Опыт работы по арифметике в 1 классе

PDF

      ПРЕДИСЛОВИЕ.
      Излагая опыт работы по обучению арифметике в I классе начальной школы, мы имели в виду следующие цели.
      1) Познакомить учителей с некоторыми новыми приемами и наглядными пособиями: а) при усвоении детьми нумерации и арифметических действий; б) при знакомстве с мерами и измерениями и в) при объяснении и решении арифметических задач.
      2) Ввести кое-какой игровой материал, имея в виду его использование как на уроке, так и во внеурочное время в комнате продленного дня.
      Некоторые вопросы преподавания арифметики в I классе трактуются нами иначе, чем в стабильном учебнике. Речь идет главным образом о незначительных перестановках материала и небольших добавлениях, которые дают возможность достигнуть лучших результатов. В частности, эти изменения касаются методики работы над первым десятком. Учитель вправе согласиться или не согласиться санами. Ведь безусловно обязателен только объем программного материала, вести же работу можно по-разному. Во всяком случае, желательно, чтобы учитель проявлял творческую инициативу, не придерживался готовых шаблонов и тем самым вносил ценный вклад в методику преподавания арифметики.
      Для непосредственного использования в работе с детьми существует специальный дидактический материал1. Образцы карточек с рисунками и с текстом учитель найдет и в этой книге, что даст ему возможность при отсутствии покупного дидактического материала пользоваться самодельным. Для некоторых игр достаточно иметь набор чисел, монет и кружков из таблиц, которые прилагаются к стабильному учебнику.
      Предлагаемые нами приемы работы неоднократно проверялись в 210-й базовой школе при Ленинградском Государственном педагогическом институте имени А. И. Герцена. В годовых контрольных работах за 1957/58 учебный год во всех трех первых классах не было ни одной неудовлетворительной оценки. Приводим следующие официальные данные:
      1 А класс (Ф. Б. Иоффе): 12 пятерок, 10 четверок, 7 троек.
      1 Б класс (В. А. Самарина): 11 пятерок, 12 четверок, 6 троек.
      1 В класс (Р. М. Измайлова): 12 пятерок, 10 четверок, 6 троек.
      В задачах не было ни одной ошибки. Оценки снижались в основном за помарки.
      Учительница Ф. Б. Иоффе (I А класс) руководила объединением учителей первых классов Куйбышевского района. В конце учебного года учителя района отметили успешное усвоение первоклассниками арифметического материала.
      Новые программные требования еще не могли быть проверены в опыте школ. На данном этапе приходится ограничиться предварительными соображениями по тем разделам курса, в которые вносятся некоторые, правда, незначительные изменения.
      Все ссылки на стабильные.учебники арифметики даны по изданиям 1958—1959 годов.
      Июнь 1959 года.
      Автор.
     
      ПОДГОТОВКА К НАЧАЛУ УЧЕБНОГО ГОДА.
      К началу учебного года необходимо подготовить учебные посибия, без которых нельзя приступить к занятиям по арифметике в I классе. Остановимся прежде всего на тех пособиях и на том оборудовании класса, о котором должна позаботиться школа. Отдельно будет сказано о самодельных пособиях, которые готовят родители первоклассников под руководством учителя.
      В каждом классе 210-й школы имеются классные счеты. Часть доски разлинована в клеточку, чтобы учителю не приходилось делать это мелом от руки во время перемены или, что еще хуже, в процессе урока. На доске висит занавеска из плотной марли, окрашенной в темный, цвет (зеленый или синий). Занавеска эта закрывает то, что написано или нарисовано учителем до начала урока, чтобы эти записи, рисунки или прикрепленные к доске наглядные пособия не привлекали к себе до поры до времени внимание детей. Для демонстрации наглядных пособий имеется «наборное полотно» размером 70 см на 50 см из плотной бумаги счетырь-мя загибами (или картонными планками), куда вставляются изображения предметов и цифры. В магазине учебных пособий можно купить «наборное полотно», но оно мало по размеру, так как на уроках арифметики приходится нередко располагать предметы в 3 и 4 ряда по высоте и ширине, а для этого на покупном полотне не хватает места. Наконец, надо иметь довольно много изображений различных мелких предметов: яблок, грибов, морковок, флажков, звездочек и т. п. Некоторые из них можно вырезать из покупных таблиц, предназначенных для старших дошкольников и для первоклассников. Необходим также ассортимент разрезных цифр и знаков действий для наборного полотна.
      Нам кажется, что в I классе лучше иметь вместо парт столики и стулья, соответствующие росту детей. Во время фронтальной работы дети могли бы сидеть по двое за каждым столиком лицом к учителю. К концу урока характер занятий меняется. Дети садятся .по 4 — 6 человек за каждый столик, чтобы играть.в арифметическое лото или другую настольную игру. Прямые столики в отличие от наклонных парт удобны еще в том отношении, что ни игровой материал, ни наглядные пособия по арифметике с такого столика не скатываются. По тем же соображениям и на уроках ручного труда предпочтительнее пользоваться не партами, а столиками. Во время большой перемены столики покрываются белой бумагой (если нет, салфеток), и дети располагаются за ними со своими завтраками.
      Вопрос о столиках вместо парт находит горячую поддержку в Ленинградском научно-исследовательском институте педагогики АПН РСФСР (директор Б. Г. Ананьев) и ставится как очередная проблема в 210-й школе1. Но пока в классах остаются парты, на уроке мы применяем игры для двух партнеров, сидящих рядом, а в комнате продленного дня — для группы в 4—6 человек.
      Перехожу к тем пособиям для I класса, которые в нашем опыте готовят родители под руководством учителя или ученики IV класса на уроках труда.
      Наряду с классными счетами применяется пособие под названием «кружки на резинке». Кружки эти делаются из толстой папки, например из обложек старых, изъятых из библиотеки книг. Диаметр кружка — 5 см. Каждый кружок надо разрезать пополам, половинки слегка раздвинуть и заклеить целиком сначала с обеих сторон картоном, а поверх картона, с одной стороны красной, а с другой стороны зеленой глянцевой бумагой. В образовавшуюся между половинами щель продевают резинку или эластичный шнурок, концы которого прикрепляют кнопками к доске. Шнур должен быть туго натянут. В то же время он должен плотно прилегать к доске. В этих условиях кружки не отвисают и не вертятся, но свободно двигаются по шнуру слева направо и справа налево. Учитель может поворачивать их то красной, то зеленой стороной к классу. Для начала достаточно иметь один шнур с десятью кружками, на которых демонстрируется счет и действия в пределах первого десятка. В дальнейшем, при переходе ко второму десятку придется добавить второй такой же шнур.
      Нечто аналогичное классным счетам представляет собой так называемая «арифметическая доска», сделанная из фанеры (рис. 1). Ее разновидность из картона описана Н. Талановым в журнале «Начальная школа» (1954 год, № 9). Наша «арифметическая доска» представляет собой квадрат, разделенный на 10 полосок, которые закрываются выдвижными дощечками. Отодвигая дощечку, мы открываем кружки в том количестве, которое нас интересует. На каждой полоске помещается по 10 кружков. Кружки могут быть красного или черного цвета.
      Наряду с перечисленными классными пособиями, готовыми и самодельными, необходимо обеспечить учащихся наборами раздаточного материала. Речь идет прежде всего об использовании того материала, который приложен к стабильному учебнику арифметики для ¡класса в виде двух таблиц из плотной бумаги,на которых изображены кружки, квадратики, монеты, цифры, знаки действий и числовые фигуры. Их надо вырезать и сложить в коробку размером 12Х8Х2,5 см. Крышку такой коробки можно украсить пестреньким орнаментом и написать на ней имя и фамилию ученика. В нашем опыте такой подарок первоклассникам готовят ученики IV класса на уроках труда. Кроме разрезного материала из учебника, в коробке помещается 10 палочек длиной 8 см. Лучше всего скрутить такие палочки из бумаги. Перед каждым новым загибом смазывают ближайшую полоску бумаги клеем и приклеивают к ней то, что уже скручено. В отличие от покупных палочек цилиндрической формы палочки из бумаги можно слегка сплющить. Благодаря этому они не скатываются с наклонной парты, как это бывает с деревянными палочками фабричного изготовления. Спички без голе вок, которыми пользуются некоторые учителя, мало пригодны ввиду их небольших размеров. Детям трудно раскладывать их в определенном порядке, группировать, придвигать, отодвигать и т. п. «Счетные пеналы», склеенные из спичечных коробок, неудобны в том отношении, что в спичечную коробку нельзя поместить палочки длиной в 8 см, а также числовые фигуры из таблиц учебника. Целесообразнее поэтому пользоваться коробками, в которые входят все 7 ви-ов пособий, нужных первокласснику.
      Заметим, что .все перечисленные нами классные пособия и материал из индивидуального набора являются необходимыми уже на первых этапах работы по арифметике, но не обеспечивают дальнейшей работы по этому предмету. О дополнительных видах пособий будет сказано в своем месте, когда это потребуется по ходу дела.
      Опыт 210-й базовой школы при институте нм. А. И. Герцена показал, что первоклассников можно с самого начала учить писать авторучками. Описание этого опыта, проведенного В. В. Андриевской и продолженного в 1957/58 учебном году учителями В. А. Самариной, Р. М. Измайловой и Ф. Б. Иоффе, а в 1958/59 году — А. А. Шаниной и К. Д. Зайцевой, помещено в журнале «Начальная школа» № 4 за 1958 год. Письмо авторучкой освобождает детей от лишних усилий, а шрифт — от чрезмерных нажимов. Гораздо быстрее дети овладевают техникой письма, так как, не утомляясь, успевают сделать на уроке значительно больше, чем при письме обыкновенным пером. Пишут чисто, без клякс. Почерк получается ровный и красивый. При письме авторучкой детям не приходится сильно сжимать ее, как обыкновенную ручку, которая дает только волосную линию, если держать ее свободно. Между тем авторучка и без усилия с нашей стороны дает легкий нажим просто в силу того, что линия, которую приходится вести сверху вниз, несколько толще той линии, которая ведется снизу вверх. Дети, которые с самого начала пользуются при письме авторучкой, не сжимают ее и не сгибают под острым углом указательный палец, что облегчает в дальнейшем переход к скорописи.
      В I классе удобнее пользоваться авторучкой небольшого формата, марка которой «АР-30», модель I, хотя и обычная ручка «АР-25 не тяжела для детей, если при письме не надевать на нее наконечник.
      Циркуляром от 25.111.1958 г. за № 81-М министр просвещения Е. И. Афанасенко разрешает учащимся V — X классов пользоваться авторучкой, а в младших классах вводить ее в экспериментальном порядке.
      Заметим в заключение, что наличие в классе чернильниц, особенно у семилеток, приводит к нежелательным инцидентам: чернильница может опрокинуться, чернила могут пролиться и запачкать парту, тетрадь, руки или платье детей. Применение авторучек исключает возможность таких нежелательных нарушений порядка в классе.
     
