Молчанка».
2X9 =
3X9 =
4X9 =
5X9 =
6X9 =
7X9 =
8X9 =
в) Рядом с этой таблицей написана таблица умножения 9. Предлагаю самостоятельно написать результаты умножения.
9X2
9X3
9X4
9X5
9X6
9X7
9X8
9X9
9X10
Проверка составленной таблицы.
Почему 9X3 = 27?
(Потому что 3X9 = 27).
Закрепление таблицы умножения. Игра «Огонек» (использую электротабло).
9 увеличить в 8 раз.
7 увеличить в 9 раз.
Найти произведение 9 и 10.
Какое число больше 9 в 9 раз? и т. д.
Подготовка к самостоятельной работе.
а) Начертить в тетради прямоугольник длиной 9 см, шириной 4 см.
б) Разделить его на 4 равные горизонтальные полоски.
в) Первую полоску разделить на 9 равных квадратиков.
г) Сосчитать быстро, сколько таких квадратиков получится в 4 полосках? (36).
д) Как сосчитали? (9*4 = 36).
е) Представим, что из 36 квадратиков 27 закрасили. Поставьте вопрос так, чтобы получилась задача на вычитание.
Сколько квадратиков осталось закрасить?
ж) Сосчитайте, сколько их осталось?
(36—27 = 9 квадратиков).
Самостоятельная работа.
В феврале Миша 9 дней рисовал в альбоме по 2 рисунка в день, а в марте рисовал 3 дня, по 4 рисунка ежедневно. Поставьте к условию задачи вопрос:
1-й вариант: Чтобы было в главном вопросе слово «вместе».
2-й вариант: Чтобы было разностное сравнение.
Проверка работы.
1) Какой вопрос поставили к задаче 1-го варианта?
Сколько всего рисунков Миша сделал за февраль и март?
2) Какой вопрос поставили к задаче 2-го варианта?
На сколько больше рисунков сделал Миша в феврале, чем в марте?
3) Что узнавали в первом действии задачи?
Сколько рисунков сделано за 9 дней?
2X9=18
4) Что узнавали во втором действии?
Сколько рисунков сделано за 3 дня?
4X3 =
5) Каким действием ответили на главный вопрос задачи 1-го варианта?
18+12=30
6) Каким действием ответили на главный вопрос во втором варианте?
18—12 = 6
После этого закрепляем таблицу умножения числа 9.
Предлагаю ребятам стихотворение с арифметическим заданием и с воспитательной целью.
Жил Фома.
Он всем не верил, но пятерки получал
И нос кверху задирал.
Говорил: «Я самый, самый,
Самый лучший из ребят.
Вы не можете, как я, хорошо учиться.
От рожденья умный я.
Я не то, что вы, друзья!»
Рассердились в классе дети:
«Нужно Фомку проучить.
От зазнайства отучить».
Стали дети все стараться
И упорно заниматься.
Быстро, чисто и красиво
По линеечкам писать
И задачи составлять,
Много думать и считать.
Скоро дети увидали,
Что Фому-то обогнали.
Но Фома никак не верит:
Носик вверх и запыхтел.
Дети дали тут Фоме
Пять примеров маленьких:
Числа в них не умножай,
Но ответы подавай.
Да не просто подавай,
А подробно объясняй!
Сел Фома, глазами хлопнул,
Носом шмыгнул, засопел,
Но решить их не сумел,
Я прошу вас очень, дети,
Помогите вы Фоме.
Умножить не умножайте,
Но ответы подавайте
И подробно объясняйте.
9X3—9X2 =
9X5—9X4 =
9X7—9X5 =
9X9—9X6 =
9X10—9X8 =
После этого подводим с учащимися итог урока, выставляю поурочный балл, даю задание на дом.
Таким образом, еще раз хочется подчеркнуть, что для развития логического мышления учащихся главную роль играют наблюдения, сопоставление, рассуждение самих учащихся.
В начальной школе в каждом последующем классе половина задач повторяется, имея одинаковое математическое содержание, отличаясь только числами. Такие задачи нужно передавать учащимся для полного самостоятельного решения. А для этого нужно вооружить детей такими приемами:
1) умение читать задачу правильно;
2) умение коротко записывать условие, делать чертежи, схему, таблицы;
3) умение упрощать задачу, т. е. задачу с большими числами перестраивать в задачу с малыми числами;
4) умение составлять план задачи;
5) умение проверять решение задачи.
Такую самостоятельную работу надо использовать для дифференцированного обучения детей, давая слабым учащимся более легкие задания, а сильным — более трудные.
|
