ВВЕДЕНИЕ
Бурное развитие современного производства, все большее внедрение в него различных средств автоматизации, механизация производственных процессов предъявляют все более высокие требования к подготовке подрастающего поколения. Особенно большое значение приобретает в настоящее время математическая подготовка школьников.
В связи с возрастающим проникновением математических методов в самые разнообразные отрасли науки и техники очень остро стоит задача повышения уровня математического развития и расширения математического кругозора учащихся, готовящихся стать квалифицированными рабочими или продолжать, свое образование в высших учебных заведениях.
Совершенно очевидной становится необходимость введения в школьное преподавание элементов высшей математики, в частности аналитической геометрии и математического анализа, без которых невозможно серьезное изучение техники, причем это важно особенно для тех, кто сразу после школы пойдет на производство.
Как известно, темы «Функции и пределы», «Производная и ее применение» были включены в школьную программу и изучались в средней шкоде в 1965/66 учебном году.
Мы имели возможность осуществить преподавание этих тем в Волгоградской школе № 8 ежегодно, начиная с 1963/64 учебного года. Преподавание велось и ведется учителями школы № 8 по нашим методическим разработкам, под нашим наблюдением и при нашем непосредственном участии. Следует отметить особенно большую работу учителей математики Е. Г. Ряховской и В. П. Ярошика, которые первыми провели в школе изучение указанных тем в 1963/64 учебном году.
В настоящем пособии описывается предлагаемый нами вариант изложения в средней школе вопросов, связанных с понятиями функции, предела функции и ее производной, который мы разработали с учетом опыта преподавания в Волгоградской школе № 8.
Непосредственное наблюдение на уроках преподавания указанных тем, а также результаты контрольных работ и зачетов, в проведении которых мы принимали участие, убедили нас в том, что предлагаемое изложение вполне доступно учащимся, вызывает у них живой интерес и успешно воспринимается ими. Это мнение разделя-. ют и учителя, проводившие преподавание.
Мы имели возможность проследить изучение тем «Функции и пределы», «Производная и ее применение к исследованию функций» уже начиная с 1963/64 учебного года, так как в связи с введением специальности монтажники электро- и радиоаппаратуры в этой школе был выделен один лишний час в неделю на преподавание математики, благодаря чему и появилась возможность несколько расширить программу по математике.
Мы убедились в том, что на изучение всех вопросов, включенных в тему «Производная и ее применение», выделенных 38 часов вполне достаточно. В школе № 8 изучали все эти вопросы, а также некоторый дополнительный материал (например, производную частного, производную сложной функции). В то же время на изучение темы «Функция и пределы» желательно было бы выделить хотя бы 20 часов вместо 16, предусмотренных программой.
Надо сказать, что понятие предела функции вызывает наибольшие затруднения и усваивается не сразу. Однако в результате кропотливой работы над этим понятием учащиеся делают большой шаг в своем математическом развитии.
При изучении темы «Функции и пределы» мы знакомили учащихся, в небольшой мере, с понятием непрерывности. На наш взгляд, для изучения непрерывности следовало бы добавить дополнительно еще 3—4 часа.
Примеры и задачи, рассмотренные в данной работе, в основном взяты из сборника задач по алгебре П. А. Ларичева и сборника задач по математическому анализу Н. А. Давыдова, П. П. Коровкина и В. Н. Никольского.
Раздел I. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
Как известно, с идеей функциональной зависимости учащиеся знакомятся на самых ранних этапах школьного обучения математике. Решение текстовых задач, построение графиков, вычисление значений алгебраических выражений и т. п. подготавливают школьников к восприятию понятия функции, которое в явном виде вводится в 8-м классе в теме «Функции и графики».
Введение специальной темы, посвященной функциям, обусловливается новым подходом к изучению функциональных зависимостей. Если до этого во всех вопросах, связанных с рассмотрением зависимостей между величинами, во главу угла ставился вопрос о вычислении конкретных значений величин, то здесь на передний план выдвигается задача изучения свойств самих функциональных зависимостей. Именно поэтому становится естественным введение функциональной терминологии.