      ПЕРВЫЙ ДЕСЯТОК.
     
      Подготовительный период.
      Цель подготовительного периода — первоначальное ознакомление учителя с детьми, а детей — с школьными порядками под углом зрения предстоящей работы над арифметическим материалом. Ничего нового в математическом отношении на этих уроках им не сообщается.
      Опыт, проведенный в одном из первых классов 157-й школы (Ленинград), показал, что около 403-6 детей, поступающих в I класс, умеют считать во всяком случае до 20, а может быть и дальше. Интересно взять таких детей на учет, как будущий актив класса. Их можно рассадить за парты с таким расчетом, чтобы они помогали своим более слабым соседям выполнять очередные задания учителя: открыть учебник арифметики на определенной странице, найти на этой странице нужный рисунок, отсчитать в тетради требуемое число клеток и т. п.
      Не следует смешивать подготовку детей к письму, чем они занимаются на первых уроках, с рисованием. Для рисования они получают карандаши — черный и цветные. Карандашами рисуют бордюры, изображенные на страницах 3 — 6 стабильного учебника, флажки,- цветные кружочки и т. п. Обводить квадратики, .выписывать «лежачие», «стоячие» и наклонные линии лучше с самого начала при помощи пера. Рисование карандашом не может служить по-настоящему подготовкой к письму.
      Кроме перечисленных прямоугольных фигур, никаких других фигур при подготовке к письму мы не вводим. У детей, которые учились писать цифры по частям, при последующем соединении элементов получается неправильное начертание данного знака. Так, первый элемент единицы соединяется с ее вторым элементом не острым углом, а закруглением. У двойки аналогичное закругление получается внизу.
      В 210-й школе (Ленинград) дети учатся писать цифры не по отдельным элементам, а в целом. Поэтому во время подготовительного периода они пишут пером только прямые линии: палочки, елочки, бордюры из черточек и точек.
      Все остальное лучше выполнять карандашами — черным и цветными.
      В подготовительный период широко практикуется счет предметов. В частности, дети отсчитывают заданное число косточек на классных счетах. Полезно пересчитывать предметы слева направо и справа налево, так как данное упражнение поясняет, пока еще без слов, основную аксиому счета: результат счета не зависит от того порядка, в котором пересчитывают элементы множества. Полезно также предлагать детям называть числа в прямом и обратном порядке.
      Возникает еще один вопрос: следует ли в подготовительный период подводить детей к решению задач? Мы отвечаем на этот вопрос отрицательно. Прежде чем решать задачи, надо научить детей прибавлять и отнимать, пользоваться выражениями «прибавить — получится» и «отнять — получится». Пока дети не усвоят хотя бы первой пары выражений («прибавить — получится») при сложении групп предметов, когда арифметическое действие прямо подсказано, нельзя переходить к решению задач. Ведь при решении задачи необходимо неч только владеть упомянутыми выражениями, но надо, кроме того, уметь самостоятельно установить нужное действие.
     
