Элементы математической логики

DjVu

      ОТ АВТОРА

      В пособии рассматриваются первоначальные понятия математической логики, которые затем используются для изучения таких вопросов школьного курса математики, как логическое, следование,, теоремы и их структура, взаимно-обратные и взаимно противоположные теоремы, необходимые и достаточные условия, метод математической индукции. Рассматриваются, таким образом, именно те понятия, восприятие которых вызывает у учащихся определенные трудности.
      Предварительное знакомство с терминологией и символикой математической логики, с ее понятиями, с одной стороны, позволяет сделать изложение всех перечисленных вопросов совершенно прозрачным, с другой — несомненно, полезно само по себе, во всяком случае, для тех школьников, которые собираются учиться в вузах с расширенной программой по математике.
      В пособии содержится более 60 задач, разнообразных по содержанию и степени трудности. Задачи объединяются только общностью цели: они призваны иллюстрировать теоретический материал и вырабатывать у учащихся твердые навыки математического мышления. Задачи рекомендуется решать в порядке их расположения по мере изучения соответствующего теоретического материала. К §1 относятся задачи 1—17, к §2 18—35 и к §3 36—64. Почти все задачи снабжены решениями или указаниями.
      Учащийся, внимательно прочитавший всю брошюру и ознакомившийся с решениями задач, несомненно что-то узнает и, вероятно, чему-то научится. Но при этом он должен отдавать себе отчет в том, что избранный им путь является самым легким и в то же время самым неэффективным. К разделу «Решения, указания, ответы» следует обращаться только после настойчивых неоднократных попыток решить задачу самостоятельно. Давно и хорошо известно, что самостоятельное решение одной задачи приносит больше пользы, чем разбор готовых решений нескольких задач. Решив задачу, стоит подумать, нельзя ли улучшить решение, нельзя ли достичь цели быстрее и проще. Только после этого следует сравнить найденное решение (не только ответ) с приведенным в книге.
      Из сказанного должно быть ясно, что пособие рассчитано на активную работу читателя, желающего и умеющего трудиться. В то же время хочется со всей определенностью подчеркнуть, что никаких особых способностей для успешной работы над этой книгой не требуется. Опыт работы Заочной физико-технической школы при Московском физико-техническом институте, где материал пособия использовался при работе с девятиклассниками с 1971 года, показал, что школьники, интересующиеся математикой и физикой, достаточно хорошо овладевают понятиями, о которых идет речь в пособии.
      Пособие предназначается в первую очередь учащимся IX—X классов, желающим самостоятельно углубить и расширить свои знания, но весьма вероятно, что и учителя найдут в нем полезный для себя материал, который они смогут использовать в своей работе.
      Автор благодарен доцентам МФТИ Т. С. Пиголкиной, В. И. Чехлову, М. И. Шабунину, рецензентам А. Я. Блоху, К. С. Муравину за полезные замечания и советы.

      § 1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ

      В математике и физике, в биологии и географии, в повседневной жизни мы постоянно встречаемся с различными утверждениями. Рассмотрим несколько утверждений.
      1. В каждом ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
      2. Число 3 является делителем числа 17.
      3. Каждый атом водорода содержит ровно один электрон.
      4. Все собаки — животные млекопитающие.
      5. Нью-Йорк — столица США.
      6. Число 1 + 2 во2ст., в5ст. = 4294967297 — простое.
      7. Картины Пикассо слишком абстрактны.
      8. Число х не превосходит единицы.
      Среди этих утверждений есть утверждения истинные (1, 3, 4), есть утверждения ложные (2, 5, 6). Последние два утверждения нельзя отнести ни к истинным, ни к ложным.
      Утверждение 7 содержит слова «слишком абстрактны», смысл которых точно не определен и без предварительного уточнения этих слов нельзя судить об истинности или ложности этого утверждения. В утверждении 8 ничего не сказано о числе х и потому нельзя сказать, истинно оно или ложно.
      Всякое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, мы будем называть высказыванием.
      Всякое высказывание, следовательно, либо истинно, либо ложно. Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Утверждения 1—6 являются высказываниями. Утверждения 7 и 8 высказываниями не являются.
      Подчеркнем, что не о всяком высказывании можно сразу сказать, истинно оно или ложно. Так обстоит дело, например, с утверждением 6. Ясно, что это утверждение является высказыванием. Число 1 + 2 во2ст., в5ст. не может быть одновременно простым и составным, значит, утверждение 6 либо истинно, либо ложно, т. е. оно является высказыванием. Утверждение 6 принадлежит французскому математику Ферма (1601—1665). Только в 1732 году Эйлер доказал, что оно ложно.
      Высказыванием является и следующее утверждение: «7 ноября 2017 года дневная температура воздуха в Москве будет 10—15 градусов выше нуля», хотя установить его истинность или ложность в настоящее время невозможно.
      Изучением высказываний занимается специальная математическая дисциплина — математическая логика, точнее, тот раздел этой науки, который называется алгеброй логики или алгеброй высказываний.