|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книга написана в качестве пособия для самообразования учителя математики средней школы. Взяв тему из курса средней школы (деление с остатком встречается там в курсе арифметики, в разделе о целых числах, и в курсе алгебры, в разделе об операциях над многочленами), автор поставил своей ближайшей целью — раскрыть перед учителем математическое содержание относящихся сюда вопросов.
Хорошо известно, что школьный курс алгебры не является систематическим курсом оСнов какой-либо определенной математической дисциплины и, в частности, не является курсом основ науки алгебры. В его настоящем виде' курс этот представляет своеобразный сплав первоначальных сведений из алгебры (понимаемой как наука об алгебраических операциях и их объектах) и анализа (понимаемого как наука о функциях). Разумеется, школьный учебник не может, да и не должен давать эти сведения в общем и развитом виде. Рассчитываемый на ученика, он исходит из предположения, что сам учитель обладает необходимыми сведениями из других специальных источников. Но где они эти источники? Подразумевается, что ими служат математические курсы, которые учитель прослушал в свое время, в качестве студента педагогического, института или университета. Действительно, курсы анализа и алгебры, входящие в учебные планы этих высших учебных заведений, доставляют, в сущности, все необходимое для углубленного понимания школьного курса. Беда только в том, что отдельные темы школьного курса предстают перед студентами как бы разъятыми на части; научное содержание одной из них изучается в одном курсе, другой — в другом, третьей — в третьем, а на столь необходимый синтез у студентов — будущих учителей — нехватает ни времени, ни сил.. Такой синтез должен был бы оставаться за специальным курсом элементарной математики, фигурирующим в учебных планах педагогических институтов: Однако постановка преподавания этого предмета в педагогических вузах отнюдь не такова, чтобы за ним можно было спокойно оставить решение важной задачи, которая здесь указана.
Вместе с тем автору хотелось бы думать, что настоящая книжка может служить пособием к одному из разделов серьезно поставленного курса элементарной математики в педагогическом вузе. Выбор темы для этой книги, такой узкой на первый взгляд, произведен нами не случайно. Положение этой темы в преподавании служит хорошей иллюстрацией к сказанному выше. Для овладения ею, в той мере, которую мы вправе требовать от учителя полной средней школы, нужны сведения, содержащиеся (а порой только подразумевающиеся) в программах следующих педву-зовских курсов: анализа, высшей алгебры (включая сюда небольшой курс так называемой современной алгебры, читавшейся до последнего года на старшем курсе), теории чисел и теории функций комплексного переменного (которая в 1947/48 учебном году была переведена в разряд факультативных дисциплин).
Все необходимые сведения мы и сосредоточили в систематическом виде в нашей книжке. Желая сделать ее возможно более доступной и независимой от других изложений, мы обработали весь материал так, что от читателя фактически требуется подготовка по математике, не выходящая за пределы курса средней школы. Этим мы старались достигнуть и другой цели — сделать нашу книгу доступной и, по возможности, интересной для учеников старших классов школы — любителей математики.
Вся книга в целом или отдельные ее главы и пункты могут быть использованы учителем для работы в школьных математических кружках (VIII — X классы). Наконец, мы полагаем, что учитель найдет в нашей книге немало материала для освежения стандартного школьного набора тем алгебраических задач и упражнений.
Сделав из нашей книги маленькую монографию о делении с остатком, мы обращаем внимание читателя на то, что предмет нами далеко не исчерпан. Достаточно указать лишь на то, что, например, для целых чисел деление с остатком и связанный с ним алгорифм Евклида, охватывает собой значительный раздел классической теории чисел. Сюда же примыкают и непрерывные (цепные) дроби как числовые, так и функциональные.
В связи с рекуррентными последовательностями, к которым приводит деление многочленов, появляются рекуррентные уравнения, изучение которых, по существу, относится к исчислению конечных разностей, представляющему самостоятельную математическую дисциплину. Мы старались во всех указанных и других подобных им случаях ограничивать себя, что бы, по возможности, достигать цельности и единства в изложении. Читатель, который пожелает углубить свои знания в каком-либо из направлений, лишь слегка затронутых в этой книжке, найдет некоторые литературные указания в конце ее.
Автор
Глава первая
КОЛЬЦА И ПОЛЯ. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
1. Понятие кольца
Рациональные операции над многочленами (сложение, умножение и обратные им: вычитание и деление) обнаруживают большое сходство с операциями над целыми числами (к целым числам мы относим, наряду с положительными и отрицательными числами, также и число нуль). Сходство это проявляется в том, что сложение, вычитание и умножение многочленов и целых чисел выполняются во всех случаях безотказно, подчиняясь одинаково формулируемым правилам (так называемым законам ассоциативности и коммутативности сложения и умножения - и закону дистрибутивности), тогда как операция деления, вообще говоря, не выполняется и приводит к делению с остатком.
Последняя операция обладает многим замечательными 'свойствами. На них основаны теории делимости и для целых чисел и для многочленов, также весьма похожие одна на другую. Так, например, два любых целых числа или два многочлена всегда имеют наибольший общий делитель, который можно находить посредством алгорифма Евклида; каждое целое число или каждый многочлен могут быть разложены на простые множители и притом одним только способом и т. д. и т. п.
Все эти факты наводят на мысль, что должна существовать единая теория, охватывающая теорию целых чисел и теорию многочленов, как частные случаи. Такая теория, составляющая одну из глав алгебры, действительно существует. Ее изложению мы и посвящаем настоящую главу.
. Чтобы подчеркнуть общее в операциях и над целыми числами и над многочленами, мы будем говорить сейчас о рациональных операциях над элементами, принадлежащими некоторому множеству элементов. Этими элементами могут быть целые числа, многочлены или, быть может, еще какие-либо математические объекты.
Нас будут интересовать одни только законы операций. Сложение мы будем обозначать знаком умножение знаком. Элементы, над которыми производятся операции, — буквами латинского или греческого алфавита.
Итак, мы исходим из того, что в нашей совокупности элементов для каждой пары элементов й и b определены единственным образом их сумма а + Ь и произведение а Ь. Как сумма, так и произведение являются также элементами совокупности, причем выполняются следующие законы действий.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