      Итак, чем же могут заниматься дети в подготовительный период?
      Желательно обеспечить шесть основных линий в работе с начинающими:
      1. На первых уроках дети упражняются в сравнении предметов, устанавливая соотношения больше — меньше, длиннее — короче, шире — уже, выше — ниже, толще — тоньше и т, д. Работая над этими выражениями, мы не столько развиваем математические представления учащихся, сколько пополняем их словарный запас. Математика знает только три выражения: больше, меньше и равно, для которых существуют знаки , и =. Предметы могут быть больше или меньше по объему, длине, ширине, высоте, весу, вместимости и т. д. Варианты выражений, которыми мы пользуемся в обиходе, свидетельствуют о богатстве языка, но не меняют существа дела.
      2. С первого же урока дети начинают знако-- миться с учебником, учатся находить нужную
      страницу, а на странице тот или иной рисунок. Попутно уточняются пространственные ориентировки: налево — направо, над — под, выше — ниже, посредине, между, ближе — дальше, впереди — позади и т. д. Выражения «ближе — дальше» можно связать с работой над картинкой, на которой изображены дети у реки (учебник, стр. 4). Выражения «впереди — позади» можно отнести к группе детей, которые идут в школу (стр. 3), и т. д.
      -Соотношения: больше — меньше, длиннее — короче, шире — уже, ближе — дальше, которые на первых порах дети устанавливают на глаз, следует в дальнейшем связывать с измерением метром, а еще позднее — с измерением сантиметром; соотношение тяжелее — легче уточняется в процессе знакомства с килограммом и весами.
      3. На протяжении всего подготовительного периода дети занимаются счетом. Если приходится пересчитывать больше трех предметов, надо прикасаться к ним карандашом(рисунки в книге, клеточки в тетради), или указкой (рисунки на доске, предметы на наборном полотне), или, наконец, рукой (косточки на счетах). Считать «глазами»--трудно даже взрослому, если предметов в группе больше 5 — 6 и если они к тому же расположены в один ряд. Кроме того, само понятие «счет» предполагает непосредственное
      соотнесение последовательных чисел натурального ряда, начиная с единицы, с элементами множества. Такое соотнесение или, как говорится в математике., установление взаимно однозначного соответствия, конкретизируется на данном этапе через прикосновение к предмету.
      4. С первых же дней учащиеся знакомятся не только с учебником, но и с тетрадью. В тетради они учатся рисовать по клеточкам бордюры, причем молено использовать в разных сочетаниях с черточками, точками и кружками, которые даны в учебнике, также прямые и косые крестики (рис. 3), что послужит подготовкой к письму знаков сложения и умножения. Рисуют и раскрашивают флажки, воздушные шары на веревочке. Пером они учатся проводить линии — «лежачую», «стоячую» и наклонную, ставить точки, обводить квадратики, чертить елочки.
      5. Согласно новому учебному плану урок в I классе продолжается 35 минут. После 20 минут занятий дети проделывают несколько легких гимнастических движений. Ритмичность этих движений после того, как дети встали, можно устанавливать такими стишками: «Раз, два — выше голова! Три, четыре — руки шире, шире! Пять, шесть — снова сесть!» Если в классе тесно, то встает сначала только средний ряд. Проделав гимнастическое упражнение два-три раза, средний ряд садится. Затем подымаются одновременно оба крайних ряда и повторяют те же движения. После этого учебная работа продолжается. В двухкомплектной школе оставшиеся до конца урока в других классах 10 минут можно в I классе посвятить настольным играм.
      6. В подготовительный период можно организовать игру в «лото с картинками».
      Игра состоит из карточек с изображениями разных предметов в количестве от одного до пяти, по 3 рисунка на каждой карточке, и соответствующих числовых фигур. Под каждым рисунком на карточке имеется пустое место для числовой фигуры.
      Каждый из двух играющих берет две любые карточки с рисунками и кладет их перед собой, а соответствующие числовые фигуры помещаются кучкой на середине парты, «лицом» вниз.
      Начинающий игру берет одну из числовых фигур и ищет для нее место под картинками на своих карточках. Если место найдется, ученик кладет на него числовую фигуру, если не найдется, возвращает ее обратно в кучку. Так же поступает в порядке очереди и его партнер.
      Заметим, что на двух карточках у одного и того же играющего некоторые числа могут повторяться, а некоторые числа могут отсутствовать.
      Выигрывает тот, кто первый закроет все пустые места на своих карточках. Образец двух заполненных карточек дан на рисунке 4.
      Чтобы продлить игру, дети могут взять другие карточки либо из запаса, либо в порядке обмена с той парой играющих, которые также закончили игру.
      Раскладывая числовые фигуры, ребенок устанавливает .взаимно однозначное соответствие между количеством предметов на картинке и количеством точек на числовой фигуре. При этом он волей-неволей присматривается к числовым фигурам и привыкает узнавать сразу, без сосчитывания, число точек на каждой из них.
     
      Первый пяток.
     
      В 210-й школе первый пяток изучается несколько иначе, чем второй пяток, т. е. числа 6 — 10. В пределах первого пятка дети могут усвоить не только устную и письменную нумерацию, но и все 10 случаев сложения, относящиеся к этим числам, а отсюда и их состав из слагаемых. Работа над сложением является исходной, а запоминание состава числа — производным от сложения. Целесообразнее начинать с прямой операции, т. е. с образования числа из слагаемых. Тогда обратная операция, т. е. разложение числа на слагаемые, займёт подобающее ей место.
      В дальнейшем, зная наизусть состав чисел первого пятка, дети выполняют, сложение в этих пределах по памяти.
      Заметим также, что выделение первого пятка в качестве отдельной самостоятельной темы соответствует той исторической роли,-которую играл именно первый пяток (а не первые шесть чисел) в развитии системы счисления, а также наличию у детей более отчетливых представлений чисел 1 — 5, чем чисел 6-10.
      В работу над первым пятком мы включаем 10 случаев сложения: 1+1, 2+1, 1+2,3+1, 1+3, 2+2, 4+1, 3+2, 2+3 и 1+4. Вычитание в пределах 5 вводится позднее, после окончания работы над первым пятком.
      Если сопоставить наш материал с материалом стабильного учебника, то разница сводится только к более раннему знакомству с действием и знаком сложения и к добавлению щести случаев, сложения (1+2, 2+2, 1+3, 3+2 и 2+3, 1+4), которые нужны для усвоения в целом состава чисел 3, 4 и 5. Опыт показывает, что эти добавления вносят разнообразие в работу и вполне посильны учащимся.
      Материал первого пятка подразделяется на следующие семь тем: 1) число и цифра 1; 2) число н цифра 2; 3) число и цифра 3; 4) число и цифра 4; 5) число и цифра 5; 6) знакомство с вычитанием; 7) повторение пройденного.
      Трудно заранее установить, сколько времени придется затратить на каждую из этих тем при 35-минутном уроке. Поэтому мы будем расчленять их не на уроки, а на последовательные этапы работы, которые должны быть соблюдены в любых условиях.
     
      Первая тема: число и цифра 1.
      Цель работы — сопоставление понятий «много» и «один», вычленение одного предмета из группы предметов. На рисунке в учебнике (стр. 7) мы видим вблизи одно дерево, а вдали много деревьев. В тетради клеточек много, а обвести надо одну клеточку. Нарисовать надо много синих крестиков — целый ряд, а среди них только один красный. Заметим, что легче рисовать не прямые, а косые крестики, такие, как знак умножения. Заметим также, что в стабильном учебнике на странице 7 письменная единица имеет излишний наклон. Вторую часть цифры надо вести не из уголка в уголок, а кончать правее, так, как это показано в том же учебнике на странице 17.
     
      Вторая тема: число и цифра 2.
      Цель первого этапа — ввести выражения «прибавить — получится» в связи с образованием числа 2. Цифру 2 надо писать не по элементам, а целиком, как это было разъяснено выше (стр. II).
      Цель второго этапа — повторить на разных предметах образование числа 2 из одного и одного; научить детей рассуждать: «если к одному прибавить один, получится два; значит, два состоит из одного и одного».
      Итак, уже в связи с работой над числом 2 мы вводим сложение, которое дает возможность установить состав этого числа из одного и одного. Знак + и обозначение сложения при помощи разрезных цифр вводится позднее.
     
      Третья тема: число и цифра 3.
      Прежде всего надо продемонстрировать на предметах образование числа 3 из дпух и одного, одного и двух; от сложения перейти к составу числа из этих слагаемых. Заметим, что с этого урока начинают играть роль наряду с классными счетами или «кружками на резинке» (см. описание этого пособия на стр. 6) и числовые фигуры. Пособия первого рода, на которых предметы счета расположены в один ряд, поясняют с большим успехом порядковое значение числа, а числовые фигуры, при восприятии которых легче охватить зрительно всю группу в целом, конкретизируют его количественное значение.
      Цифру 3, как и предыдущие цифры, лучше писать не по элементам, а целиком. При этом необходимо следить за тем, чтобы точка не выходила за пределы нижней клеточки. Вообще все цифры пишут с небольшим наклоном, высотой в две клеточки и шириной в одну клеточку, как это показано на рисунке 5.
      В отношении двойки имеется расхождение между стабильным учебником и утвержденными Министерством просвещения прописями. Мы полностью согласны с учебником: верхняя часть этой цифры должна напоминать рыболовный крючок.
      Цель следующего этапа — знакомство на разрезном материале со знаками + и =, которые применяются при составлении примеров 1+1=2, 2+1=3 и
      1+2=3. Раннее введение знака сложения выгодно в том отношении, что цифры, с которыми дети успели уже познакомиться, тотчас находят себе применение. Заметим также, что вслед за составлением примера пз разрезных цифр было бы преждевременно давать на том же уроке письмо знаков+- и =Во-первых, пет оснований перегружать урок и, во-вторых, на данном этапе, поскольку дети еще не вполне овладели письмом цифр (изучают число 3, а писать как следует цифру 3 еще не научились), пришлось бы отрывать письмо знаков действий от записи примеров в целом, что едва ли уместно.
      Цель последнего этапа — повторение состава пройденных чисел и работа над их количественными отношениями.
      Для уяснения количественных отношений между . пройденными числами мы пользуемся наборным полотном, на котором выставляются в первом ряду один «гриб», числовая фигура с одним кружком и цифра 1; во втором ряду — все, что относится к числу 2 и в третьем ряду — к числу 3 (рис. 6).
      Глядя на грибы, дети приходят к выводу, что два гриба больше одного на один; три гриба больше двух тоже на один. Говорить о том, что два гриба — на один меньше трех, а один — на один меньше двух, преждевременно..Соотношение «больше на один» усматривается непосредственно, так как лишний гриб находится перед глазами, а недостающих грибов видеть нельзя, они не представлены на полотне.
     