Очень важно, чтобы задача изучения свойств функциональных зависимостей была достаточно мотивирована для учащихся. Ученики должны понимать, что введение математических понятий вызывается в конечном итоге потребностями практики и что, для того чтобы математика могла помочь в изучении различных процессов и явлений природы, нужно уметь выразить математически зависимости между величинами, участвующими в протекании этих процессов. Именно понятие функции отражает эту зависимость и изучение свойств функций помогает изучению закономерностей окружающего мира.
Достаточное число примеров из техники и других разделов естествознания, приводимых как в теме «Функции и графики», так и в дальнейшем при изучении конкретных функций, закрепляет в сознании учащихся важность
изучения функций как мощного инструмента в познании реальной действительности.
Глава 1. ПОВТОРЕНИЕ И УГЛУБЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ СВЕДЕНИЙ О ФУНКЦИИ И СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ
Повторение организуется таким образом, чтобы не просто воспроизвести в памяти учащихся необходимые определения и некоторые примеры, их иллюстрирующие, но и углубить, и в какой-то мере пополнить запас представлений, накопленных учениками к началу изучения темы.
Повторение рассчитано примерно на четыре урока. Оно завершается решением ряда задач на исследование функций элементарными средствами с использованием знакомой учащимся схемы исследования. При повторении большое внимание уделяется употреблению символа f(x) и построению графиков функций.
§ 1. ПОВТОРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ. ГРАФИК ФУНКЦИИ.
ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ОБЩЕМ ВИДЕ
Первый урок темы «Функции и пределы» посвящается повторению основных определений, связанных с понятием функции, и введению символа f(x). Рекомендуется на предыдущем уроке, давая задание, повторить определение функции, способы задания функции и определение графика функции и напомнить ученикам о значении изучения функций для познания закономерностей окружающего мира и решения важнейших задач науки и техники.
Урок начинается с повторения определения функции, известного ученикам из курса восьмилетней школы.
В итоге повторения даются следующие определения.
Областью изменения данной переменной величины называется множество всех тех числовых значений, которые может принимать данная переменная величина в условиях рассматриваемого вопроса.
Бели две величины связаны между собой таким образом, что каждому значению одной величины из области ее изменения соответствует вполне определенное значение другой величины, то говорят, что между этими величинами существует функциональная зависимость; первую величину называют аргументом (или независимой переменной величиной), а вторую — функцией от этого аргумента.
Мы считаем понятие области изменения переменной величины полезным само по себе и рекомендуем знакомить с ним учащихся еще в 8-м классе при изучении темы Функции и графики. (Кстати, в этом случае отпадает необходимость в специальном определении области изменения функции как множества всех тех значений, которые принимает сама функция.)
Внимание учащихся обращается на то, что функция полностью характеризуется областью изменения ее аргумента и тем законом соответствия, который каждому значению аргумента из области ее изменения ставит в соответствие вполне определенное значение функции.
Область изменения аргумента называется областью Определения функции.
В зависимости от того, каким способом задается закон Соответствия между значениями аргумента и значениями функции, различают способы задания функции. Учащиеся: вспоминают известные им следующие способы задания функции:
1. Задание функции с помощью одной или нескольких формул.
2. Табличный способ задания функции.
3. Графический способ задания функции.
4. Задание функции путем словесного описания закона соответствия.
Приводятся примеры функциональных зависимостей, Заданных различными способами, встречающихся в математике и в смежных дисциплинах.
Укажем некоторые из них:
1. Площадь круга К есть функция его радиуса R. Она может быть задана формулой K=*nR2, где R — аргумент, а К — функция. Область определения — множество всех положительных чисел.
Аналогично, объем куба V есть функция длины его ребра.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