      Четвертая тема: число и цифра 4.
      Работа начинается, как и в предыдущих случаях, с образования числа 4 на счетах и на числовой фигуре с последующим выводом относительно состава числа из трех и одного. Далее следует знакомство с печатной цифрой 4 и письмо этой цифры в тетрадях.
      После фронтальной работы над образованием числа 4 полезно повторить ту же работу на дидактическом материале из индивидуальных наборов. Например, дети откладывают 3 кружка, слева и 1 кружок справа, а под кружками кладут цифры и знаки действия, как это показано на рисунке 7.
      Аналогичным образом в порядке повторения решаются все пройденные на предыдущих уроках примеры на сложение.
      Мы считаем, что знаками + и =не следует соединять группы предметов; иначе говоря, нельзя соединять реальные вещи арифметическими символами (знаками + и =).
      Цель следующего этапа работы — усвоение всех возможных случаев сложения в пределах числа 4 и состава этого числа из слагаемых.
      В учебнике, начиная со страницы 11, дается материал для решения задач по картинкам. Так по крайней мере понимают его многие учителя. Происходит недоразумение. Нельзя называть решением задачи рассказ о том, что изображено на рисунке. Сначала ученик должен научиться складывать и вычитать, и только тогда можно перейти к решению задач.
      Мы вводим сложение уже во время работы над первым пятком. Поэтому, раскрывая содержание следующего урока, мы уже можем показать, как подвести детей к решению задач на это действие. Но, например, задачу про четырех птичек, из которых одна улетела (учебник, стр. 13), придется дать позднее, после знакомства детей с вычитанием.
      Дальнейший этап — уяснение количественных отношений между числами 1—4; порядок их расположения в натуральном ряду; первое знакомство с решением задач.
      Как при изучении числа 3, учитель снова обращается к наборному полотну, на котором представ- лены рядами «грибов» числа 1, 2, 3,4 (рис. 8).
      Прежде всего дети повторяют пройденное, а затем ставят в нижнем ряду 4 «гриба», числовую фигуру с четырьмя кружками и цифру 4.
      Дополняя прежние вопросы, которые относились к числам 1 — 3, учитель спрашивает, что больше: 3 гриба или 4 гриба? на сколько больше грибов в четвертом ряду, чем в третьем?
      Затем ом обращается к порядку чисел в натуральном ряду. При счете мы говорим сначала «один», потом «два», дальше «три» и, наконец, «четыре». Какое же число мы называем при счете перед числом 3? перед числом 4? Какое число называем мы прй счете после числа 2? после числа 3?
      Дети должны взять из своего набора цифры 1—4 и положить их перед собой в том порядке, в каком мы их называем при счете.
      Работу над задачей лучше начинать не с готовой задачи, а с составления ее на глазах у детей при их активном участии. Создавая задачу по частям, учитель устанавливает, чтб известно и чтб неизвестно, а вместе с тем вводит новые выражения: задача, вопрос задачи, решение и ответ.
      Вот как проводит этот урок учительница 210-й школы К. Д. Зайцева.
      Прежде всего демонстрируются наглядные посо-: бия: ведерко и рыбки. Затем учительница сообщает, что на этом уроке дети будут составлять и решать задачу. Далее она объясняет, что два мальчика ловили рыбу. Один из них поймал и опустил в ве-. дерко 3 рыбки. (Рыбки, скрепленные ниточкой, демон-Дстрируются, пересчитываются и опускаются в ведерко.) Другой мальчик поймал только одну рыбку и тоже опустил ее в ведерко. (Это делается также на глазах у детей.) Отвечая на вопросы учительницы, ученики повторяют все, что они видели. Это слово, введенное...К. Д. Зайцевой, помогает осмыслить нужное нам выражение «известно», менее привычное детям, чем-»видели». «То, что вы видели, нам известно», — говорит учительница. «Это начало задачи. Повторите еще раз все, что вам известно». (Дети повторяют. После этого тов. Зайцева заглядывает в ве-дер.ко. «А чего вы не видите?» — спрашивает она. «Мы не видим, сколько всего рыбок в ведерке», — отвечают дети. «Мы не видим, сколько всего рыбок в ведерке — это нам неизвестно. Это вопрос задачи. Повторите вопрос задачи». После повторения вопроса дети без труда устанавливают, что в ведерке 4 рыбки. Теперь остается выбрать действие, которым решается задача. «Один мальчик поймал 3 рыбки, а другой — одну рыбку», — напоминает учительница. «Как вы узнали, что всего они поймали 4 рыбки?» Ответ гласит: к трем рыбкам мы прибавили одну рыбку; получилось четыре рыбки. «Это решение задачи», говорит учительница, выставляя на наборном полотне соответствующие цифры и знаки действия. «Что же мы узнали?» — спрашивает она, указывая на число. «Мы узнали, что всего они поймали 4 рыбки», — говорят дети. Учительница объясняет, что это ответ задачи. Дети повторяют ответ.
      Пользуясь при решении задач группами предметов, надо показывать детям только слагаемые. Искомая сумма прячется в корзинку (яблоки, грибы), в кулек (яблоки, груши), в пенал (карандаши), в портфель (книги) и т. д. Можно просто выставить на наборном полотне сначала одно слагаемое, потом убрать его и выставить другое. Задача составляется и решается по представлению. Аналогичный прием успешно применяется учителями 1!10-й школы к рисункам в учебнике. Прием этот состоит и следующем.
      Дети рассматривают картинку в учебнике, например птичек, изображенных па странице 9, из которых одна сидит на ветке, а другая к ней подлетает. Формулируется условие задачи: «На ветке сидела 1 птичка. К ней прилетела еще 1 птичка». После этого дети быстро закрывают учебник. «Повторите, сколько птичек сидело на ветке», — предлагает учитель. «А сколько птичек прилетело?» — продолжает он. Дети по памяти отвечают на эти вопросы. «Это вы видели, это нам известно. А что вы не видите, что можно узнать?» — спрашивает учитель. Так составляется задача сначала по частям, а затем она повторяется целиком и решается.
      Аналогичная работа может быть проведена по отношению к мальчикам, которые ловят рыбу (стр. 10), к морковкам и кроликам (стр. 17) и др.
     
      Пятая тема: число и цифра 5.
      Первый этап этой рабогы — образование числа 5 на счетах и на числовой фигуре и обозначение этого-случая сложения цифрами: после знакомства с печатной цифрой 5 — пересчитывание ряда предметов слева направо и справа палево; применение числительных количественных и числительных порядковых.
      Показывая детям на этом уроке письмо цифры 5, не следует придавать ей излишне наклонное положение. Если писать ее прямее, то верхняя вогнутая
      линия не будет выходить слишком далеко за пределы верхней клеточки. На рисунке. 9 показано, как следует писать эту цифру. Именно так она изображена в утвержденных Министерством просвещения прописях.
      Пересчитывание предметов слева напраьо и справа налево конкретизирует основную аксиому счета. Заметим, что результат счета не зависит и от группировки элементов многие. 9 жества. Это второе свойство счета можно пояснить детям на той же группе из пяти косточек, которую они только что пересчитали слева направо и справа налево. Учитель отодвигает две из них в сторону и предлагает пересчитать все косточки. Группировка меняется еще несколько раз. Возникают следующие комбинации слагаемых: 1+2+2, 3+2, 2+2+1, 2+1+2 и т.д. Дети убеждаются, что, несмотря на это, при счете получается все время одно и то же число.
      Еще до поступления в школу дети обычно знают числительные порядковые. Поэтому их не затрудняет предложение перенумеровать косточки на счетах, кружки на резинке или своих же товарищей, которых учитель вызвал к доске и поставил в один ряд. Отложив на счетах 5 косточек, учитель вызывает учеников показать первую, вторую, третью, четвертую, пятую косточку. Интересно после этого поставить перед ними двойную задачу: «Покажи четвертую косточку! Покажи четыре косточки!» Или: «Покажи пять косточек! Покажи пятую косточку!» и т. д. Цель этих упражнений — подчеркнуть взаимосвязь между количественным и порядковым значением числа: зная число предметов в группе, легко установить номер последнего из них, и наоборот, зная номер последнего предмета в группе, можно установить число предметов в группе.
      На данном этапе работы, как уже отмечалось, следует при решении задач выбирать такие наглядные пособия, которые позволяют «скрыть» искомую сумму. Тогда будет ясно, чтб известно и чт 6 неизвестно. Вместе с тем исключается возможность найти сумму простым пересчитывающем.
      Дальиейший этап — усвоение всех возможных случаев сложения в пределах числа 5 и состава этого числа из слагаемых.
      В дополнение к: примеру 4+1=5, с которым дети уже познакомились, вводятся остальные три примера па сложение в пределах пяти: 3+2=5,
      2+3=5 и 1+4=5. Учитель демонстрирует все эти случаи сложения, пользуясь «кружками на резинке», где можно изобразить одно слагаемое зелеными кружками, другое — красными. Дети проделы--вают такие же упражнения у себя на столе, пользуясь кружками из индивидуального набора, синими с одной стороны, н белыми — с другой. Каждый случай сложения позволяет раскрыть состав числа 5 из слагаемых. Ученики делают соответствующие выводы: «Если к трем прибавить два, получится пять; значит пять состоит из трех и двух», и т. д.
      Решать по учебнику задачу о ромашках (стр. 15) на этом уроке не следует, так как дети еще не знакомы с вычитанием. Можно ограничиться арифметическим рассказом: «На кустике или на лугу росло 5 ромашек. Девочка сорвала одну ромашку. На кустике осталось 4 ромашки». Здесь нет оснований различать числа данные и искомые, так как все три числа представлены наглядно. Нет смысла выделять вопрос и выбирать действие, так как остаток налицо. Лучше вместо этого составить задачу о лимонных косточках, которые дети посадили в горшок с землей; «Мальчик посадил 3 косточки, а девочка — 2 косточки, Все косточки в земле — их не видно. Сколько же всего косточек посадили дети? Это вопрос задачи». Дальше выясняется, сколько всего косточек посадили; как узнали, что их пять; как обозначить действие разрезными цифрами; как сформулировать ответ.
      Цель последних уроков по изучению числа 5 — завершение работы над количественными и порядковыми отношениями чисел первого пятка; повторение состава этих чисел; ознакомление с записью примеров на сложение.
      На этих уроках подводятся итоги работы над натуральным рядом чисел от 1 до 5. Добавляется последний, пятый ряд грибов на наборном полотне;
      правее выставляется числовая фигура с Яятыо кружками и цифра 5, с которой ученики уже успели познакомиться на предыдущих уроках. При этом они еще раз сравнивают между собою соседние числа и устанавливают, что число 5 на единицу больше, чем 4: «в пятом ряду на одна гриб больше, чем в четвертом ряду».
      Вопросы: «какое число называем мы при счете перед данным? после данного?» — относятся теперь ко всем числам первого пятка. К ним добавляется еще два вопроса: «какое число стоит между данными числами?» или: «между какими числами стоит данное число?» Чтобы легче было отвечать на эти вопросы, учитель выставляет на наборном полотне разрезные цифры от единицы до пяти. Указав одно из этих чисел, например число 3, он предлагает ученику назвать соседние числа. . Или, нноборот, назвав дна числа, например 3 и 5, он предлагает ученику назвать число, стоящее между ними. Потом те же вопросы задаются без наглядных пособий.
      При ознакомлении детей с записью сложения нет надобности связывать запись действия с решением задачи. Чтобы напомнить детям конкретный смысл действия, совершенно достаточно продемонстрировать еще раз на предметах какой-нибудь случай сложения, обозначив его на наборном полотне посредством разрезных цифр и знаков действия, а затем показать на разлинованной в клетку доске запись этого примера. Цифры дети уже умеют писать. Остается разъяснить, как пишутся знаки + и =.
      Учителя 210-й школы в течение ряда лет придерживаются правила, согласно которому, как это показано на рисунке 10, знаки действия пишутся не на пересечении линий, а рядом с цифрами. Иначе говоря, на каждую цифру и на кажлый знак относится по ширине тетради одна ктеточка без каких-либо промежутков между ними. Такая компактная запись удобна прежде всего потому, что ее легко объяснить детям. Кроме
      того, по ширине страницы умещается при этом как
      раз три примера с промежутками между ними в три клеточки. От полей и от корешка тетради остается также расстояние в три клетки. Если растягивать запись действия, то по ширине тетради хватит места только для двух примеров. Часть страницы останется незаполненной. Это и некрасиво, и неэкономно. Тогда уж лучше придерживаться eme более широкой записи, как п официальных «Прописях».
      Когда дети усвоят запись примеров на сложение, можно перейти к записи решения задач. На данном этапе преждевременно записывать у чисел наименования, но следует все же подчеркнуть разницу между примером и задачей. Это достигается тем, что решение задачи записывается посередине строчки и обводится рамкой, как показано па рисунке 11. Черчение рамок полезно само но себе в целях развития навыка применения линейки.
     
      Шестая тема: знакомство с вычитанием.
      Сложение не приходилось выделять в качестве особой темы, так как оно является органической частью устной нумерации. Чтобы построить натуральный ряд чисел, пеобход imo к каждому числу, начиная с единицы, прибавлять по одному. Выражения «прибавить» — «получится» были нужны в работе над к окды.м числом, начиная с числа 2. Попутно, чтобы дать полностью состав чисел первого пятка, приходилось пройти все 10 случаев сложения, относящиеся к этим числам. Состав чисел дети усваивают наизусть.
      i Вычитанием мы до сих пор совсем не занимались. Вот почему теперь оно выступает как особая тема.
      Цель первого этапа — раскрыть на предметах смысл вычитания; ввести обозначение этого действия посредством разрезных цифр для случаев: 2—1, 3—1, 3—2, 4—1, 5—1.
      Согласно принятой нами установке дети знакомятся со всеми случаями сложения в пределах первого пятка. Такого же порядка мы придерживаемся и в отношении вычитания. Однако дать все 10 случаев вычитания на одном уроке не представляется возможным. Для начала достаточно ввести несколько более легких случаев.
      Иллюстрировать эти случаи вычитания можно либо на классных счетах, либо на «кружках». Только на этот раз придется пользоваться одноцветными кружками. Прибавляя, мы двигали кружки справа налево. Вычитая, мы будем-двигать их слева направо. При сложении дети находили сумму либо путем одновременного зрительного восприятия, либо,в более трудных случаях, путем пересчитывання. Усвоив наизусть состав чисел, учащиеся стали производить сложение по памяти. Вычитание вводится после сложения и может выполняться с самого начала на основании усвоенного наизусть состава чисел первого пятка. Ученик рассуждает так: «от четырех отнять один, получится три, так как четыре состоит из трех и одного». Если же ребенок почему-либо не сумеет найти таким образом остаток, можно прибегнуть к его пересчитыванию. На данном этапе беспот лезно вводить приемы присчитывания и отсчитывания, так как при небольших числах они мало чем отличаются от пересчитывання.
      .От вычитания на кружках учитель переходит к обозначению действия цифрами, познакомив детей предварительно с новым знаком (—). Примеры на вычитание читаются так: «от трех отнять два, получится один». Позднее, но не раньше второй учебной четверти, следует пользоваться глаголами «сложить» (наряду с глаголом «прибавить») и «вычесть» (наряду с глаголом «отнять»), чтобы подготовить почву для усвоения существительных «сложение» и «вычитание», которые вводятся во втором полугодии. Но на данном этапе мы, конечно, употребляем только слово «отнять».
      Слово «отнять» не следует связывать с выражением «останется», так как это выражение применимо только к тем задачам на вычитание, в которых речь идет о нахождении остатка. Между тем уже во второй учебной четверти первоклассники будут решать задачи, а которых требуется, например, узнать, сколько стоит волчок, если он на 5 руб. дешевле куклы. Слово «останется» в этом случае совершенно не вяжется с вопросом задачи. Не подойдет оно в дальнейшем и к нахождению разности двух чисел, и к нахождению вычитаемого по уменьшаемому и остатку. Если остаток дан в условии задачи, то о каком еще другом остатке может быть речь при вычитании? Вот почему мы рекомендуем придерживаться в отношении всех действий одного и того же слова «получится». Не следует при этом смешивать терминологию действия с формулировкой ответа на вопрос задачи. Если в задаче спрашивается, например, «сколько яблок осталось в корзине?» то, производя вычитание, мы употребляем слово «получится», да»вая же ответ на вопрос задачи, говорим: «в корзине осталось столысо-то яблок».
      Цель следующих уроков — доработка остальных случаев вычитания в пределах десяти (4—2, 4—3, 5—2, 5—3, 5—4); знакомство с записью вычитания. г
      Решая задачи на вычитание, дети могут записывать действие в тетради, как это уже делалось по отношению к задачам на сложение. Числа пишутся пока без наименования. Чтобы все-таки запись решения задачи отличалась от записи примера, действие, которым решена задача, подчеркивается или обводится со всех сторон цветной рамкой, как это показано на рисунке 11.
      Для задач желательно выбирать такие сюжеты, чтобы их можно было пояснить на предметах и притом, продемонстрировав уменьшаемое и вычитаемое, «скрыть» остаток. Можно, например, положить на глазах у детей 5 карандашей в коробку, вынуть из нее и показать 3 карандаша, а 2 карандаша оставить в коробке. Можно положить в конверт 4 картинки, а затем вынуть 2 из них; опустить в бумажный стакан о вишенок из пластмассы, а затем взять из стакана одну из них и т. д. и т. п. Решая такую задачу, нельзя найти остаток посредством счета; приходится волей-неволей произвести вычитание, т. е. отнять от цятн — три, от четырех — два и т. д.
     
      Седьмая тема: повторение пройденного.
      Цель повторения — еще раз вернуться к письменной и устной нумерации в пределах пяти, проверить, знают ли дети состав этих чисел и умеют ли пользоваться им при сложении и вычитайни.
      Для иллюстрации количественных отношений между соседними числами первого пятка можно использовать рисование по клеточкам «числовой лесенки» (рис. 12). Глядя на столбики из квадратиков, ученик отдает себе отчет в том, что каждое сле-.дующее число па единицу больше предыдущего.
      Заметим, что при помощи такой лесенки неудобно пояснять двойственную природу числа. От составляющих ее столбиков получается впечатление, будто бы каждое из предшествующих чисел не только включено в данную группу, но существует, кроме того, и само по себе. Выходит, что трет и й столбик, например, соответствует не столько числу т р и, сколько числу шесть.
      Чтобы подчеркнуть двойственную природу числа, следует поэтому обращаться к предметам, расположенным в один ряд, когда порядковый номер последнего предмета в группе позволяет установить общее число предметов в этой группе, и наоборот.
      При повторении состава чисел в порядке фронтальной беседы выясняется, как можно по-разному составить данное число из косточек на счетах, из палочек, из кружков, из квадратиков. Все комбинации располагаются в определенном порядке и зарисовываются в тетрадях посредством точек, крестиков или квадратиков. На рисунке 13 показано, как могут учащиеся пояснить состав чисел 4 и 5.
      На дачном этапе при сложении надо рассуждать так: четыре состоит из трех и одного; значит, если к трем прибавить один, получатся четыре.
      Производя вычитание, дети опять-таки пользуются знанием наизусть состава чисел. Так, например, зная, что пять состоит из трех и двух, они по памяти отнимают от пяти — три и получают два или отнимают от пяти — два и получают три.
      Таким образом, первоначальное соотношение между действием и составом числа, когда действие было исходным, а состав числа — производным, меняется на обратное: исходным становится знание наизусть состава числа, а действие — производным.
      К концу работы пал первым пятком можно ввести игру под названием «где мое место?»
      Для этой игры надо иметь 20 карточек с изображением кружков, квадратиков, прямоугольников, треугольников. Каждая фигура должна быть представлена в количестве от одной до пяти.
      Кроме карточек с фигурами, в нашем дидактическом материале имеется еше 4 «пустышки». Без них можно было бы обойтись, но на таблице оставалось свободное место, которое и заполнено ими.
      Играют двое учеников, сидящих за одной партой. Карточки из одного набора надо перетасовать и раздать поровну. Каждый складывает свои карточки кучкой, лицевой стороной вниз. Во время игры порядок, в котором они сложены, не должен нарушаться.
      Первый партнер открывает верхнюю из своих карточек и кладет ее на середину парты или стола. Так же поступает второй участник игры. Если на его карточке столько же фигурок, сколько на первой, он кладет ее под первой, если фигурок меньше — налево от первой, если больше — направо. Дети продолжают по очереди открывать свои карточки и находить , для них место: ниже, левее, правее или между теми, - которые уже лежат на столе.
      Если играет несколько пар учащихся, выигрывает та пара, которая раньше всех разложит правильно все свои карточки, так, например, как это показано на рисунке 14.
      Отвлекаясь от формы фигур, дети должны обращать внимание только на их количество в группе. При этом им все время приходится думать о порядке чисел в натуральном ряду. В преодолении этих двух трудностей и заключается смысл игры.
      .После окончания работы над первым пятком полезно повторить состав чисел, пользуясь набором монет в одну, две, три и пять копеек.
      «Игру в монету» удобнее проводить во внеурочное время в комнате продленного дня с небольшим числом учащихся, так как в условиях работы с целым классом учителю труднее проверить ее результаты.
      . На каждую пару играющих достаточно иметь наборы монет из двух стабильных учебников, т. е. 10 монет по 1 коп., 10 монет по 2 коп., 6 монет по 3 коп. и 4 монеты по 5 коп. Кроме монет, у каждого партнера должна быть коробочка, куда он будет складывать во время игры те монеты, которые он получил для размена, и те монеты, которые явились результатом размена его собственных монет со стороны партнера. Чтобы дети не смешивали своих коробок, одну из них можно оклеить красной бумагой, другую — зеленой.
      Монеты лежат кучкой перед играющими. Первый из них берет наугад любую монету, кроме 1 коп., и просит соседа «разменять» ее. Второй ученик кладет полученную монету, например 3 коп., в свою коробку, а партнеру дает взамен из обшей кучки две монеты: в 1 коп. и 2 коп., или три монеты по копейке. Первый ученик складывает их в свою коробку. После этого роли меняются. Второй ученик дает первому любую монету, например пятачок. Ученик, получивший монету, кладет ее в свою коробку, а партнеру вручает взамен любую комбинацию монет, из которых можно составить 5 коп., например: 2 коп.+3 коп., 2 коп.+2 коп.+1 коп., 3 коп.+1 коп.+1 коп. и т. п.
      По истечении назначенного для игры срока, учитель проверяет результат работы каждой пары играющих: в обеих коробках должна оказаться одна и та же сумма денег, если размен монет был произведен правильно.
     
      Второй пяток.
     
      Работа над числами 6—10 завершает изучение устной и письменной нумерации в пределах первого десятка. Такова основная цель работы над данной темой.
      Материал мы продолжаем располагать по числа м, что делается отнюдь не в угоду монографическому методу, а вызывается своеобразием первого десятичного концентра, числа которого «не подлежат десятичному расчленению». Основная задача в работе над каждым числом — показать его образование из предыдущего числа и единицы, научить детей узнавать и писать цифры 6 — 9 и число 10.
      Некоторые психологи настаивают на необходимости образования «множественных связей», которые создают широкий простор для применения различных вычислительных приемов»1. Значит ли это, что ученик должен сначала усвоить полностью состав числа из меньших чисел, а затем, владея такой «системой связей», выполнять действия?
      Выработка системы связей, безусловно, полезная вещь. Но существуют разные системы связей. В частности, большое значение имеют системы связей, относящиеся к табличным рядам, когда внимание , ученика направлено на аналогичный вычислительный прием — прием присчитывания Двух по одному, трех и четырех группами и т. д. Если начинать с заучивания состава чисел из любых слагаемых, ценная в образовательном отношении работа над системой аналогичных приемов станет излишней. Чтобы этого не случилось, учителя 210-й школы при изучении второго пятка останавливают внимание детей главным образом на составе каждого числа из предыдущего и единицы. Все остальные комбинации из слагаемых запоминаются в дальнейшем, попутно с изучением сложения в пределах десяти, которое и в учебнике следует за числами второго пятка.
      Работа над каждым из этих чисел занимает в нашем опыте по 2 урока. Для любой пары уроков цель первого урока — образование числа из предыдущего и единицы; знакомство с печатной цифрой и с ее письмом. Цель второго урока — сложение и вычитание в пределах данного числа в тех случаях, когда второе слагаемое и вычитаемое равны единице; решение задач на эти случаи сложения н вычитания.
      При изучении чисел 6, 8 и 10, кроме упомянутых комбинаций слагаемых (5+1, 7 — 1 и 9+1), полезно ввести еще суммы равных слагаемых (3+3, 4+4, 5+5), а следовательно, и состав чисел 6, 8 и 10 из этих слагаемых. Для работы над этими случаями сложения потребуется, конечно, дополнительное время.
      1 Н. А. Менчинскал, Психология обучения арифметике, Учпедгиз, М., 1955, стр. 1У6.
      Числа б — 10 менее ясны детям, чем числа первого пятка. Первоклассникам труднее справляться с вопросами, которые относятся к устной нумерации в пределах второго пятка. Этим вопросам надо уделить самое пристальное внимание.
      При изучении числа б мы еще раз возвращаемся к количественным и порядковым отношениям между соседними числами натурального ряда. С этой целью учитель откладывает 5 косточек на верхней проволоке классных счетов и 6 косточек на второй проволоке сверху. Дети устанавливают, что на второй проволоке больше косточек, чем на первой, что во втором ряду ка одну косточку больше, чем в первом.
      Далее речь идет о порядковых отношениях между числами натурального ряда. «Какое число называем мы при счете перед числом 5? После числа 5? Перед числом б? Между числами 4 и б? Между какими числами стоит число 5?» — спрашивает учитель.
      Вопросы эти уже знакомы детям. Не представляет большого труда ответить на них применительно к новому числовому материалу.
      При изучении числа 7 устанавливается связь между количественным и порядковым отношением соседних чисел. Прежде всего надо еще раз вернуться к соотношению «больше на один» применительно к новому числовому материалу. Что 7 больше шести на один, можно теперь установить при помощи «арифметической доски»: открыть в верхнем ряду 6 кружков, пересчитать их вместе с классом, отмечая каждый кружок указкой; открыть в нижнем ряду сначала столько же кружков, а затем добавить еще один. «Если к шести кружкам прибавить один кружок, получится семь кружков», — заявляют дети. «Значит, семь кружков больше шести кружков на один кружок». — «А какое число называем мы при счете после шести?» — спрашивает учитель. Отвечая на вопрос учителя, дети тем самым связывают между собой два факта: «число 7 больше шести на один; при этом число 7 мы называем после шести».
      Для обобщения этой связи надо обратиться к остальным числам натурального ряда, с которыми уже знакомы учащиеся. Выясняется, что число, которое на единицу больше данного, мы называем при счете после данного. Вообще большее число называют при счете после данного, а меньшее — перед данным.
      Аналогичная работа продолжается при изучении чисел 8, 9 и 10.» В это время следует также возвращаться при случае к пересчитыванйю предметов слева направо и справа налево, как это делалось в работе над числами первого пятка.
      Занимаясь вторым пятком, надо время от времени сопоставлять числительные количественные и порядковые. У читель предлагает одному из учеников откладывать косточки на счетах: «Двигай косточки и говори, которую косточку ты передвигаешь», — предлагает учитель. Опираясь на очередное, произнесенное учеником слово, учитель просит его показать шестую косточку, вслед за этим — шесть косточек. Показывая шестую косточку, ученик фиксирует ее место в натуральном ряду; делая же круговое движение рукой, чтобы охватить данную группу в целом, он конкретизирует этим жестом количественное значение числа, устанавливая неразрывную связь с его порядковым значением.
      Работая над сложением и вычитанием в пределах второго пятка в тех случаях, когда второе слагаемое или вычитаемое равно единице, дети находят сумму и остаток посредством простого пересчиты-вания. Более рациональный прием, который опирается на количественные и порядковые отношения между числами натурального ряда, вводится позднее, когда начнется работа над . вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах десяти.
      На основе сложения дети усваивают наизусть состав каждого числа из предыдущего и единицы, что и является конечной целью работы над вторым пятком. Кроме того, они учатся составлять числа 6, 8 и 10 из равных слагаемых. Нечетные числа 7 и 9 удобно иллюстрировать веточками с листьями, которых всегда бывает нечетное число (рис. 15). Закрывая седьмой или девятый листик, мы обнаруживаем связь семерки с шестеркой и девятки с восьмеркой Создавая такого рода образные представления, мы содействуем лучшему различению чисел и готовим почву для применения в дальнейшем различных вычислительных приемов.
      Геометрические фигуры, которыми дети пользовались в работе над. первым пятком, продолжают играть роль счетного материала и при изучении чисел 6 — -10. Треугольник и кнадрат из палочек, которые в свое время служили для конкретизации чисел 3 и 4, теперь, взятые по два, иллюстрируют числа G и 8. Из десяти палочек дети складывают пятиконечную звезду (рис. 10) что дает им некоторое представление о составе числа 10 из пяти пар.
      Продолжая пользоваться линейкой, о чем говорилось на странице 25, первоклассники учатся отделять ею поля в своих тетрадях.
      Работа над первым пятком, а затем и над вторым пятком подытоживается черчением по клеточкам «числовой лесенки» (рис. 17).
      Напомним, что основное значение «лесенки» состоит в том, чтобы пояснять количественные отношения соседних чисел натурального ряда.
      Создавая «лесенку», ученик еще и еше раз констатирует тот факт, что каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Поднимаясь по «лесенке», он называет числа в прямом порядке, опускаясь — в обратном порядке.
      Укажем на некоторые неправильности при письме цифр, которые встречаются у первоклассников в работе над вторым пятком.
      У некоторых учеников нижняя часть цифры 6 оказывается повернутой не вправо, а влево, как при зеркальном ее изображении. Следует проверить, не является ли такой ученик левшой.
      Верхнюю часть цифры 7 кое-кто из первоклассников делает слишком узкой или длинной, поперечную черточку также очень длинной и излишне наклонной.
      Нельзя позволять детям писать восьмерку и девятку снизу вверх. Это мешает придавать цифре правильный наклон. Цифру 8 надо начинать писать сверху вни( и притом справа налево.
      Девятку надо начинать с самой верхней точки. Выписав слева направо верхний овал, следует затем от той же верхней точки вести вниз правый полуовал. Верхнюю часть девятки нельзя писать, как верхнюю часть двойки: овал может при этом превратиться в небольшой кружок, тогда как он должен переходить за половину всей цифры. Точку у девятки, как и у тропки, надо закручивать по ходу часовой стрелки — некоторые дети поступают наоборот.
      Нуль пишется сверху вниз и слева направо, как и верхняя часть девятки. На рисунке 18 показано, как следует писать числа второго пятка.
      В отношении девягки опять приходится отметить расхождение между стабильным учебником и официальными прописями. Мы отдаем предпочтение учебнику. Письмо цифры 9 мы начинаем с верхнего»овала, который пишется, как и нуль, с самой верхней точки. От этой точки надо вести перо не вправо, а влево, вниз, потом подняться кверху с правой стороны и после этого провести сверху вниз полуовал, заканчивающийся точкой.
      В связи с письмом цифр в языке учителя, а следовательно, и ученика появляются новые слова: овал и полуовал. Этими выражениями приходится пользоваться на уроках русского языка еще в добукварный период. На уроках арифметики можно предложить детям рисовать по шаблону кружки и овалы в целях их сопоставления и различения.
      В заключение остановимся на тех настольных играх, которые можно организовать во время работы над вторым пятком.
      Для начала подойдет игра «счет до десяти». Она яиляется продолжением тех упражнений, которые практиковались во время подготовительного периода и непосредственно связана с работой над числом шесть.
      Каждый играющий, которых может быть от двух до шести, берет из своего индивидуального набора 10 кружков и кладет их перед собой па столе. Кроме кружков, надо иметь игральную «косточку», которую можно склеить из развертки, сделанной по прилагаемому чертежу (рис 19). Самодельную косточку надо заполнить опилками, пропитанными клеем, — иначе она окажется слишком легкой и потому неустойчивой. В опыте 210-й школы такие игральные косточки готовят ученики IV класса на уроках труда в подарок будущим первоклассникам.
      Изготовлением таких косточек (см. рисунок) ученики IV класса могут, заниматься во время работы над темой «Кубические меры» (стабильный учеб» ник, стр. 91 — 92).
      Начинающий игру бросает косточку, считает точки на ее верхней грани, отсчитывает столько же кружков из своео запаса и складывает их в коробку, которая стоит на столе для этой цели. Каждый участник игры в порядке очереди проделывает то же самое. Уже на втором туре может оказаться, что точек на косточке больше, чем осталось кружков на руках у играющего. В таком случае он не сбрасывает из своего запаса ни одного кружка и передает косточку соседу. Выигрывает тот, кто первым освободится от всех своих кружков.
      К концу работы над вторым пятком можно ввести игру в «числовой ряд» Играют двое учеников, сидящих за одной партой. Для игры достаточно взять все цифры и число 10 из их индивидуальных - наборов. Карточки смешиваются и располагаются на парте лицевой стороной вниз.
      Каждый играющий в порядке очереди берет из этой кучки какую-нибудь карточку, открывает ее н кладет перед собой. Начиная второй тур, первый ученик открывает еще одну карточку. Если обозначенное на ней число меньше первого, ученик кладет карточку левее первой, если больше — правее. Может случиться, что он вытащит повторно то число, которое уже лежит перед ним, тогда он возвращает эту карточку в общую кучку и остается при одном числе, а право продолжать игру переходит к его соседу.
      На третьем туре придется в отдельных случаях решать еще более сложные вопросы, так как место . нового числа может оказаться между двумя уже лежащими на парте числами.
      Выигрывает тот, кому посчастливилось раньше всех выложить свой ряд от 1 до 10 включительно.
     
      Сложение и вычитание в пределах десяти.
      В основе всех вычислительных приемов, к изучению которых мы теперь переходим, лежит умение считать до десяти, если, во-первых, этот счет досшг стадии речедвигательного навыка (что может быть безусловно обеспечено во время работы над первым
      и вторым пятками) и если, во-вторых, дети усвоили основной закон образования натурального ряда и отдают себе отчет в количественном и порядковом значении чисел этого ряда, на что в предшествующих параграфах было обращено особое внимание.
      Раздел «Сложение и вычитание в пределах десяти» мы расчленяем на следующие темы:
      1. Присчитывание и отсчитывание единицы.
      2. Присчитывание и отсчитывание двух по одному.
      3. Присчитывание и отсчитывание трех по одному и группами (включая первую контрольную работу).
      4. Присчитывание и отсчитывание четырех группами.
      5. Присчитывание и отсчитывание пяти (прием перестановки слагаемых).
      6. Контрольная работа (вторая по счету).
      7. Присчитывание и отсчитывание шести.
      8. Присчитывание и отсчитывание чисел 7, 8 и 9 (включая третью контрольную работу и ознакомление с нулем как результатом вычитания).
      9. Знакомство с метром.
      10. Повторение пройденного и контрольная работа (четвертая по счету).
      Заметим, что более сжатое изучение чисел 6 — 10 без упора на запоминание их состава, о чем говорилось в предыдущей главе,, предотвращает ненужное дублирование и тем самым экономит время. Состав этих чисел дети усваивают незаметно по частям в процессе работы над сложением. Этот путь рекомендуют и наши опытные учителя (В. А. Самарина, Ф. Е. Иоффе, Р. М. Измайлова, А. А. Шанина, К. Д. Зайцева и др.), поскольку во время работы над числами 6 — 10 все равно нельзя добиться запоминания наизусть их состава из любых слагаемых.
     
      Переходим к сложению и вычитанию в пределах десяти.
      1. Присчитывание и отсчитывание единицы в пределах первого десятка хорошо знакомо учащимся в результате их работы над первым и вторым пятком. Спрашивается, нужно ли ставить еще раз этот вопрос как особую тему? Что нового узнает при этом первоклассник? Все же тема выделена на достаточном основании, которое заключается в следующем.
      До сих пор, складывая и вычитая группы предметов. дети просто пересчитывали сумму или остаток Теперь необходимо переключить их на такой прием который применим и без предметов. Он основан на сознательном использовании натурального ряда, умении пазпатъ число, следующее за данным и предшествующее данному.
      Присчитывание и отсчнтывание единицы в пределах первого пятка достаточно повторить в начале урока в порядке устных упражнений.
      Основная часть урока посвящается присчитыванию и отсчитыванию единицы в пределах второго пятка.
      Случай 5+1 поясняется на счетах. Ученик откладывает 5 косточек, а затем придвигает к ним справа еще одну. Для решения этого легкого примера надо вызвать одного из слабых учеников. Возможно, что он сделает попытку просто пересчитать сумму. Тогда учитель ставит косточки в исходное положение и спрашивает, указывая на 5 косточек, сколько их. Придвигая к ним шестую косточку, он спрашивает ученика: «которую косточку ты придвигаешь? Сколько же получится, если к пяти прибавить один?»
      Прием, показанный на предметах, применяется затем без предметов. Пересчитывание заменяется присчитыванием, которое связано с необходимостью рассуждать. Вот образцы таких рассуждений уже без наглядных пособий.
      При счете после числа 8 мы называем число 9. Значит, если к восьми прибавить один, получится 9.
      При счете перед числом 8 мы называем число 7. Значит, если от восьми отнять один, получится 7.
      В этих рассуждениях первая часть не высказывается вслух: число, которое мы называем при счете после данного, больше данного на единицу; число, которое мы называем при счете перед данным, меньше данного на единицу. Эти мысли благодаря предшествующим упражнениям, несомненно, мелькают в сознании ученика. Выло бы, однако, излишним педантизмом переводить их в речевой план. Семилетнему ребенку не под силу громоздкие словесные построения.